中考数学复习《圆的基本性质》练习题含答案

中考数学复习 圆的基本性质
一、选择题
1．如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，若∠OBC ＝50°，则∠A 的度数是( A ) A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°
【解析】∠A ＝12∠COB ＝12(180°－2∠OBC )＝1
2
(180°－2×50°)＝40°.
,第1题图) ,第2题图)
2．如图为4×4的网格，A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是( B ) A ．△ACD 的外心 B ．△ABC 的外心 C ．△ACD 的内心 D ．△ABC 的内心
3．如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为M ，若AB ＝12，OM ∶MD ＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A ．26π
B ．13π C.96π5 D.3910π
5
【解析】连结OA ，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，∴AM ＝1
2AB ＝6，∵OM ∶MD ＝5∶8，
∴设OM ＝5x ，DM ＝8x ，∴OA ＝OD ＝13x ，∴AM ＝12x ＝6，∴x ＝12，∴OA ＝13
2，∴⊙O 的周
长＝2OA ·π＝13π.故选B.
,第3题图) ,第4题图)
4．如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是弧AB 上一点，则∠ACB ＝( D ) A ．110° B ．120° C ．122° D ．119°
【解析】因为同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以与∠AOB 所对同弧
的圆周角度数为1
2∠AOB ＝61°，由圆内接四边形对角互补，得∠ACB ＝180°－61°＝119°，故
选D.
5．如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O 的直径AB ＝100，在半圆弧上有一运动员C 从B 点沿半圆周匀速运动到M (最高点)，此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A 点停止．设运动时间为t ，点B 到直线OC 的距离为d ，则下列图象能大致刻画d 与t 之间的关系是( C )
【解析】设运动员的速度为v ，则运动的路程为v t ，设∠BOC ＝α，当点C 从B 运动到M 时，∵v t ＝α·π·50180＝5πα18，∴α＝18v t 5π，在直角三角形中，∵d ＝50sin α＝50sin 18v t
5π，∴d 与t
之间的关系d ＝50sin 18v t 5π，当点C 从M 运动到A 时，d 与t 之间的关系d ＝50sin(180－18v t
5π)，
故C 正确．
二、填空题
6．如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵
上一点．若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC 的大小为__30__度．
【解析】∵∠BAO ＝25°，∠ACO ＝40°，OA ＝OC ，∴∠C ＝∠CAO ＝40°，∴∠CAB ＝∠CAO －∠BAO ＝15°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝30°.
,第6题图) ,第7题图)
7．如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为__70°__．
【解析】∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，∴∠DOE ＝180°－40°
＝140°，∴∠P ＝1
2
∠DOE ＝70°.
8．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点
M ，N 分别是AB ，AC 的中点，则MN 长的最大值是__52
2
__．
,第8题图) ,第9题图)
9．如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB ＝4
5
，BD ＝5，则
OH 的长度为__7
6
__．
【解析】连结OD ，∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD
＝∠BHD ＝90°，∵cos ∠CDB ＝DH BD ＝4
5
，BD ＝5，∴DH ＝4，∴BH ＝BD 2－DH 2＝3，设OH
＝x ，则OD ＝OB ＝x ＋3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得x 2＋42＝(x ＋3)2，解得x ＝7
6
，∴OH
＝76
. 若点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为__2
－3或2＋3__．
【解析】存在两种情况，当△ABC 为钝角三角形时，连结OB ，OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝2，OA ⊥BC 于点D ，∴CD ＝1，OD ＝
22－12＝
3，∴S △ABC ＝BC ·AD 2＝2×（2－3）
2
＝2
－3；当△ABC 为锐角三角形时，连结OB ，OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝2，OA ⊥BC 于点D ，∴CD ＝1，OD ＝
22－12＝3，∴S △ABC ＝
BC ·DA 2＝2×（2＋3）
2
＝2＋3，由上可得，△ABC 的面积为2－3或2＋ 3.
三、解答题
11．如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.
(1)求∠EBC 的度数； (2)求证：BD ＝CD .
解：(1)∠EBC ＝22.5° (2)证明略
12．如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，求AB 的长．
解：如图，作直径AE ，连结CE ，∴∠ACE ＝90°，∵AH ⊥BC ，∴∠AHB ＝90°，
∴∠ACE ＝∠AHB ，∵∠B ＝∠E ，∴△ABH ∽△AEC ，∴AB AE ＝AH
AC
，∵AC ＝24，AH ＝18，
AE ＝2OC ＝26，
∴AB ＝18×2624＝39
2
13．如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°，AP ，CB 的延长线相交于点D .
(1)求证：△ABC 是等边三角形；
(2)若∠P AC ＝90°，AB ＝23，求PD 的长． 解：(1)∵∠ABC ＝∠APC ，∠BAC ＝∠BPC ，∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 (2)∵△ABC 是等边三角形，AB ＝23，∴AC ＝BC ＝AB ＝23，∠ACB ＝60°.在Rt △PAC 中，∠PAC ＝90°，∠APC ＝60°，AC ＝2 3.∴AP ＝2.在Rt △DAC 中，∠DAC ＝90°，AC ＝23，∠ACD ＝60°，∴AD ＝6.∴PD ＝AD －AP ＝6－2＝4
14. 如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)判断△ABC 的形状；
(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)当点P 位于AB ︵
的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
解：(1)等边三角形
(2)PA ＋PB ＝PC.证明：如图，在PC 上截取PD ＝PA ，连结AD.∵∠APC ＝60°， ∴△PAD 是等边三角形，∴PA ＝AD ，∠PAD ＝60°.又∵∠BAC ＝60°， ∴∠PAB ＝∠DAC. ∵AB ＝AC, ∴△PAB ≌△DAC ，∴PB ＝DC. ∵PD ＋DC ＝PC, ∴PA ＋PB ＝PC
(3)当点P 为AB ︵
的中点时，四边形APBC 面积最大．理由：如图，过点P 作PE ⊥AB ，
垂足为E, 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F .∵S △PAB ＝12AB·PE ，S △ABC ＝1
2
AB·CF ，∴S 四边形APBC
＝1
2
AB (PE ＋CF )．∵当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 直径，∴四边形APBC 面积最大．又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝3，∴S 四边形APBC ＝1
2
×2×3
＝3。