圆的基本性质复习(一)
圆的基本性质复习
A． B． C．等于6D．随P点位置的变化而变化
9.（2012•宁波）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB= ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为.
D．6
3.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）
A．45°
B．90°
C．l35°
D．270°
4.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
5.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为（ ）
10.如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径．若AC=3，则DE=.
提高题:
（2012•上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出来自求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
9．（2012•宁德）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
圆的基本性质复习(一)
设计说明
一、教学地位：
垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位置。
本节课是一节复习课，是对新课的延伸和补充。
二、教学方法与教材处理：
让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---变式--证明”的活动，最后得出一般方法，这符合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。
同时，在教学中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
三、设计思路：
为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。
通过变式探究，让每个学生都有所得，我注意前后知识的链接，为学生提供了广阔的思考空间，同时让学生利用所学知识解决实际问题，感受理论联系实际的思想方法。
《圆的基本性质》奥数复习题
《圆的基本性质》复习题姓名 学号一、填空题1.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 .2.在Rt ΔABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆直径是3.在等边三角形ABC 外有一点D ，满足AD=AC ，则∠BDC= 。
4.在四边形ABCD 中，AB=BC=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，CP ⊥BC 交AH 于P ，若AP=l ，则BD=5.如图，点A 、B 、Q 、D 、C 在圆上，BQ 与QD 分别是42°和38°， 则∠P+∠Q= . 6．（1998年全国初中数学竞赛试题）已知圆环内直径为a cm ，外直径为b cm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为 cm 。
7.如图，扇形MON 中,∠MON=90°,过线段MN 的中点A 作AB ∥ON ，交MN 于B ，∠BON= 8.（2008年蚌埠二中自主招生考试数学素质测试题）已知⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则BAC ∠的度数是 。
9.（2006年“TRULY 信利杯”全国初中数学竞赛初赛试题）半径为2的⊙O 中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连结OP ，若OP ＝1，则AB ²＋CD ²的值为 。
10.如图，在△ABC 中，∠A= 70°，⊙O 截△ABC 的三边所截得的弦长都相等，则∠BOC= .11.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆．设BC=a ，AC=b ，那么△ABC 的高 CD= .12.（北京市竞赛题）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989 cm ²，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 。
13.如图，在直径为20cm 的半圆0上P 、Q 两点，PC ⊥ AB 于C,QD ⊥AB 于D,QE ⊥ PO 于 E,AC=4cm ，则DE= cm.14.已知P 是正方形ABCD 内的一点，O 为正方形的中心，AP⊥BP ，OP=，PA=6，则正方形ABCD 的边长为 。
初三数学专题复习：圆的基本性质复习教案
6 4第六单元圆第21讲圆的基本性质一、教学目标: 1、认识圆，理解圆的本质属性，理解垂直于弦的直径的性质和推论、弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理及推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.2、灵活运用圆的性质定理解决有关圆的问题，提高分析问题、解决问题的能力；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
二、教学重难点:1、灵活运用圆的性质定理解决有关圆的计算和证明。
2、圆中常见题型的归纳总结，特别是多解问题的分析，提高学生解决问题的能力。
三、教学用具:PP、三角板、彩色粉笔四、学情分析：通过概念辨析提高学生对概念的理解，通过典型例题深化学生对圆的性质定理的理解运用。
五、教学方法：讨论、交流、讲练结合法。
六、教学资源：教学设计、教材、复习练习册七、教学过程：（一）圆的有关概念1、（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离 ,都等于（2）到定点的距离等于定长的点都在上．2、填空（1）到定点O的距离为2cm的点组成了以为圆心，为半径的圆。
（2)正方形的四个顶点在以为圆心，以为半径的圆上。
（3）下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（）个。
A、1 B、2 C、3 D、4（思政元素：感受圆的轴对称性和圆的旋转不变性，体会数学和生活中圆的魅力。
）（二）垂径定理和推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.例1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.例2、如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.练习1、如图a、b,一弓形弦长cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.练习2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .练习3、⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .（三）弧、弦、圆心角关系例1、如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.例2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（）练习、如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，∠COD=35°，∠AOE = ．（四）圆周角定理及推论例1 如图，AC是☉O的直径(1)若∠A=80°.求∠ACB的大小.（2）若AC为10cm，弦AD为6cm.求DC的长；（3）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．例2、如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．45° C．60° D．75方法总结：在圆中如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．例3、如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.例4、（1）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .（2）⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D=例5、如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：弧BD=弧DE .（五）课堂小结:总结本课知识点和常规解法指导。
专题23 圆的基本性质 知识精讲-一轮复习(原卷版)
专题23 圆的基本性质核心知识点精讲1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答考点5：圆心角的概念 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆的基本性质复习(正稿)
③垂直平分弦的直线必定经过圆心。 B D
2.已知⊿ABC内接于半径为1cm的⊙O中，
BC= 3 ，求∠A的度数。
A
60°
A'
O2
60°
1
B
3
C
3.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的
最大距离为a，最小距离为b(a<b),则此
圆的半径为
ab 2
。
O
P
平行的弦 问题1: 已知圆中，弦AB ∥CD，求证：A⌒C=B⌒D。
—圆的基本性质复习错题辨析 Nhomakorabea“同弧”具备“同圆”的条件
1.下列说法正确的“是等弧④”具。备“等圆”的条件
①圆心角相等，所对的弦相等。
②等弧所对的弦相等。 ③弦相等，所对的圆心角相等。 ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 2.下列说法不正确的是 ③ 。 A
C
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
②平分弦的直径平分弦所对的弧。 O
思考：请说出问题1的逆命题，并判断其 真假。
练习：在半径为13的⊙o中，弦AB ∥CD， 且AB=24，CD=10，求AB与CD之间的距离。
F
E
解：过点O作OE⊥CD，延 长EO交AB于点F，连结 OA,OC.
相交的弦 问题1:已知圆中，弦AB 、CD相交于点P， A⌒C=80 °，⌒BD=42 °，求∠APC的度数。
课堂小结
2014年10月13日
思考：在一片弓形的暗礁区域中，A、B表示 两个灯塔，弧AB=100°，要使轮船在航行过 程中不会进入暗礁区，轮船应该沿怎样的路 线航行？如何确定暗礁区的边沿线？
在弦的同侧：圆内角>圆周角>圆外角
尽显才华 已知⊙o中AB是直径，OD是半径，且弦OC∥OD ，连结CD，BD。求证：CD=BD。
圆的基本性质复习精选教学PPT课件
16
A O
A O
C
A
D
E
O
B
C A
D O
BHale Waihona Puke 武原中学多媒体电教室制作C D
B
C D B
下一题
17
例3、建于1400年前的河北省赵县的赵州桥，是一座圆弧石拱桥，其设计与工艺 是中外桥梁史上的卓越典范，它的跨径（弧所对的弦长）约为37.0m，拱圈的高 （弧的中点到弦的距离）为7.2m,求桥拱圈的半径 (精确到0.1m).
3、有关按钮说明如下
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35
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
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5
A
经过三角形各个顶点的圆
叫做三角形的外接圆.
B
.O
外接圆的圆心叫做三角形 C 的外心.
这个三角形叫做圆的内接
三角形. D
C 如果一个圆经过四边形的各顶点，这 个圆叫做四边形的外接圆。
O 这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
B A
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6
B E A
O
例图
圆的中心对称性和旋转不变性：
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21
例5、 如图， ABC内接于⊙ O，弦CM AB，CN是
直径，F 是AB的中点。
求证：（1）CF平分 NCM
2023年九年级中考一轮复习数学课件圆的基本性质
例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.
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设计说明
一、教学地位：
垂径定理既是前面圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是
今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行
圆的计算、作图、证明提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的位
置。本节课是一节复习课，是对新课的延伸和补充。
二、教学方法与教材处理：
让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学
活动中来，组织学生参与“实验---变式--证明”的活动，最后得出一般方法，这符
合新课程理念下的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观
点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学
中，我充分利用教具和课件，提高教学效果，在实验、演示、操作、观察、练
习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养
学生直觉思维能力，这符合新课程理念下的直观性与可接受性原则。
三、设计思路：
为了给学生营造一个民主、平等而又富有诗意的课堂，我以新数学课程标
准下的基本理念和总体目标为指导思想，在教学过程中始终面向全体学生，依
据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，
在合作交流的过程中，获得良好的情感体验。通过变式探究，让每个学生都有
所得，我注意前后知识的链接，为学生提供了广阔的思考空间，同时让学生利
用所学知识解决实际问题，感受理论联系实际的思想方法。