浙教版九年级数学上 第3章圆的基本性质 复习提纲
浙教版九年级上《圆的基本性质》单元复习
《圆的基天性质》单元复习考点剖析：跟着对复杂几何证明要求的降低，对圆一章内容的删减，圆的考题难度有显然降低。
与圆有关的地点关系，试题重申基础，突出能力，源于教材，知识重组，变中求新，重在培育创新意识。
要注意分类议论和有关圆的问题的多解性，同时联合阅读理解，条件开放，结论开放的探究题型，联合运动的动向型综合题问题，联合函数的函数几何综合题渐渐成为新课程中的热点考点。
【本章知识框架】圆基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距的垂径定理认对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）识圆心角、弧、弦、弦心距的关系与圆有关的角：圆心角，圆周角弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形圆中的有关计算：圆锥的侧面积、全面积一、圆的观点1、圆的定义：线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的关闭曲线，叫做圆．点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。
2、弧：圆上随意两点间部分叫做圆弧，简称弧。
优弧、劣弧以及表示方法。
3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，【例 1】如图 23-1 ，已知一个圆，请你用多种方法确立圆心．剖析：要确立一个圆的圆心，我们能够从两个方面剖析：(1)圆心在弦的中垂线上； (2) 圆心是直径的交点。
【例 2】以下命题正确的选项是( A．相等的圆周角对的弧相等C．三点确立一个圆【例 3】填空：)B．等弧所对的弦相等D．均分弦的直径垂直于弦．⑴一条弦把圆分红 1 : 3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是⑵等边△ ABC 内接于⊙ O，∠ AOB=度。
4、判断一个点P 能否在⊙ O上．设⊙ O的半径为R， OP＝d，则有：d>r点P在⊙O外；d＝r点P在⊙ O上；d<r点P在⊙O内。
；【例 4】⊙ O 的半径为 4 cm，若线段 OA 的长为 10 cm，则 OA 的中点 B 在⊙ O 的 ______，若线段 OA 的长为 6 cm，则 OA 的中点 B 在⊙ O 的 ______。
第3章 圆的基本性质总复习课件 2024--2025学年浙教版九年级数学上册
∠ CAD ＝25°，则α＝
50° .
第4题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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考点三
垂径定理及其逆定理
5. （2022·安徽）已知☉ O 的半径为7， AB 是☉ O 的弦，点 P 在弦 AB
上，且 PA ＝4， PB ＝6，则 OP 的长为（ D ）
A. 14
△ ACD ，△ BCD ，△ ABD
写出来：
.
第2题
1
2
3
4
5
6
7
8
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考点二
3.
图形的旋转
3
（2023·荆州）如图，直线 y ＝－ x ＋3分别与 x 轴、 y 轴交于点 A ，
2
B ，将△ OAB 绕点 A 按顺时针方向旋转90°得到△ CAD ，则点 B 的对应
第8题
∴ CF ＝ AC ＝10.∴ △ ACF 是等腰三角形
1
2
3
4
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考点五
圆内接四边形
9. （教材P97课内练习第1题变式）如图，四边形 ABCD 内接于☉ O ， AB
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
九年级数学上册浙教版课件：第三章 圆的基本性质复习1
P
引伸1、正三角形ABC 内接于圆O，P 是CB弧上 任意一点，求证：PC+PB= PA
证法二:
延长CP至D，使DP=BP,连结BD,
∵ △ABC是等边三角形 ∴AB=BC，∠BAC= 60°
A
∵四边形ABPC内接于⊙O， ∴∠BPD=∠BAC= 60° 又∵ DP=BP,∠BPD= 60°
弦:连结圆上任意两点的线段 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r O2
r O1
等圆：半径相等的两 个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径 不相等的圆。
如果P是圆所在平面内的一 点，d 表示P到圆心的距离， r表示圆的半径，那么就有
O
r d<r P P在圆内；
r O r
P
d=r
课时训练
1.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120° 2. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ， 若 它 的 一 个 外 角 ∠DCE=70°，则∠BOD=( D )
A．35° C．110° B.70° D.140°
B
这个四边形叫做这个圆的内接四边形。
E
A O
B
C F D
圆的中心对称性和旋转不变性： 圆心角定理：
AOB= COD
OE=OF （OE AB于E
推论 OF
AB =CD AB=CD
CD于F）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A
C
O
A
浙教版九年级圆知识点
浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。
在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。
本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。
1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。
圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。
（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。
（3）半径垂直于弦，并且平分弦。
（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。
3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。
（1）圆心：圆的中心点。
（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。
（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。
（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。
（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。
4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。
（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。
通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。
圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。
通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。
在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。
2022-2023学年浙教版数学九年级上册第3章《圆的基本性质》章节复习
圆的基本性质_章节复习一、单选题1如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°2如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A.80°B.90°C.100°D.无法确定3直角三角形两直角边长分别为3和1，那么它的外接圆的直径是（）A.1B.2C.3D.44如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，∠E=30°，交AB于点D，连接AE，则S ADC：S△ADE的比值为（）A.12B.22C.32D.15如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A.80°B.70°C.60°D.50°6如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图像中，能表示y与x函数关系的图像大致是（）A.B.C.D.7如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（）A.43π﹣2 B.43π C.23π D.23π﹣2二、填空题8 如果一个扇形的圆心角为135°，半径为8，那么该扇形的弧长是____．9 如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=433，则AD=______．10 如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为____．11 如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_________．12如图，直线y＝x，点A1坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…按此作法进行下去，点B n的坐标为__________（n为正整数）．y=xxOyA1A2A3A4B1B2B3B413 如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．14 已知：如图，在圆O中，弦AB，CD交于点E，AD＝CB．求证：AE＝CE．15 已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．16 如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）求证：∠BCD=∠CBD；（2）若BE=4，AC=6，求DE．17 如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD 的上方，求AB和CD间的距离．18 如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF=BF；（2）若CD=12，AC=16，求⊙O的半径和CE的长．19 如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P上．（1）求圆的半径及圆心P的坐标；（2）M为劣弧OB的中点，求证：AM是∠OAB的平分线；（3）连接BM并延长交y轴于点N，求N，M点的坐标．20 如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，弧AE等于弧AB，BE 分别交AD、AC于点F、G．（1）判断△FAG的形状，并说明理由；（2）若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．21已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．22如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB的中点连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，⊙O直径为6，AC的长为2，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）23 阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是__。
新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《圆的基本性质》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)则 r PA ===【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF =．在Rt △DFO 中，OF OD ＝OA ＝3，∴DF ===(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．【答案】65°.【解析】连结OD ，则∠D OB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BA（第3题）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、图形的旋转4．如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是，旋转了 .【思路点拨】确定图形的旋转时，首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心，对应点连线的夹角即为旋转角.【答案】X，180°.【解析】解：观察图形中Z点对应点的位置是图A绕旋转中心X按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X；180°．【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，对应点的连线是否过旋转中心，对应点连线的夹角为旋转角．类型四、圆中有关的计算5．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【答案】D．【解析】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ AB 的长为120481803ππ⨯=(m)．∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面 的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O 作OC ⊥AB 于D ，交于C ，∵ OC ⊥AB ，∴.由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm ，则.在Rt △BOD 中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。
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第三章圆的基本性质复习
一、 点和圆的位置关系：
如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则：
（1）d<r →
（2）d=r →
（3）d>r →
1、两个圆的圆心都是O ，半径分别为1r 、2r ，且1r ＜OA ＜2r ，那么点A 在（ ）
A 、⊙1r 内
B 、⊙2r 外
C 、⊙1r
外，⊙2r 内 D 、⊙1r 内，⊙2r 外
2、一个点到圆的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（ ）
A 、2.5 cm 或6.5 cm
B 、2.5 cm
C 、6.5 cm
D 、5 cm 或13cm
3. ⊙0的半径为13cm ，圆心O 到直线l 的距离d=OD=5cm ．在直线l 上有三点P,Q,R ，且PD = 12cm , QD<12cm , RD>12cm ，则点P 在 ，点Q 在 ，点R 在 .
4. AB 为⊙0的直径，C 为⊙O 上一点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，延长CD 至E ，使DE=CD ，那么点E 的位置 （ ）
A ．在⊙0 内
B ．在⊙0上
C ．在⊙0外
D ．不能确定
二、几点确定一个圆
问题：（1）经过一个已知点可以画多少个圆？
（2）经过两个已知点可以画多少个圆？这样的圆的圆心在怎样的一条直线上？
（3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？
定理：经过 确定一个圆。
1、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定
2、作下列三角形的外接圆：
3、找出下图残破的圆的圆心
二、 圆的轴对称性：
1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧
2、推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
3、推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
1、已知，⊙O 的半径OA 长为5,弦AB 的长8,OC ⊥AB 于C,则OC 的长为 _______.
2、已知，⊙O 中，弦AB 垂直于直径CD ，垂足为P ，AB=6，CP=1，则 ⊙ O 的半径为 。
3、已知，⊙O 的直径为10cm,A 是⊙ O 内一点，且OA=3cm,则 ⊙ O 中过点A 的最短弦长=-------cm
4、如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。
A
5、已知弧AB ，画点C ，使C 平分弧AB . （保留画图痕迹，不写画法）
四、圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的 。
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°圆周角所对的弦是 。
同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
练习：
1、一条弧的度数是1080，则它所对的圆心角是 ，所对的圆周角是 .
2、在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交于点E ，且∠=︒AEC 30，AE=1cm ，BE=5cm ，那么弦CD 的弦心距OF=_________cm ，弦CD 的长为________cm 。
3、若⊙O 的弦AB 的长为8cm, O 到AB 的距离为43cm ，则弦AB 所对的圆心角为
4、如果两条弦相等，那么（ ）
A ．这两条弦所对的弧相等
B ．这两条弦所对的圆心角相等
C ．这两条弦的弦心距相等
D ．以上答案都不对
5、如图，A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有
（ ）
A . 2对
B . 4 对
C . 8 对 D. 16对
6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600，
∠ADC=500 ，则∠AEC= ．
7、如图,AB, CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE//CD 交⊙O 于点E ，连结BD ,
DE.求证：BD=DE.
P B
O
五、五、弧长及扇形的面积圆锥的侧面积和全面积
1、弧长公式：
2、扇形的面积：
练习：1. 己知扇形的圆心角为1200，半径为6，则扇形的弧长是（）
A. 3π
B. 4π C . 5π D . 6π
2. 已知1000的圆心角所对弧长为5π cm，则这条弧所在圆的半径为（）
A. 7cm B 8cm C. 9cm D. 10cm
3. 弧长等于半径的圆弧所对的圆心角是（）
A.
360
π
B.
180
π
C.
90
π
D.600
4. 在⊙O中，300的圆心角所对的弧长是圆周长的; 300的圆周角所对的弧长是圆周长的.
5. 扇形的圆心角是300，半径是2cm，则扇形的面积是cm2 .
6. 一个扇形的弧长为20лcm，面积为240лm 2，则该扇形的圆心角为.
7. 已知扇形的圆心角为1500，弧长为20лcm，则扇形的面积为m2 .
8. 扇形的面积是3cm2，半径是2cm，则扇形的弧长是cm.
3、圆锥的侧面积公式：
练习： 1. 如图是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图，围成这个纸帽的纸的面积为cm2.
2. 若圆锥的母线长为20cm , 底面半径是母线长的1
4
，则这个圆锥的侧面积是.
3. 已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是6oлcm时，则这个圆锥的底面半径是cm.
4. 如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm，那么圆锥的表面积为（）
A. 15лcm2
B. 24лcm2
C. 30лcm2
D. 39лcm2
5.圆锥的轴截面的顶角为600，这个圆锥的母线长为8cm ，则这个圆锥的高为（）
A. B. C.4cm D.8cm。