《圆的基本性质》各节知识点

圆的知识点及基础训练

第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：

1、圆的概念及点与圆的位置关系

2、三角形的外接圆

3、垂径定理

4、垂径定理的逆定理及其应用

5、圆心角的概念及其性质

6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】

1、圆的定义：在同一平面，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆

5、点与圆的三种位置关系：

若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外 ； 点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 。

6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上

7、过一点可作 个圆。过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。 8、过 的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。三角形的外心是三角形三条边的 【典型例题】

【题型一】证明多点共圆

例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上

【题型二】相关概念说法的正误判断

例1、（中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。其中正确的有（ ）A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 例2、下列说法中，错误的是（ ）

A.直径是弦

B.半圆是弧

C.圆最长的弦是直径

D.弧小于半圆 例3、下列命题中，正确的是（ ）

A ．三角形的三个顶点在同一个圆上

B ．过圆心的线段叫做圆的直径

C ．大于劣弧的弧叫优弧

D ．圆任一点到圆上任一点的距离都小于半径

例4、下列四个命题：① 经过任意三点可以作一个圆；② 三角形的外心在三角形的部；③ 等腰三角形的外心必在底边的中线上；④ 菱形一定有外接圆，圆心是对角线的交点。其中真命题的个数（ ） A.4个 B.3个 C.3个 D.2个 7、圆周角定理 8、圆周角定理的推论 9、圆锥的侧面积与全面积

D

B C O

A

E

M B

A

【题型三】点和圆的位置关系的判断

例1、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外

例2、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值围是 【题型四】“不在同一条直线上的三点确定一个圆”的应用

如“把破圆复原成完整的圆”；如“找一点，使它到三点的距离相等”：方法就是找垂直平分线的交点 例1、平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 【题型五】圆中角的求解

如右上图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB=2DE ，∠E=18°，求∠AOC 的度数

温馨提醒：（1）在同圆或等圆中，直径为半径的2倍；（2）圆中常用半径相等来构造等腰三角形，这些看似十分简单的性质和方法，却最容易被遗忘。

巩 固 练 习

1、如图，一根5m 长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域。

2、如果⊙O 所在平面一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为

3、如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC ，DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH=c ，则a ，b ，c 的大小关系是

4、已知⊙O 的半径为1，点P 与圆心O 的距离为d ，且方程x 2

-2x+d=0有实数根，则点P 在⊙O 的 5、如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用 次就可以找到圆形工件的圆心 6、若线段AB=6，则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值围是

7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a 、b 是方程x 2

-7x+12=0的两根，则△ABC 的外接圆面积为 8、已知圆上有3个点，以其中两个点为端点的弧共有 条 【课本相关知识点】

1、轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线直线 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。

2、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴

3、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分

4、分一条弧成 的点，叫做这条弧的中点。

5、 的距离叫做弦心距。

6、垂径定理的逆定理1：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分

垂径定理的逆定理2：平分弧的直径

【典型例题】

【题型一】应用垂径定理计算与证明 例1、如图所示，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。

O

C

D

B

A

3m

第3题

第5题

C

O

A

B

M

N

B

O

A

P

． A

C

O M N

B

例2、如图所示，已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，OA 、OB 分别交⊙O 于E 、F 两点，且OA=OB ，求证：AC=BD

F E D

C

B

A

O

温馨提醒：在垂径定理中，“垂直于弦的直径”可以是直径，可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段。 【题型二】垂径定理的实际应用

例1、某居民区一处圆形下水道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图所示，污水的水面宽为60cm ，水面至管道顶部距离为10cm ，问：修理人员应准备径多大的管道？

温馨提醒：要学会自己多画图，这样有助于书写解题过程。

例2、工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的直径AB 是

【题型三】垂径定理与逆定理的实际应用

M 的弦MN 交AB 于点C ，设⊙O 的半径为4cm ，MN=4

3cm 。

例1、如图，已知M 是⌒AB 的中点，过点（1）求圆心O 到弦MN 的距离 （2）求∠ACM 的度数

【题型四】应用垂径定理把弧2等份，4等份等

巩 固 练 习

1、下列说确的是（ ）

A.每一条直径都是圆的对称轴

B.圆的对称轴是唯一的

C.圆的对称轴一定经过圆心

D.圆的对称轴与对称中心重合

2、下列命题：① 垂直于弦的直径平分这条弦；② 平分弦的直径垂直于弦；③垂直且平分弦的直线必定经过圆心。其中正确的有（ ）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

3、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数， 则满足条件的点P 有（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.5

4、半径为5cm 的圆有两条互相平行的弦，长度分别为6cm 和8cm ，则这两弦之间的距离为 cm

5、圆的半径等于2

3cm ，圆一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于

6、如图，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN 的长为 60c m

10cm

第7题

第6题

O

P

M y

x

N 第8题

第9题

7、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦。若AB=10cm ，CD=6cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为 8、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y=

k

x

（x<0）的图象过点P ，则k= 9、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为 10、如图，已知AB 、AC 为弦，OM ⊥AB 于点M ， ON ⊥AC 于点N ，BC=4，则MN= 11、已知圆接△ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为7cm ，求腰AB 的长 12、如图，已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，AE=4cm ，BE=8cm ，求弦CD 的长

13、如图，某菜农在生态园基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB 米，大棚顶点C 离地面的高度为2.3米.

⑴求该圆弧形所在圆的半径；

⑵若该菜农身高1.70

米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的围有多大？ 14、⊙O 的半径为2，弦，A 为⌒

BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD 上。求四边形ABCD 的面积。

【课本相关知识点】

1、中心对称图形：把一个图形绕着某一点 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么，这个图形叫做中心对称图形，这个点是它的

2、过中心对称图形的 的任意一条直线可以平分其面积。

3、圆的旋转不变性：将圆周绕圆心O 旋转 ，都能与自身重合，这个性质叫做圆的旋转不变性。

4、圆心角： 叫做圆心角。

5、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 ，所对的 （这就是圆心角定理）

6、n °的圆心角所对的弧就是 ，圆心角和 的度数相等。 注意：在题目中，若让你求⌒

AB ，那么所求的是弧长 7、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么 都相等。（姑且称之为圆心角定理的逆定理）

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。 【典型例题】

【题型一】与圆心角定理的逆定理的相关说法的正确与否

例1、下列说法：① 等弦所对的弧相等；② 等弧所对的弦相等；③ 圆心角相等，所对的弦相等；④ 弦相等，所对的圆心角相等；⑤ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。正确的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【题型二】运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证明线段、角度、弧相等 例1、如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PO 平分∠APD 。求证：AB=CD

.

P

D

C

B

A

例2、如图⊙A 与⊙B 是两个等圆,直线CF ∥AB,分别交⊙A 于点C 、D ，交⊙B 于点E 、F 。求证：∠CAD=∠

EBF

E

F

C

D

A B

例3、如图所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，CE ∥AB 交⊙O 于点E ，那么⌒

AD 与⌒AE 相等吗？说明理由。 E

D

A

C

【题型三】计算弧的度数

例1、如图所示，C 是⊙O 的直径AB 上一点，过点C 作弦DE ，使CD=CO ，若⌒

AD 的度数为40°，求⌒BE 的度数 B

O A

C D

【题型四】运用用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决实际问题

例1、已知庄、庄分别位于直径为300米的半圆弧上的三等分点M 、N 的位置，现在要在河边（直径所在的位置）修建水泵站，分别向两个村庄供水，求最小需要多少米的水管？（提示：将半圆补全，将军饮马问题）

N

M

O

巩 固 练 习

1、如果两个圆心角相等，那么（ ）

A.这两个圆心角所对的弦相等

B.这两个圆心角所对的弧相等

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D.以上说法都不对 2、下列命题中，正确的是（ ）

A.相等的圆心角所对弦的弦心距相等

B.相等的圆心角所对的弦相等

C.同圆或等圆中，两弦相等，所对的弧相等

D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等 3、在半径为1的圆中，长为

2的弦所对的圆心角的度数是（ ）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

4、在⊙O 中，AD 是直径，AB 、AC 是它的两条弦，且AD 平分∠BAC ，那么：① AB=AC ；②⌒AB =⌒AC ；③ ⌒BD =⌒CD ； ④ AD ⊥BC 。以上结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5、如图所示，在△ABC 中，∠A=70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于（ ） A.140° B.135° C.130° D.125°

O

A

O

A

C

7、如图，在条件：①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA ；③点E 分别是AO 、CD 的中点；④OA ⊥CD 且 ∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD 是菱形的条件有 个。

8、如图所示，在⊙O 中，弦AB>CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，M 、N 为垂足，那么OM 、ON 的关系是（ ） A. OM>ON B. OM=ON C. OM

9、如图所示，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任一点引弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连续PA 、PB 。求证：PA=PB

10、如图所示，M 、N 为AB 、CD 的中点，且AB=CD 。求证：∠AMN ＝∠CNM

11、如图，MO ⊥NO ，过MN 的中点A 作AB ∥ON ，交⌒

MN 于点B ，试求⌒BN 的度数

【课本相关知识点】

1、顶点在 上，且两边 的角叫圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的

3、圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是

4、拓展一下：圆接四边形的对角

5、圆周角定理推论2：在同圆或等圆中， 所对的圆周角相等；相等的圆周角所对 的也相等 【典型例题】

【题型一】圆周角定理的应用

例1、△ABC 为⊙O 的接三角形，∠BOC=100°，求∠BAC 的度数。 【题型二】圆周角定理推论的应用

例1、如图所示，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD 的长。

例2、如图所示，A 、B 、C 三点在⊙O 上，CE 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点D 。

（1）求证：∠ACD=∠BC D F

B

O

C E

A

E ；（2）延长CD 交⊙O 于点

F ，连接AE 、BF ，求证：AE=BF

【题型三】应用圆周角知识解决实际生活问题

例1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A 、B 的读数分别为

86°，30°，则∠ACB 的大小为

例2、现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）．请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤．（要求写出两种测量方案）

解法一：如图（1），把角尺顶点A 放在井盖边缘，记角尺一边与井盖边缘交于点B ，另一边交于点C （若角尺另一边无法达到井盖的边上，把角尺当直尺用，延长另一边与井盖边缘交于点C ），度量BC 长即为直径；

解法二：如图（2），把角尺当直尺用，量出AB 的长度，取AB 中点C ，然后把角尺顶点与C 点重合，有一边与CB 重合，让另一边与井盖边缘交于D 点，延长DC 交井盖边于E ，度量DE 长度即为直径；

巩 固 练 习

1、图中圆周角有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2、如图，正方形ABCD 接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠DPC = .

3、如图，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合，将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点E 重合为止．设∠POF=x°，则x 的取值围是（ ） A ．30°≤x ≤60° B ．30°≤x ≤90° C ．30°≤x ≤120° D ．60°≤x ≤120°

4、如图，PB 交⊙O 于点A 、B ，PD 交⊙O 于点C 、D ，已知⌒D Q 的度数为42°，⌒B Q 度数为38°，则∠P+∠Q=

5、如图，AB 是⊙O 的直径，C, D, E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2 = .

6、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 E A B

D

C

第1题 第3题 第4题 第5题

第2题

第6题

D

E

C

B

O

A

第7题

第8题

图形1

图形2

答案：

N M P C

A

O

D

P

A

O

C

7、已知，如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°。给出下列四个结论：① ∠EBC=22.5°；② BD=DC ；③ ⌒

AE 是⌒DE 的2倍；④ AE=BC 。其中正确结论的序号是 8、如图，⊙O 的半径为1cm ，弦AB 、CD 2cm ，1cm ，则弦AC 、BD 所夹的锐角为

9、如图，AB, AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ．延长CA 到点D ．使AD=AC ， 连结DB 并延长,交⊙O 于点E ．求证：CE 是⊙O 的直径．

10、如图，在⊙O 中AB 是直径， CD 是弦，AB ⊥CD.

(1)P 是?CAD 上一点（不与C, D 重合）．求证：∠CPD=∠COB ；

(2)点P ’在劣弧CD 上（不与C , D 重合）时，∠CP /

D 与∠COD 有什么数量关系？请证明你的结论．

A

D

O

C

P

11、（1）如图（1）已知，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E ．求证：△ODE 是等边三角形； （2）如图（2）若∠A=60°，AB≠AC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由．

12、如图所示，直径AB 、CD 互相垂直，P 是OC 的中点，过点P 的弦MN ∥AB ， 试判断∠MBC 与∠MBA 的大小关系。

13、如图，AB 为⊙O 的直径，弦DA 、BC 的延长线相交于点P ，且BC=PC ，求证：

（1）AB=AP （2）??BC

CD

D

B

A

C

【课本相关知识点】

1、弧长公式：在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为l =

2、在弧长公式中，有3个变量： ，已知其中的任意两个，都可以求出第3个变量。我们只需要记住一个公式即可。（有些老师要求它的另外两个变形公式都要记住，其实完全没有必要）

3、扇形面积公式1：半径为R ，圆心角为n °的扇形面积为 。这里面涉及3个变量： ，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。

4、扇形面积公式2：半径为R ，弧长为l 的扇形面积为

5、求阴影部分面积一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三补，四换

一套：直接套用基本几何图形面积公式计算；二分：将其分割成规则图形面积的和或差；三补：用补形法拼凑成规则图形计算；四换：将图形等积变换后计算。 【典型例题】

【题型一】静止图形的弧长计算与运动图形的弧长计算

【例1】、如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 的长为半径的圆

交AB 于点D 。若AC=6，求?

AD 的长

【例2】、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为

【题型二】求阴影部分的面积问题

【例1】、如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB=2，以B 为圆心，以BA 为半径作圆弧，交CB 的延长线于点E ，连接DE 。求图中阴影部分的面积。

E D

A

B C

【例2】、如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为

【例3】、如上图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A ．

77

π338

- B ．

47

π338

+

C ．π

D ．

4

π33

+ 【例4】、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.3cm ，求截面上有水部分的面积。

A

H B

O C 1O

1H

1A

1C

例2

例3

C

D

O A B

【题型三】用弧长及扇形面积公式解决实际问题

【例1】、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接（不能转动），当杆AB 绕A 点转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm 、∠DBA=20°，端点C 、D 与点A 的距离分别为115cm 、35cm ．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD 扫过的面积为 cm 2

（π取3.14）

【例2】、如图是一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm ，当重物上升10cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度约为 度．（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）

巩 固 练 习

1、如果一条弧长等于

1

4

πr ，它的半径是r ，那么这条弧所对的圆心角度数为 2、如果一条弧长为l ，它的半径为R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加 3、扇形的弧长为20cm ，半径为5cm ，则其面积为 cm 2

4、一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2

，那么扇形的圆心角是

5、图中4个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（ ）

A.0

B.2

C.3

D.4

6、如图所示，扇形AOB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是

7、如图，AB=12，C 、D 是以AB 为直径的半圆上的三等分点，则图中阴影部分面积为

8、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留

π）（到了初中阶段，其实即使不说，结果也要保留π，这是一个基本常识）

第6题 第7题

第8题

9、如图，在

Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为

10、（2013年中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，

如图所示，若AB=4，AC=2，

4

2

1

π

=

-S

S，则

4

3

S

S-的值是（）

A.

4

29π

B.

4

23π

C.

4

11π

D.

4

5π

11、如图，⊙O的半径为R，AB与CD是⊙O的两条互相垂直的直径，以B为圆心，BC为半径为

?CD

,交AB于点E，求圆中阴影部分的面积。

12、如图，已知矩形ABCD中，BC=2AB，以B为圆心，BC为半径的圆交AD于E，交BA的延长线于F ，设AB=1，求阴影部分的面积.

13、如图，在△ABC中，已知AB=4cm，∠B=30°，∠C=45°，若以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点E，交BC于点F。

（1）求

?CE

的长（2）求CF的长

E

F

【课本相关知识点】

1、圆锥可以看做是直角三角形绕旋转一周所成的图形。旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。另一条直角边旋转而成的面叫做。圆锥的和的和叫做圆锥的全面积（或表面积）。

2、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的

3、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积：

4、圆锥的母线长l，高h，底面圆半径r满足关系式

第9题

第10题

A

C

B

5、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为

6、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值围为

【典型例题】

【题型一】与圆锥有关的计算（主要是算面积）

【例1】如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（）

A. 2πa

B. πab

C. 3πa2+πab

D. πa（2a+b）

【例2】如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（）

A. 42cm

B. 35

C. 26

D. 23

【例3】如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°（如图），则r与R之间的关系是

【题型二】与圆锥有关的方案设计题

【例1】在一个边长为a的正方形材料上截取一扇形，围成母线长为a的圆锥

（1）试设计两种不同的截法（要求每一种截法尽量减少浪费的材料），并把截法在图上表示出来

（2）分别求出（1）中两种不同截法所得的圆锥底面的半径和高

（3）（1）中哪一种截法所得的圆锥侧面积较大？

(1)

D

A

B C(2)

D

A

B C

【题型三】与圆锥有关的最短距离问题

【例1】如图,圆锥底面半径为r,母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径。

巩固练习

1、一个圆锥形零件的底面半径为4，母线长为12，那么这个零件侧面展开图的圆心角为

2、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角等于

3、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为

例1 例2

例3

4、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为

5、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm．

6、如图所示，有一直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角为90°的最大扇形ABC

（1）求被剪后阴影部分的面积

（2）用所得的扇形铁皮围成一个小圆锥，则该圆锥的底面半径是多少？

第三章《圆的基本性质》的知识点及典型例题

知识框图

1、过一点可作个圆。过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。过三点可作个圆。过四点可作个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分

圆

概念

圆、圆心、半径、直径

弧、弦、弦心距、等弧

圆心角、圆周角

三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形

圆的基本性质

圆周角定理及2个推论

圆的相关计算

弧可分为劣弧、半圆、优弧

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫等弧

点和圆的位置关系

不在同一直线上的三点确定一个圆

圆的轴对称性

垂径定理及其2个逆定理

圆的中心对称性和旋转不变性

圆心角定理及逆定理

求半径、弦长、弦心距

求圆心角、圆周角、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积及表面积

圆的相关证明

求不规则阴影部分的面积

证明线段长度之间的数量关系；证明角度之间的数量关系

证明弧度之间的数量关系；

证明多边形的形状；证明两线垂直

圆心角定理及逆定理都是根据圆的旋转不变性推出来的

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等

垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分

垂径定理的逆定理2：平分弧的直径

3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的

圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。在题目中，若让你求⌒

AB，那么所求的是弧长

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的

圆周角定理推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是

圆周角定理推论2：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的也相等

5、拓展一下：圆接四边形的对角之和为

6、弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=

7、扇形面积公式1：半径为R，圆心角为n°的扇形面积为。这里面涉及3个变量：

，已知其中任意两个，都可以求出第3个变量。我们中需要记住一个公式即可。

扇形面积公式2：半径为R，弧长为l的扇形面积为

8、沿圆锥的母线把圆锥剪开并展平，可得圆锥的侧面展开图是一个，圆锥的侧面积等于这个扇形的面积，其半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的

9、圆锥的侧面积：；圆锥的全面积：

10、圆锥的母线长l，高h，底面圆半径r满足关系式

11、已知圆锥的底面圆半径r和母线长l，那么圆锥的侧面展开图的圆心角为

12、圆锥的侧面展开图的圆心角x的取值围为

考点一、与圆相关的命题的说确的个数，绝大多数是选择题，也有少部分是填空题（填序号）

考点二、求旋转图形中某一点移动的距离，这就要利用弧长公式

考点三、求半径、弦长、弦心距，这就要利用勾股定理和垂径定理及逆定理

考点四、求圆心角、圆周角

考点五、求阴影部分的面积

考点六、证明线段、角度、弧度之间的数量关系；证明多边形的具体形状

考点七、利用不在同一直线上的三点确定一个圆的作图题

考点八、方案设计题，求最大扇形面积

考点九、将圆锥展开，求最近距离

练习

一、选择题

1、下列命题中：①任意三点确定一个圆；②圆的两条平行弦所夹的弧相等；③任意一个三角形有且仅有一个外接圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤直径是圆中最长的弦，半径不是弦。正确的个数是（）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

2、如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿

?

OA AB BO

--的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图

形能大致地刻画s与t之间关系的是（）

O

A．B．C．D．

G

E

D A C

F O B

3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC=30°，AC=2a ，BC=b ，以AB 所在直线为轴旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的全面积是（ ） A. 2πa B. πab C. 3πa2+πab D. πa （2a+b ）

4、如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ） A. 42cm B. 35 C. 26 D. 23

5、如图所示，长方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于E 点。取BC 的中点为F ，过F 作一直线与AB 平行，且交

D E 于G 点。求∠AGF =（ ）

(A) 110? (B) 120? (C) 135? (D) 150? 。

6、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

7、如图，弧BD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧BD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大

值是（ ）

A ． 15

B ． 20

C ．15+52

D ．15+55

8、如图，已知⊙O 的半径为5，点到弦

的距离为3，则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

9、如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=

y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是

A B C D

10、如图5，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B 到MN 的距离

分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2| 等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8

11、如上图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1

第5题

第7题 C

D

A B

P 第6题

第8题

A

H B

O

C 1O

1H

1A 1C

A

C

第4题

第3题

的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）

A．

77

π3

38

-B

．

47

π3

38

+C．πD．

4

π3

3

+

12、（2013年中考题）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，

如图所示，若AB=4，AC=2，

4

2

1

π

=

-S

S，则

4

3

S

S-的值是（）

A.

4

29π

B.

4

23π

C.

4

11π

D.

4

5π

二、填空题

1、如图，⊙O是等腰三角形的外接圆，，，为⊙O的直径，，连结，则

，．

2、如图，为⊙O的直径，点在⊙O上，，则．

3、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连结BD、BC。 AB=5，AC=4，则BD=

4、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为

?BC

上一点，若∠CEA=28o，则∠ABD= °.

5、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为

6、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数为__________________

7、如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为

8、如图所示是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，那么围成这个灯罩的铁皮的面积为

9、如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm，母线OE（OF）长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离cm．10、如图，AB是O

⊙的直径，弦CD AB

∥．若65

ABD

∠=°，则ADC

∠=．

11、如图, AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动.

设∠ACP=x，则x的取值围是

A

B

C

D

E

O

1

2 O

B

A

C D

（第10题）

E

D

A

C

O

B 第1题第2题第3题第4题

第7题

第8题

第9题

第11题

12、、如图，

AB 是O ⊙的直径，C D E 、、是O ⊙上的点，则12∠+∠=

13、以半圆O 的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D 。若AD=4，DB=6，那么AC 的长为 14、如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠C=60°，菱形ABCD 在直线l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O 所经过的路径总长为

15、当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。如图是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB 与雨刷CD 在B 处固定连接（不能转动），当杆AB 绕A 点转动90°时，雨刷CD 扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况，量得CD=80cm 、∠DBA=20°，端点C 、D 与点A 的距离分别为115cm 、35cm ．他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果。也请你算一算雨刷CD 扫过的面积为 cm 2

（π取3.14） 三、解答题

1、如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上。 （1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数； （2）若OA=5，OC=3，求AB 的长

2、如图，在一个横截面为Rt △ABC 的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅先将AB 边放在地面（直线l ）上。 （1）请直接写出AB ，AC 的长；

（2）工人师傅要把此物体搬到墙边（如图），先按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置（BC 1在l 上），最后沿BC 1的方向平移到△A 2B 2C 2的位置，其平移的距离为线段AC 的长度（此时A 2C 2恰好靠在墙边），画出在搬动此物的整个过程A 点所经过的路径，并求出该路径的长度。

（3）若没有墙，像（2）那样翻转，将△ABC 按顺时针方向绕点B 翻转到△A 1BC 1位置为第一次翻转，又将△A 1BC 1按顺时针方向绕点C 1翻转到△A 2B 1C1（A 2C 1在l 上）为第二次翻转，求两次翻转此物的整个过程点A 经过路径的长度．

3、如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C 。

（1）用尺规作图法，找出弧ABC 所在圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）； （2）设△ABC 是等腰三角形，底边BC=8，AB=5，求圆片的半径R

D

O

A

B

C

第13题

第14题

第15题

4、如图，△ABC 是⊙O 的接三角形，AC ＝BC ，D 为⊙O 中?

AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE ＝CD. （1）求证：AE ＝BD （2）若AC ⊥BC ，求证：2CD ．

5、已知一个圆锥的高3

（1）圆锥的母线长与底面半径之比；

（2）锥角的大小（锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角）； （3）圆锥的全面积．

6、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且CD ⊥AB ，垂足为H （1）如果⊙O 的半径为4，3，求AC 的长

（2）若点E 为为⌒ADB

的中点，连接OE 、CE ，求证：CE 平分∠OCD （3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由。

7、①、如下图所示，点P 在⊙O 外，过点P 作两射线，分别与⊙O 相交于点A 、B 、C 、D ，猜想?

AB 的度数、?CD 的度数与∠P 之间的数量关系，并进行证明。 ②、当点P 在圆时，猜想?AC 的度数、?BD

的度数与∠APC 之间的数量关系，并进行证明。 P

O

C

B

图（1）

图（2）

C

A O

B

D

1、如图，AD 是⊙O 的直径．

(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是

； (2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2，∠B 3的度数；

(3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接

写出答案)．

2、如图9，在平面直角坐标系中，以点

为圆心，2为半径作圆，交

轴于

两点，开口向下的抛物线经过点

，

且其顶点在⊙C 上．

（1）求的大小； （2）写出

两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式； （4）在该抛物线上是否存在一点

，使线段

与

互相平分？若存在，求出点

的坐标；若不存在，请说明理由．

O

B 1

B 2

C 1

C 2

图①

O

A

B 1

C 1

B 2

C 2

C 3

B 3

图②

B A O B 1 B -2

C 1

B 2

C 2

B 3

C C n -2 B n -1

C n -1

C ……

图③