2-2矩阵的范数
矩阵的范数和条件数
① A0,& A ,0 A0
② A A,R
③ A B A B, A ,B R n n ④ A B A B, A ,B R n n
⑤ Ax Ax, xRn
上海理工大学 理学院
University of Shanghai for Science and Technology
2 2 x x 1 1 6 .0 0 0 0 6 1 x x 2 2 8 8 .0 0 0 0 1 与 2 2 x x 1 1 5 .9 9 9 9 6 9 x x 2 2 8 8 .0 0 0 0 2
其解分别为：x
x1 x2
College of SciA的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:
(1)非负性: ‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R; (3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖. 则称‖A‖为矩阵A的范数.
x
b
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College of Science
注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。
行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。
A1
很小
A
A
A
A
条件数表示了对误差的放大率
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矩阵的范数
矩阵的范数文章目录•前言•一、诱导范数（Induced norm）••谱范数•二、向量式范数（Entry-wise norm）••F-范数•三、Schatten 范数（Schatten norm）•四、矩阵2-范数•总结前言矩阵分析学习笔记之矩阵范数。
三类重要的矩阵范数：诱导范数（Induced norm），向量式范数（Entry-wise norm），Schatten 范数（Schatten norm）。
矩阵A ∈ K m × n A\in K^{m\times n}A∈Km×n表示其定义在实数域或者复数域上。
一、诱导范数（Induced norm）诱导范数也称算子范数（operator norm）。
诱导p-范数的定义如下：∥ A ∥ p = s u p x ≠ 0 ∥ A x ∥ p ∥ x ∥ p \Vert A\Vert_p=\underset{x\neq 0}{\rm sup}\frac{\Vert Ax \Vert_p}{\Vert x\Vert_p}∥A∥p=x=0sup∥x∥p∥Ax∥p特别的，当p = 1 p=1p=1时，有∥ A ∥ 1 = max 1 ≤ j ≤ n ∑ i = 1 m ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}\vert a_{ij}\vert∥A∥1=1≤j≤nmax i=1∑m∣aij∣也就是绝对值的列和的最大值。
当p = ∞ p=\inftyp=∞时，有∥ A ∥ ∞ = max 1 ≤ i ≤ m ∑ j = 1 n ∣ a i j ∣ \Vert A\Vert_{\infty}=\max_{1\le i\lem}\sum_{j=1}^{n}\vert a_{ij}\vert∥A∥∞=1≤i≤mmax j=1∑n∣aij∣也就是绝对值的行和的最大值。
矩阵论-第二章 -程云鹏版
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
2
1、向量范数的概念及l 范数
p
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： 当x 0 时，x 0; 当 x =0 时，x =0 2) 齐次性：ax a x , (a K , x V ) 3) 三角不等式：x y x y （x, y V ) 则称 x 为V上向量x的范数，简称向量范数。
F
l
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
14
定理 mn mn nn A C , 且 P C 与 Q C 设 都是酉矩阵，则
PA
F
A
F
AQ
F
推论：和A酉（或正交）相似的矩阵的F-范数是相 H B Q AQ 则 A F B F ，其中Q是酉矩 同的，即若 阵。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
15
2、几种常用的矩阵范数
定理：已知 C 和 C 上的同类向量范数 ，设 Ax 是 C mn 上的矩阵范 A C mn ，则函数 A max X =1 数，且与已知的向量范数相容。称此矩阵范数为 “由向量导出的矩阵范数”简称为从属范数。
2015/10/12
Sun Songlin, Beijing University of Posts and Telecommunications
矩阵的范数计算公式
矩阵的范数：了解计算公式你是否对矩阵的范数感到困惑？本文将为你介绍矩阵范数的概念，以及如何计算矩阵范数。
矩阵范数是一个重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特点。
矩阵范数可以看作是衡量矩阵大小的方法，类似于向量范数衡量向量大小的方法。
在实际应用中，我们需要计算矩阵的范数来评估矩阵的稳定性、误差，以及矩阵变换的影响等等。
那么，如何计算矩阵的范数呢？我们先来看一下矩阵范数的定义：对于一个矩阵A，它的p范数定义为：||A||_p = max_{x ≠ 0} {|Ax|_p / |x|_p}其中，|x|_p表示x的p范数，即：|x|_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ... + |x_n|^p)^{1/p}该式表示的是矩阵A的所有列向量的p范数中的最大值，因此也被称为列范数（column norm）。
特别地，当p取值为1、2、正无穷大时，分别得到矩阵的1范数、2范数和无穷大范数。
其中，1范数表示矩阵每列元素绝对值之和的最大值，2范数表示矩阵的最大奇异值，无穷大范数表示矩阵每行元素绝对值之和的最大值。
对于一般的矩阵，计算范数有时会比较困难，因此我们通常使用数值方法来计算矩阵范数。
其中，最常用的方法是幂法（power method）。
幂法可以快速求解矩阵的最大奇异值和对应的左右奇异向量。
幂法的基本思路是反复用矩阵A乘以向量x，然后对x进行归一化，重复以上步骤直至收敛。
收敛后得到的x即为A的一个右奇异向量，而|Ax|/|x|则为相应的奇异值。
反复进行上述步骤，直至得到所有的奇异向量和奇异值。
除了幂法之外，还有很多其他的数值方法用来计算矩阵范数，例如QR方法、雅可比方法等等。
了解了矩阵范数的定义和计算方法之后，我们就可以更好地理解矩阵的性质和特点，应用于实际的科学计算和工程问题中。
2.2-2 矩阵范数与向量范数的相容性
矩阵论/矩阵分析视频公开课武汉理工大学理学院统计学系金升平本视频内容：矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数矩阵范数与向量范数的相容性的概念，为矩阵与向量的联合起来进行分析，提供了理论保障“矩阵范数诱导的向量范数”将告诉我们：对于任意矩阵范数，都可找到与之相容的向量范数二、矩阵范数与向量范数的相容性1. 矩阵范数与向量范数的相容性定义3,v m v Ax A x ≤⋅则称矩阵范数∙m 与向量范数∙v 相容.设∙m 是Cn×n上矩阵范数，∙v 是C n上向量范数，如果, ,n nnA Cx C ⨯∀∈∈下标使用的原因：矩阵--m atrix ，向量--v ector定理1(1) 矩阵范数分别与相容；1, m F ⋅⋅12, ⋅⋅(2) 矩阵范数与向量范数相容.m ∞⋅12, , ∞⋅⋅⋅以矩阵范数与向量范数为例证之.1m ⋅1⋅设(),n nij A a C⨯=∈()12,,,.Tnn x x x x C =∈则11111nnnnij j ij i j i j jAx a x a x =====≤∑∑∑∑和的绝对值小于等绝对值之和。
将x j 放大11111.n n ij m i j nk k a x A x ===⎛⎫⎪⎝≤⎭=⋅∑∑∑2. 由矩阵范数诱导的向量范数, .Hnvmx xax C =∈设是上一个矩阵范数，取,0.na C a ∈≠且m⋅n nC⨯定义可以证明，它是上的向量范数，称为由矩阵范数nC ∙m所诱导的向量范数.事实上，(1) 正定性：当0≠x ∈C n时，xa H≠OHvmxxa =>而当x =0Hxxa ==（2）齐次性：当时，C λ∈HHvvmmxxaxaxλλλλ===（3）三角不等式：()HH Hv mmx y x y axa ya+=+=+HHmmxaya≤+v vx y=+定理2Cn×n上任意一矩阵范数∙m与它所诱导的向量范数∙v 相容.()Hv mAx Ax a=证明只需证相容性即可()HmA xa=()Hm mA xa≤m vA x=See you next time武汉理工大学理学院统计学系金升平矩阵论/矩阵分析视频公开课矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数（完）下一讲内容：向量范数诱导的矩阵范数。
mathematica 范数
Mathematica支持多种范数计算，可以使用Norm函数来计算范数。常见的范数有L1范数、L2范数和无穷范数。
具体用法如下：
- L1范数：Norm[m, 1]，其中m为向量或矩阵
- L2范数：Norm[m, 2]，其中m为向量或矩阵
-无穷范数：Norm[m, Infinity]，其中m为向量或矩阵
例如，计算向量{1, 2, 3}的L1范数和L2范数可以使用以下代码：
```
vec = {1, 2, 3};
L1Norm = Norm[vec, 1]
L2Norm = Norm[vec, 2]
```
Hale Waihona Puke 结果为L1范数为6，L2范数为√14。
同样地，计算矩阵的范数也可以使用Norm函数，例如：
```
matrix = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
L1Norm = Norm[matrix, 1]
L2Norm = Norm[matrix, 2]
```
注意，对于矩阵的范数计算，可以选择对矩阵的每一行求范数（Norm[matrix, 1]），或者对矩阵的每一列求范数（Norm[matrix, Infinity]）。
矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
矩阵范数的计算公式
矩阵范数的计算公式矩阵范数是矩阵的一种度量，用于衡量矩阵的大小。
它可以帮助我们了解和分析矩阵的特性以及它们在不同数学和计算领域中的应用。
矩阵范数有许多不同的定义和计算方法，下面将介绍一些常见的矩阵范数及其计算公式。
1.矩阵的1-范数：矩阵的1-范数是指矩阵列绝对值之和的最大值，即以列为单位，计算每一列绝对值之和，然后找出最大的一个值。
计算公式如下：A，1 = max{∑，a[i][j]，}, 1≤i≤n2.矩阵的∞-范数：矩阵的∞-范数是指矩阵行绝对值之和的最大值，即以行为单位，计算每一行绝对值之和，然后找出最大的一个值。
计算公式如下：A，∞ = max{∑，a[i][j]，}, 1≤j≤n3.矩阵的2-范数：矩阵的2-范数是指通过矩阵A与其转置矩阵A^T相乘的方式得到的最大特征值的平方根。
计算公式如下：A，2 = √(λ_max(A^T*A))4.矩阵的F-范数：矩阵的F-范数是指矩阵所有元素的平方和的平方根。
计算公式如下：A，F=√(∑，a[i][j]，^2)以上是常见的矩阵范数的计算公式。
其中，1-范数和∞-范数是直接计算每一列或每一行的绝对值之和来求得的；2-范数是通过矩阵的特征值来计算的；F-范数是通过矩阵所有元素的平方和来计算的。
矩阵范数在数学和计算领域中具有广泛的应用。
例如，在线性代数中，矩阵范数可以用来衡量矩阵的条件数和稳定性，以及判断矩阵是否奇异；在机器学习和数据挖掘中，矩阵范数可以用来评估模型的复杂度和泛化能力；在图论和网络分析中，矩阵范数可以用来度量图的连通性和稳定性；在优化和最优控制中，矩阵范数可以用来定义目标函数和约束条件。
总之，矩阵范数是矩阵的一种度量，用于衡量矩阵的大小。
不同的矩阵范数有不同的计算方法和应用领域，通过矩阵范数的计算和分析，可以帮助我们了解和把握矩阵的特性，并在不同的数学和计算问题中得到应用。