第二章损失分布S知识分享

常用来表示赔款额的理论分布有： ➢对数正态分布, log-normal distribution ➢帕累托分布, Pareto distribution ➢伽玛分布, Gamma distribution
对数正态分布
若随机变量X的对数函数 Y = ln X ~ N (, 2) , 则称X服 从以 , 2为参数的对数正态分布，记作 X ~ LN ( , 2 ).
对数正态分布的密度函数：
f(x)=
1
(lnx)2
e 22
2x
X的数学期望和方差分别为:
2
EX = e 2 ,
VarX = e2 2 (e 2 －1) .
Example
已知某一特定风险的赔款额服从参数为
=7.0 ,= 1.7 的对数正态分布。问：从400元到
40,000元的赔案在全部赔案中占多大的比例？
= · ; Ms (t) MX1 (t) MX2 (t) MXn (t)
(4 ) 若 Y = a X+b, 其中 a、b 为常数，则随机变量 Y 的矩母函数为：
M y (t) = . ebt MX (at)
条件分布、条件期望和条件方差
离散变量(X,Y)
设 p ij , i = 1、2、…
, j = 1、2、…
随机变量的矩
原点矩：随机变量X的k次幂的数学期望 k = EXk 为随机变 量X的k阶原点矩。
中心矩：称X－EX的k次幂的数学期望 k = E(X－EX)k 为随 机变量X的k阶中心矩，k=1、2、… 。
偏度系数： 分布的对称性的度量，也就是偏斜程度。
= 3 232
分布对称时，偏度等于0。偏度大于0 时，正偏斜的；偏度 小于0 时，负偏斜。对一般非寿险业务的大多数险种来说， 因为有大额赔款的发生，所以赔款额的分布常有明显的正 偏斜。
随机变量的特征函数与矩母函数
设X是一个随机变量，i是虚数单位，分别称关于t的函 数 (t) =EeitX, t∈R
和
M(t)=Ee tX 为X的特征函数和矩母函数 特征函数一定存在，与分布函数一一对应
矩母函数的性质
设 X 的矩母函数 M（t）在原点的某邻域 | t |< r 有定义（因为 M（t）在原点总
2
解： f (x) = 1.5( x ) 4 , x>2
2
F (x) =1－( x ) 3 , x>2 P (X>4) = 1－F(4) = 0.125
f (x)
E[X－4 X 4 ] =
4
( x 4)
dx
0.125
= 2 (千元)
伽玛（Gamma）分布
伽玛分布的密度函数为：
f(x)=
(
)
解： =3,200 ， = 8,000 n=85 , 由中心极限定理，
85
P（
85 i 1
Xi
>350,000）=
P
Xi
( i1
n n
350,000 85 3,200
> 8,000 85
)
P (Z>1.06)
= 1－ (1.06) = 0.1446 .
赔款额的理论分布
非寿险精算中的赔款额X：非负连续型随机变量，它 的分布一般是正偏斜，它的密度函数在右边有长的“ 尾巴”。
条件期望：E（X Y y ）= xf (x y)dx .
条件方差：Var（X Y y j ）= E（ X2 Y y j ）－[E（X Y y j ）] 2
两个重要性质： 1. EX = E [ E（X|Y ）] 2. VarX = E [ Var（X|Y ）] + Var [ E（X |Y）]
e
x
(
x
)
1
,
x[0,+ ]
其中 >0 , >0 , （ ）为含参量广义积分：
( ) =
x 1e x dx
0
=
1
[
ln(
1
)
]
1
dx
0x
.
( )常称为伽玛函数，伽玛函数具有以下常用性质：
1) (1)= (2)=1 ；
2)
( 1 ) 2
=
；
3) 当 0时， ( ) =( －1) ( 1) ；
4) 当 为正整数时， ( ) =（ 1 ）！ .
伽玛分布
数学期望和方差分别为：
EX=
VarX = 2 .
矩母函数为：
M
(t) =
t
(1－
)
t <
伽玛分布特征
当=1时，伽玛分布就是以 为参数的指数分布。这时
它的密度函数f (x)在x=0处最大，并呈单调递减。
当 >1时，f (0) = 0 , 在x>0处单调递增至极大值，然
后再单调递减。
当 <1时，f (x)在x = 0处无定义，在x>0处单调递减
。
赔款次数的理论分布
泊松（Poisson）分布：常被用来刻划小概率事件发生 的次数，因此在非寿险精算中用它来作为赔款次数的 分布是适当的
泊松分布的分布列是：
P
(X=x)
=
eq
qx x!
，x=0、1、2、…
其中参数q>0. 泊松分布的数学期望和方差都是q .
解：X ~ LN (7.0, 1.72 ) , 所以，lnX ~ N (7.0,1.7 2).
P
(400<X
≤40000
)
=
P
(
) ln 4 0 7 .0 0 ln X 7 .0 ln 4,0 0 0 7 .0 0
1 .7
1 .7
1 .7
= (2.12)－ (－0.59)
≈ 0.7054
帕累托分布(Pareto distribution)
XY
(z)
=
d dz
F
XY
(z)=
f X
(x)f Y
(z
x)dx
由对称性得：f XY (z) = fX (z y)fY (y)dy ，记为：f XY（z） = f X *f Y (z) ，其 中*表示卷积。
卷积可以推广到 n 个相互独立随机变量的情况和离散型随机变量的情况。
卷积同样可运用于分布函数。事实上，卷积运算还可以推广到随机变量不
分布函数：随机变量X取值不超过实数x的概率，称为 随机变量X的分布函数，记作F（x）= P (X ≤ x) ，x ∈ R.
分布函数的性质：
①对任意x ∈ R，0 ≤ F（x） ≤ 1；
②F（－ ∞ ）= xlimF(x) = 0 ;
③F (＋ ∞ ) =
lim
x
F(x)
=
1;
④F(x) 单调不减，即：对任意x 1、x2 ∈ R, 且 x 1<x2 , 都 有 F(x ) ≤ F(x );
中心极限定理
定义：设 X1 、X 2 、…、X n 、…是一列具有相同分布，互相独立的随机变量，
EX i =，VarX i = 2 0, i = 1、2、… , 则
n
Xi n
lim P ( i1
x)=Leabharlann (x) .————标准正态分布的分布函数
n
n
意义：即使不知道某个特定的随机变量的分布，当这些随机变量的数目相当
求其分布函数，期望，方差？
Example 2: （均匀分布）如果某类保单的免赔额为a, 保险金额为b(0<a<b), 赔款额取[a,b]中的每个值是等可 能的，那么赔款额X就是一个在[a,b]均匀分布的随机 变量，其密度函数为：
1
f (x) = ba 0
axb 其他
求分布函数，期望，方差，变异系数？
有定义）,则
（1） X 的分布函数由其矩母函数唯一确定；
（2） X 的 k 阶原点矩k =EX k =M (k) (0) , k=1、2、… ,由此得到矩母函数 M
（x）的 Taylor 展开式为：
M(t) =
,
k
k0
tk k!
| t |< r
;
（3） 若 X1 、X 2 、…X n 为相互独立的随机变量，MX1 (t) 、MX2 (t) 、… 、MXn (t) 分别为它们的矩母函数，则它们的和 S = X1 +X 2 +…+X n 的矩母函数
右偏，但尾部趋于0的速度比对数正态分布慢
密度函数：f(x)=
()1
x
x
0
其他
分布函数：F(x)=
1()
x
0
x
其他
当1时，帕累托分布的数学期望存在：E(x)=
1
.
当 2
时，帕累托分布的方差存在：Var(x)=
2
2
-( )2 1
Example: 设某险种的赔款额 X（千元）服从以 =3， =2 为参数的 帕累托分布。如果有个该险种的超赔再保险合同，自留额为 4 千元， 那么，涉及再保险接受人的那些赔案的平均赔款为多少？
大时，其和的分布近似地服从正态分布。
保险中的应用：如果保险公司的某一险种的业务将面临很多次的赔款，那么，
根据中心极限定理，就可以预期，作为众多个别赔款支出的总和近似地服从
正态分布。
Example 若某类赔款的平均水平为 3,200 元，标准差为 8,000 元， 计算 85 笔相互独立赔款之和大于 350,000 元的概率。
相互独立随机变量和的分布与卷积
如果 X、Y 是相互独立的两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别
为 f X (x)、fY (y)那么，X+Y 的分布函数为：
F
XY
（z）=
P(X+Y