2019年上海市杨浦区初三数学一模试卷A3

2019年上海市杨浦区初三第一学期调研测试
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列四组线段中，成比例的是（）
(A) 1，1，2，3 (B) l ，2，3，4 (C) 2，2，3，3 (D)2，3，4，5 2. 如果2:3:=b a ，且b 是c a 、的比例中项，那么c b :等于（）
(A) 4：3 (B) 3：4 (C) 2：3 (D) 3：2
3. 如果△ABC 中∠C=90°，sin A=2
1
，那么下列等式不正确的是（）
(A) cos A=
22 (B) cot A=3 (C) sin B=2
3 (D) tan B=3 4. 下列关于向量的运算中，正确的是（）
(A) -=- (B) 22)(2-+-=- (C) 0)(=-+ (D)=+0 5. 如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：
那么个二次函数的图像的对称轴是直线（） (A) 0=x (B) 21=
x (C) 4
3
=x (D) 1=x 6. 如果以c b a 、、为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为（）
(A) 32 (B) 43 (C) 54 (D) 6
5
二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)
7. 如果
3
5
=-y x x ，那么y x =______________. 8. 等边三角形的中位线与高之比为______________.
9. 如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为______________. 10. 在△ABC 中，AB=3，AC=5， BC=6，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD=1，如果△ABC ∽ADE ，那么AE=______________.
11. 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，如果点G 为重心，那么∠GCB 的余切值为______________. 12. 如果开口向下的抛物线)0(4522≠-++=a a x ax y 过原点，那么a 的值是______________. 13. 如果抛物线c bx x y ++-=22的对称轴在y 轴的左侧，那么b ______________0 (填入“<”或“>”) . 14. 已知点A (11,y x )、B (22,y x )在抛物线m x x y ++=22上，如果210x x <<，那么1y ____________2y (填入“<”或“>”) .
15. 如图，AG ∥BC ，如果AF ：FB =3：5，BC ：CD =3：2，那么AE ：EC=______________.
16. 某单位门前原有四级台阶，其横藏面如图所示，每级台阶高为18 cm ，宽为30 cm ，为方便残障人士，拟将它改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度i =1：5，则AC 的长度是______________ cm.
17. 如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上时，抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上，此时我们称抛物线C 1与C 2是“互为关联”的抛物线，那么与抛物线x y 2=是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______________( 只需写出一个).
18. Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为
______________.
第15题图第16题图第18题图
三、解答题: (本大题共7题，满分78分)
19. (本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分)
如图，已知□ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G. （1）求
DG
OG
的值；（2）如
果设=，=，试用a 表示
.
20. (本题满分10分，每小题各5分)
已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像过点(1，-2)和(-1，0)和(0，2
3-). （1）求此二次函数的解析式；
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图像(要求至少5点).
21. (本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分) 如图，AD 是△ABC 的中线，tan B=51，cos C=2
2，AC =2. 求：（1）BC 的长；（2）∠ ADC 的正弦值.
22. (本题满分10分)
某学生为测量一棵大树 AH 及其树叶部分AB 的高度，将测角仪放在F 处测得大树顶端A 的仰角为30°，放在G 处测得大树顶端A 的仰角为60°，树叶部分下端B 的仰角为45°，己知点F 、G 与大树底部H 共线，点F 、G 相距15米，测角仪高度为1.5米. 求该树的高度AH 和树叶部分的高度AB.
23. (本题满分12分，每小题各6分)
已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD=∠B=∠BAE. （1）求证：
AC
DE
BC AD =；（2）当点E 为CD 中点时，求证：AD
AB
CE AE 22=. 24.(本题满分12分，每小题各4分)
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与y 轴交于点C (0，2)，它的顶点为D ),1(m ，且tan ∠COD =
3
1. （1）求m 的值及抛物线的表达式；
（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB. 若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点(位于x 轴上方)，且∠APB=45°，求P 点的坐标.
25. (本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)、(3)小题各5分)
已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=3，AB=6， DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F. （1）当点E 为边AB 的中点时(如图1)，求BC 的长；
（2）当点E 在边AB 上时(如图2)，联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE=x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.
图
1 图2。

合集下载

2019-2020上海杨浦高级中学中考数学第一次模拟试卷及答案

2019-2020上海杨浦高级中学中考数学第一次模拟试卷及答案一、选择题1．如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（）A ．B ．C ．D ．2．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（） A ．110B ．19C ．16 D ．15 3．函数21y x =-中的自变量x 的取值范围是（）A ．x ≠12B ．x ≥1C ．x >12D ．x ≥124．已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣55．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x=（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论： ①ΔADB ΔADC S S =； ②当0＜x ＜3时，12y y <； ③如图，当x=3时，EF=83；④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（）.A ．B ．C ．D ．7．如图，在矩形ABCD 中，AD=3，M 是CD 上的一点，将△ADM 沿直线AM 对折得到△ANM ，若AN 平分∠MAB ，则折痕AM 的长为（）A ．3B ．23C ．32D ．68．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤9．根据以下程序，当输入x ＝2时，输出结果为（）A ．﹣1B ．﹣4C ．1D ．1110．如图，将▱ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若ABD 48∠=o ，CFD 40∠=o ，则E ∠为( )A ．102oB ．112oC ．122oD ．92o11．下列计算错误的是（） A ．a 2÷a 0•a 2=a 4 B ．a 2÷（a 0•a 2）=1C ．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5D ．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.5 12．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根二、填空题13．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，c 为奇数，则c=_____．14．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB 上，则旋转角度为_____．15．如图，直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，∠1=70°，则∠2= ．16．如图，在Rt △AOB 中，OA=OB=32O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为．17．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．18．关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，则整数a的最大值是_____. 19．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．20．当m=____________时,解分式方程533x mx x-=--会出现增根．三、解答题21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．22．某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN项部M的仰角为37°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M 的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E．请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan35°≈0.75）23．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．数学思考（1）设，点到的距离．①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格．654 3.53 2.5210.5000.55 1.2 1.58 1.0 2.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．24．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B 级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数______.（2）图1中，∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整.（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？a b c d e）中随机选取两户，调查他（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为,,,,们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率. 25．修建隧道可以方便出行.如图：A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要爬坡到山顶C地，再下坡到B地.若打通穿山隧道，建成直达A，B两地的公路，可以缩短从A地i=，从B到C坡面的坡角到B地的路程.已知：从A到C坡面的坡度1:3∠=︒，42CBA45BC=公里.（1）求隧道打通后从A到B的总路程是多少公里？（结果保留根号）（2）求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少公里？（结果精确到0.01 1.4141.732）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．故选B．2．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.3．D解析：D【解析】【分析】由被开方数为非负数可行关于x的不等式，解不等式即可求得答案.【详解】由题意得，2x-1≥0，解得：x≥12，故选D.【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．4．A解析：A 【解析】分析：根据点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，得到4＝|2a ＋2|，即可解答．详解：∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等， ∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x 轴和y 轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．5．C解析：C 【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x=，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83，选项③正确；当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．6．C解析：C 【解析】从上面看，看到两个圆形，故选C ．7．B解析：B 【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠MAN=∠DAM ，再由AN 平分∠MAB ，得出∠DAM=∠MAN=∠NAB ，最后利用三角函数解答即可. 【详解】由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN=∠DAM ，∵AN 平分∠MAB ，∠MAN=∠NAB ， ∴∠DAM=∠MAN=∠NAB ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAM=30°，∴== 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质及折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质求得∠MAN=∠DAM,8．A解析：A 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴判定b 与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞0．【详解】①∵对称轴在y 轴右侧， ∴a 、b 异号， ∴ab ＜0，故正确；②∵对称轴1,2bx a=-= ∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0， ∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜0，故错误； ④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b ≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于0．故错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．9．D解析：D 【解析】【分析】根据流程图所示顺序，逐框分析代入求值即可．【详解】当x ＝2时，x 2﹣5＝22﹣5＝﹣1，结果不大于1，代入x 2﹣5＝（﹣1）2﹣5＝﹣4，结果不大于1，代入x 2﹣5＝（﹣4）2﹣5＝11，故选D ．【点睛】本题考查了代数式求值，正确代入求值是解题的关键．10．B解析：B 【解析】【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出ADB BDF DBC ∠∠∠==，由三角形的外角性质求出1BDF DBC DFC 202∠∠∠===o ，再由三角形内角和定理求出A ∠，即可得到结果．【详解】AD //BC Q ，ADB DBC ∠∠∴=，由折叠可得ADB BDF ∠∠=， DBC BDF ∠∠∴=，又DFC 40∠=o Q ，DBC BDF ADB 20∠∠∠∴===o ，又ABD 48∠=o Q ，ABD ∴V 中，A 1802048112∠=--=o o o o ，E A 112∠∠∴==o ，故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出ADB ∠的度数是解决问题的关键．11．D解析：D【解析】分析：根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．详解：∵a 2÷a 0•a 2=a 4， ∴选项A 不符合题意；∵a 2÷（a 0•a 2）=1，∴选项B 不符合题意；∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5，∴选项C 不符合题意；∵-1.58÷（-1.5）7=1.5，∴选项D 符合题意．故选D ．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．12．A解析：A【解析】【分析】先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况．【详解】解：原方程可化为：2240x x --=，1a \=，2b =-，4c =-，2(2)41(4)200∴∆=--⨯⨯-=>，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．二、填空题13．7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出ab 的值再根据三角形的任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边求出c 的取值范围再根据c 是奇数求出c 的值【详解】∵ab 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0∴a﹣7解析：7【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是奇数求出c 的值．【详解】∵a ，b 满足|a ﹣7|+（b ﹣1）2=0，∴a ﹣7=0，b ﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴68c <<，又∵c 为奇数，∴c=7，故答案为7．【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 14．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上∴AC=A′C∴△A′AC 是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC 绕点C 顺时针旋转至△A′B′C 时点A′恰好落在AB 上，∴AC=A′C ，∴△A′AC 是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°. 15．110°【解析】∵a ∥b ∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a ∥b ，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°16．【解析】试题分析：连接OPOQ ∵PQ 是⊙O 的切线∴OQ ⊥PQ 根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2∴当PO ⊥AB 时线段PQ 最短此时∵在Rt △AOB 中OA=OB=∴AB=OA=6∴OP=AB=3∴解析：【解析】试题分析：连接OP、OQ，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．∴OP=AB=3．∴．17．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈621解析：1．【解析】试题分析：在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．试题解析：在Rt△CBD中，DC=BC•sin60°=70×32≈60．55（米）．∵AB=1．5，∴CE=60．55+1．5≈62．1（米）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．18．－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根则根的判别式△=b2-4ac≥0建立关于a的不等式求出a的取值范围还要注意二次项系数不为0【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根解析：－2【解析】【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有实数根，∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，解得a≤-23，且a≠-1，则a的最大整数值是-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．19．【解析】【分析】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x-40）千米/时根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可【详解】设复兴号的速度为x千米/时则原来列车的速度为（x﹣40解析：13201320304060x x-=-．【解析】【分析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-40）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x﹣40）千米/时，根据题意得：13201320304060x x-=-．故答案为：13201320304060x x-=-．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．20．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根且使分式方程的分母为0的未知数的值详解：分式方程可化为：x-5=-m由分母可知分式方程的增根是3当x=3时3-5=-m解得m=2故答案为：2解析：2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．详解：分式方程可化为：x-5=-m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．三、解答题21．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 22．人民英雄纪念碑MN 的高度约为36.5米．【解析】【分析】在Rt△MED 中，由∠MDE＝45°知ME ＝DE ，据此设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt△MEC 中，由ME ＝EC•tan∠MCE 知x≈0.7（x+15），解之求得x 的值，根据MN ＝ME+EN 可得答案．【详解】由题意得四边形ABDC 、ACEN 是矩形，∴EN＝AC ＝1.5，AB ＝CD ＝15，在Rt△MED 中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt△MEC 中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN 的高度约为36.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识解题．23．(1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是．【解析】【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用函数关系式计算即可．②描出点，即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）①如图3中，由题意，，，，故答案为：，．②作于．，，，，，，故答案为：，．（2）①当时，，当时，，故答案为2，6．②点，点如图所示．③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值的取值范围为．性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）60；（2）54°；（3）1500户；（4）见解析，2 5 .【解析】【分析】（1）用B级人数除以B级所占百分比即可得答案；（2）用A级人数除以总人数可求出A 级所占百分比，乘以360°即可得∠α的度数，总人数减去A级、B级、D级的人数即可得C级的人数，补全条形统计图即可；（3）用10000乘以A级人数所占百分比即可得答案；（4）画出树状图，得出所有可能出现的结果及选中e的结果，根据概率公式即可得答案.【详解】（1）21÷35%=60（户）故答案为60（2）9÷60×360°=54°，C级户数为：60-9-21-9=21（户），补全条形统计图如所示：故答案为：54°（3）910000150060⨯=（户）（4）由题可列如下树状图：由树状图可知，所有可能出现的结果共有20种，选中e 的结果有8种∴P （选中e ）=82205=. 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率，概率=所求结果数与所有可能出现的结果数的比值，正确得出统计图中的信息，熟练掌握概率公式是解题关键. 25．（1）隧道打通后从A 到B 的总路程是(434)公里;（2）隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里.【解析】【分析】（1）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出CD 及AD 的长，进而可得出结论．（2）由坡度可以得出A ∠的度数，从而得出AC 的长，根据AC CB AB +-即可得出缩短的距离.【详解】（1）作CD AB ⊥于点D ，在Rt BCD ∆中，∵45CBA ∠=︒，42BC =，∴4CD BD ==.在Rt ACD ∆中，∵3CD i AD==， ∴343AD CD ==∴()434AB =公里.答：隧道打通后从A 到B 的总路程是()434公里.（2）在Rt ACD ∆中， ∵3CD i AD==， ∴30A ∠=︒，∴2248AC CD ==⨯=， ∴842AC CB +=+ ∵434AB =， ∴842434 2.73AC CB AB +-=+≈（公里）.答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记坡度和锐角三角函数的定义．。

上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析

上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．估计19﹣1的值为（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（）A．12B．13C．23D．343．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝kx的图象经过点D，则k值为（）A．﹣14 B．14 C．7 D．﹣74．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤3a b2 ．你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字6、7、8、1．若转动转盘一次，转盘停止后（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），指针所指区域的数字是奇数的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．已知2是关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（）A ．10B ．14C ．10或14D ．8或107．如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A ．3a+2bB ．3a+4bC ．6a+2bD ．6a+4b 8．下列计算正确的是A ．224a a a +=B ．624a a a ÷=C ．352()a a =D ．222)=a b a b --（ 9．解分式方程2x 23x 11x++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=- B ．()2x 23x 1-+=-C ．()()2x 231?x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=- 10．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则▱ABCD 的周长为（）A ．20B ．16C ．12D ．812．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且(3,0)A ，(2,)B b ，则正方形ABCD 的面积是（）A ．13B ．20C ．25D ．34二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交»AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作»CD交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .14．如图，在正六边形ABCDEF 中，AC 于FB 相交于点G ，则AG GC值为_____．15．已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y=﹣4x图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 16．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m ※n=mn ﹣m ﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=1．请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x ＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是_____．17．分解因式：3x 3﹣27x ＝_____．18．如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠1=50°，则∠2的度数为_______.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知C 为线段AB 上一点，关于x 的两个方程()112x m +=与()23x m m +=的解分别为线段AC BC ，的长，当2m =时，求线段AB 的长；若C 为线段AB 的三等分点，求m 的值.20．（6分）如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，AD 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线，交DA 的延长线于点E ，连接BD ，且∠E ＝∠DBC ．（1）求证：DB 平分∠ADC ；（2）若EB ＝10，CD ＝9，tan ∠ABE ＝12，求⊙O 的半径． 21．（6分）如图，⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，G 为弦AE 的中点，连接OG 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 交AE 于点F ，延长AE 至点C ，使得FC=BC ，连接BC ．(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)⊙O 的半径为5，tanA=34，求FD 的长．22．（8分）已知关于x 的方程220x ax a ++-=.当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.23．（8分）如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．24．（10分）如图，抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴的交于点C ，其中A 点的坐标为（﹣3，0），点C 的坐标为（0，﹣3），对称轴为直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．25．（10分）某渔业养殖场，对每天打捞上来的鱼，一部分由工人运到集贸市场按10元/斤销售，剩下的全部按3元/斤的购销合同直接包销给外面的某公司：养殖场共有30名工人，每名工人只能参与打捞与到集贸市场销售中的一项工作，且每人每天可以打捞鱼100斤或销售鱼50斤，设安排x 名员工负责打捞，剩下的负责到市场销售．（1）若养殖场一天的总销售收入为y 元，求y 与x 的函数关系式；（2）若合同要求每天销售给外面某公司的鱼至少200斤，在遵守合同的前提下，问如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．26．（12分）在平面直角坐标系中，关于x 的一次函数的图象经过点(47)M ，，且平行于直线2y x =．（1）求该一次函数表达式；（2）若点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，且点Q 在直线32y x =+的下方，求x 的取值范围．27．（12分）已知：如图，在矩形纸片ABCD 中，AB 4=，BC 3=，翻折矩形纸片，使点A 落在对角线DB 上的点F 处，折痕为DE ，打开矩形纸片，并连接EF ．()1BD 的长为多少；()2求AE 的长；()3在BE 上是否存在点P ，使得PF PC +的值最小？若存在，请你画出点P 的位置，并求出这个最小值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案． 161925，∴119＜5，∴319﹣1＜1．故选C ．点睛：本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出119＜5是解题的关键，又利用了不等式的性质．2．D【解析】【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解.【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：至少有一次正面朝上的概率是34，故选：D.【点睛】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=.3．B【解析】过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为:（7,2）,∴k14=,故选B.4．D【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵对称轴xb12a3=-=-，∴2b a3=-＜1．∴ab＞1．故①正确．②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．∵b＜1，∴c﹣b＞1．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．⑤如图，对称轴b12a3=-=-，则3a b2=．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．5．A【解析】【分析】转盘中4个数，每转动一次就要4种可能，而其中是奇数的有2种可能．然后根据概率公式直接计算即可【详解】奇数有两种，共有四种情况，将转盘转动一次，求得到奇数的概率为：P （奇数）= = ．故此题选A ．【点睛】此题主要考查了几何概率，正确应用概率公式是解题关键．6．B【解析】试题分析： ∵2是关于x 的方程x 2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x 2﹣8x+12=0，解得x 1=2，x 2=1．①当1是腰时，2是底边，此时周长=1+1+2=2；②当1是底边时，2是腰，2+2＜1，不能构成三角形．所以它的周长是2．考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 7．A【解析】【分析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a 的正方形的边长－边长为2b 的小正方形的边长＋边长为2b 的小正方形的边长的2倍代入数据即可.【详解】依题意有：3a ﹣2b+2b×2=3a ﹣2b+4b=3a+2b ．故这块矩形较长的边长为3a+2b ．故选A ．【点睛】本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键. 8．B【解析】试题分析：根据合并同类项的法则，可知2222a a a +=，故A 不正确；根据同底数幂的除法，知624a a a ÷=，故B 正确；根据幂的乘方，知()326a a =，故C 不正确；根据完全平方公式，知()2222ab a b a b -=-+，故D 不正确.故选B.点睛：此题主要考查了整式的混合运算，解题关键是灵活应用合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，乘法公式进行计算.9．D【解析】试题分析：方程22311xx x++=--，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.考点：解分式方程的步骤.10．C【解析】【分析】根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．【详解】由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，则△PBQ的面积S＝12PB•BQ＝12（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．11．B【解析】【分析】首先证明：OE=BC，由AE+EO=4，推出AB+BC=8即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE=BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．12．D【解析】作BE⊥OA于点E.则AE=2-(-3)=5，△AOD≌△BEA（AAS）,∴OD=AE=5，22223534AD AO OD∴=+=+=,∴正方形ABCD的面积是:343434⨯=,故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．312π+.【解析】试题解析：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=26022 3603ππ⨯=，∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）=229029012113 36036032πππ⨯⨯---⨯（）=32432ππ-+=12π+ 14．12．【解析】【分析】由正六边形的性质得出AB=BC=AF ，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，证出AG=BG ，∠CBG=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG ，即可得出答案．【详解】∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝BC ＝AF ，∠ABC ＝∠BAF ＝120°，∴∠ABF ＝∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴AG ＝BG ，∠CBG ＝90°，∴CG ＝2BG ＝2AG ， ∴AG GC ＝12；故答案为：12．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15．y 1＜y 1【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y 1与y 1的大小，从而可以解答本题．详解：∵反比例函数y=-4x，-4＜0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而增大， ∵A （-4，y 1），B （-1，y 1）是反比例函数y=-4x 图象上的两个点，-4＜-1， ∴y 1＜y 1，故答案为：y 1＜y 1．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．16．45a ≤<【解析】【详解】解：根据题意得：2※x=2x ﹣2﹣x+3=x+1，∵a ＜x+1＜7，即a ﹣1＜x ＜6解集中有两个整数解，∴a 的范围为45a ≤<，故答案为45a ≤<．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键．17．3x （x+3）（x ﹣3）．【解析】【分析】首先提取公因式3x ，再进一步运用平方差公式进行因式分解．【详解】3x 3﹣27x＝3x （x 2﹣9）＝3x （x+3）（x ﹣3）．【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．65°【解析】因为AB ∥CD ，所以∠BEF=180°-∠1=130°，因为EG 平分∠BEF ，所以∠BEG=65°，因为AB ∥CD ，所以∠2=∠BEG=65°．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）4AB =；（2）47=m 或1. 【解析】【分析】（1）把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC 、BC 的长，由C 为线段AB 上一点即可得AB 的长；（2）分别解两个方程可得m BC 2=，AC 2m 1=-，根据C 为线段AB 的三等分点分别讨论C 为线段AB 靠近点A 的三等分点和C 为线段AB 靠近点B 的三等分点两种情况，列关于m 的方程即可求出m 的值.【详解】（1）当m 2=时，有()1x 122+=，()2x 223+=，由方程()1x 122+=，解得x 3=，即AC 3=. 由方程()2x 223+=，解得x 1=，即BC 1=. 因为C 为线段AB 上一点，所以AB AC BC 4=+=.（2）解方程()1x 1m 2+=，得x 2m 1=-，即AC 2m 1=-.解方程()2x m m 3+=，得m x 2=，即m BC 2=. ①当C 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，则BC 2AC =，即()m 22m 12=-，解得4m 7=. ②当C 为线段AB 靠近点B 的三等分点时，则AC 2BC =，即m 2m 12?2-=，解得m 1=. 综上可得，4m 7=或1. 【点睛】本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C 点的位置，避免漏解是解题关键.20．（1）详见解析；（2）OA ＝152．【解析】【分析】（1）连接OB ，证明∠ABE=∠ADB ，可得∠ABE=∠BDC ，则∠ADB=∠BDC ；（2）证明△AEB ∽△CBD ，AB=x ，则BD=2x ，可求出AB ，则答案可求出．【详解】（1）证明：连接OB ，∵BE 为⊙O 的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°，∴∠ABE+∠OBA＝90°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠ABE+∠OAB＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠ADB，∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，∴∠EAB＝∠C，∵∠E＝∠DBC，∴∠ABE＝∠BDC，∴∠ADB＝∠BDC，即DB平分∠ADC；（2）解：∵tan∠ABE＝12，∴设AB＝x，则BD＝2x，∴AD=，∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，∴△AEB∽△CBD，∴BE AB BD CD=，∴1029xx=，解得x＝∴AB＝15，∴OA＝152．【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．21．（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由点G是AE的中点，根据垂径定理可知OD⊥AE，由等腰三角形的性质可得∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD，从而∠OBD+∠CBF=90°，从而可证结论；（2）连接AD，解Rt△OAG可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG的长，再证明△DAG∽△FDG，由相似三角形的性质求出FG的长，再由勾股定理即可求出FD的长.【详解】（1）∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE，∵FC=BC，∴∠CBF=∠CFB，∵∠CFB=∠DFG，∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠D+∠DFG=90°，∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OA=5，tanA=，∴OG=3，AG=4，∴DG=OD﹣OG=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG，∴△DAG∽△FDG，∴，∴DG 2=AG•FG ，∴4=4FG ，∴FG=1∴由勾股定理可知：FD=5. 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出∠CBF=∠DFG ，∠D=∠OBD 是解（1）的关键，证明证明△DAG ∽△FDG 是解（2）的关键.22．（1）12，32-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1， ∵该方程的一个根为1，∴1111{211a x a x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.23．（1）y=x 2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B 、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴，可设出M 点坐标，表示出MC 、MP 和PC 的长，分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况，可分别得到关于M 点坐标的方程，可求得M 点的坐标；（3）过E 作EF ⊥x 轴，交直线BC 于点F ，交x 轴于点D ，可设出E 点坐标，表示出F 点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．24．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）；（3）94．【解析】【分析】（1）先根据点A坐标及对称轴得出点B坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）利用（1）得到的解析式，可设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．然后依据S△POC＝2S△BOC列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；（3）先求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点Q的坐标为（x，﹣x﹣3），然后可得到QD与x的函数的关系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．【详解】解：（1）∵抛物线与x轴的交点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，解得a＝1，则抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；（2）设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12•OC•|a|＝2×12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，21）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，5）．∴点P的坐标为（2，21）或（﹣2，5）．（3）如图所示：设AC的解析式为y＝kx﹣3，将点A的坐标代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3．设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则点Q 的坐标为（x ，﹣x ﹣3）．∴QD ＝﹣x ﹣3﹣（ x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x+3＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x 2+3x+94﹣94）＝﹣（x+32）2+94， ∴当x ＝﹣32时，QD 有最大值，QD 的最大值为94．【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和应用．25．（1）y=﹣50x+10500；（2）安排12人打捞，18人销售可使销售利润最大，最大销售利润为9900元．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到y 关于x 的函数解析式，本题得以解决；（2）根据题意可以得到x 的不等式组，从而可以求得x 的取值范围，从而可以得到y 的最大值，本题得以解决．【详解】（1）由题意可得，y=10×50（30﹣x ）+3[100x ﹣50（30﹣x ）]=﹣50x+10500，即y 与x 的函数关系式为y=﹣50x+10500；（2）由题意可得，()()10050301005030200x x x x ⎧≥-⎪⎨--≥⎪⎩，得x 343≥， ∵x 是整数，y=﹣50x+10500，∴当x=12时，y 取得最大值，此时，y=﹣50×12+10500=9900，30﹣x=18，答：安排12人打捞，18人销售可使销售利润最大，最大销售利润为9900元．【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数和不等式的性质解答．26．（1）2-1y x =；（2）3x >-．【解析】【分析】（1）由题意可设该一次函数的解析式为：2y x b =+，将点M （4，7）代入所设解析式求出b 的值即可得到一次函数的解析式；（2）根据直线上的点Q （x ，y ）在直线32y x =+的下方可得2x －1<3x+2，解不等式即得结果.【详解】解：（1）∵一次函数平行于直线2y x =，∴可设该一次函数的解析式为：2y x b =+，∵直线2y x b =+过点M （4，7），∴8+b=7，解得b=－1，∴一次函数的解析式为：y=2x －1；（2）∵点Q （x ，y ）是该一次函数图象上的点，∴y=2x －1，又∵点Q 在直线32y x =+的下方，如图，∴2x －1<3x+2，解得x>－3.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数与不等式的关系，属于常考题型，熟练掌握待定系数法与一次函数与不等式的关系是解题的关键.27．（1）DB 5=；（2）AE 的长为32；（1）存在，画出点P 的位置如图1见解析，PF PC +的最小值为 5055．【解析】【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）设AE=x ，根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（1）延长CB 到点G ，使BG=BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】（1）∵矩形ABCD ，∴∠DAB=90°，AD=BC=1．在Rt △ADB 中，DB 2222345AD AB =+=+=．故答案为5；（2）设AE=x ．∵AB=4，∴BE=4﹣x ，在矩形ABCD 中，根据折叠的性质知：Rt △FDE ≌Rt △ADE ，∴FE=AE=x ，FD=AD=BC=1，∴BF=BD ﹣FD=5﹣1=2．在Rt △BEF 中，根据勾股定理，得FE 2+BF 2=BE 2，即x 2+4=（4﹣x ）2，解得：x 32=，∴AE 的长为32；（1）存在，如图1，延长CB 到点G ，使BG=BC ，连接FG ，交BE 于点P ，连接PC ，则点P 即为所求，此时有：PC=PG ，∴PF+PC=GF ．过点F 作FH ⊥BC ，交BC 于点H ，则有FH ∥DC ，∴△BFH ∽△BDC ，∴FH BF BH DC BD BC==，即2453FH BH ==，∴8655FH BH ，==，∴GH=BG+BH 621355=+=．在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得：GF 2222218505555GH FH =+=+=（）（），即PF+PC 505．【点睛】本题考查了四边形的综合题，涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等知识，知识点较多，难度较大，解答本题的关键是掌握设未知数列方程的思想．。

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷(附解析)

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷（附解析）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，52．如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3B．3：4C．2：3D．3：23．如果△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么下列等式不正确的是（）A．B．C．D．4．下列关于向量的运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：A．x＝0B．C．D．x＝16．如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值不可能为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么＝．8．等边三角形的中位线与高之比为．9．如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为．10．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．11．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为．12．如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是．13．如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b0（填入“＜”或“＞”）．14．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x1＜x2，那么y1y2（填入“＜”或“＞”）．15．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是cm．17．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上时，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，此时我们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y＝2x2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是（只需写出一个）．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线BC上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G．（1）求的值；（2）如果设，，试用、表示．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣）．（1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．21．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．22．某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G 与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．23．已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B＝∠BAE．（1）求证：；（2）当点E为CD中点时，求证：．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m），且tan∠COD＝．（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P 点的坐标．25．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB 于点E、F．（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，5【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b＝c：d．只要代入验证即可．【解答】解：A、1：2≠1：3，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；B、1：3≠2：4，则a：b≠c：d．故a，b，d，c不成比例；C、2：2＝3：3，即b：a＝c：d，故b，a，c，d成比例；D、2：4≠3：5，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例．故选：C．【点评】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中．2．如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（）A．4：3B．3：4C．2：3D．3：2【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．【解答】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，即a：b＝b：c，∴b：c＝3：2．故选：D．【点评】本题考查了比例中项的概念．在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．3．如果△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，那么下列等式不正确的是（）A．B．C．D．【分析】依据△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，分四种情况讨论，即可得到结论．【解答】解：设BC＝1，∵△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴AB＝2，AC＝，∴cos A＝，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项正确；，故D选项正确；故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数的定义是解题关键．4．下列关于向量的运算中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量的有关概念，判定选项中的计算是否正确即可．【解答】解：A、，故本选项错误．B、，故本选项正确．C、+（﹣）＝，故本选项错误．D、+＝，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．5．如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：A．x＝0B．C．D．x＝1【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值不可能为（）A．B．C．D．【分析】利用相似三角形的性质即可判断．【解答】解：∵以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，∴a：b＝4：5或5：6或2：3，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果，那么＝．【分析】由可得＝，进一步得到1﹣＝，可求，进一步得到的值．【解答】解：，＝，1﹣＝，＝，＝．故答案为：．【点评】考查了比例的性质，关键是得到1﹣＝．8．等边三角形的中位线与高之比为1：．【分析】可设等边三角形的边长为2a，根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质以及勾股定理可分别求出中位线的长和高的长度即可求出其比值．【解答】解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为＝a，所以等边三角形的中位线与高之比为a： a＝1：，故答案为：1：．【点评】本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．9．如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为10．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：设较大三角形的周长为x，∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝6，∴这两个三角形的周长和＝4+6＝10，故答案为：10．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．10．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．【分析】根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得，AE＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．11．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为4．【分析】根据等腰三角形的三线合一，勾股定理求出AD的长，利用重心的性质即可求出DG的长，利用余切的定义解答即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，则点G在AD上，连接GC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BC＝4，由勾股定理得，AD＝＝3，∵G为△ABC的重心，∴DG＝AD＝1，∴cot∠GCB＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．12．如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是﹣2．【分析】由抛物线开口向下及过原点，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，且开口向下，∴，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程是解题的关键．13．如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b＜0（填入“＜”或“＞”）．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由对称轴可知：x＝＜0，∴b＜0，故答案为：＜【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．14．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x1＜x2，那么y1＜y2（填入“＜”或“＞”）．【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，因为0＜x1＜x2，所以y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝3：2．【分析】由AG∥BC，推出△AGF∽△BDF，推出＝＝，设AG＝3k，BD＝5k，可得CD ＝2k，由AG∥CD，推出△AGE∽△CDE，可得＝＝＝．【解答】解：∵AG∥BC，∴△AGF∽△BDF，∴＝＝，设AG＝3k，BD＝5k，∵＝，∴＝∴CD＝2k，∵AG∥CD，∴△AGE∽△CDE，∴＝＝＝，故答案为3：2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是270cm．【分析】根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．【解答】解：由题意得，BH⊥AC，则BH＝18×4＝72，∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴CH＝72×5＝360，∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），故答案为：270．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17．如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上时，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上，此时我们称抛物线C1与C2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y＝2x2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是y＝﹣2（x﹣1）2+2，（答案不唯一）（只需写出一个）．【分析】首先求得抛物线抛物线y＝2x2的顶点坐标（0，0），则“互为关联”的抛物线为y＝﹣2（x﹣m）2+2m2，即可求得答案．【解答】解：由抛物线y＝2x2可知顶点为（0，0），设“互为关联”的抛物线为y＝a（x﹣m）2+2m2，代入（0，0）求得a＝﹣2，∴“互为关联”的抛物线为y＝﹣2（x﹣m）2+2m2，故答案为y＝﹣2（x﹣1）2+2，（答案不唯一）．【点评】此题以新定义的形式考查了二次函数解析式的确定，充分理解新定义的含义是解题的关键．18．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线BC上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为．【分析】过B作BG⊥AD于G，根据旋转的性质得到AD＝AB，DE＝BC，∠ADE＝∠ABC，根据勾股定理得到AB＝AD＝＝，求得BG＝，过E作EH⊥BD交BD的延长线于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过B作BG⊥AD于G，∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴AD＝AB，DE＝BC，∠ADE＝∠ABC，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，∴AB＝AD＝＝，∴BD＝2BC＝4，∠ABC＝∠ACB，＝AD•BD＝AC•BG，∵S△ABD∴BG＝，过E作EH⊥BD交BD的延长线于H，∵∠BAG＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB，∠EDH＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，∴∠BAG＝∠EDH，∵∠AGB＝∠DHE＝90°，∴△ABG∽△DEH，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴点E到直线BC的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G．（1）求的值；（2）如果设，，试用、表示．【分析】（1）由△DEG∽△BCG，可得＝＝，设DG＝k，GB＝2k，则BD＝3k，OB＝OD＝1.5k，推出OG＝0.5k，即可解决问题；（2）求出，根据OG＝BD即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，∵AE＝DE，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEG∽△BCG，∴＝＝，设DG＝k，GB＝2k，则BD＝3k，OB＝OD＝1.5k，∴OG＝0.5k，∴＝＝．（2）∵＝+＝﹣，∵OG＝BD，∴＝﹣（﹣）＝﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣）．（1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．【分析】（1）把三个已知点的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）先把一般式配成顶点式得到抛物线顶点坐标，再解方程x2﹣x﹣＝0得到抛物线与x轴的交点坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以此二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），当y＝0时， x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；如图，【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH＝CH＝1，在Rt△ABH中，求出BH即可解决问题；（2）在Rt△ADH中，求出DH，AD即可解决问题；【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C＝＝，AC＝，∴CH＝1，AH＝＝1，在Rt△ABH中，∵tan B＝＝，∴BH＝5，∴BC＝BH+CH＝6．（2）∵BD＝CD，∴CD＝3，DH＝2，AD＝＝在Rt△ADH中，sin∠ADH＝＝．∴∠ADC的正弦值为．【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．22．某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G 与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．【分析】根据题意和图形，可以求得AD、AC、BC的长，从而可以求得该树的高度AH和树叶部分的高度AB，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC＝米，AC＝米，∴AH＝AC+CH＝+＝米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD＝米，∴AB＝AC﹣BC＝﹣＝米，即AH＝米，AB＝米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23．已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B＝∠BAE．（1）求证：；（2）当点E为CD中点时，求证：．【分析】（1）欲证明：，只要证明△AED∽△BAC即可解决问题；（2）由△DAE∽△DCA，推出＝，由DE＝EC，可得＝，推出＝，再证明AC2＝AD•AB即可解决问题；【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠B＝∠BAE，∠BAC＝∠BAE+∠CAE，∠AED＝∠ACD+∠CAE，∴∠AED＝∠BAC，∵∠DAE＝∠B，∴△AED∽△BAC，∴＝．（2）∵∠ADE＝∠CDA，∠DAE＝∠ACD，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∵DE＝EC，∴＝，∴＝，∵∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC2＝AD•AB，∴＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m），且tan∠COD＝．（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P 点的坐标．【分析】（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x ﹣1）2+3，即可求解；（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，求出OA、OB，即可求解；（3）过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G，OA＝OB＝3，则过点G作圆G，圆与x、y 轴均相切，∠BPA＝45°＝∠BOA，故点P在圆G上，即可求解．【解答】解：（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+3，即：a+3＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，令y＝0，则x＝1+，令x＝0，则y＝2+n，∵OA＝OB，∴1+＝2+n，解得：n＝1或﹣2（舍去﹣2），则点A的坐标为（3，0），故点E（3，﹣1）；（3）过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G，∵OA＝OB＝3，则过点G作圆G，圆与x、y轴均相切，∵∠BPA＝45°＝∠BOA，故点P在圆G上，过点P作PF⊥x轴交BG于点E，交x轴于点F，则四边形AGEF为边长为3的正方形，则：PF＝EF+PE＝3+＝3+＝3+．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到一次函数、圆的基本等知识点，其中（3），构建圆G是本题的突破点，本题有一点难度．25．已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB 于点E、F．（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．【分析】（1）证明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解决问题．（2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．证明E，B，C，D四点共圆，可得∠DCE＝∠ABD即可解决问题．＝•AE•FB＝3，推出xy＝6，（3）如图2﹣1中，连接AF．设AE＝x，FB＝y，EB＝m，由S△AEF由AD∥FB，推出＝，推出＝，可得xy＝3m，推出6＝3m，推出m＝2，可得EB＝2，AE＝4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠A＝90°，∵AE＝EB＝3，AD＝3，∴AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°，∴EF＝DE＝3，FB＝3，∵DF⊥DC，∴∠FDC＝90°，∴∠C＝∠F＝45°，∴DF＝DC＝6，∴CF＝DC＝12，∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9．（2）结论：：∠DCE的大小是定值．理由：如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC，∴OD＝OE＝OC＝OB，∴E，B，C，D四点共圆，∴∠DCE＝∠ABD，∵在Rt△ADE中，tan∠ABD＝＝，∴∠ABD的大小是定值，∴∠DCE的大小是定值，∴tan∠DCE＝．（3）如图2﹣1中，连接AF．设AE＝x，FB＝y，EB＝m，＝•AE•FB＝3，∵S△AEF∴xy＝6，∵AD∥FB，∴＝，∴＝，∴xy＝3m，∴6＝3m，∴m＝2，∴EB＝2，AE＝4，在Rt△AED中，DE＝＝5，在Rt△DEC中，∵tan∠DCE＝＝，∴DC＝10，∴S＝•DE•DC＝×5×10＝25．△DEC【点评】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．。

上海杨浦区2019初三基础测试卷-数学

上海杨浦区2019初三基础测试卷-数学(完卷时间 100分钟总分值 150分) 一、选择题〔本大题每题4分，总分值24分〕1、实数a 、b 在数轴上的位置如下图，那么以下关系式正确的选项是〔 ▲ 〕〔Ａ〕0<-b a ；〔Ｂ〕b a= ；〔Ｃ〕0>ab ；〔Ｄ〕0>+b a 、2、以下运算正确的选项是〔 ▲ 〕〔Ａ〕246a a a +=；〔Ｂ〕246a a a ⋅=；〔Ｃ〕246()a a =；〔Ｄ〕1025a a a ÷=、3、函数13-+=x x y 中自变量x 的取值范围是〔 ▲ 〕〔Ａ〕x ≥－3；〔Ｂ〕x ≥－3且x ≠1；〔Ｃ〕x ≠1；〔Ｄ〕x ≠－3且x ≠1、4、假设AB 是非零向量，那么以下等式正确的选项是〔 ▲ 〕〔A 〕AB BA =；〔B 〕AB BA =；〔C 〕0AB BA +=；〔D 〕0AB BA +=、5、⊙O 1、⊙O 2的半径分别是2和1，假设两圆相交，那么圆心距O 1O 2可以是〔 ▲ 〕〔A 〕2；〔B 〕4；〔C 〕6；〔D 〕8、其中逆命题为真命题的有〔▲〕〔A 〕0个；〔B 〕1个；〔C 〕2个；〔D 〕3个、二、填空题〔本大题每题4分，总分值48分〕7、分解因式34x x -=▲.8、计算1)(2=▲.9、反比例函数k y x=的图象经过点〔3，－4〕，那么这个函数的解析式为▲. 10、假设关于x 的方程2220x ax a --=有两个相等的实数根，那么a 的值是▲.11、将分式方程144212=-++x x x 去分母后，化为整式方程是▲.12、一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为▲.13、某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到299元。

假设两次降价的百分率相同，设这个百分率为x ，那么可列出关于x 的方程为▲.14、一次函数b kx y +=〔0k >〕的图象过点〔1，－２〕，那么关于x 的不等式02≤++b kx 的解集是 ▲ .15、等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，那么它的中位线长为▲㎝.16、正十五边形的内角等于_▲度.17、如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，那么cos ∠AOB 的值等于▲.18、如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为〔1，0〕、〔4，0〕，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x －6上时，线段BC 扫过的面积为▲cm 2.三、解答题〔第19~22题每题10分，第23~24题每题1278分〕 19、化简求值：)11(x -÷11222-+-x x x 其中2=x . 20、解不等式组352,1212x x x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩21、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，⊙O 的半径3cm ，那么弦CD 的长为多少？22、为了解某社区居民在一次爱心活动中的捐款情况，对该社区部分捐款户的捐款情况进行了调查，并将有关数据整理成如下图的统计图〔不完整〕.Ａ、Ｂ两组捐款户数直方图的高度比为１：5，请结合图中相关数据回答以下问题.〔1〕A 组的频数是；本次调查样本的容量；〔2〕C 组的频数是；〔3〕请补全直方图；〔4〕假设该社区有500户住户，那么估计捐款不少于300元的户数。

2019学年杨浦初三数学一模试卷含答案

杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研初三数学试卷 2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）； C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D3．已知a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定//a b 的是A ．////a c b c ，；B ．12a c =，2bc =；C ．2a b =；D ．a b =.4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot α，那么锐角α= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9ADBCEP FH第6题图第4题图10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么1y ▲ 2y ．（填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M 、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .ABC第15题图31°第16题图第14题图20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量a 、b 表示向量AF ．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =；（2）求证：22AC AE AD =⋅.第21题图ABCD第20题图第23题图A CDE30º 45º 第22题图A B C DFEM24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形，求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒．（1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4 （本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分）（2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分）同理GF =7. ······················································································· （1分）又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分）∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分）（2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分）在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分）（2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC =. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5. 设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC∠=得BC =x . ················· （2分）又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC∠=得AC=. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分） ∴x=20. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF=56.1≈米. ····················································· （2分）答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分）又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分）（2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CD BC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分）又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分）∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH ∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH =，................................. （2分）在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-===，................................... （1分）（2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH =，.∴在Rt PCH∆中，142CH x PC=-==，........... （1分）设PC与对角线BD交于点G. ∵AB//CD，∴BP PG BG xCD===.∴BG CG=···················································（1分）∵∠ABD=∠PCQ，又∠PGC=∠QGC，∴△PBG∽△QCG.∴PB BGCQ CG=，∴xy···················································（1分）∴y=08x≤<）. ······················································（2分）（3）i）当点P在射线BA上，点E在边BC的延长线时.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠PBQ=∠QBC=1302ABC∠=︒.∵△PBG∽△QCG，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ=∠BGC，∴△PGQ∽△BGC.∴∠QPG=∠QBC30=︒，又∠PBQ=∠PCQ30=︒，∴60CQE QPC QCP∠=∠+∠=︒.∴60CQE PBC∠=∠=︒. ····································································（1分）∵PCB E∠>∠，∴PCB QCE∠=∠.又180PCB QCE PCQ∠+∠+∠=︒，∠PCQ30=︒，∴75PCB QCE∠=∠=︒.过C作CN BP⊥，垂足为点N，∴在Rt CBN∆中，2BN CN==，∴在Rt PCN∆中，PN CN==∴2BP=. ................................................................................................................. （2分）ii）当点P在边AB的延长线上，点E在边BC上时，同理可得2BP=. ...... （3分）。

上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析

上海市杨浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2 050 000平方公里，约占全国面积的21% .将2 050 000用科学记数法表示应为（） A ．205万B ．420510⨯C ．62.0510⨯D ．72.0510⨯3．下列运算正确的是（） A ．5ab ﹣ab=4 B ．a 6÷a 2=a 4 C ．112a b ab+= D ．（a 2b ）3=a 5b 34．某校航模小分队年龄情况如表所示，则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）年龄（岁） 12 13 14 15 16 人数 12252A ．2，14岁B ．2，15岁C ．19岁，20岁D ．15岁，15岁5． “保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）月用水量（吨） 4 5 6 9 户数（户） 3421A ．中位数是5吨B ．众数是5吨C ．极差是3吨D ．平均数是5.3吨6．3 1-的值是（）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣37．若()292m m --=1，则符合条件的m 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣39．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣2﹣3）B．（﹣4，﹣2+3）C．（﹣2，﹣2+3）D．（﹣2，﹣2﹣3）10．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（）A．25πcm B．210πcm C．215πcm D．220πcm11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是AB的中点，若OM＝4，AB＝6，则BD 的长为（）A．4 B．5 C．8 D．1012．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（）A．13B．23C．12D．25二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．下列结论①BE平分∠ABC；②AE=BE=BC；③△BEC周长等于AC+BC；④E点是AC的中点．其中正确的结论有_____（填序号）14．如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将»AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的»AB 上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD ，EO ．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD 是等边三角形，③EO 的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）15．如果2()a xb x +=+v v v v，那么=_____（用向量a r ，b r 表示向量x r ）． 16．用换元法解方程221231x x x x +-=+时，如果设21x y x +=，那么原方程化成以y 为“元”的方程是________．17．为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是_____． 18．不等式组2332x x -<⎧⎨+<⎩的解集是 _____________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．求甲乙两件服装的进价各是多少元；由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．20．（6分）如图，在▱ABCD 中，AB=4，AD=5，tanA=43，点P 从点A 出发，沿折线AB ﹣BC 以每秒1个单位长度的速度向中点C 运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交折线AD ﹣DC 于点Q ，将线段PQ 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PR ，连接QR ．设△PQR 与▱ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）．（1）当点R 与点B 重合时，求t 的值；（2）当点P 在BC 边上运动时，求线段PQ 的长（用含有t 的代数式表示）；（3）当点R落在▱ABCD的外部时，求S与t的函数关系式；（4）直接写出点P运动过程中，△PCD是等腰三角形时所有的t值．21．（6分）如图，已知∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE与BD相交于点O．求证：EC=ED．22．（8分）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；若∠1=40°，求∠BDE的度数．23．（8分）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点，点D是弧BC中点，过点D作⊙O切线DF，连接AC并延长交DF于点E．（1）求证：AE⊥EF；（2）若圆的半径为5，BD＝6 求AE的长度．24．（10分）解不等式组：2(2)3{3122x xx+>-≥-，并将它的解集在数轴上表示出来.25．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于点G 、H ，如果BG ：GH ：HC ＝2：4：1．求ADEFGHS S △△的值．26．（12分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B=600，CD是⊙O 的直径，点P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC ．（1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若3，求⊙O 的直径．27．（12分）在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．用树状图或列表法求出小王去的概率；小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B 错误；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C 正确；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 错误；故选：C. 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断. 2．C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】2 050 000将小数点向左移6位得到2.05，所以2 050 000用科学记数法表示为：20.5×106，故选C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 3．B 【解析】【分析】由整数指数幂和分式的运算的法则计算可得答案. 【详解】A 项, 根据单项式的减法法则可得:5ab-ab=4ab,故A 项错误;B 项, 根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可得: a 6÷a 2=a 4，故B 项正确;C 项,根据分式的加法法则可得:11a b a b ab++=,故C 项错误; D 项, 根据 “积的乘方等于乘方的积” 可得:2363()a b a b =,故D 项错误; 故本题正确答案为B. 【点睛】幂的运算法则:(1) 同底数幂的乘法: ·m n m n a a a +=(m 、n 都是正整数) (2)幂的乘方:()m n mn a a =(m 、n 都是正整数) (3)积的乘方:()n n n ab a b = (n 是正整数)(4)同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=(a≠0,m 、n 都是正整数,且m>n)(5)零次幂:01a=(a≠0)(6) 负整数次幂:1ppaa-=(a≠0, p是正整数).4．D【解析】【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【详解】解：数据1出现了5次，最多，故为众数为1；按大小排列第6和第7个数均是1，所以中位数是1．故选D．【点睛】本题主要考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．5．C【解析】【分析】根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．【详解】解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；C、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；D、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．6．B【解析】【分析】直接利用立方根的定义化简得出答案．【详解】因为（-1）3=-1，31-=﹣1．故选：B．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．,7．C【解析】【分析】根据有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法得出两个有关m的等式，即可得出.【详解】Q()29m--=12m∴m2-9=0或m-2= ±1即m= ±3或m=3,m=1∴m有3个值故答案选C.【点睛】本题考查的知识点是有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是熟练的掌握有理数的乘方及解一元二次方程-直接开平方法.8．A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.【详解】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，解得b=4.故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.9．D【解析】解：作AD⊥BC，并作出把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°后所得△A1BC1，如图所示．∵AC=2，∠ABC=10°，∴BC=4，∴AB=23，∴AD=AB ACBC⋅=232⨯=3，∴BD=2ABBC=223（）=1．∵点B坐标为（1，0），∴A点的坐标为（4，3）．∵BD=1，∴BD1=1，∴D1坐标为（﹣2，0），∴A1坐标为（﹣2，﹣3）．∵再向下平移2个单位，∴A′的坐标为（﹣2，﹣3﹣2）．故选D．点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．10．B【解析】试题解析：∵AC=10，∴AO=BO=5，∵∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∵矩形的对角线把矩形分成了四个面积相等的三角形，∴阴影部分的面积=扇形AOD的面积+扇形BOC的面积=2扇形BOC的面积=27252360π⨯⨯=10π ．故选B．11．D【解析】【分析】利用三角形中位线定理求得AD的长度，然后由勾股定理来求BD的长度．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴∠BAD=90°，点O是线段BD的中点，∵点M是AB的中点，∴OM是△ABD的中位线，∴AD=2OM=1．∴在直角△ABD中，由勾股定理知：2222AD AB=86=10++．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理和矩形的性质，利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键．12．B 【解析】【分析】本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算. 【详解】①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为23，第二次，摸到白球的概率为12，则有211323⨯＝；②若第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为13，第二次摸到白球的概率为1，则有11133⨯＝，则两次摸到的球的颜色不同的概率为112333+＝. 【点睛】掌握分类讨论的方法是本题解题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．①②③ 【解析】试题分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC 、∠C 的度数，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB ，根据等腰三角形的判定定理和三角形的周长公式计算即可．解：∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴EA=EB ，∴∠EBA=∠A=36°， ∴∠EBC=36°， ∴∠EBA=∠EBC ，∴BE 平分∠ABC ，①正确； ∠BEC=∠EBA+∠A=72°， ∴∠BEC=∠C ， ∴BE=BC ，∴AE=BE=BC ，②正确；△BEC 周长=BC+CE+BE=BC+CE+EA=AC+BC ，③正确； ∵BE ＞EC ，AE=BE ， ∴AE ＞EC ，∴点E 不是AC 的中点，④错误，故答案为①②③．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．14．①②【解析】【分析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．【详解】如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．由题知：»AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O∴OF=OA=12OB∴∠AOF=∠BOF=60°∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，①②正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE 和EF∵△ACD 是等边三角形，E 是CD 中点∴AE ⊥BD （三线合一）又∵OF ⊥AB∴F 是AB 中点即，EF 是△ABE 斜边中线∴AF=EF=BF即，E 点在以AB 为直径的圆上运动．所以，如图3，当E 、O 、F 在同一直线时，OE 长度最小此时，AE=EF ，AE ⊥EF∵⊙O 的半径是2，即OA=2，OF=1∴3（勾股定理）∴3所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案是：①②．【点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 15．2b a -v v【解析】 ∵2(a r +x r )=b r +x r ,∴2a r +2x r =b r +x r ,∴x r =b r -2a r ,故答案为2b a -v v.点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.16．y-23y= 【解析】分析：根据换元法，可得答案．详解：21x x +﹣221x x +=1时，如果设21x x +=y ，那么原方程化成以y 为“元”的方程是y ﹣2y =1．故答案为y ﹣2y=1．点睛：本题考查了换元法解分式方程，把21x x +换元为y 是解题的关键． 17．13【解析】【分析】将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39＝13．故答案为：13．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．x ＜－1【解析】2332x x -<⎧⎨+<⎩①②解不等式①得:x<5,解不等式②得:x<-1所以不等式组的解集是x<-1.故答案是:x<-1.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）甲服装的进价为300元、乙服装的进价为1元．（2）每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）乙服装的定价至少为296元．【解析】【分析】（1）若设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元．根据公式：总利润=总售价-总进价，即可列出方程．（2）利用乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，利用增长率公式求出即可；（3）利用每件乙服装进价按平均增长率再次上调，再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元），进而利用不等式求出即可．【详解】（1）设甲服装的成本为x 元，则乙服装的成本为（500-x ）元，根据题意得：90%•（1+30%）x+90%•（1+20%）（500-x ）-500=67，解得：x=300，500-x=1．答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为1元．（2）∵乙服装的成本为1元，经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，∴设每件乙服装进价的平均增长率为y ，则 22001y 242（）+=，解得：1y =0.1=10%，2y =-2.1（不合题意，舍去）．答：每件乙服装进价的平均增长率为10%；（3）∵每件乙服装进价按平均增长率再次上调∴再次上调价格为：242×（1+10%）=266.2（元）∵商场仍按9折出售，设定价为a 元时0.9a-266.2＞0解得：a＞2662295.8 9故定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．考点：一元二次方程的应用，不等式的应用，打折销售问题20．（1）127；（2）45（9﹣t）；（3）①S =﹣23t2+163t﹣327；②S=﹣27t2+1．③S=24175（9﹣t）2;（3）3或215或4或173．【解析】【分析】（1）根据题意点R与点B重合时t+43t=3，即可求出t的值；（2）根据题意运用t表示出PQ即可；（3）当点R落在□ABCD的外部时可得出t的取值范围，再根据等量关系列出函数关系式；（3）根据等腰三角形的性质即可得出结论.【详解】解：（1）∵将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，∴PQ=PR，∠QPR=90°，∴△QPR为等腰直角三角形．当运动时间为t秒时，AP=t，PQ=PQ=AP•tanA=43t．∵点R与点B重合，∴AP+PR=t+43t=AB=3，解得：t=127．（2）当点P在BC边上时，3≤t≤9，CP=9﹣t，∵tanA=43，∴tanC=43，sinC=45，∴PQ=CP•sinC=45（9﹣t）．（3）①如图1中，当127＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．作KM⊥AR于M．∵△KBR∽△QAR，∴KMQP=BRAR，∴KM4t3=74373tt，∴KM=47（73t﹣3）=43t﹣167，∴S=S△PQR﹣S△KBR=12×（43t）2﹣12×（73t﹣3）（43t﹣167）=﹣23t2+163t﹣327．②如图2中，当3＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．S=S△PQR﹣S△KBR=12×3×3﹣12×t×47t=﹣27t2+1．③如图3中，当3＜t＜9时，重叠部分是△PQK．S=47•S △PQC =47×12×35（9﹣t ）•45（9﹣t ）=24175（9﹣t ）2．（3）如图3中，①当DC=DP 1=3时，易知AP 1=3，t=3．②当DC=DP 2时，CP 2=2•CD•324=55， ∴BP 2=15， ∴t=3+121=55． ③当CD=CP 3时，t=4．④当CP 3=DP 3时，CP 3=2÷310=53， ∴t=9﹣103=173．综上所述，满足条件的t 的值为3或215或4或173．【点睛】本题考查四边形综合题、动点问题、平行四边形的性质、多边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 21．见解析【解析】【分析】由∠1=∠2，可得∠BED=∠AEC ，根据利用ASA 可判定△BED ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可得证.【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠AED=∠2+∠AED ，即∠BED=∠AEC ，在△BED 和△AEC 中，，∴△BED ≌△AEC （ASA ），∴ED=EC ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．22．（1）见解析；（1）70°．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC ≌△BED ；（1）由（1）可知：EC=ED ，∠C=∠BDE ，根据等腰三角形的性质即可知∠C 的度数，从而可求出∠BDE 的度数.【详解】证明：（1）∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠1．又∵∠1=∠1，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEC ≌△BED （ASA ）．（1）∵△AEC ≌△BED ，∴EC=ED ，∠C=∠BDE ．在△EDC 中，∵EC=ED ，∠1=40°，∴∠C=∠EDC=70°，∴∠BDE=∠C=70°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质.23．（1）详见解析；（2）AE ＝6.1．【解析】【分析】(1)连接OD ，利用切线的性质和三角形的内角和证明OD ∥EA ，即可证得结论；(2)利用相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】(1)连接OD ，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵点D是弧BC中点，∴∠EAD=∠OAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥EA，∴AE⊥EF；(2)∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵圆的半径为5，BD=6∴AB=10，BD=6，在Rt△ADB中，22221068AD AB BD-=-=，∵∠EAD=∠DAB，∠AED=∠ADB=90°，∴△AED∽△ADB，∴AD AE AB AD=，即8108AE=，解得：AE=6.1．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及圆周角定理，关键是利用切线的性质和相似三角形判定和性质进行解答．24．-1≤x<4,在数轴上表示见解析.【解析】试题分析: 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．试题解析:() 223{3x122x x+>-≥-①②，由①得，x<4；由②得，x⩾−1.故不等式组的解集为：−1⩽x<4.在数轴上表示为：25．2516【解析】【分析】先根据平行线的性质证明△ADE∽△FGH，再由线段DF=BG、FE=HC及BG︰GH︰HC=2︰4︰1，可求得ADEFGHSS∆∆的值.【详解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B,∵FG∥AB，∴∠FGH=∠B,∴∠ADE=∠FGH,同理：∠AED=∠FHG,∴△ADE∽△FGH,∴2ADEFGHS DES GH∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵DE∥BC ，FG∥AB，∴DF=BG,同理：FE=HC,∵BG︰GH︰HC=2︰4︰1，∴设BG=2k，GH=4k，HC=1k,∴DF=2k，FE=1k，∴DE=5k,∴2525416ADEFGHS kS k∆∆⎛⎫==⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形相似的判定和相似比.26．（1）见解析（2）23【解析】解：（1）证明：连接OA，∵∠B=600，∴∠AOC=2∠B=1．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=2．又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=2．∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=3．∴OA⊥PA．∵OA是⊙O的半径，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=2，∴PO=2OA=OD+PD．又∵OA=OD，∴PD=OA．∵PD=3，∴2OA=2PD=23．∴⊙O的直径为23．．（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=2，再由AP=AC得出∠P=2，继而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论．（2）利用含2的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP﹣PD=OD，再由PD=3，可得出⊙O的直径．27．（1）12；（2）规则是公平的；【解析】试题分析：（1）先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据概率公式求解即可；（2）分别计算出小王和小李去植树的概率即可知道规则是否公平．试题解析：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出的球上的数字之和小于6的情况有9种，所以P（小王）=34；（2）不公平，理由如下：∵P（小王）=34，P（小李）=14，34≠14，∴规则不公平．点睛：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷-解析版

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列四条线段能成比例线段的是()A. 1，1，2，3B. 1，2，3，4C. 2，2，3，3D. 2，3，4，52.如果a：b=3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于()A. 4：3B. 3：4C. 2：3D. 3：23.如果△ABC中，∠C=90°，sinA=12，那么下列等式不正确的是()A. cosA=√22B. cotA=√3 C. sinB=√32D. tanB=√34.下列关于向量的运算中，正确的是()A. a⃗−b⃗ =b⃗ −a⃗B. −2(a⃗−b⃗ )=−2a⃗+2b⃗C. a⃗+(−a⃗ )=0D. 0+a⃗=a⃗5.x…−121212…y…−34321463…A. x=0B. x=12C. x=34D. x=16.如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值不可能为()A. 23B. 34C. 45D. 56二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果xx−y =53，那么xy=______．8.等边三角形的中位线与高之比为______．9.如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为______．10.在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=1，如果△ABC∽△ADE，那么AE=______．11.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为______．12.如果开口向下的抛物线y=ax2+5x+4−a2(a≠0)过原点，那么a的值是______．13.如果抛物线y=−2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b______0(填入“<”或“>”)．14.已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在抛物线y=x2+2x+m上，如果0<x1<x2，那么y1______y2(填入“<”或“>”)．15.如图，AG//BC，如果AF：FB=3：5，BC：CD=3：2，那么AE：EC=______．16. 如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度i =1：5，则AC 的长度是______cm ．17. 如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上时，抛物线C 2的顶点也在抛物线C 1上，此时我们称抛物线C 1与C 2是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y =2x 2是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是______(只需写出一个)．18. Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =2，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 如图，已知▱ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD的中点，CE 交BD 于点G ．(1)求OGDG 的值；(2)如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示GO⃗⃗⃗⃗⃗ ．20. 已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象过点(1,−2)和(−1,0)和(0,−32).(1)求此二次函数的解析式；(2)按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象(要求至少5点)．21. 如图，AD 是△ABC 的中线，tanB =15，cosC =√22，AC =√2.求：(1)BC 的长；(2)∠ADC 的正弦值．22. 某学生为测量一棵大树AH 及其树叶部分AB 的高度，将测角仪放在F 处测得大树顶端A 的仰角为30°，放在G 处测得大树顶端A 的仰角为60°，树叶部分下端B 的仰角为45°，已知点F 、G 与大树底部H 共线，点F 、G 相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH 和树叶部分的高度AB ．23. 已知：如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且∠ACD =∠B =∠BAE ．(1)求证：ADBC =DEAC ；(2)当点E 为CD 中点时，求证：AE 2CE 2=ABAD ．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,2)，．它的顶点为D(1,m)，且tan∠COD=13(1)求m的值及抛物线的表达式；(2)将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB.若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点(位于x轴上方)，且∠APB=45°.求P点的坐标．25.已知：梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，AB=6，DF⊥DC分别交射线AB、射线CB于点E、F．(1)当点E为边AB的中点时(如图1)，求BC的长；(2)当点E在边AB上时(如图2)，联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE=x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、1：2≠1：3，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；B、1：3≠2：4，则a：b≠c：d.故a，b，d，c不成比例；C、2：2=3：3，即b：a=c：d，故b，a，c，d成比例；D、2：4≠3：5，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例．故选：C．若a，b，c，d成比例，即有a：b=c：d.只要代入验证即可．本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中．2.【答案】D【解析】解：∵a：b=3：2，b是a和c的比例中项，即a：b=b：c，∴b：c=3：2．故选：D．根据比例中项的概念可得a：b=b：c，则可求得b：c的值．本题考查了比例中项的概念．在线段a，b，c中，若b2=ac，则b是a，c的比例中项．3.【答案】A【解析】解：设BC=1，∵△ABC中，∠C=90°，sinA=1，2∴AB=2，AC=√3，∴cosA=√3，故A选项错误；2cotA=√3，故B选项正确；sinB=√3，故C选项正确；2tanB=√3，故D选项正确；故选：A．，分四种情况讨论，即可得到结论．依据△ABC中，∠C=90°，sinA=12此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数的定义是解题关键．4.【答案】B【解析】解：A、a⃗−b⃗ =−b⃗ +a⃗，故本选项错误．B、−2(a⃗−b⃗ )=−2a⃗+2b⃗ ，故本选项正确．C、a⃗+(−a⃗ )=0⃗，故本选项错误．D、0⃗+a⃗=a⃗，故本选项错误．故选：B．根据平面向量的有关概念，判定选项中的计算是否正确即可．本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x=0、x=2时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线x=0+22=1．故选：D．由图表可知，x=0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．利用相似三角形的判定即可判断．【解答】解：∵以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，∴a：b=4：5或5：6或2：3或5：4或6：5或3：2，故选：B．7.【答案】52【解析】解：xx−y =53，x−y x =35，1−yx =35，y x =25，x y =52．故答案为：52．由xx−y =53可得x−yx=35，进一步得到1−yx=35，可求yx，进一步得到xy的值．考查了比例的性质，关键是得到1−yx =35．8.【答案】1：√3【解析】解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为√(2a)2 −a2 =√3a，所以等边三角形的中位线与高之比为a：√3a=1：√3，故答案为：1：√3．可设等边三角形的边长为2a，根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质以及勾股定理可分别求出中位线的长和高的长度即可求出其比值．本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．9.【答案】10【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：设较大三角形的周长为x，∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴4x =23，解得，x=6，∴这两个三角形的周长和为4+6=10，故答案为：10．10.【答案】53【解析】解：∵△ABC∽△ADE，∴ADAB =AEAC，即13=AE5，解得，AE=53，故答案为：53．根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．11.【答案】4【解析】解：作AD⊥BC于D，则点G在AD上，连接GC，∵AB=AC，AD⊥BC，∴CD=12BC=4，由勾股定理得，AD=√AC2−CD2=3，∵G为△ABC的重心，∴DG=13AD=1，∴cot∠GCB=CDDG=4，故答案为：4．根据等腰三角形的三线合一，勾股定理求出AD的长，利用重心的性质即可求出DG的长，利用余切的定义解答即可．本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．12.【答案】−2【解析】【分析】由抛物线开口向下及过原点，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出a的值．本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程是解题的关键．【解答】解：∵抛物线y=ax2+5x+4−a2(a≠0)过原点，且开口向下，∴{a<04−a2=0，解得：a=−2．故答案为−2．13.【答案】<【解析】解：由对称轴可知：x=b4<0，∴b<0，故答案为：<根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．14.【答案】<【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=−22=−1，当x>−1时，y随x的增大而增大，因为0<x1<x2，所以y1<y2．故答案为<．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15.【答案】3：2【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．由AG//BC，推出△AGF∽△BDF，推出AGBD =AFFB=35，设AG=3k，BD=5k，可得CD=2k，由AG//CD，推出△AGE∽△CDE，可得AECE =AGCD=3k2k=32．【解答】解：∵AG//BC，∴△AGF∽△BDF，∴AGBD =AFFB=35，设AG=3k，BD=5k，∵BCCD =32，∴CDBD=25∴CD=2k，∵AG//CD，∴△AGE∽△CDE，∴AECE =AGCD=3k2k=32，故答案为3：2．16.【答案】270【解析】解：由题意得，BH⊥AC，则BH=18×4=72，∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴CH=72×5=360，∴AC=360−30×3=270(cm)，故答案为：270．根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17.【答案】y=−2(x−1)2+2，(答案不唯一)【解析】解：由抛物线y=2x2可知顶点为(0,0)，设“互为关联”的抛物线为y=a(x−m)2+2m2，代入(0,0)求得a=−2，∴“互为关联”的抛物线为y=−2(x−m)2+2m2，故答案为y=−2(x−1)2+2，(答案不唯一)．首先求得抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标(0,0)，则“互为关联”的抛物线为y=−2(x−m)2+2m2，即可求得答案．此题以新定义的形式考查了二次函数解析式的确定，充分理解新定义的含义是解题的关键．18.【答案】2413【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，∴AD=AB，DE=BC，∠ADE=∠ABC，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2，∴AB=AD=√AC2+BC2=√13，∴BD=2BC=4，∠ABC=∠ACB，∵S△ABD=12AD⋅BD=12AC⋅BG，∴BG=12√1313，过E作EH⊥BD交BD的延长线于H，∵∠BAG=180°−∠ABC−∠ADB，∠EDH=180°−∠ADB−∠ADE，∴∠BAG=∠EDH，∵∠AGB =∠DHE =90°，∴△ABG∽△DEH ，∴AB DE =BG EH ， ∴√132=12√1313EH， ∴EH =2413，∴点E 到直线BC 的距离为：2413．故答案为：2413．过B 作BG ⊥AD 于G ，根据旋转的性质得到AD =AB ，DE =BC ，∠ADE =∠ABC ，根据勾股定理得到AB =AD =√AC 2+BC 2=√13，求得BG =12√1313，过E 作EH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD//BC ，OD =OB ，∵AE =DE ，∴BC =2DE ，∵DE//BC ，∴△DEG∽△BCG ，∴DG GB =DE BC =12，设DG =k ，GB =2k ，则BD =3k ，OB =OD =1.5k ，∴OG =0.5k ，∴OG DG =0.5k k =12． (2)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∵OG =16BD ，∴GO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16(b ⃗ −a ⃗ )=16a ⃗ −16b ⃗ ．【解析】(1)由△DEG∽△BCG ，可得DG GB =DE BC =12，设DG =k ，GB =2k ，则BD =3k ，OB =OD =1.5k ，推出OG =0.5k ，即可解决问题；(2)求出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据OG =16BD 即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)根据题意得{a +b +c =−2a −b +c =0c =−32，解得{a =12b =−1c =−32，所以此二次函数的解析式为y=12x2−x−32；(2)y=12x2−x−32=12(x−1)2−2，则抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−2)，当y=0时，12x2−x−32=0，解得x1=−1，x2=3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)；如图，【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)把三个已知点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；(2)先把一般式配成顶点式得到抛物线顶点坐标，再解方程12x2−x−32=0得到抛物线与x轴的交点坐标，然后描点即可．21.【答案】解：(1)如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cosC=√22=CHAC，AC=√2，∴CH=1，AH=√AC2−CH2=1，在Rt△ABH中，∵tanB=AHBH =15，∴BH=5，∴BC=BH+CH=6．(2)∵BD=CD，∴CD=3，DH=2，AD=√AD2+DH2=√5在Rt△ADH中，sin∠ADH=AHAD =√55．∴∠ADC的正弦值为√55．【解析】(1)如图，作AH ⊥BC 于H.在Rt △ACH 中，求出AH =CH =1，在Rt △ABH 中，求出BH 即可解决问题；(2)在Rt △ADH 中，求出DH ，AD 即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．22.【答案】解：由题意可得，∠AEC =30°，∠ADC =60°，∠BDC =45°，CH =DG =EF =1.5米，FG =ED =15米， ∵∠ADC =∠AED +∠EAD ，∴∠EAD =30°，∴∠EAD =∠AED ，∴ED =AD ，∴AD =15米，∵∠ADC =60°，∠ACD =90°，∴∠DAC =30°，∴DC =152米，AC =15√32米， ∴AH =AC +CH =15√32+32=15√3+32米，∵∠BDC =45°，∠BCD =90°，∴∠DBC =45°，∴∠BDC =∠DBC ，∴BC =CD =152米，∴AB =AC −BC =15√32−152=15√3−152米，即AH =15√3+32米，AB =15√3−152米．【解析】根据题意和图形，可以求得AD 、AC 、BC 的长，从而可以求得该树的高度AH 和树叶部分的高度AB ，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23.【答案】证明：(1)∵∠ACD =∠B =∠BAE ，∠BAC =∠BAE +∠CAE ，∠AED =∠ACD +∠CAE ，∴∠AED =∠BAC ，∵∠DAE =∠B ，∴△AED∽△BAC ，∴AD BC =DE AC ．(2)∵∠ADE =∠CDA ，∠DAE =∠ACD ，∴△DAE∽△DCA ，∴AE AC =DE AD ，∵DE =EC ，∴AE CE =AC AD ，∴AE 2CE 2=AC 2AD 2，∵∠DAC=∠BAC，∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC2=AD⋅AB，∴AE2EC2=AD⋅ABAD2=ABAD．【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)欲证明：ADBC =DEAC，只要证明△AED∽△BAC即可解决问题；(2)由△DAE∽△DCA，推出AEAC =DEAD，由DE=EC，可得AECE=ACAD，推出AE2CE2=AC2AD2，再证明AC2=AD⋅AB即可解决问题；24.【答案】解：(1)顶点为D(1,m)，且tan∠COD=13，则m=3，则抛物线的表达式为：y=a(x−1)2+3，即：a+3=2，解得：a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+2；(2)设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y=−x2+2x+2+n，令y=0，则x=1+√n+3，令x=0，则y=2+n，∵OA=OB，∴1+√n+3=2+n，解得：n=1或−2(舍去−2)，则点A的坐标为(3,0)，故点E(3,−1)；(3)过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G，∵OA=OB=3，则过点G作圆G，圆与x、y轴均相切，∵∠BPA=45°=12∠BOA，故点P在圆G上，过点P作PF⊥x轴交BG于点E，交x轴于点F，则四边形AGBO为边长为3的正方形，四边形AGEF为矩形则：PF=EF+PE=3+√PG2−EG2=3+√9−4=3+√5．【解析】本题考查了二次函数的综合题，涉及到一次函数、圆的基本等知识点，其中(3)，构建圆G是本题的突破点，本题有一点难度．(1)顶点为D(1,m)，且tan∠COD=13，则m=3，则抛物线的表达式为：y=a(x−1)2+3，即可求解；(2)设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y=−x2+2x+2+n，求出OA、OB，即可求解；(3)过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G，OA=OB=3，则过点G作圆G，圆与x、y轴均相切，∠BPA=45°=12∠BOA，故点P在圆G上，即可求解．25.【答案】解：(1)如图1中，∵AD//BC，AB⊥BC，∴∠ABC=∠A=90°，∵AE=EB=3，AD=3，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=∠BEF=∠F=45°，∴EF=DE=3√2，FB=3，∵DF⊥DC，∴∠FDC=90°，∴∠C=∠F=45°，∴DF=DC=6√2，∴CF=√2DC=12，∴BC=CF−BF=12−3=9．(2)结论：：∠DCE的大小是定值．理由：如图2中，连接BD.取EC的中点O，连接OD，OB．∵∠EBC=∠EDC=90°，EO=OC，∴OD=OE=OC=OB，∴E，B，C，D四点共圆，∴∠DCE=∠ABD，∵在Rt△ADE中，tan∠ABD=ADBD =12，∴∠ABD的大小是定值，∴∠DCE的大小是定值，∴tan∠DCE=12．(3)如图2−1中，连接AF．设AE=x，FB=y，EB=m，∵S△AEF=12⋅AE⋅FB=3，∴xy=6，∵AD//FB，∴AEEB =ADFB，∴xm =3y，∴xy=3m，∴6=3m，∴m=2，∴EB=2，AE=4，在Rt△AED中，DE=√32+42=5，在Rt△DEC中，∵tan∠DCE=DEDC =12，∴DC=10，∴S△DEC=12⋅DE⋅DC=12×5×10=25．【解析】(1)证明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解决问题．(2)如图2中，连接BD.取EC的中点O，连接OD，OB.证明E，B，C，D四点共圆，可得∠DCE=∠ABD即可解决问题．(3)如图2−1中，连接AF.设AE=x，FB=y，EB=m，由S△AEF=12⋅AE⋅FB=3，推出xy=6，由AD//FB，推出AEEB =ADFB，推出xm=3y，可得xy=3m，推出6=3m，推出m=2，可得EB=2，AE=4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了平行线分线段成比例，四点共圆，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．。

2019学年杨浦初三数学一模试卷含答案

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷含答案解析

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣22．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( ) A．B．C．D．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=__________．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=__________．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC 平行，那么BE=__________．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是__________cm．11．如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=__________．12．计算：sin60°﹣cot30°=__________13．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=__________．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为__________．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线__________．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1__________y2（填“＜”或者“＞”）17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为__________．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是__________．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x …﹣1 0 2 4 …y …﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）1．将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是( )A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2C．y=2（x﹣2）2D．y=2x2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（0，2），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+2．故选A．【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2．以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )A．斜边长分别是10和5的两直角三角形B．腰长分别是10和5的两等腰三角形C．边长分别是10和5的两个菱形D．边长分别是10和5的两个正方形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，所以不一定属于互相放缩关系，A不正确；腰长分别是10和5的两等腰三角形不一定属于互相放缩关系，B不正确；边长分别是10和5的两个菱形不一定属于互相放缩关系，C不正确；边长分别是10和5的两个正方形属于互相放缩关系，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，形状相同的图形称为相似形．3．如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点，，，那么等于( )A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先由在△ABC中，D是边BC的中点，可求得，然后由三角形法则求得．【解答】解：∵在△ABC中，D是边BC的中点，∴==，∴=﹣=﹣．故选B．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．4．坡度等于1：的斜坡的坡角等于( )A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．故选A．【点评】本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．5．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是( )A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且【考点】相似三角形的判定．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是( )A．B．C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】探究型．【分析】根据函数y=ax2+bx+a+b（a≠0），对a、b的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题．【解答】解：在函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）中，当a＜0，b＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，一定经过点（0，a+b），点（0，a+b）一定在y轴的负半轴，故选项A、B错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（1，0），则a+b+a+b=0，得a与b互为相反数，则y=ax2﹣ax=ax（x﹣1），则该函数与x轴的两个交点是（0，0）或（1，0），故选项D错误；当a＞0，b＜0时，若函数过点（0，1），则a+b=1，只要a、b满足和为1即可，故选项C 正确；故选C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题．二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）7．如果，那么=．【考点】比例的性质．【分析】先由已知条件可得2y=3（x﹣y），整理后再根据比例的性质即可求得的值．【解答】解：∵，∴2y=3（x﹣y），整理，得3x=5y，∴=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若a：b=c：d，则ad=bc．8．如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=1：2．【考点】三角形的重心．【分析】连接AG并延长，交BC于H．先根据重心的性质，得出AG=2GH．再由平行线分线段成比例定理，得出CF：BF=CE：AE=GH：AG=1：2．【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于H．∵点G为△ABC的重心，∴AG=2GH．∵DE∥BC，∴CE：AE=GH：AG=1：2，∵EF∥AB，∴CF：BF=CE：AE=1：2．故答案为1：2．【点评】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等．三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．9．已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE和AC 平行，那么BE=2．【考点】平行线分线段成比例；相似多边形的性质；相似三角形的性质．【分析】求出=，根据相似三角形的判定得出△BED∽△BCA，推出∠BED=∠C，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：BE=2，理由是：如图：∵AD=2，DB=1，∴AB=2+1=3，∵BC=6，BE=2，∴=，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴∠BED=∠C，∴DE∥AC．故答案为：2．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，能推出△BED∽△BCA是解此题的关键．10．如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是5cm．【考点】相似三角形的性质．【专题】计算题．【分析】设△DEF的最短边为x，由△ABC的三边之比为3：4：6，则可设△ABC的三边分别为3a，4a，6a，由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质得到3a：x=6a：10，即可求出x=5．【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，∵△ABC与△DEF相似，∴3a：x=6a：10，∴x=5，即△DEF的最短边是5cm．故答案为5．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．11．如果AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，那么=﹣．【考点】*平面向量．【分析】由AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，可得2=﹣3，继而求得答案．【解答】解：∵AB∥CD，2AB=3CD，与的方向相反，∴2=﹣3，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到2=﹣3是解此题的关键．12．计算：sin60°﹣cot30°=【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：原式=﹣=﹣．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．13．在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=2．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【解答】解：sinA==，得BC=AB×=6×=2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为5．【考点】二次函数的三种形式．【分析】把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+4+1=x2﹣4x+5，∴c的值为5．故答案是：5．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．15．抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣进行计算．【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=﹣=1．故答案为x=1．【点评】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运用配方法求解．16．如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1＜y2（填“＜”或者“＞”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x 的增大而减小，可判断y1＜y2．【解答】解：∵二次函数y=x2+m中a=1＞0，∴抛物线开口向上．∵x=﹣=0，﹣1＜﹣2，∴A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x=﹣1，且与y 轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为y=﹣x2﹣2x﹣1．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，﹣=﹣1，c＜0，由此举例得出答案即可．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=﹣1；∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，得b=2a=﹣2；∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=﹣1；∴函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣；当a＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．18．如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理得出MF=BE，由翻折变换的性质得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位线定理得出DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=AM=2a，即可得出结果．【解答】解：设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，如图所示：∵M为BC的中点，∴F为CE的中点，∴MF为△BCE的中位线，∴MF=BE，由翻折变换的性质得：AM⊥BE，AD=MD，同理：DE是△AMF的中位线，∴DE=MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，∴BD=3a，MD=AM=2a，∵∠BDM=90°，∴tan∠EBC===．故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=BE，DE=MF是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19．如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．【解答】解：=+3﹣﹣=﹣+2．如图：=2，=﹣，则=﹣+2，即即为所求．【点评】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形法则是关键．20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x …﹣1 0 2 4 …y …﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）把x=4，y=m代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标．【解答】解：（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．21．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：（1）AF：FC的值；（2）EF：BF的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．（1）延长BE交直线AD于H，如图，先由AD∥BC得到△DEH∽△CEB，则有=，【分析】易得DH=BC，加上BC=2AD，所以AH=3AD，然后证明△AHF∽△CFB，再利用相似比可计算出AF：FC的值；（2）由△DEH∽△CEB得到EH：BE=DE：CE=1：1，则BE=EH=BH，由△AHF∽△CFB得到FH：BF=AF：FC=3：2；于是可设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，EH=a，接着可计算出EF=FH﹣EH=a，然后计算EF：BF的值．【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，∵AD∥BC，∴△DEH∽△CEB，∴=，∵点E为边DC的中点，∴DE=CE，∴DH=BC，而BC=2AD，∴AH=3AD，∵AH∥BC，∴△AHF∽△CFB，∴AF：FC=AH：BC=3：2；（2）∵△DEH∽△CEB，∴EH：BE=DE：CE=1：1，∴BE=EH=BH，∵△AHF∽△CFB，∴FH：BF=AF：FC=3：2；设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，∴EH=a，∴EF=FH﹣EH=3a﹣a=a，∴EF：BF=a：2a=1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求：（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】（1）将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长即可．（2）根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x•tanβ即可求得．【解答】解：（1）设CG=xm，由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ，则（x+20）tanα+33=xtanβ，解得x=；（2）x===55，则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC的中点时，求证：．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，则根据相似三角形的性质得=，然后利用等线段代换即可得到．【解答】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴△BAC∽△BCF，∵DE∥BC，∴△BCF∽△DGF，∴△DGF∽△BAC，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴△AHF∽△DGF，∴=，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），将A、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的表达式为y=﹣x+4；（2）PQ=2AO=8，又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；（3）∠MCO=∠CAB=45°，①当△MCO∽△CAB时，=，即=，CM=．如图1，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，当x=﹣时，y=﹣+4=，∴M（﹣，）；当△OCM∽△CAB时，=，即=，解得CM=3，如图2，过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，当x=3时，y=﹣3+4=1，∴M（﹣3，1），综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出P、Q关于直线x=﹣1对称是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形得出CM的长是解题关键．25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【考点】相似形综合题．【分析】（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，由菱形的性质得出AO=OC=3，BO=4，由△ABC的面积求出AH=，由勾股定理得出BH，即可得出结果；（2）由菱形的性质得出∠FAC=∠ACB，证出△ABC∽△ECF，得出对应边成比例=，求出EF，由平行线得出△MBC∽△MAF，得出==，即可得出结果；（3）作EM⊥BC于M，作EG∥BC交CF于G，由（1）知cos∠B=，BE=x，得出BM=x，由勾股定理得出EM=x，CE==，由平行线得出∠GEC=∠ECB，，证出△BCE∽△CEG，得出对应边成比例，得出EG==，代入比例式即可得出y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，如图1所示：则AO=OC=3，BO=4，∵S△ABC=BC×AH=AC×BO=×6×4=12，∴×5×AH=12，解得：AH=，由勾股定理得：BH===，∴cos∠B===；（2）当点E与点A重合时，符合题意的图形，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠FAC=∠ACB，∵∠ECF=∠B，∴△ABC∽△ECF，∴=，即=，解得：EF=，∵BC∥AF，∴△MBC∽△MAF，∴===，∴=，解得：BM=；（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如图3所示：由（1）知cos∠B=，BE=x，∴BH=x，EH===x，∴CE===，∵EG∥BC，∴∠GEC=∠ECB，，∴△BCE∽△CEG，∴，则EG==，∴，整理得：y=，即y关于x的函数解析式为y=（＜x≤5）．【点评】本题是相似形综合题目，考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要运用勾股定理和证明三角形相似得出比例式才能得出结果．。

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷试题及答案(解析版)

2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列四条线段能成比例线段的是( ) A ．1，1，2，3B ．1，2，3，4C ．2，2，3，3D ．2，3，4，52．如果:3:2a b =，且b 是a 、c 的比例中项，那么:b c 等于( ) A ．4:3B ．3:4C ．2:3D ．3:23．如果ABC ∆中，90C ∠=︒，1sin 2A =，那么下列等式不正确的是( )A ．cos AB ．cot A =C ．sin B =D ．tan B =4．下列关于向量的运算中，正确的是( ) A ．a b b a -=- B ．2()22a b a b --=-+ C ．()0a a +-=D ．0a a +=5．如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( ) A ．0x =B ．12x =C ．34x =D ．1x =6．如果以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为( ) A ．23B ．34C ．45D ．56二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果53x x y =-，那么xy= ． 8．等边三角形的中位线与高之比为．9．如果两个相似三角形的面积比为4:9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为．10．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，6BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1AD =，如果ABC ADE ∆∆∽，那么AE = ．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，如果点G 为重心，那么GCB ∠的余切值为． 12．如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，那么a 的值是． 13．如果抛物线22y x bx c =-++的对称轴在y 轴的左侧，那么b 0（填入“<”或“>” ）． 14．已知点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y 2y （填入“<”或“>” ）． 15．如图，//AG BC ，如果:3:5AF FB =，:3:2BC CD =，那么:AE EC = ．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．17．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上时，抛物线2C 的顶点也在抛物线1C 上，此时我们称抛物线1C 与2C 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线22y x =是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是（只需写出一个）．18．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．如图，已知ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G ．（1）求OGDG的值；（2）如果设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GO ．20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点(1,2)-和(1,0)-和3(0,)2-．（1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 5B =，cosC =，AC =（1）BC 的长；（2）ADC ∠的正弦值．22．某学生为测量一棵大树AH 及其树叶部分AB 的高度，将测角仪放在F 处测得大树顶端A 的仰角为30︒，放在G 处测得大树顶端A 的仰角为60︒，树叶部分下端B 的仰角为45︒，已知点F 、G 与大树底部H 共线，点F 、G 相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH 和树叶部分的高度AB ．23．已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且ACD B BAE ∠=∠=∠．（1）求证：AD DEBC AC=；（2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE ABCE AD=．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=．（1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =．若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒．求P 点的坐标．25．已知：梯形ABCD中，//⊥分别交射AD=，6AB=，DF DCAD BC，AB BC⊥，3线AB、射线CB于点E、F．（1）当点E为边AB的中点时（如图1)，求BC的长；（2）当点E在边AB上时（如图2)，联结CE，试问：DCE∠的大小是否确定？若确定，请求出DCE∠的正切值为y，请求出y关于x的∠的正切值；若不确定，则设AE x=，DCE函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF∆的面积为3时，求DCE∆的面积．2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列四条线段能成比例线段的是()A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，2，3，3D．2，3，4，5【解答】解：A、1:21:3≠，则::a b c d≠，即a，b，c，d不成比例；B、1:32:4≠，则::a b c d≠．故a，b，d，c不成比例；C、2:23:3=，即::b ac d=，故b，a，c，d成比例；D、2:43:5≠，则::a b c d≠，即a，b，c，d不成比例．故选：C．2．如果:3:2a b=，且b是a、c的比例中项，那么:b c等于()A．4:3B．3:4C．2:3D．3:2【解答】解：:3:2a b=，b是a和c的比例中项，即::a b b c=，:3:2b c∴=．故选：D．3．如果ABC∆中，90C∠=︒，1sin2A=，那么下列等式不正确的是()A．cos A B．cot A=C．sin B=D．tan B=【解答】解：设1BC=，ABC∆中，90C∠=︒，1 sin2A=，2AB∴=，AC=，cos A∴=A选项错误；cot A=，故B选项正确；sin B=，故C选项正确；tan B=，故D选项正确；故选：A．4．下列关于向量的运算中，正确的是( ) A ．a b b a -=- B ．2()22a b a b --=-+ C ．()0a a +-=D ．0a a +=【解答】解：A 、a b b a -=-+，故本选项错误． B 、2()22a b a b --=-+，故本选项正确． C 、()0a a +-=，故本选项错误．D 、0a a +=，故本选项错误．故选：B ．5．如果二次函数中函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( ) A ．0x = B ．12x =C ．34x =D ．1x =【解答】解：0x =、2x =时的函数值都是3相等，∴此函数图象的对称轴为直线0212x +==．故选：D ．6．如果以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a 与b 的比值不可能为( ) A ．23B ．34C ．45D ．56【解答】解：以a 、b 、c 为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似， :4:5a b ∴=或5:6或2:3，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果53x x y =-，那么x y = 2．【解答】解：53x x y =-，35x y x -=， 315y x -=， 25y x =， 52x y =．故答案为：52．8．等边三角形的中位线与高之比为【解答】解：设等边三角形的边长为2a ，则中位线长为a =，所以等边三角形的中位线与高之比为a =故答案为：．9．如果两个相似三角形的面积比为4:9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 10 ．【解答】解：设较大三角形的周长为x ，两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4:9， ∴两个相似三角形的周长比为2:3， ∴423x =，解得，6x =，∴这两个三角形的周长和4610=+=，故答案为：10．10．在ABC ∆中，3AB =，5AC =，6BC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且1AD =，如果ABC ADE ∆∆∽，那么AE 3．【解答】解：ABC ADE ∆∆∽， ∴AD AE AB AC =，即135AE=，解得，53AE =，故答案为：53．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，8BC =，如果点G 为重心，那么GCB ∠的余切值为 4 ．【解答】解：作AD BC ⊥于D ，则点G 在AD 上，连接GC ， AB AC =，AD BC ⊥，142CD BC ∴==，由勾股定理得，3AD =， G 为ABC ∆的重心，113DG AD ∴==， cot 4CDGCB DG∴∠==，故答案为：4．12．如果开口向下的抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，那么a 的值是 2- ．【解答】解：抛物线2254(0)y ax x a a =++-≠过原点，且开口向下， ∴240a a <⎧⎨-=⎩，解得：2a =-．故答案为：2-．13．如果抛物线22y x bx c =-++的对称轴在y 轴的左侧，那么b < 0（填入“<”或“>” ）．【解答】解：由对称轴可知：04bx =<， 0b ∴<，故答案为：<14．已知点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 在抛物线22y x x m =++上，如果120x x <<，那么1y <2y （填入“<”或“>” )．【解答】解：抛物线的对称轴为直线212x =-=-，当1x >-时，y 随x 的增大而增大，因为120x x <<，所以12y y <．故答案为<．15．如图，//AG BC ，如果:3:5AF FB =，:3:2BC CD =，那么:AE EC = 3:2 ．【解答】解：//AG BC ，AGF BDF ∴∆∆∽， ∴35AG AF BD FB ==，设3AG k =，5BD k =， 32BC CD =， ∴25CD BD = 2CD k ∴=， //AG CD ， AGE CDE ∴∆∆∽， ∴3322AE AG k CE CD k ===，故答案为3:2．16．如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人土，拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A 点，斜坡的起点为C 点，准备设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 270 cm ．【解答】解：由题意得，BH AC ⊥，则18472BH =⨯=，斜坡BC 的坡度1:5i =，725360CH ∴=⨯=，360303270()AC cm ∴=-⨯=，故答案为：270．17．如果抛物线1C 的顶点在抛物线2C 上时，抛物线2C 的顶点也在抛物线1C 上，此时我们称抛物线1C 与2C 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线22y x =是“互为关联”且顶点不同的抛物线的表达式可以是 22(1)2y x =--+，（答案不唯一）（只需写出一个）．【解答】解：由抛物线22y x =可知顶点为(0,0)，设“互为关联”的抛物线为22()2y a x m m =-+，代入(0,0)求得2a =-，∴ “互为关联”的抛物线为222()2y x m m =--+，故答案为22(1)2y x =--+，（答案不唯一）．18．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为 13．【解答】解：如图，过B 作BG AD ⊥于G ，将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆，AD AB ∴=，DE BC =，ADE ABC ∠=∠，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =，AB AD ∴===24BD BC ∴==，ABC ACB ∠=∠， 1122ABD S AD BD AC BG ∆==，BG ∴=，过E 作EH BD ⊥交BD 的延长线于H ，180BAG ABC ADB ∠=︒-∠-∠，180EDH ADB ADE ∠=︒-∠-∠，BAG EDH ∴∠=∠，90AGB DHE ∠=∠=︒，ABG DEH ∴∆∆∽，∴AB BG DE EH=，∴=， 2413EH ∴=， ∴点E 到直线BC 的距离为：2413．故答案为：2413．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．如图，已知ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G ．（1）求OG DG的值；（2）如果设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GO ．【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，OD OB =，AE DE =，2BC DE ∴=，//DE BC ，DEG BCG ∴∆∆∽， ∴12DG DE GB BC ==，设DG k =，2GB k =，则3BD k =， 1.5OB OD k ==，0.5OG k ∴=， ∴0.512OG k DG k ==．（2）BD BA AD b a =+=-， 16OG BD =， ∴111()666GO b a a b =--=-． 20．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点(1,2)-和(1,0)-和3(0,)2-．（1）求此二次函数的解析式；（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．【解答】解：（1）根据题意得2032a b c a b c c ⎧⎪++=-⎪-+=⎨⎪⎪=-⎩，解得12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，所以此二次函数的解析式为21322y x x =--；（2）22131(1)2222y x x x =--=--，则抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为(1,2)-，当0y =时，213022x x --=，解得11x =-，23x =，则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)；如图，21．如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 5B =，cos C =，AC =（1）BC 的长；（2）ADC ∠的正弦值．【解答】解：（1）如图，作AH BC ⊥于H ．在Rt ACH ∆中，cos CH C AC ==，AC = 1CH ∴=，1AH ==，在Rt ABH ∆中，1tan 5AH B BH ==， 5BH ∴=，6BC BH CH ∴=+=．（2）BD CD =，3CD ∴=，2DH =，AD ==在Rt ADH ∆中，sin AH ADH AD ∠==．ADC ∴∠ 22．某学生为测量一棵大树AH 及其树叶部分AB 的高度，将测角仪放在F 处测得大树顶端A 的仰角为30︒，放在G 处测得大树顶端A 的仰角为60︒，树叶部分下端B 的仰角为45︒，已知点F 、G 与大树底部H 共线，点F 、G 相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH 和树叶部分的高度AB ．【解答】解：由题意可得，30AEC ∠=︒，60ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒， 1.5CH DG EF ===米，15FG ED ==米， ADC AED EAD ∠=∠+∠，30EAD ∴∠=︒，EAD AED ∴∠=∠，ED AD ∴=，15AD ∴=米，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，30DAC ∴∠=︒，152DC ∴=米，AC =米，32AH AC CH ∴=+== 45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，45DBC ∴∠=︒，BDC DBC ∴∠=∠，152BC CD ∴==米，152AB AC BC ∴=-==米，即AH =米，AB =米． 23．已知：如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且ACD B BAE ∠=∠=∠．（1）求证：AD DE BC AC=；（2）当点E 为CD 中点时，求证：22AE AB CE AD=．【解答】证明：（1）ACD B BAE ∠=∠=∠，BAC BAE CAE ∠=∠+∠，AED ACD CAE ∠=∠+∠， AED BAC ∴∠=∆，DAE B ∠=∠，AED BAC ∴∆∆∽， ∴AD DE BC AC=．（2）ADE CDA ∠=∠，DAE ACD ∠=∠，DAE DCA ∴∆∆∽， ∴AE DE AC AD=， DE EC =， ∴AE AC CE AD=， ∴2222AE AC CE AD =， DAC BAC ∠=∠，ACD B ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，2AC AD AB ∴=， ∴222AE AD AB AB EC AD AD==． 24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点(0,2)C ，它的顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=．（1）求m 的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA OB =．若点A 是由原抛物线上的点E 平移所得，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是抛物线对称轴上的一点（位于x 轴上方），且45APB ∠=︒．求P 点的坐标．【解答】解：（1）顶点为(1,)D m ，且1tan 3COD ∠=，则3m =，则抛物线的表达式为：2(1)3y a x =-+，即：32a +=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：222y x x =-++；（2）设：抛物线向上平移n 个单位，则函数表达式为：222y x x n =-+++，令0y =，则1x =+0x =，则2y n =+，OA OB =，12n ∴+=+，解得：1n =或2-（舍去2)-，则点A 的坐标为(3,0)，故点(3,1)E -；（3）过点B 、A 分别作x 轴、y 轴的平行线交于点G ，3OA OB ==，则过点G 作圆G ，圆与x 、y 轴均相切， 1452BPA BOA ∠=︒=∠，故点P 在圆G 上，过点P 作PF x ⊥轴交BG 于点E ，交x 轴于点F ，则四边形AGEF 为边长为3的正方形，则：333PF EF PE =+==+=25．已知：梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，3AD =，6AB =，DF DC ⊥分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F ．（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1)，求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2)，联结CE ，试问：DCE ∠的大小是否确定？若确定，请求出DCE ∠的正切值；若不确定，则设AE x =，DCE ∠的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF ∆的面积为3时，求DCE ∆的面积．【解答】解：（1）如图1中，//AD BC ，AB BC ⊥，90ABC A ∴∠=∠=︒，3AE EB ==，3AD =，AD AE ∴=，45AED ADE BEF F ∴∠=∠=∠=∠=︒，EF DE ∴==3FB =， DF DC ⊥，90FDC ∴∠=︒，45C F ∴∠=∠=︒，DF DC ∴==12CF ∴==，1239BC CF BF ∴=-=-=．（2）结论：：DCE ∠的大小是定值．理由：如图2中，连接BD ．取EC 的中点O ，连接OD ，OB ．90EBC EDC ∠=∠=︒，EO OC =， OD OE OC OB ∴===，E ∴，B ，C ，D 四点共圆， DCE ABD ∴∠=∠，在Rt ADE ∆中，1tan 2AD ABD BD ∠==， ABD ∴∠的大小是定值， DCE ∴∠的大小是定值， 1tan 2DCE ∴∠=．（3）如图21-中，连接AF ．设AE x =，FB y =，EB m =， 132AEF S AE FB ∆==， 6xy ∴=，//AD FB ， ∴AE AD EB FB=， ∴3x m y =， 3xy m ∴=，63m ∴=，2m ∴=，2EB ∴=，4AE =，在Rt AED ∆中，5DE ==，在Rt DEC ∆中，1tan 2DE DCE DC ∠==， 10DC ∴=， 115102522DEC S DE DC ∆∴==⨯⨯=．当点E 在AB 的延长线上时，同法可得8AE =，DE =，2CD DE ∴==， 15732DEC S DE DC ∆∴==．综上所述，DEC ∆的面积为25或73．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。