人教新课标版数学高一必修1学案 函数的概念
§1.2函数及其表示1.2.1函数的概念自主学习1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]．(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)．(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．(5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．对点讲练判断对应是否为函数【例1】判断下列对应是否为函数：（1）x→2x，x≠0，x∈R；（2）x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；(3)集合A ＝R ，B ＝{－1,1}，对应关系f ：当x 为有理数时，f (x )＝－1；当x 为无理数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y 与之对应．解 (1)对于任意一个非零实数x ，2x被x 唯一确定， 所以当x ≠0时，→2x是函数， 这个函数也可以表示为f (x )＝2x(x ≠0)．（2） 当x=4时，y 2 =4，得y=-2,不是有唯一值和x 对应，所以，x →y (y 2＝x )不是函数．(3)是函数，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． 规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一(即多对一或一对一)．变式迁移1 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数：（1）A=R ，B=R ，对任意的x ∈A ，x →x 2；（2）A={（x ，y ）|x ，y ∈R}，B=R ，对任意的（x ，y ）∈A ，（x ，y ）→x+y ；（3）A=B=N*，对任意的x ∈A ，x →|x-3|.解 (1)是．(2)不是，因为集合A 不是数集．(3)不是，因为当x ＝3时，在集合B 中不存在数值与之对应．已知解析式求函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域：(1)y ＝31－1－x ； (2)y ＝－x 2x 2－3x －2； (3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. 分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围．解 (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]． (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ －x ≥0，2x 2－3x －2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ≠2且x ≠－12⇔x ≤0且x ≠－12. 故函数y ＝－x 2x 2－3x －2的定义域为 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，0. (3)要使函数有意义，需⎩⎨⎧ 2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0， 所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为 ⎣⎡⎭⎫－32，0∪(0,2)． 规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．变式迁移2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝6x 2－3x ＋2； (2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (3)f (x )＝(x ＋1)0|x |－x. 解 (1)由x 2－3x ＋2≠0，得x ≠1，x ≠2.∴f (x )＝6x 2－3x ＋2的定义域是{x ∈R |x ≠1且x ≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥01－2x ≥0，得13≤x ≤12. ∴f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4的定义域是⎣⎡⎦⎤13，12. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0|x |－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．两函数相同的判定【例3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； (2)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(3)f (t )＝t ，g (x )＝3x 3； (4)f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2. 分析 要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数．解 (1)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≥0}，两个函数的定义域不同， 故不是同一函数．(2)g (x )＝x 2＝|x |，两个函数对应关系不同，故不是同一函数．(3)g (x )＝x ，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．(4)f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g (x )的定义域为R ，故不是同一函数．规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系；(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数：(1)f (x )＝x ·x ＋1与g (x )＝x (x ＋1)； (2)f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t ；(3)f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)．解 (2)是，(1)、(3)不是．对于(1)，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．(3)也是定义域不同．求函数的值域【例4】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ，定义域A ＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域；(2)求函数f (x )＝1x 2＋1，x ∈R ，在x ＝0,1,2处的函数值及该函数的值域． 解 (1)函数的定义域为A ＝{0,1,2,3}，分别令x ＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}．(2)f (0)＝1，f (1)＝12，f (2)＝15. 容易看出，这个函数当x ＝0时，取得最大值，当自变量x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0.从而可知，这个函数的值域为(0,1]．规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数，其值域是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,2]与f (x )＝x 2－2x ，x ∈R .(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．变式迁移4 (1)函数f (x )＝x －1(x ≥1)的值域为________(用区间表示)；(2)函数y ＝2x(1≤x ≤2)的值域为______(用区间表示)．答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2]1．函数符号y ＝f (x )是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下即可得到y ”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．课时作业一、选择题1．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( )A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x | B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0 答案 B解析 在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A ．1 B ．－1 C.35 D ．－35答案 B 解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－1⎝⎛⎭⎫122＋1＝－35 ∴f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝－1.3．函数y ＝(x －1)0|x |＋x 的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0|x |＋x >0，得x >0且x ≠1. 4．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C解析 A 中的两函数定义域不同，B 中的两函数值域不同，D 中的两函数对应关系不同，C 正确．5．给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f (x )＝5(x ∈R )，这个函数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．以上命题正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 D二、填空题6．将集合{x |2≤x ≤8}表示成区间为____________．答案 [2,8]7．若f (x )＝5x x 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________. 答案 2或128．函数y ＝x 2－2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________．答案 {－1，－2,2}三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝5－x |x |－3； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2x －1.解(1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x≥0|x|－3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x≤5x≠±3，在数轴上标出，如图，即x<－3或－3<x<3或3<x≤5.故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．当然也可以表示为{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x2－1≥0，1－x2≥0，x－1≠0，解得x＝－1∴函数的定义域为{－1}．10．已知函数f(x)＝x21＋x2.(1)求f(2)与f⎝⎛⎭⎫12，f(3)与f⎝⎛⎭⎫13；(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f⎝⎛⎭⎫1x有什么关系？并证明你的发现；(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 010)＋f⎝⎛⎭⎫12＋f⎝⎛⎭⎫13＋…＋f⎝⎛⎭⎫12 010.解(1)∵f(x)＝x21＋x2，∴f(2)＝221＋22＝45，f⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝15，f(3)＝321＋32＝910，f⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝110.(2)由(1)可发现f(x)＋f⎝⎛⎭⎫1x＝1，证明如下：f(x)＋f⎝⎛⎭⎫1x＝x21＋x2＋⎝⎛⎭⎫1x21＋⎝⎛⎭⎫1x2＝x21＋x2＋11＋x2＝1.(3)由(2)知：f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，…， f (2 010)＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＝1，∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋12 009个＝2 009＋12＝4 0192. 【探究驿站】11．已知f (x )的定义域为(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )·f (x －a ) (a ≤0)的定义域． 解由已知得即用数轴法，讨论(1)当a ＝0时，x ∈(0,1]；(2)当a ≤－12时，x ∈∅，即函数不存在； (3)当－12<a <0时，x ∈(－a .,1+a]．。
高中数学人教新课标必修一B版教案函数的概念
所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域．
问题:下列对应法则是否是在给定集合上的一个函数?
(1)Ｒ，ｇ：自变量的倒数;
(2) ，ｈ：自变量的平方根;
(3)Ｒ，ｓ：自变量ｔ的平方减2.
下面一组函数,是否为相同的函数?
(1)ｆ（ｘ）＝
选做题：1.求函数 的定义域.
2.求函数 的值域.
3.若 ,求函数f(x)的表达式.
分层次布置作业,基础层次只做课本作业,提高层次的完成选做题
本课教育评注（课堂设计理念）
举更多贴近学生实际生活的问题引入概念,激发学生学习兴趣,给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高学生分析问题和解决问题的能力。在整个教与学的互动过程中,教师即对有正确认识的给予鼓励赞赏,又要不断对学生在讨论中反映出的断档知识给予补充,对错误见解进行分析.使学生通过本节课的教学参与进一步了解数学就在我身边.
通过不同形式的练习使学生理解函数概念,能熟练地求函数的定义域和对应法则.
小结与作业
课堂小结
教师引导ห้องสมุดไป่ตู้生完成
(1)理解函数概念;
(2)会求简单函数的定义域、值域和对应法则.
鼓励学生积极发言总结自己对本节课的收获,教师及时点评.
本课作业
完成教材52页习题2-1A组第4题及B组第1题
预习教材34-36业“映射与函数”
板书设计:第二章函数1.变量与函数
一.复习引入二.新课内容三.例题分析四.巩固练习
小结:
作业:
2007年10月13日
3．情感目标：通过师生、生生互动的教学过程，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱数学的态度，提高数学学习的兴趣，树立学好的信心。
人教版高中数学必修一《函数的概念第一课时》说课稿
人教版高中数学必修一《函数的概念第一课时》说课稿各位评委：大家好！我说课的内容是人教版必修一函数的概念。
我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择、教学过程设计、板书设计以及教学评价设计六个方面来汇报我对这节课的教学设计。
一、背景分析1．教材分析函数是数学中最重要的概念之一，且贯穿在中学数学的始终，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。
本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，结合教学大纲与学生的认知水平，函数的第一课应以函数概念的理解为中心进行教学。
2．学情分析从生源状态分析：学生的基础较差，我校是县内一所普通中学，录取分数线是全县最低的，因此学生整体的数学素养是较低的。
从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，通过高一“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数提供了知识保证。
从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了学习函数概念的基本能力。
基于教材情况和我校学生的状态，本节课选择“低起点、低坡度、多重复，快反馈”的教学原则。
二、教学目标分析【教学目标】知识与技能：让学生理解构成函数的三要素、函数概念的本质、抽象的函数符号) (x f的意义。
过程与方法：在教师设置的问题引导下，学生通过自主学习、小组合作交流，反馈精讲、当堂训练，经历函数概念的形成过程，渗透归纳推理的数学思想，发展学生的抽象思维能力。
情感态度价值观：在学习过程中，学会数学表达和交流，体验获得成功的乐趣，建立自信心。
[设计意图]：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。
【教学难重点】重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义。
[重难点确立的依据]：函数的概念抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。
人教版数学必修一函数的含义及表达形式
二、函数及其表示（一）函数的概念1.函数的概念（1）函数的传统定义设在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个函数值，相应的就有唯一确定的一个y值与之相对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量（2）函数的近代定义一般地，设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。
其中x是自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域就不是函①A,B都是非空的数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，例如，y=x−1x+1数②集合A是函数的定义域，给定A中一个x值有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以没有x与之对应，即{f(x)|x∈A}⊆B③符号y=f(x)表示“x对应的函数值”，f表示对应关系，“f(x)”是一个整体，不可分开，也不能理解成“f·x”④f(a)，a∈A与f(x)的区别⑤函数的实质是集合A,B的对应关系，可以一对一、多对一，但不能一对多，而且集合A中的元素必须要用完，而集合B中的元素可以不用完例1：设集合M={x|0≦x≦2}，N={y|0≦y≦2},给出的下列四个图形中，其能够表示集合M 到集合N的函数关系的是（）2.函数的构成要素与函数相等一个函数构成要素为定义域、对应关系、值域值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数就只需要确定定义域和对应关系，即定义域和对应关系使“y是x的函数”的而两个基本条件要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需检验（1）定义域和对应关系是否给出；（2）根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一的函数值和它对应如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等①函数的定义域和对应关系一旦确定，值域就确定了，所以判断两个函数是否相等只需要判断他们的定义域和解析式是否相等就可以了，不需要在判断值域②满足定义域和值域相同的两个函数，不一定是相等的函数，例如：函数f(x)=x²与函数f(x)=(x-3)²例2：判断下列各组中的函数是否表示同一个函数（1）f(x)=|x-1|与g(x)=x−1，x≧1 1−x，x<1（2）f(x)=x与f(t)=(33)在判断对应关系是否相同时，两个函数可能表现形式不同，但经过适当地变形，可以化为相同的形式，这是也可以说它们具有相同的对应关系3.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，有时可以省略，如果未加特殊说明，那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合在实际问题中，喊必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围求函数的定义域：①如果f(x)是整式，那么其定义域是实数R②如果f(x)是分式，那么其定义域是使分母不为0的实数集合③如果f(x)是二次根式（偶次根式），那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合④如果f(x)是由以上几个部分式子构成的，那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}例3：求下列函数的定义域（1）f(x)=x+1+12−x（2）f(x)=x−2+233x+7（3）f(x)=4.函数的值域函数的值域是在对应法则f的作用下，自变量x在定义域内取值是相应的函数的集合求函数的某个函数值是，可以直接代入解析式，求的相应的函数值；求函数的值域时，可以采取不同的方法求解（1）观察法：对所求的函数解析式进行简单变形，通过观察，得出所求函数的值域如：函数y=11+x（2）配方法：若函数是二次函数，或可以化为二次函数形式，则可以通过配方法求出其值域，但是要注意自变量的取值范围如：求y=x-2x+3的值域（3）判别式法：将函数化为因变量y的二次方程，利用判别式∆≥0求函数的值域，常用于分母是二次函数的分式函数的值域如：求y=x+1x²+2x+2（4）换元法：对函数解析式进行适当换元，将复杂的函数化为几个简单的函数，从而利用基本函数取值范围来求函数的值域如：求y=2x-3+13−4x的值域的函数的值域，舱采用分离常数法（5）分离常数法：用于求形如y=cx+dax+b的值域如：求y=3x−2x−1（6）图像法：做出函数的图像，有图像直观的得出函数值域5.区间设a，b是两个实数，且a＜b，区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：①区间的左端点必小于右端点②用数轴表示区间是，要特别注意包括在这个区间内的端点用实心圆点表示，不包括在这个区间内的端点用空心圆点表示③无穷大∞是一个符号，不是一个数，它不具备数的已瞎性质和运算法则④以“+∞”或“- ∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号⑤单元素集合不能用区间表示，如集合{0}不能表示为[0]或[0,0]的定义域可用区间表示为__________例4：函数y=1−1−x例5：已知集合A={x|5-x≥0}，集合B={x||x|-3≠0}，求A∩B，并用区间表示考点1：函数的求值问题1.已知函数f(x)=3x 3+2x,求f(f(1))的值2.已知f(x)=1-2x ，则f(12)=______3.已知f(x)=11+x （x ∈R ，且x ≠-1），g(x)=x ²+2（x ∈R ）（1）求f （2），g （2）的值（2）求f(g(2)) 的值考点2：求函数定义域1.求已知解析式的函数定义域1.求下列函数的定义域（1）y= −x 2x²−3x −2（2）y=4x+83 3x −2（3）y= x ²−3· 5−x ²（4）y= x +2+13−x。
人教课标版高中数学必修1《函数的概念(第1课时)》教学设计
1.2.1函数的概念（第1课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解构成函数的基本要素，理解并掌握函数的概念，熟悉用“区间”、“无穷大”等符号表示取值范围，在数学抽象、数学建模中体会对应关系在刻画函数概念中的作用． （二）学习目标 1．通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．2．学习用集合语言和对应关系刻画函数，并明确函数的基本要素，掌握判别两个函数是否相同的方法．3．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（三）学习重点 1．体会函数的重要模型化思想，了解构成函数的要素并理解函数的概念．2．会求一些简单函数的定义域，并能正确使用“区间”表示．（四）学习难点1．体会并理解函数概念中的“任意性”和“唯一性”．2．符号“y=f (x )”的含义． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页至第18页，填空：设B A ,是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()x f y =，A x ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域． （2）写一写：区间(设a ＜b ){x |a ≤x ≤b } 闭区间 [a ，b ] {x |a ＜x ＜b } 开区间 (a ，b ){x |a ≤x ＜b } 半开半闭区间 [a ，b ) {x |a ＜x ≤b } 半开半闭区间 (a ，b ] {x |x ≥a } 半开半闭区间 [a ，＋∞) {x |x ＞a } 开区间 (a ，＋∞) {x |x ≤a } 半开半闭区间 (－∞，a ] {x |x ＜a } 开区间(－∞，a )2．预习自测(1)()x f 与()a f 的区别与联系？答：()a f 表示当a x =时函数()x f 的值，是一个常量，而()x f 是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量；()a f 是()x f 的一个特殊值．(2)通过学习函数的概念，你觉得函数的基本要素有哪些？定义两个函数是否相等时，是否需要函数的几个基本要素必须都相同？答：基本要素有定义域、对应关系、值域。
人教版高中数学必修一《函数的概念》表格教学设计
《函数的概念》的教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》的第一章1.2.1函 数的概念。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。
在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。
到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。
函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。
函数的学习也是今后继续研究数学的基础。
在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。
函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。
函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。
因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。
本节的内容较多，分二课时。
本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。
（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。
然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。
初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。
例如，对于函数⎩⎨⎧=是无理数时当是有理数时当x x x f ,0,1)( 如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。
人教新课标版数学高一人教a版必修1同步学案 课函数的概念
1.2.1第一课时 函数的概念一、课前准备 1．课时目标(1) 理解函数的定义； (2) 学会区间的表示；(3) 在分析实例的基础上,掌握简单定义域的求法和函数相等的概念. 2．基础预探（1）复习初中所学函数的概念，强调函数的 思想；（2）阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：①炮弹的 的变化关系问题； ②南极臭氧空洞 的变化关系问题；③“八五”计划以来我国城镇居民的 的变化关系问题 （3）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个 ．记作： ．其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的 ． （4）．区间的概念 ①区间的分类： ； ②无穷区间 ；③区间的数轴表示．（5）构成函数三个要素是 ．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等. 二、基本知识 1．函数21++=x xy 的定义域为________________． 2. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A.[2,5]3. 已知2)(x x f =，33)(x x g =，判断两个函数是否为同一个函数.4.设{}22≤≤-=x x M ，{}20≤≤=x y M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是三、学习引领 一、函数概念的理解1.函数的概念中要注意任意性和唯一性这两个性质，指的是在定义域A 内任意的一个元素在数集B 都有唯一的元素与之对应.2.①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 3. ①函数的定义域通常由问题的实际背景确定；②如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；③函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．4. 函数中的定义域A ，集合B 均为数集，并且值域C 与数集B 的关系为B C ⊆. 二、判断函数相等的方法.（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等.（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.四、典例导析题型一 函数的基本概念例1. 若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个函数，则以下说法正确的是________． ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素； ②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同；③B 中两个元素若在A 中都有对应元素，则它们必定不同； ④B 中的元素在A 中可能没有对应元素．思路分析：由函数的概念可知，判断对应是否为函数，即看A、B是否为“非空数集”和对“任意”x有“唯一”y与之对应．答案：①③④正确．规律总结：①利用函数定义去判断是否为函数主要抓住函数在定义域A内任意的一个元素在数集B都有唯一的元素与之对应.②从集合A到集合B的函数必须满足：(1)集合A中的元素在集合B中都有与之对应的元素；(2)集合B中的元素可以有剩余；(3)对应关系可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但绝不是“一对多”．变式练习1下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()题型二函数和函数值例2．函数f(x)＝xx2＋1，则f(1x)等于()A．f(x) B．－f(x) C.1f(x)D.1f(－x)思路分析：利用函数的定义，要求出f(1x)其实就是将原来的f(x)＝xx2＋1中的x换成1x即可.2. 解析：f(1x)＝1x1x2＋1＝x1＋x2＝f(x)．答案A规律总结：理解对应关系的实质是解答此类问题的关键．关于对应关系f，它是函数的本质特征，当f()中括号内输入一个值时，等式右边的x均换成所输入的这个值．f(a)(a为定义域中的一个值)是值域内的一个值，是常量，f(x)表示自变量x的函数，表示的是变量．变式练习2. 已知qpxxxf++=2)(满足0)2()1(==ff，则)1(-f的值是________．题型三函数相等例3.下列各组函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝x与g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|与g(x)＝3x3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ＞0)－x 2 (x ＜0)D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)思路分析：判断函数相等主要看定义域和对应法则，如果相同就是同一函数. 解析：A 中定义域不同，B 中解析式不同，C 中定义域不同．答案：D规律总结：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.变式练习3.判断下列函数是否为相同函数 f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2.题型四 定义域问题 例4.求函数xx y 2)12(0+-=的定义域.思路分析：函数定义域问题要考虑分母不为零，零的零次方无意义. 解析：⎩⎨⎧>≠-0012x x 解得定义域为),21()21,0(+∞⋃规律总结：①定义域求法注意偶次方根为大于等于零，分母不为零，零的零次方无意义等. 在实际问题中除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约． ②定义域和值域一般用集合或者区间表示. 变式练习4：函数y ＝1x定义域的是________． 五、随堂练习1．已知x x x f 2)(2-=，则)3(f = . 2. 下列各组函数是同一函数的是( )A ．y ＝|x |x与y ＝1B ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞11－x ，x ＜1C ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1D ．y ＝x 3＋xx 2＋1与y ＝x3．已知函数23212---=x x xy 的定义域为（ ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 4.已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)12(f 等于 . 5.给出下面四种对应关系：①A ＝N ＋，B ＝Z ，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B ； ②A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；③A ＝{x|x 为高一(2)班的同学}，B ＝{x|x 为身高}，f ：每个同学对应自己的身高； 是函数的是 .6. 求下列关于x 的函数的定义域和值域x 0 1 2 3 4 5 y234567六、课后作业1. 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤0)，－2x (x >0)，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－522. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )3. 1)(+=x x f ，那么))2((-f f = ；如果3)(=a f ，那么实数a = 。
人教新课标版数学高一必修1导学案 函数的概念教师版
1.2.1函数的概念教学目标1.理解函数的概念；2.了解构成函数的三要素；3.正确使用函数、区间符号．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1．2.1 函数的概念》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1．函数的概念：设A，B是________的________集，如果按照某种确定的________f，使对于集合________中的________一个数x，在集合________中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作________，x∈A.其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________，值域是集合B的子集．提示：非空数对应关系A任意B唯一确定y＝f(x)自变量定义域函数值值域2.一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，我们就称这两个函数相等．提示：定义域对应关系3.填写下表中不等式、区间和数轴的对应关系：三、合作探究探究点1：函数的概念问题1初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？提示：因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．问题2用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；(2)；(3)；(4)；(5).提示：(1)不是，因为集合A不是数集．(2)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(3)是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．(4)不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．(5)不是．x＝3没有相应的y与之对应．例1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.提示： (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数．名师点评：判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A ，B 必须是非空数集；(2)A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；(3)A 中任何一个元素在B 中必须有唯一一个元素与其对应．例2 (1)已知函数f (x )＝2x ＋1，求f (0)和f [f (0)]；(2)求函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数的定义域，值域；(3)若f (x )、g (x )对应关系分别由下表给定，求f [g (x )]的值域.提示： (1)f (0)＝2×0＋1＝1. ∴f [f (0)]＝f (1)＝2×1＋1＝3.(2)x 为有理数或无理数，故定义域为R .只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}． (3)f [g (x )]中的x ＝1,2,3.由表知g (1)＝1，g (2)＝2，g (3)＝1，∴f [g (1)]＝f (1)＝3，f [g (2)]＝f (2)＝2，f [g (3)]＝f (1)＝3. ∴值域为{2,3}．名师点评：“某种确定的对应关系f ”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系．探究点2：函数相等例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 相等？ (1)y ＝(x )2；(2)y ＝3x 3；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x 2x. 提示： (1)y ＝(x )2＝x (x ≥0)，y ≥0，定义域不同且值域不同，所以不相等； (2)y ＝3x 3＝x (x ∈R )，y ∈R ，对应关系相同，定义域和值域都相同，所以相等；(3)y ＝x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，y ≥0；值域不同，且当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x 不相同，所以不相等；(4)y ＝x 2x的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x 的定义域不相同，所以不相等．名师点评：在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不相等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．四、当堂检测1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列说法中，不正确的是( )A ．函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 3．下列关于函数与区间的说法正确的是( ) A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集 B ．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了 C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 4．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0<x <1}D ．{x |0≤x ≤1}5．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是()A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一个C．若f(a)＝f(b)，则a＝b D．若a＝b，则f(a)＝f(b)提示：1．B 2.B 3.D 4.C 5.C五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可．2．f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x 的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示．六、课例点评本节课环节紧凑，重难点突出，设计合理。
最新人教版高一数学必修1第一章《函数的概念》教案1
1.2 函数及其表示我们生活的世界时刻都在发生变化，变化无处不在.这些变化着的现象都可以用数学有效地描述它们的变化规律.函数正是描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过函数模型可以帮助我们科学地预测将发生什么，进而解决实际问题．因此，学习函数知识对研究客观世界、掌握事物变化规律具有重要的意义．教科书采用了从实际例子中抽象概括出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打了感性基础，而且注重培养了学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.函数的表示是本节的主要内容之一.学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯的是用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识.在本节中，教科书从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下，可以使函数在数与形两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此，在研究函数时，要充分发挥图象直观的作用；在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.本教科书将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，并让学生将更多的精力集中于理解函数的概念，同时，也体现了特殊到一般的思维过程.1.2.1 函数的概念（1）从容说课函数是中学数学的一个重要概念，也是高中数学的一条主线.函数在初中已学过，不过较肤浅，本课主要是从两集合间对应来描绘函数的概念，是一个抽象过程，学生学习可能有所不适应.教学中宜逐步设计合理的阶梯，从实际问题逐步建构函数的初步定义，对于“对应”二字宜进行适当解释.函数概念的引入，一般有两种方式，一种方式是先学习映射，再学习函数；另一种方式是通过具体实例，体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（单值对应），即函数．考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，教材采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念．《标准》对函数概念的处理方式是强调函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型.并要求结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法.三维目标一、知识与技能1.了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素.2.了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示.二、过程与方法1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.2.通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想.三、情感态度与价值观1.能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考.2.函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，通过本节的学习，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点.教学重点在对应的基础上理解函数的的概念.教学难点对函数概念的理解.教具准备多媒体.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化，请大家看（多媒体播放：把教科书上的三个实例制成多媒体）镜头1：教科书P17实例（1）.（旁白：随着时间t的变化，炮弹距地面的高度h在变化）镜头2：教科书P17实例（2）.（旁白：南极上空臭氧层空洞的面积随着时间的变化而变化）镜头3：教科书P18实例（3）.（旁白：我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少）……师：这些都说明了当时间变化时，另一个量也随之变化.（多媒体播放）镜头4：某人1元钱买1件商品，另一个人2元钱买1件商品.（旁白：不同的钱数买不同量的商品）镜头5：一只盒子有6只乒乓球，拿出10盒子，再拿出20盒子.（旁白：盒子增多球量增大）师：这些变化着的现象，说明当一个变量变化时，另一个变量随之变化.同学们能否再举出类似事例来?生1：我们的身高随着我们的岁数变化.生2：不对，20岁后，我们身高不长了.师：不错，但身高随着年龄的变化而变化是一个事实，这里变化是一个抽象的概念，说对应更确切.其实在初中我们已初步用函数来刻画和描述两个变量之间的依赖关系，今天我们进一步研究函数的知识.（板演函数的概念）二、讲解新课与学生共同分析、归纳上面的几个例子，寻求它们的共性，发现：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作f：A→B.由此得出函数的概念.1.函数的概念（1）函数的传统定义设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.（2）函数的近代定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合｛f （x ）|x ∈A ｝叫做函数的值域.我们所熟悉的一次函数y =ax +b （a ≠0）的定义域是R ，值域也是R .对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有唯一的数y =ax +b （a ≠0）和它对应.二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的定义域是R ，值域是B .当a ＞0时，B ={y |y ≥ab ac 442-}；当a ＜0时，B ={y |y ≤ab ac 442-}.对于R 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一的数y =ax 2+bx +c（a ≠0）和它对应.对函数概念的理解（老师和学生共同探讨得出以下结论）：①函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合与对应的观点出发.这样，就不难得知函数实质是从非空数集A 到非空数集B 的一个特殊的对应.函数的近代定义更具有一般性，例如函数f （x ）=⎩⎨⎧,0,1 ,,是无理数时当是有理数时当x x 如果用运动变化的观点来解释，会显得十分勉强，但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.②函数的三要素：定义域、值域和对应关系f .其中核心是对应关系f ，它是函数关系的本质特征.y =f （x ）的意义是：y 等于x 在关系f 下的对应值，而f 是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x 与y 的纽带，所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和对应关系，这是无关紧要的.两个函数相同当且仅当它们的定义域与对应关系在实质上（不必在形式上）分别相同.③函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.忽视了函数的定义域，我们将寸步难行，由此，我们也往往把函数的定义域称之为函数的“灵魂”.【例1】 判断下列对应是否为函数：（1）x →x2，x ≠0，x ∈R ； （2）x →y ，这里y 2=x ，x ∈N ，y ∈R . 解：（1）对于任意一个非零实数x ，x 2被唯一确定，所以当x ≠0时，x →x2是函数，这个函数也可以表示为f （x ）=x2（x ≠0）. （2）当x ＝4时，y 由y 2=4给出，得y ＝2和y ＝－2，即给定一个x =4，有两个y 的值（±2）和它对应，所以x →y （y 2=x ）不是函数.（自己输入一个x 的值试一试）方法引导：判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一.【例2】 求下列函数的定义域：（1）f （x ）=1-x ；（2）g （x ）=11+x . 解：（1）因为当x －1≥0，即x ≥1时，1-x 有意义；当x －1＜0，即x ＜1时，1-x 没有意义，所以这个函数的定义域是{x |x ≥1}.（2）因为当x ＋1≠0，即x ≠－1时，11+x 有意义；当x ＋1＝0，即x ＝－1时，11+x 没有意义，所以这个函数的定义域是{x |x ≠－1，且x ∈R }.方法引导：求函数的定义域开偶次方其根号里面需非负，分母不为零. 2.区间研究函数时常用到区间的概念. （1）区间的概念设a 、b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为；［a ，b ］； ②满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）； ③满足不等式a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为；［a ，b ］，（a ，b ）.注意：按照国际标准前闭后开区间记作；［a ，b ），前开后闭区间记作（a ，b ］.区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”间隔开.（2）区间的端点和长度区间定义中的实数a 与b 叫做相应区间的端点，其中a 叫左端点，b 叫右端点.称b －a 为区间长度.注意：①区间是集合的又一种表示方法，这样某些以实数为元素的集合就有三种表示法：集合表示法（列举法，描述法）、不等式表示法和区间表示法.例如大于－1小于2的实数的集合可以表示为如下三种形式：｛x |－1＜x ＜2｝；－1＜x ＜2；（－1，2），至于用哪一种形式，可根据习惯或简明的原则来选用.在数轴上，区间可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，（如下表）在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点.（3）无穷大的概念①实数集R 也可以用区间表示为（－∞，+∞），其中“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.注意：无穷大是一个符号，不是一个数.②关于用－∞，+∞作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间，它的定义和符号如下表：特别说明： ①区间是集合；②区间的左端点必小于右端点；③区间中的元素都是点，可以用数字表示； ④任何区间均可在数轴上表示出来；⑤以“－∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 三、课堂练习 1.反比例函数y =xk（k ≠0）的定义域、对应关系和值域各是什么?请用上面的函数定义描述这个函数.2.教科书P 22练习题1.答案：1.定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），对应关系f ：y =xk（k ≠0），值域为（－∞，0）∪（0，+∞）.对于任意一个非零实数x ，x k 被唯一确定，所以当x ≠0时，y =xk（k ≠0）是函数.2.（1）因为4x +7≠0，得x ≠－47，所以，函数f （x ）=741+x 的定义域为{x ∈R |x ≠－47}. （2）因为1－x ≥0，且x +3≥0，得－3≤x ≤1，所以，函数f （x ）=x -1+3+x －1的定义域为{x ∈R |－3≤x ≤1}，定义域用区间也可表示为［－3，1］.四、课堂小结1.本节学习的数学知识：（1）函数的概念和函数的定义域、值域等概念；（2）区间与无穷大的概念. 2.本节学习的数学方法：观察与归纳的思想方法、定义法、渗透了静与动的辩证唯物主义观点. 五、布置作业1.教科书P 28习题1.2 A 组第1题.2.求下列函数的定义域.（1）f （x ）=21-x ； （2）f （x ）=23+x ； （3）f （x ）=1+x +x-21.板书设计1.2.1 函数的概念（1）函数的概念函数的传统定义函数的近代定义对函数概念的理解例1例2区间的有关概念课堂练习课堂小结。
高一数学 函数的概念教案人教版必修一 教案
高一数学必修1函数的概念
教学目的
知识与技能
了解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素。
过程与方法
通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要模型
情感、态度与价值观
感知并体会中的应用。
重点难点
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言刻画函数
难点：符号“y=f(x)”的含义。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
教学过程
板书设计
教学反思。
人教版高中数学必修一教学案-函数及其表示方法
人教版高中数学必修一教学案年级：高二上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题课型授课日期及时段函数及其表示方法□预习课□同步课■复习课□习题课教学内容函数及其表示方法【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a<x<b}=(a,b);{x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a<x≤b}=(a,b]；{x|a≤x<b}=[a,b)；{x|x≤b}=(-∞,b];{x|a≤x}=[a,+∞).要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。