不等式的证明例题

例6
9
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
设0 a b, 证明不等式 2a ln b ln a 1 . 2 2 ba ab a b 再证左边不等式. 方法一 设函数 f ( x ) ln x ( x a 0), 由拉氏定理知, 至少存在一点 (a , b ), 使 1 ln b ln a (ln x ) x , ba 2a 1 1 由于 0 a b, 2 2 , 从而 b a b ln b ln a 2a 2 2. ba a b
2
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
4 例2 设e a b e , 证明ln b ln a 2 (b a ). e 4 2 证 法一 设 ( x ) ln x 2 x , 则 e ln x 4 1 ln x ( x) 2 2 , ( x) 2 , 2 x e x 所以 当x e时, ( x ) 0, 故 ( x ) 单调减少, 从而 4 4 2 2 当e x e 时, ( x ) (e ) 2 2 0, e e 即当e x e2时, ( x ) 单调增加. 因此 当e a b e2时, (b) (a ), 4 4 4 2 2 2 2 即 ln b 2 b ln a 2 a , 故 ln b ln a 2 (b a ). e e e
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6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
设0 a b, 证明不等式 2a ln b ln a 1 . 2 2 ba ab a b 再证左边不等式. 方法二 设 f ( x ) ( x 2 a 2 )(ln x ln a ) 2 a ( x a ) ( x a 0), f (a ) 0 因为 f ( x ) 2 x(ln x ln a ) ( x 2 a 2 ) 1 2a x ( x a )2 0 2 x(ln x ln a ) x 即 x a时, f ( x ) 单调增加, 故有 f ( x ) f (a ) 0 故当 2a ln b ln a 2 2 2 2 x ln xa a ) 0 从而 即 ( x a )(ln a b( b a ) 2a 当b a 0时, ( a 2 b 2 )(ln b ln a ) 2 a ( b a ) 0
当b a时, 有 f (b) f (a ) 0
即 b ln a a ln b 0, 也即 b ln a a ln b 得 a b ba .
或者证明函数
ln x f ( x) x
单调减少
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6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
设0 a b, 证明不等式 2a ln b ln a 1 . 2 2 ba ab a b 证 先证右边不等式. xa 设 ( x ) ln x ln a ( x a 0), ( a ) 0 ax 2 ( x a) 1 1 1 a 0 ( x ) ( ) 2 x ax x a 2 x 2x x 当x a时, ( x )单调减少, 故有 ( x ) (a ) 0 xa b b ln a ln x . 即 ax b
f ( x ) mx m 1 ( a x ) n nx m ( a x ) n 1
x m1 (a x)n1[m(a x) nx]
令 f ( x ) 0
得
ma x mn
1
2 2 2
3
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
证
法二
4 设e a b e , 证明ln b ln a 2 (b a ). e
2 2 2
4 f ( x) ln x ln a 2 ( x a). e 2 ln x 4 f ( x) 2 x e
2 2
f (a) 0
2
f ( x ) 1 e x sin x 0
0 x 1, f ( x ) 0, f ( x ) C[0,1].
所以f ( x )在[0,1]上单调增加.
1
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
x2 x x f ( x ) x e cos x f ( x ) 1 e sin x 2 f ( x )在[0,1]上单调增加
2 2 2

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1 ln t ln t , , 则 ( t ) 设 ( t ) 2 t t 当t e时, ( t ) 0, 所以 ( t )单调减少, 2 2 ln ln e 2 从而 ( ) (e ), 即 2 2, e e 4 2 2 ln b ln a 2 (b a ). 即 e
1 ln x f ( x) 2 0 2 x f (e2 ) 0
f ( x) 0
f (b) f (a) 0
4
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
4 设e a b e , 证明ln b ln a 2 (b a ). e 证 法三 对函数 ln 2 x 在[a, b]上应用拉氏定理, 得 2 ln 2 2 ln b ln a (b a ), a b.
n
x, y 图形是凹的. 对0 t 内任意两点 1 x y [ f ( x ) f ( y )] f 2 2
即
1 n x n (x y ) 2 2 y .
6
n
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
π 2 例4 证明不等式 : 当0 x 时, sin x x . 2 π 证 法一 用单调性证. 2 法二 用凹凸性证. 设 f ( x ) sin x x , 则 π 2 f ( x ) cos x , f ( x ) sin x 0 , π 所以f (x)的图形是凸的. π 又f (0) 0, f ( ) 0, 因此f ( x ) 0, 即 2
6.5 函数的极值与最大值最小值
例1 证明 0 x 1, e
x
2 x 证 设f ( x ) 1 e x sin x 且f (0) 0 2 定不出符号 f ( x ) x e x cos x 且f (0) 0
x sin x 1 . 2
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6.5 函数的极值与最大值最小值
例7
设0 x a, 试证明, 对任意的m, n N , 有
m n m n 常数 m n m n x (a x ) a . mn ( m n) 分析 设 f ( x ) x m ( a x ) n , 求其在[0, a]上的最大值. m n 证 f ( x ) x (a x ) ,
2 sin x x . π
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6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例5
设b a e, 证明a b ba .
证 只要证 b ln a a ln b. 令 f ( x ) x ln a a ln x , x a 则 f (a ) 0 a a f ( x ) lna 1 0 , 当x a时, x x f ( x )在x a时单调增加 , 所以
当0 x 1时, 有f ( x ) f (0) 0.
0 x 1, f ( x ) 0, f ( x ) C[0,1].
所以f ( x )在[0,1]上单调增加.
当0 x 1时, 有f ( x ) f (0) 0. x2 1 e x sin x 0 2 2 x e x sin x 1 . 即 2
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6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
例3 利用函数图形的凹凸性证明不等式:
1 n x y n (x y ) ( x 0, y 0, x y, n 1) 2 2 证 设 f ( t ) t n ( t 0)
f (t ) nt n1 , f (t ) n(n 1)t n 2 0