2.3.1 等差数列的前n项和配套课件 新人教A版必修5
1．已知数列{an}的前 n 项和公式 Sn，求通项公式 an 的步 骤： (1)当 n＝1 时，a1＝S1. (2)当 n≥2 时，根据 Sn 写出 Sn－1，化简 an＝Sn－Sn－1.
(3)如果 a1 也满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式， 那么数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1(如本题(1))； 如果 a1 不满足当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 的通项公式，那 么数列 {an}的通项公式要分段表示为 (如本题(2))． 2．由 Sn 求 an 的方法不是等差数列所特有的，它适合于 任何数列．
【自主解答】 (1)法一 ∵a6＝10，S5＝5，
a1＋5d＝10， ∴ 5a1＋10d＝5， a ＝－5， 1 解得 d＝3.
∴a8＝a6＋2d＝16.
法二
∵S6＝S5＋a6＝15，
6a1＋a6 ∴15＝ ， 2 即 3(a1＋10)＝15. a6－a1 ∴a1＝－5，d＝ ＝3. 5 ∴a8＝a6＋2d＝16.
240＋100 (2) 这支车队所有车辆行驶的总时间为 ×15＝2 2 85 85 550 min＝ 2 h，所以这支车队当天一共行驶的路程为 2 ×60 ＝2 550 (km)．
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联 系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项 和 Sn，还是求项数 n.
2.2.2
等差数列的前 n 项和
第 1 课时 等差数列的前 n 项和
等差数列的前n项和公式
【问题导思】 1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯 是怎样求 1＋2＋3＋„＋100 的结果的？
【提示】 对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能
很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2 ＋3＋„＋99＋100，把加数倒序写一遍 S＝100＋99＋98＋„ ＋2＋1.
4.问题 3 中求出的 Sn 是已知等差数列首项、末项与项数 时求前 n 项和 Sn 的公式，如果用 an＝a1＋(n－1)d 替换末项， 问题 3 中求出的 Sn 会变形为怎样的形式呢？ 1 【提示】 Sn＝na1＋ n(n－1)d. 2 a1＋a2＋…＋an (1)一般地，称 为数列{an}的前 n a1＋a2＋…＋an 项和，用 Sn 表示，即 Sn＝ . na1＋an 2 (2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝ ＝ 1 na1＋2n(n－1)d .
3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用 这种方法推得等差数列{an}的前 n 项和 Sn 吗？
【提示】
Sn ＝a1 ＋a2 ＋a3＋„＋an －1 ＋an ＝a1 ＋(a1 ＋d)
＋(a1＋2d)＋„＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]， Sn＝an＋an－1＋an－2＋„＋a2＋a1 ＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋„＋[an－(n－2)d] ＋[an－(n－ 1)d]， na1＋an ∴2Sn＝(a1＋an)×n，∴Sn＝ . 2 ③
由Sn求an
已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，求 {an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2.
【思路探究】 (1)已知 Sn 如何求通项公式 an?
(2)用 an＝Sn－Sn－1 时应注意什么问题？
【自主解答】 (1)当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－3×1＝－ 1； 当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则 an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若 n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故 an＝4n－5.
又当 n＝1 时，a1＝21 1＝1≠5，
－
5 ∴an＝ n－1 2
n＝1， n≥2.
忽略 Sn 与 an 的关系致误 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋n－1， 试判断 {an}是否为等差数列，为什么？
【错解】 －1]＝2n.
an ＝ Sn－ Sn －1＝ (n2＋ n－ 1)－ [(n － 1)2＋ (n－ 1)
【解析】 a1＝S1＝41＋2×1－1＝5. 【答案】 5
4．已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9，求此数 列前 10 项的和．
【解】 由 a1＋a3＋a5＝3a3＝9，
a ＋2d＝3， 1 ∴a3＝3，∴ a1＋5d＝9， a ＝－1， 1 ∴ d＝2.
【思路探究】
(1) 各车辆行驶的时间是否构成等差数
列？(2) 最后一辆车行驶的时间是这个数列的第几项？ (3) 所 有车行驶的总时间该如何计算？
【自主解答】 由题意，知第 1 辆车休息时行驶了 240
min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列 {an}，其中 a1 ＝ 240，公差 d＝－10，则 an＝240－10(n－1)＝－10n＋250. (1)因为 a15＝－10×15＋250＝100，所以到下午 6 时，最 后一辆车行驶了 100 min.
等差数列中 (1)已知首项、末项与项数求前 n 项和时一般用公式 Sn＝ na1＋an ， 由于 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝„， 故解决本类 2 问题常用到等差数列的“下标和”性质． (2)通项公式与前 n 项和公式中涉及到 a1，d，n，an，Sn 五个量，已知其中的三个可求其余两个量，即“知三求二”， 体现了方程思想的应用．
3． 已知数列的前 n 项和 Sn， 可以求通项公式 an 为：
S1，n＝1， an＝ Sn－Sn－1，n≥2.
1．在等差数列{an}中，已知 a1＝3，d＝2，则 S10＝( A．120 C．180 B．240 D．280
)
10×9 【解析】 S10＝10a1＋ 2 ×d＝10×3＋45×2＝120. 【答案】 A
【解】 (1)设 n 分钟后第一次相遇， 依题意，得 nn－1 2n＋ 2 ＋5n＝70， 整理得 n2＋13n－140＝0， 解得 n＝7 或 n＝－20(舍去)． 故甲、乙第一次相遇是在开始运动后 7 分钟．
(2)设 n 分钟后第二次相遇，依题意，得 nn－1 2n＋ ＋5n＝3×70， 2 整理得 n2＋13n－6×70＝0， 解得 n＝15 或 n＝－28(舍去)． 故甲、乙第二次相遇是在开始运动后 15 分钟.
所以有 2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋„＋(99＋2)＋(100＋1) ＝100×101， ∴S＝50×101＝5 050.
2.你能用高斯的计算方法求 1＋2＋3„＋n 的值吗？
【提示】 设 Sn＝1＋2＋3＋„＋(n－1)＋n， 又 Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋„＋2＋1，
① ②
两式相加得 2Sn ＝(1 ＋ n) ＋(2 ＋n－ 1) ＋„＋ (n ＋1) ＝ n(n ＋1)， nn＋1 ∴Sn＝ 2 .
甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动．甲 第 1 分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟 走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟 比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动后 几分钟第二次相遇？
(2)设{an}的公差为 d，则 a1＋2d＝16， 20×19 20a1＋ 2 d＝20，解得 a1＝20，d＝－2， nn－1 所以 20n＋ ×(－2)＝110， 2 即 n2－21n＋110＝0， 所以 n＝10 或 n＝11.
等差数列前n项和公式的实际应用
一支车队有 15 辆车， 某天依次出发执行任务． 第 1 辆车于下午 2 时出发，第 2 辆车于下午 2 时 10 分出发，第 3 辆车于下午 2 时 20 分出发，依此类推．假设所有的司机都 连续开车，并且都在下午 6 时停下休息． (1)到下午 6 时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车的行驶速度都是 60 km/h， 这支车队当天一 共行驶了多少路程？
S1，n＝1， a n ＝ Sn－Sn－1，n≥2
若将本例(2)题设改为“Sn＝3＋2n”，试求 an.
【解】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋2＝5. (2)当 n≥2 时，Sn－1＝3＋2n 1，
－
又ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱSn＝3＋2n， ∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n 1＝2n 1.
－ －
又 an－an－1＝2n－2(n－1)＝2， 即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数， 所以{an}是等差数列．
【错因分析】
用公式 an＝Sn－Sn－1 时，要求 n≥2，忽
视了这一条件而不去验证 n＝1 的情况会导致判断错误．
【防范措施】 已知数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项公 式时，需分类讨论，即 n＝1 与 n≥2 两种情况；当 n＝1 满足 an 的式子时，才能用同一个式子来表达，否则必须分段表示．
【正解】 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－ 1)2＋(n－1)－1]＝2n； 当 n＝1 时，a1＝S1＝1，不符合上式．
1，n＝1， ∴an＝ 2n，n≥2.
∴数列{an}不是等差数列．
1． 求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法． 2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及 a1，an， Sn， n， d 五个量， 通常已知其中三个量， 可求另外两个量． 在求等差数列的和时，一般地，若已知首项 a1 及末 na1＋a2 项 an， 用公式 Sn＝ 较好； 若已知首项 a1 及公差 d， 2 nn－1 用公式 Sn＝na1＋ 2 d 较好．
10×9 ∴S10＝10×(－1)＋ 2 ×2＝80.
48 (2)法一 a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝ ， 5 24 所以 a1＋2d＝ 5 . 1 所以 S5＝5a1＋2×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d 24 ＝5(a1＋2d)＝5× ＝24. 5
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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件
10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数， 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列， 设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知 代入公式 得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)
故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.
高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列前n项和(一)课件(共19张PPT)
a通n ”a工n1程中5的0 总投S1入0 是多此少处？暂停3分a1钟思50考0
例题1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校 通”工程中的总投入是多少？
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首 项和公差分别是什么?
结论: 当r 0时为数列{an}等差数列, 当r 0时数列{an}不是等差数列
课堂小结
1.等差数列的前n项和公式1：
Sn
n(a1 2
an
)
2.等差数列的前n项和公式2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
3.数列中an与Sn的关系： an=Sn-Sn-1（n ≥ 2）
此处暂停2分钟思考
解：由题意知S 10
310, S20
1220
方程组思想
将它们代入公式Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
10a1 20a1
45d 310 190d 1220
解得
ad1
4 6
Sn
=4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
例题3 数列中an与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n①2
1 2
n
[(n
1)2
1 2
(n
1)]
2n
1 2
例题1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校 通”工程中的总投入是多少？
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首 项和公差分别是什么?
结论: 当r 0时为数列{an}等差数列, 当r 0时数列{an}不是等差数列
课堂小结
1.等差数列的前n项和公式1：
Sn
n(a1 2
an
)
2.等差数列的前n项和公式2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
3.数列中an与Sn的关系： an=Sn-Sn-1（n ≥ 2）
此处暂停2分钟思考
解：由题意知S 10
310, S20
1220
方程组思想
将它们代入公式Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
10a1 20a1
45d 310 190d 1220
解得
ad1
4 6
Sn
=4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
例题3 数列中an与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n①2
1 2
n
[(n
1)2
1 2
(n
1)]
2n
1 2
人教A版高中数学必修五课件2.3等差数列的前n项的和(一).ppt
解：Q Sn 1 2 3 L (n 1) n
Sn n (n 1) (n 2) L 2 1
2Sn (114n4) 4(14 2n) 4L4 4(143n)
n
Sn
n(n 1) 2
(倒序相加法）
3、数列{an}的前 n 项和常用sn表示 ,
即sn = a1 a2 a3L an1+a.n
你知道高斯的妙解吗？
• 高斯的算法： • 首项与末项的和：1+100=101, • 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, • 第3项与倒数第3项的和：3+98=101,
• …… • 第50项与倒数第50项的和：50+51=101 • 于是所求的和为：
101 100 5050 2
问题1：1+2+3+…+n=?
=n (a1+an)
即
Sn=n(a1
2
an
)
——等差数列的 前n项和公式
例如： 1+2+3+ ··· +100=100(1 100) 5050
2
因为 an a1 (n 1)d
Sn
n(a1 an ) 2
n[a1
a1
(n 1)d] 2
na1
n(n 2
1)
d
等差数列的前n项和二个公式：
sn 158, an 44, d 3
sn
na1
n(n 1) 2
3 158
an a1 (n 1) 3 44
解得：n=4
答：这个多边形是四边形
5、在小于 100 的正整数中共有多少个被 7 除余 2 的数?这些数的和是多少?
解：这些数构成等差数列{an},且
高中数学人教版必修5等差数列的前n项和 课件PPT
②当 n≥6 时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n) ＝n2－10n＋50，
－n2＋10n n≤5， 故 Tn＝n2－10n＋50 n≥6.
由 Sn 求 an [典例] (本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
法二：同法一先求出 d＝－2. ∵a1＝25>0，
由aann＝ ＋1＝252－5－2n2n－≤10≥，0， 得nn≥≤222257，，
∴当 n＝13 时，Sn 有最大值， S13＝25×13＋13×122×－2＝169.
法三：同法一先求出 d＝－2.由 S17＝S9， 得 a10＋a11＋…＋a17＝0， 而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故 a13＋a14＝0， ∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0， 故 n＝13 时，Sn 有最大值，且 S13＝25×13＋13×122×－2＝169.
3．已知等差数列{an}中，记 Sn 是它的前 n 项和，若 S2＝16，S4＝24， 求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.
2a1＋2×2 1d＝16， 解析 ：由 S2＝16，S4＝24，得4a1＋4×2 3d＝24，
即22aa11＋ ＋d3＝d＝161， 2， 解得ad1＝＝－9，2. 所以等差数列{an}的通项公式为 an＝11－2n(n∈N*)． ①当 n≤5 时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋ 10n.
2．3 等差数列的前 n 项和
高中数学 2.3.2等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5
（a＋2d）×3a＋1 3d＝21， （3a＋3d）＋（a＋14d）＝21.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
解得ad＝＝11，. 所以 an＝n(n∈N*)，
Sn＝（1＋2n）n，
栏
bn＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1(n∈N*)，
目 链 接
Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ 2 11－21 ＋ 2 12－31 ＋ 2 13－14 ＋ … ＋
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
13
谢谢欣赏！
学习目标 预习导学 典例精析
2n－1 1－n1＋2n1－n＋1 1＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
点评：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，
栏
同时明确解题方向．求数列{bn}的前 n 项和 Tn 使用的是裂项法．
目 链
接
学习目标 预习导学 典例精析
题型2 求数列通项公式
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
解得ad＝＝11，. 所以 an＝n(n∈N*)，
Sn＝（1＋2n）n，
栏
bn＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1(n∈N*)，
目 链 接
Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ 2 11－21 ＋ 2 12－31 ＋ 2 13－14 ＋ … ＋
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
13
谢谢欣赏！
学习目标 预习导学 典例精析
2n－1 1－n1＋2n1－n＋1 1＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
点评：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，
栏
同时明确解题方向．求数列{bn}的前 n 项和 Tn 使用的是裂项法．
目 链
接
学习目标 预习导学 典例精析
题型2 求数列通项公式
人教A版数学必修五2.3 等差数列的前n项和 课件(23张)
第五页，编辑于星期日：四点 十四分。
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多
少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(1
21) 21 2
21
1
第六页，编辑于星期日：四点 十四分。
问题2
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放 一支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放着多少支铅 笔？
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
根据等差数列前n项和公式： sn na1 有 10n n(n 1) 4 54成立
2 整理后, 得n2 6n 27 0
n(n 1) d 2
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
第十五页，编辑于星期日：四点 十四分。
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且
m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解: 由7n<100得 n<100／7, n 14 2 .
7
由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即
例1． 某长跑运动员7天里每天的训练 量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？
解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
根据等差数列前n项和公式，得
等差数列的前n项和（一）
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多
少颗宝石？
1 2 3
21 20 19
获得算法：
s21
(1
21) 21 2
21
1
第六页，编辑于星期日：四点 十四分。
问题2
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放 一支，最上面一层放100支. 这个V形架上共放着多少支铅 笔？
解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
根据等差数列前n项和公式： sn na1 有 10n n(n 1) 4 54成立
2 整理后, 得n2 6n 27 0
n(n 1) d 2
解得 n1=9, n２=－3(舍去)
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
第十五页，编辑于星期日：四点 十四分。
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且
m<100}的元素个数, 并求这些元素的和. 解: 由7n<100得 n<100／7, n 14 2 .
7
由于满足它的正整数n共有14个, ∴集合M中的元素共有14个. 即
例1． 某长跑运动员7天里每天的训练 量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？
解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
根据等差数列前n项和公式，得
等差数列的前n项和（一）
高中数学人教A版必修5第二章2.3 等差数列的前n项和3课时课件(共85张PPT)
(1) a1=20, an=54, Sn=999, 求 d 及 n;
(2)
d=
1 3
,
n=37,
Sn=629,
求 a1 及 an;
(3)
a1=
5 6
,
d=
-
1 6
,
Sn=-5,
求 n 及 an;
(4) d=2, n=15, an=-10, 求 a1 及 Sn.
解: (2)
解得 a1=11,
则 an=a1+(n-1)d
求这
个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗? 如果是,
它的首项与公差分别是什么?
解:
当n
=
1时，a1
=
S1
=
3 2
当n
2时，an
=
Sn
-
Sn-1
=
n
2
+
1 2
n
-
n -12
+
1 2
(n
-1)
= 2n - 1 2
当n
=
1时，a1
=
3 2
也符合上式
an
=
2n -
1 2
(n
N)
变式：若Sn
=
n2
= (a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+…+(an+a1) = n(a1+an)
倒序相加法
等差数列前 n 项和:
将an用通项公式代换后, 公式变为:
请同学们比较, 这两个公式有什么不同? 各个公 式在什么情况下用较方便?
1.数列的前n项和 Sn = a1 + a2 + + an
《等差数列的前n项和(一)》新人教数学A版必修五课件
2.3 等差数列的 前n项和 (一)
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数)
讲解范例:
例5. 已知等差数列{an}前四项和为21， 最后四项的和为67，所有项的和为 286，求项数n.
讲解范例:
例6. 已知一个等差数列{an}前10项和为 310，前20项的和为1220，由这些条件 能确定这个等差数列的前n项的和吗？
思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
讲解范例:
例3. 求集合
M {m | m 7n, n N *且m 100}
的元素个数，并求这些元素的和．
讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S12＝84，S20＝460，求S28.
练习:
1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200， 求S101.
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
复习引入
1. 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： (1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1). (2) an＝am＋(n－m)d . (3) an＝pn＋q (p、q是常数)
讲解范例:
例5. 已知等差数列{an}前四项和为21， 最后四项的和为67，所有项的和为 286，求项数n.
讲解范例:
例6. 已知一个等差数列{an}前10项和为 310，前20项的和为1220，由这些条件 能确定这个等差数列的前n项的和吗？
思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
复习引入
小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时， 有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家 在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时， 高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
讲解范例:
例3. 求集合
M {m | m 7n, n N *且m 100}
的元素个数，并求这些元素的和．
讲解范例:
例4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若 S12＝84，S20＝460，求S28.
练习:
1. 在等差数列{an}中，已知a3＋a99＝200， 求S101.
高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和一课件新人教A版必修5
情景导入
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是
十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为
纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯
白大理石砌建而成的主体建筑叫人
心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人
叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，
以相同大小的圆宝石镶饰而成，共
有100层（见左图），奢靡之程度，
可见一斑。
＝10d＋10d＋…＋10d ＝100d，类似可得
10个
(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
探究点1 等差数列前n项和公式的应用
命题角度1 方程思想 例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220， 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
阅读教材 P42～P44 例 2，完成下列问题．
1．数列的前 n 项和的概念
一般地，称 a1＋a2＋…＋an ＝ a1＋a2＋…＋an .
为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn
2．等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公
na1＋an
式
Sn＝
2
Sn＝ na1＋nn2－1d
合作探究
问题1
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51) ＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋ 2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相
加来回避这个问题： 设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)，
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是
十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为
纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯
白大理石砌建而成的主体建筑叫人
心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人
叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，
以相同大小的圆宝石镶饰而成，共
有100层（见左图），奢靡之程度，
可见一斑。
＝10d＋10d＋…＋10d ＝100d，类似可得
10个
(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
探究点1 等差数列前n项和公式的应用
命题角度1 方程思想 例1 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1 220， 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
阅读教材 P42～P44 例 2，完成下列问题．
1．数列的前 n 项和的概念
一般地，称 a1＋a2＋…＋an ＝ a1＋a2＋…＋an .
为数列{an}的前 n 项和，用 Sn 表示，即 Sn
2．等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公
na1＋an
式
Sn＝
2
Sn＝ na1＋nn2－1d
合作探究
问题1
高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51) ＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋ 2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？
不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相
加来回避这个问题： 设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)， ∴2Sn＝n(n＋1)，