高中数学1.2.1平面的基本性质苏教版必修ppt课件

解 已知：四条直线 a、b、c、d 两两相交，且不过同一点． 求证：a、b、c、d 共面．
(1)若 a、b、c、d 四条直线中有三条共点，不妨设 a∩b∩c ＝A，a∩d＝B，b∩d＝C，c∩d＝D，且相交直线 a、d 所确定 的平面为 α，图像如图所示．
∵A∈a，a⊂α，∴A∈α，∵C∈d，d⊂α，∴C∈α. ∴AC⊂α，即 b⊂α. 同理，c⊂α.∴a、b、c、d 共面于 α.
名师点睛 1．证明直线在平面内的方法：证明直线上有两点在平面内． 2．证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问 题称作共面问题，共面问题的证明，一般先确定平面，然后再 证明元素在这个确定的平面内，确定平面时，确定平面的元素 必须满足公理 3 或其三个推论的条件，证明元素在平面内，常 依据公理 1 或用反证法或用平面重合的方法．
3．证明点在直线上的方法：首先确定这条直线是哪两个平 面的交线，然后证明这个点是这两个平面的公共点．
4．证明线共点的方法：先由某两条直线或某几条直线共点， 然后再证余下的直线过此点.
题型一 共面问题的证明 【例 1】 求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同 一平面内． [思路探索] 证明时可以先用推论 2，通过两条相交直线确 定一个平面，再用公理 1 证明其他直线也在这个平面内．
直线 AB 与直线 BC 交于点 B AB∩BC＝B
直线 AB 在平面 AC 内 AB⊂平面 AC
同理，点 P 不在直线 AB 上，记作 P∉AB；点 M 不在平面 AC 上，记作 M∉平面 AC；直线 AB 不在平面 AC 内，记作 AB⊄ 平面 AC.
3．平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的 两点 在一个平面内，那么
1．2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
【课标要求】 1．了解公理 1、公理 2、公理 3 及其推论 1、推论 2、推论 3. 2．能用公理 1、2、3 及其推论解决三线共点、三点共线及 点线共面问题．
【核心扫描】 1．公理 1、公理 2、公理 3 及其推论 1、推论 2、推论 3 的 了解．(重点) 2．能用公理 1、2、3 及其推论解决三线共点、三点共线及 点线共面问题．(难点)
(2)若 a、b、c、d 四直线无三条直线共点，设 a∩b＝A，a∩c ＝B，b∩c＝C，d∩a＝D，d∩b＝E，d∩c＝F，且相交直线 a、 b 确定的平面为 α，图像如图所示．
∵B∈a，a⊂α，∴B∈α，同理 C∈α. ∴BC⊂α，即 c⊂α，同理 d⊂α.∴a、b、c、d 共面于 α. 综合(1)(2)可知，a、b、c、d 四线共面．
证明 连接 MD1， 易知 MD1 是平面 ACD1 和平面 BB1D1D 的交线， ∵O∈B1D，B1D⊂平面 BB1D1D， ∴O∈平面 BB1D1D. 又 O∈平面 ACD1，∴O∈MD1.∴M、O、D1 三点共线．
4．平面的基本性质的推论 (1)推论 1 经过 一条直线和这条直线外的一点 ，有且只 有一个平面． (2)推论 2 经过 两条相交直线 ，有且只有一个平面． (3)推论 3 经过 两条平行直线 ，有且只有一个平面．
试一试：在立体几何中如何直接应用平面几何中的有关定 理解题或证题．
提示 将有关元素化归到一个平面内，才可以用平面几何 中有关定理解题或证题．如果不能化归到一个平面内，则平面 几何中有关定理或不成立，或成立但也不能直接应用，必须先 给出证明再使用．
规律方法 证明多线共面的一种方法是先由公理 3 确定一 个平面，再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．另 一种方法是先由一部分线确定一个平面，由另一部分线确定另 一个平面，再让这两个面重合．
【训练 1】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相 交，证明：这四条直线共面．
解析 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a、b、c、l 共面．
规律方法 证明点共线常有两种思路：一是过其中两点作一 条直线，然后证明其余的点都在这条直线上；二是由已知条件 设法证明这些点在两个平面的交线上．
【训练 2】 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B1D 与 平面 ACD1 交于点 O，BD 与平面 ACD1 交于点 M，求证：M、O、 D1 三点共线．
这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：
A∈α B∈α
⇒AB⊂α.
(2)公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还 有 其他公共点 ，这些公共点的集合是经过这个公共点的一
条直线．
用符号表示为： PP∈∈αβ⇒α∩β＝l 且 P∈l.只有 一个 平面．公理 3 也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．
[思路探索] 本题主要考查三点共线的证明，关键是证明这 三个点都是两个已知平面的公共点．由已知条件，可取平面 ABC 和平面 α，只需证 P、Q、R 是这两个平面的公共点即可．
证明 由已知 AB 的延长线交平面 α 于点 P，根据公理 2， 平面 ABC 与平面 α 必相交于一条直线，设为 l.
∵P∈直线 AB，∴P∈平面 ABC. 又直线 AB∩平面 α＝P，∴P∈平面 α， ∴P 是平面 ABC 与平面 α 的公共点． ∵平面 ABC∩平面 α＝l，∴P∈l. 同理，Q∈l，R∈l. ∴点 P、Q、R 在同一条直线上．
自学导引 1．平面的概念 平面通常用希腊字母 α，β，γ，…表示，也可以用平行四边 形的两个相对顶点的字母表示，如图所示的平面可表示 为平面α 或平面 ABCD或平面 AC 或平面 BD .
2．点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点 P 在直线 AB 上
P∈AB
点 M 在平面 AC 上
M∈平面 AC
如图： ∵a∥b，∴a、b 确定平面 α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴l 上有两点 A、B 在 α 内． 即直线 l⊂a，∴a、b、l 共面． 同理，a、c、l 共面，即 c 也在 a、l 确定的平面内． 故 a、b、c、l 共面．
题型二 点共线问题的证明
【例 2】 如图，已知△ABC 的三个顶点都不在平面 α 内， 它的三边 AB、BC、AC 延长后分别交平面 α 于点 P、Q、R.求 证：P、Q、R 在同一条直线上．