八年级数学下册2.1.1多边形的内角和课件新版湘教版
（2）已知内角和如何求边数.
作业：p36 练习、p38 A 1
A
∠A+∠B + ∠C + ∠D + ∠ E + ∠F + ∠G就是五边形ABCFG的内角和。
E
B
O
C
F
练习 1、如图，多边形应记作 五 边形 ABCDE， AB边的邻边是 AE 、 BC ，顶点E处的内角为∠AED， 过顶点A画出这个多边形的对角线，共有 2 条， E 它们把多边形分成 3 个三角形. A D 2、四边形有 2 条对角线． 五边形有 5 条对角线. B C 3、正多边形的 边 相等， 角 相等 4、八边形的内角和等于 1080 度.
例1、 (1)十边形的内角和是多少度？
解：
(1)十边形的内角和是 (10-2) ×180°=1440°.
(2)一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？ 解：设这个多边形的边数为n，则
(n-2) ×180°=1980°, 解得 n=13. 所以这是一个十三边形. 例2、四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D =
0 条对角线; 从一个顶点出发，三角形能引出__
1 条对角线; 四边形能引出__
2 条对角线; 五边形能引出__
3 条对角线; 六边形能引出__
4 条对角线; 七边形能引出__ n边形能引出 (n-3) 条对角线.
想一想
一个多边形一共有多少条对角线？ n(n-3) 2
关于特殊的多边形----正多边形
关于多边形的几个概念 边：组成多边形的各条线段。 顶点：相邻两条边的公共端点 内角（角）：相邻两边组成的角 外角：一边和相邻一边的延长线所组成的角 外角 对角线：连接不相邻的两 个顶点的线段 关于多边形的边、角 n边形有 n 条边， n 2n 外角。 角，
边 对角线 内角
顶点
探究
关于多边形的对角线
1∶2∶3∶4，求各个角的大小。
解：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D = 360° 1 ∠A= 10 ×360°= 36° ∠B=72° ∠C=108° ∠D=144°
例3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多 边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的内角 和是多少？ 解：设多边形的边数为n，则：n-2=5 ∴n=7 它的内角和是：5×180°=900° 例4、已知一个多边形，它的内角和 等于五边形 的内角和的2倍，求这个多边形的边数． 解：设边数为n，则可列方程为： (n-2)×180°=(5-2)×180°×2 解得 n=8 例5、已知一个多边形各个内角都相等，都等于 150°，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n， 可得方程：(n-2)×180°=150×n 得：n=12
5、一个多边形的内角和等于1260° ， 这个多边 形是 九 边形.
6、一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个 正八 多边形是 边形. 7、如图，在△ABC中，∠A=50°， 点D、E分别在AB、AC上， 则∠1+∠2= 230°。 A ∵∠A=50° ∴ ∠B +∠C=130° ∴∠1+∠2=360°-130°=230°
A B C E
D
什么是多边形？ 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫作多边形。 如：上图叫五边形、六边形、……n边形。
观察
看一看，下列图形有什么不同？ 凸多边形 凹多边形
所有边在某一条边所 在直线的同旁。
所有边在某一条边所 在直线的两侧。
右图所示的图形也是多边形，但不在我们现在 研究的范围内。
E C
1 2
D
B
思考 小明想：2008年奥运会在北京召开，设计 一个内角和为2008°的多边形图案多有意义，小明 的想法能实现吗？为什么？
本节课你学到了哪些知识？
一、多边形的有关概念；
二、多边形的内角和公式； 多边形内角和 转化 三角形内角和
n边形的内角和等于（n-2）· 180° . 三、多边形的内角和公式的应用； （1）已知边数如何求内角和；
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么 这样的多边形就叫做正多边形. 如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 .
探究 多边形内角和
多边形边数
从一个顶点引对角 线的条数 分成的三角形个数 多边形的内角和
3
0 1
4
1 2
5
2 3
６
3 4
n
n- 3 n- 2 (n-2)· 1800
1800 3600 5400 7200
例6、一个多边形去掉一个内角后，其余各内角之 和为2210°，求这个多边形的边数． 解：设边数为n,根据题意得: 2210°＜(n-2) ×180°＜2210°+180°
5 14 18 <n<15 18 5
n为整数，∴ n=15
例7、如图，求∠A+∠B + ∠C + ∠D + ∠ E + ∠F + ∠G 的度数。 分析：连接CF，设CD，EF的交点为O， D G ∠D+∠E= ∠DOF= ∠OCF + ∠OFC
你能得到什么结论？ n边形的内角和等于(n-2) · 180°.
说一说 还有其他方法探究n边形的内角和公式吗？
An
A1 A2
A3
A7
An
360° o
A4
A6 A5
A1 A2 A3 o
A7 A6 A5 A4
如图，在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接， 把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和 n· 180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为 （ n- 2） · 180°. 这些不同方法的共性是什么？ 作辅助线构造三角形，将多边形的内角和转化为三角 形的内角和，这体现了化未知为已知的转化思想。 体现了多边形与三角形的关系。
湘教版 SHUXUE 八年级下
本节内容 本课内容
2.1.1
----多边形的内角和
看一看 在下列图案中你能发现哪些几何图形呢？
动脑筋
我们已经知道什么叫三角形。
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成 的平面图形，叫三角形。 A 你能根据三角形的定义， 说出什么叫四边形吗？
B D 四边形
C
由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成 的平面图形，叫四边形。 记为：四边形ABCD.
合集下载
湘教版初中数学八年级下册2.1 第1课时 多边形的内角
19.一个多边形，除了一个内角外其余各内角的和为 2 750°，求这个内角的度数.
20.某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为 1 560°，问这 个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
TB:小初高题库
湘教版初中数学
21.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6Ƶ
D.8
知识点 1 多边形的有关概念
1.从 n 边形的一个顶点作对角线，把这个 n 边形分成三角形的个数是( )
A.n 个
B.(n-1)个
C.(n-2)个
D.(n-3)个
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片
原来的形状不可能是( )
A.六边形
A.360°
B.540°
C.720°
D.630°
第 14 题图
第 15 题图
15.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=45°.直线 l 与边 AB、AD 分别相交于点 M、N，则∠
1+∠2＝__________.
16.凸 n 边形的对角线的条数记作 an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5=__________；②a6-
B A 20,
17.由题意知 C 2A,
解得∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
A B C 60 360.
18.设两个多边形的边数分别为 x、2x，则有 (x-2)×180°+(2x-2)×180°=1 440°.解得 x=4. 故这两个多边形的边数分别为 4 和 8.
19.设这个多边形有 n 条边，则有
a5=__________；③an+1-an=__________(n≥4，用含 n 的代数式表示). 17.在四边形 ABCD 中，∠D=60°，∠B 比∠A 大 20°，∠C 是∠A 的 2 倍，求∠A、∠
20.某同学在求多边形的内角和时，多算了一个内角的度数，求得内角和为 1 560°，问这 个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
TB:小初高题库
湘教版初中数学
21.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6Ƶ
D.8
知识点 1 多边形的有关概念
1.从 n 边形的一个顶点作对角线，把这个 n 边形分成三角形的个数是( )
A.n 个
B.(n-1)个
C.(n-2)个
D.(n-3)个
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片
原来的形状不可能是( )
A.六边形
A.360°
B.540°
C.720°
D.630°
第 14 题图
第 15 题图
15.如图，在四边形 ABCD 中，∠A=45°.直线 l 与边 AB、AD 分别相交于点 M、N，则∠
1+∠2＝__________.
16.凸 n 边形的对角线的条数记作 an(n≥4)，例如：a4=2，那么：①a5=__________；②a6-
B A 20,
17.由题意知 C 2A,
解得∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.
A B C 60 360.
18.设两个多边形的边数分别为 x、2x，则有 (x-2)×180°+(2x-2)×180°=1 440°.解得 x=4. 故这两个多边形的边数分别为 4 和 8.
19.设这个多边形有 n 条边，则有
a5=__________；③an+1-an=__________(n≥4，用含 n 的代数式表示). 17.在四边形 ABCD 中，∠D=60°，∠B 比∠A 大 20°，∠C 是∠A 的 2 倍，求∠A、∠
湘教版八年级下册数学课件第2章四边形2.1.1多边形的概念及其内角和
解：∵在四边形 ABCD 中，∠A＝145°，∠D＝75°， ∴∠ABC＋∠BCD＝360°－(145°＋75°)＝140°. ∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 E， ∴∠EBC＋∠ECB＝12∠ABC＋12∠BCD＝70°， ∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
能力提升练
②在①的条件下，若延长 BA，CD 交于点 F(如图④)，将原来的 条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不 变，∠BEC 的度数会发生变化吗？ 若不变，请说明理由； 若变化，求出∠BEC 的度数．
线的同一旁，把这样的多边形叫作 凹多边形．求凹多边形的内角和时， 可将其补成凸多边形，然后利用 多边形的内角和公式求解． 例如： 如图①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数．
素养核心练 [分析]我们无法利用公式计算图形中的各角之和，但是通过 连接 BC，可以将图形转化为三角形，并利用三角形的内角 和整体计算各角的度数和． 解：连接 BC，则∠D＋∠E＋∠1＝∠2＋∠FBC＋∠FCB＝ 180°. ∵∠1＝∠2， ∴∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB.
能力提升练
解：不变．理由如下：∵∠F＝40°， ∴∠FBC＋∠BCF＝180°－40°＝140°. ∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 E， ∴∠EBC＋∠ECB＝12∠ABC＋12∠BCD＝70°， ∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
素养核心练 17．阅读理解： (1)把多边形的某一边向两方延长，其他各边不都在延长所得的直
素养核心练
∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABC＋
∠ACB＝180°.
上述解题过程不含下列数学思想中的( B )
A．数形结合思想 B．从特殊到一般思想
能力提升练
②在①的条件下，若延长 BA，CD 交于点 F(如图④)，将原来的 条件“∠A＝145°，∠D＝75°”改为“∠F＝40°”，其他条件不 变，∠BEC 的度数会发生变化吗？ 若不变，请说明理由； 若变化，求出∠BEC 的度数．
线的同一旁，把这样的多边形叫作 凹多边形．求凹多边形的内角和时， 可将其补成凸多边形，然后利用 多边形的内角和公式求解． 例如： 如图①，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数．
素养核心练 [分析]我们无法利用公式计算图形中的各角之和，但是通过 连接 BC，可以将图形转化为三角形，并利用三角形的内角 和整体计算各角的度数和． 解：连接 BC，则∠D＋∠E＋∠1＝∠2＋∠FBC＋∠FCB＝ 180°. ∵∠1＝∠2， ∴∠D＋∠E＝∠FBC＋∠FCB.
能力提升练
解：不变．理由如下：∵∠F＝40°， ∴∠FBC＋∠BCF＝180°－40°＝140°. ∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 E， ∴∠EBC＋∠ECB＝12∠ABC＋12∠BCD＝70°， ∴∠BEC＝180°－70°＝110°.
素养核心练 17．阅读理解： (1)把多边形的某一边向两方延长，其他各边不都在延长所得的直
素养核心练
∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABC＋
∠ACB＝180°.
上述解题过程不含下列数学思想中的( B )
A．数形结合思想 B．从特殊到一般思想
湘教版八年级下册数学课件 多边形的内角
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-100°-75°-135°=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ 1∠EAB，
2
同理可得∠ABP＝
1
∠ABC，
2
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
E
A
A
F
B
DB
E
C
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
边数 三角形 四边形 五边形 六边形
··· n 边形
图形 ···
由特殊到一般
从多边形的一顶点 引出的对角线条数
分割出三角 形的个数
多边形内角和
0
1
1×180º=180º
1
2
2×1=540º
3
4
4×180º=720º
···
···
······
n -3
n -2 （ n -2 ）·180º
总结归纳 多边形
分割
三角形 转化思想
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上 内部 外部
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
练一练
完成下面的表格： 正多边 形边数 3 4 5 6 8
n
内角
D A
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
湘教版八年级数学XJ版下册精品教学课件 第2章 四边形 多边形 2.1 第1课时 多边形的内角
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
A P•
B
D
这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已学的三角 形内角和求解.
C
结论： 四边形的内角和为360°.
例2：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组
对角有什么关系？试说明理由.
A
解：如图，四边形ABCD中，
3
4
4×180º=720º
···
···
······
n -3
n -2 （ n -2 ）·180º
总结归纳 多边形
分割
三角形 转化思想
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上
内部
外部
多边形的内角和公式：
练习
完成下面的表格：
正多边 形边数
3 4 5 6 8
n
内角
60 ° 90 ° 108 ° 120 ° 135 °
新课引入
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形. 观察图片，你能找到一些由线段围成的图形吗？
中国第一奇村诸葛八卦村 美国国防部大楼——五角大楼
模块一 多边形的定义及相关概念
问题1 什么是三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成 的图形叫做三角形. 问题2 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念， 你能说出什么是多边形吗？
随堂练习 4.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ C ）
A.360°
B.540 °
C.720 °
【湘教版八年级数学下册课件】2.1 第1课时 多边形的内角
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC， ∴∠CDF+∠EBF=90°， ∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD， ∴∠CDF+∠CFD=90°， 故△DCF为直角三角形． 运用了整体思想
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
D A
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
E
B C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
……
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
从同Байду номын сангаас顶点
引出的对角 0
1
2
3
5
线的条数
分割出的三
角形的个数 1
2
3
46
n边形
n-3
n-2
归纳总结
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线. 将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线 n(n 3) 条. 2
第2章 四边形 2.1 多边形
第1课时
学习目标
情境引入
1.了解并掌握多边形及有关概念;
2.对角线条数与多边形的边数的关系;（重点）
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
D A
B
E
C
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
E
B C
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
……
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形
从同Байду номын сангаас顶点
引出的对角 0
1
2
3
5
线的条数
分割出的三
角形的个数 1
2
3
46
n边形
n-3
n-2
归纳总结
从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线. 将多边形分成(n-2)个三角形.
n(n≥3)边形共有对角线 n(n 3) 条. 2
第2章 四边形 2.1 多边形
第1课时
学习目标
情境引入
1.了解并掌握多边形及有关概念;
2.对角线条数与多边形的边数的关系;（重点）
2021年湘教版八年级数学下册第二章《多边形的内角》公开课课件
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/2/62021/2/62021/2/62021/2/6
谢谢观看
第2章 四边形 2.1 多边形
第1课时 多边形的内角
观察：你能从下列图中找出一些由线段首尾 相连所组成的图形吗？
多边形的有关概念：
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的 图形叫多边形.
组成多边形的各条线段叫作多边形的边. 相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点. 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 对角线. 相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称 多边形的角.
例如在图中，AB是边，E是顶点，BD是对角线， ∠A是内角.
多边形根据边数可以分为三角形，四边形，五 边形，······
在平面内，边相等、角也都相等
的多边形叫作正多边形.
动脑筋
三角形的内角和等于180°，四 边 形的内角和是多少度呢？
如图，四边形ABCD的一条对角 线AC把它分成两个三角形，因此四
边
形的内角和等于这两个三角形的内角
和，即180°×2=360°.
探究
在下列各个多边形中，任取一个顶点， 通过该顶点画出所有的对角线，并完成下表.
图形 五边形 六边形 七边形 八边形 ······ n边形
边数 5 6 7 8 ··· n
Hale Waihona Puke 可分成三角形的个数 多边形的内角和
3
（5-2）×180°
4
（6-2）×180°
解：设这个多边形的边数为n，则
（n-2）·180°=1800°. 解得 n=12. 答：它是十二边形.
练习
2.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成 10个三角形，那么这个多边形是几边形？
2.1 多边形 第1课时 多边形的内角 课件2021-2022学年湘教版数学八年级下册
2、如图，在四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AB，BC 上，将 △ BMN 沿 MN 翻折，得到△FMN，若 MF∥AD，FN∥DC， 求∠B 的度数．
解：由翻折的性质，知∠F＝∠B. 由平行线的性质，知∠BNF＝∠C＝70°，∠BMF＝∠A＝100°. 由四边形的内角和为 360°，得∠BMF＋∠B＋∠BNF＋∠F＝ 360°. 所以∠B＝∠F＝95°.
第2章 四边形 2.1 多边形
第1课时 多边形的内角
观察：你能从下列图中找出一些由线段首尾 相连所组成的图形吗？
学习目标：
1、理解多边形及正多边形的定义； 2、掌握多边形的内角和公式。 3、探索多边形对角线的条数和边数之间的关系。
自学指导：
仔细阅读教材P34-P35，时间：5分钟；完 成下列任务： 1、阅读P34“观察”，了解多边形的有关概念， 多边形的定义及正多边形的定义； 2、阅读P34“动脑筋”及P35中的“探究” 探 索多边形的内角和公式； 3、阅读P36内容，掌握多边形内角 公式的应 用。
多边形的有关概念：
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的 图形叫多边形.
组成多边形的各条线段叫作多边形的边. 相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点. 连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的 对角线. 相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称 多边形的角.
例如在图中，AB是边，E是顶点，BD是对角线， ∠A是内角.
3 已知两个多边形的内角和为，且这两个多边形 的边数之比为2:3，求这两个多边形 的边数。
4. 四边形的四个内角可以都是锐角吗？可以都是 钝角吗？可以都是直角吗？为什么？
挑战自我 1 为了迎接2014年8月中国南京青奥会的到来，艾
楠同学想设计一个内角和是2014°的多边形图 案，他的想法能实现吗？试说明理由。
2022年湘教版八下《多边形的内角》立体课件(公开课版)
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-100°-75°-135°=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ 1 ∠EAB，
2
同理可得∠ABP＝
1
∠ABC，
2
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
2 属于多项式的有： 2x y, 2a b
3
2.下列多项式各由哪些项组成？各是几次多项式？
( 1 ) 3 x 7 ; ( 2 ) x 2 3 x 4 ; ( 3 ) a b a 2 1 . (4) 6x2 ab3 3
7
例3：一个花坛的形状如图，它的两端是半
径相等的半圆，求 :
a
（1）花坛的周长L
角有什么关系？试说明理由.
A
解：如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D= 360 °，
C
所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
三 正多边形
u定义： 在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫作正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明 为什么？