人教版 高中数学 选修2-2：本册综合测试试卷含答案
高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析
高中数学选修2-2综合测试试题及答案解析时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是导学号 10510897( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2D ．y ＝x －22．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在导学号 10510898( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是导学号 10510899( )4．定义复数的一种运算z 1*z 2=|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为导学号 10510900( )A.92B.322C.32D ．945．(2016·宜春高二检测)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2015，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，则f 2016(x )＝导学号 10510901( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是导学号 10510902( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．17．(2016·哈尔滨质检)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图象恰好经过k 个格点，则称函数为k 阶格点函数．已知函数：①y ＝sin x; ②y ＝cos(x ＋π6)；③y ＝e x －1;④y ＝x 2.其中为一阶格点函数的序号为导学号 10510903( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．②④8．(2016·淄博高二检测)下列求导运算正确的是导学号 10510904( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1 B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )29．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是导学号 10510905( )A ．289B ．1024C ．1225D ．137810．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝导学号 10510906( )A ．64B ．32C ．16D ．811．(2016·全国卷Ⅲ理，12)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有导学号 10510907( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个12．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是导学号 10510908( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.导学号 1051090914．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________.导学号 1051091015．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：导学号 10510911 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．16．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.导学号 10510912三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·大连高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .导学号 10510913(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．18．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值.导学号 1051091419．(本题满分12分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设c n ＝a n －b n ，其中n ∈N *.导学号 10510915(1)求证：数列{c n }既不是等差数列也不是等比数列； (2)试比较c n 与c n ＋1的大小．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝x ln x .导学号 10510916 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．21．(本题满分12分)(2016·贵州高二检测)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，….导学号 10510917(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明．22．(本题满分12分)(2016·北京文，20)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .导学号 10510918 (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选修2-2综合测试试题答案解析1．[答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.2． [答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.3． [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ； 又f (x )的顶点在第四象限，∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．[答案] B[解析] 由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2，∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9，由二次函数可知当a ＝32时，上式取最小值322.故选B.5．[答案] A[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2015x 2014，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2015× 2014x 2013， f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2015×2014×2013x 2012，…，∴f 2016(x )＝sin x ＋e x .6．[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7． [答案] C[解析] 对于①，注意到y ＝sin x 的值域是[－1,1]；当sin x ＝0时，x ＝k π(k ∈Z )，此时相应的整数x ＝0；当sin x ＝±1时，x ＝k π＋π2(k ∈Z )，此时没有相应的整数x ，因此函数y ＝sin x 仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y ＝cos(x ＋π6)不是一阶格点函数．对于③，令y ＝e x －1＝k (k ∈Z )得e x ＝k ＋1>0，x ＝ln(k ＋1)，仅当k ＝0时，x ＝0∈Z ，因此函数y ＝e x －1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y ＝x 2的图象经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y ＝x 2不是一阶格点函数．综上所述知选C.8．[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x)′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.9．[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半； 一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.10．[答案] A[解析] y ′＝－12x －32，∴k ＝－12a －32，切线方程是y －a －12＝－12a －32(x －a )，令x ＝0，y ＝32a －12，令y ＝0，x ＝3a ，∴三角形的面积是S ＝12·3a ·32a －12＝18，解得a ＝64.11． [答案] C[解析] 由题意可得a 1＝0，a 8＝1，a 2，a 3，…，a 7中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．12．[答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ， 当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1.∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数 而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数， ∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6； 当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 13． [答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2， ∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.14．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立，∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， ∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .15． [答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.16． [答案] 1－ln2[解析] 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1ln x 1＋1＝－x 2x 2＋1＋ln (x 2＋1)，解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln2.17． [解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．18． [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3π2.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(3π2，2π)，单调减区间为(π，3π2)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (3π2)＝3π2.19． [解析] (1)证明：依题意，a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，c n ＝n 2＋1－n . 假设{c n }是等差数列，则2c 2＝c 1＋c 3，∴2(5－2)＝2－1＋10－3. ∴25＝2＋10，产生矛盾， ∴{c n }不是等差数列．假设{c n }是等比数列，则c 22＝c 1c 3，即(5－2)2＝(2－1)(10－3)．有6＝65－32－10，产生矛盾， ∴{c n }也不是等比数列．(2)解：∵c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)>0，c n ＝n 2＋1－n >0， ∴c n ＋1c n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)， 0<n 2＋1<(n ＋1)2＋1， 又0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <(n ＋1)2＋1＋n ＋1， ∴0<n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，∴c n ＋1c n<1，即c n ＋1<c n . 20． [解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12，f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e ， 又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e .21． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立． 由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22． [解析] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈(－2，－23)，x 3∈(－23，0)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈(0，3227)时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增；所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
最新人教版高中数学选修2-2各章检测试卷(全册 共3章 附答案)
由图象知0<f′(3)<kAB<f′(2)．
答案：B
6．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为()
A．21 B．－21
C．27 D．－27
解析：因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以 ⇒
所以a－b＝－3＋24＝21.故选A.
答案：A
7．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是()
答案：B
9．由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为()
A. (－x)dxB. |－x|dx
C. －1xdxD．－ xdx
解析：由定积分的几何意义可知所求图形的面积为S＝ |－x|dx.
答案：B
10．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所作的功为()
最新人教版高中数学选修
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式正确的是()
A．(sina)′＝cosa(a为常数)
B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx
D．(x－5)′＝－ x－6
解析：由导数公式知选项A中(sina)′＝0；选项B中(cosx)′＝－sinx；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
A．10 J B．14 J
C．7 J D．28 J
解析：W＝ F(x)dx
＝ (4x－1)dx＝(2x2－x)
＝(2·32－3)－(2·12－1)＝14 J.
答案：B
11．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是 ，则c等于()
(完整版)高中数学选修2-2综合测试题(附答案).docx
高二数学选修2-2 综合测试题f xg ′ x)>0 ，且 g ( 3) 0 ， 不等式 f x g x)<0的解集是（）( ) ( ( ) (一、 ：A. ( －3，0) ∪(3 ，+∞)B. ( －3，0) ∪(0 ， 3)1、 i 是虚数 位。
已知复数 Z1 3i (1i )4 ， 复数 Z 点落在（）C.( －∞，－ 3) ∪(3 ，+∞)D. (－∞，－ 3) ∪(0 ， 3)3 iA ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限12、在古希腊， 达哥拉斯学派把 1， 3， 6， 10，15，21，28，⋯ 些数叫做三角形数， 8、已知函数 f ( x) x 2bx 的 象在点 A(1, f (1)) 的切 的斜率 3，数列因 些数 的点可以排成一个正三角形f (n)的前 n 和 S n ,S 2011 的 （）200820092010 2011A.B.C .D .200920102011201213610159、 函数 f(x) ＝kx 3 ＋3(k －1)x 2 k 2 ＋ 1在区 （ ， ）上是减函数， k 的取 范 是第 n 个三角形数 （( )0 4）A ． nB ．n(n 1)C ． n21D ．n( n 1)1B. 0 k1C. 0 k1122A. k3 3D. k333、求由曲 yx ，直 yx 2 及 y 所 成的 形的面 的 （）10、函数 yf ( x) 在定 域 ( 3内可 ，其 象如 所示， yf ( x) 的 函数,3)．．24x ) dx B.4xdx C.20 2)dyyf ( x) ， 不等式 f ( x)0 的解集（）A.(2 x0 (2 y y 2 )dy D.(4 y 0224、 复数 z 的共 复数是 z , 且 z1, 又 A( 1,0) 与 B(0,1) 定点 , 函数f ( z)( z1)A ．1 U 2,3,13( z i ) ︱取最大 在复平面上以 z ,A,B 三点 点的 形是C ．3 , 1 U 1,2 A,等 三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰三2 2角形11、 已知函数 f (x)5、函数 f(x) 的定义域为 R ，f(-1)=2,对任意 xR ， f ' ( x) 2 , 则 f ( x)2x4 的解集为小 是(A)(-1 ， 1)(B)(-1，+∞ )(c)(-∞， -l)(D)(-∞,+ ∞ )A.24n 12 n 14( k1) 12( k 1) 13用数学归纳法证明整除时， 当 nk1时，对于 335(n N) 能被 85可变形为6、Ａ． 56·3 4k 14k 152k 1) Ｂ．4 4 k 12 2k4k 12 k 14 k 15 2k 1)12、函数 f ( x)x325(3 3 ·35 ·5 Ｃ． 35Ｄ． 25(3、 f x g x 分 是定 在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x <0， f ′ x g x ＋的取 范 （7( ) ，( )( ) ( )A ．（-24,8）B ．1,2 U 4 , 83 3D ．3, 1 U 1 , 4U 8,322 331 x 3 ax2 bx 1( a 、 bR) 在区 [-1,3] 上是减函数， ab 的最3B. 3C.2D. 323x 29x 3, 若函数 g( x) f ( x) m 在 x [ 2,5] 上有 3 个零点， m）B ．（ -24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2 综合测试题（答题卡）三、解答题：（70 分）一、选择题（ 60分）。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套一、选择题1.复数z＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵z＝2－i＝5/√26－i√26/√26＝(5-i√26)/√26。
在第四象限．∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。
答案：D2.函数f(x)＝x^3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A．10/3B．5/7C．－1/7D．－3/7解析：f′(x)＝3x^2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－3/7.答案：D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。
A．①②③B．①③C．①D．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立。
答案：A4.函数y＝x^3－3x^2－9x(－2<x<2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：y′＝3x^2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，得x＝－1，x＝3，当x0；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值。
答案：C5.函数y＝4x^2＋1/x的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1)C．(1，2)D．(2，＋∞)解析：令y′＝8x－1/x^2＝0，得x=1/2，y′＜0时，x＜1/2；y′＞0时，x＞1/2.答案：C6.下列计算错误的是()A．∫π－πsinxdx＝0B．∫1/2xdx＝1/8C．∫(x^2－1)(x＋1)dx＝∫(x^3－x^2＋x－1)dxD．∫(x^2＋1)/(x^2－2x＋2)dx＝∫(1＋2/(x^2－2x＋2))dx解析：B选项计算错误，正确结果为∫1/2xdx＝1/8.答案：B1.剔除格式错误和明显有问题的段落：无明显问题的段落为第7、9、10、11题，保留。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： ∵z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )2(2＋i )(2－i )＝4－4i －15＝35－45i ，∴复数z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45，在第四象限． 答案： D2．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1D ．－37解析： f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，y －10＝7(x －1)，y ＝0时，x ＝－37.答案： D3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( ) ①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直； ③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交． A ．①②③ B ．①③ C ．①D ．②③解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案： A4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1，x ＝3，当x <－1时，y ′>0；当x >－1时，y ′<0. 当x ＝－1时，y 极大值＝5，x 取不到3，无极小值． 答案： C5．函数y ＝4x 2＋1x 的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．(1，＋∞)解析： 令y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，即(2x －1)(4x 2＋2x ＋1)>0，且x ≠0，得x >12.答案： C6．下列计算错误的是( ) A ．⎠⎛π－πsin x d x ＝0B ．⎠⎛1x d x ＝23C ．cos x d x ＝2cos x d xD ．⎠⎛π－πsin 2x d x ＝0解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果． 答案： D7．用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>1(n ∈N ＋)时，在验证n ＝1时，左边的代数式为( )A ．12＋13＋14B ．12＋13C ．12D ．1解析： 当n ＝1时，不等式左边为11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝12＋13＋14.答案： A8．函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( ) A ．a ＝13B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0解析： x ∈[－1,1]，y ′＝3ax 2－1≤0，且y ′|x ＝±1＝0， ∴3a ＝1，a ＝13.答案： A9．若z1，z2∈C，则z1z2＋z1z2是()A．纯虚数B．实数C．虚数D．不能确定解析：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1z2＋z1z2＝(a＋b i)(c－d i)＋(a －b i)(c＋d i)＝(2ac＋2bd)∈R.答案：B10．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B．15C．－15 D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3(m－3)2＝－1，m2－3m－3(m－3)2＝12，m＝±15，而m>3，所以m＝15.答案：B11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．答案：B12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析： 后一种化合物应有4个C 和10个H ， 所以分子式是C 4H 10. 答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知复数z ＝－1＋i1＋i －1，则在复平面内，z 所对应的点在第__________ 象限．解析： z ＝－1＋i1＋i －1＝－1＋i.答案： 二14．垂直于直线2x －6y ＋1＝0并且与曲线y ＝x 3＋3x 2－5相切的直线方程是________． 解析： 设切点为P (a ，b )，函数y ＝x 3＋3x 2－5的导数为y ′＝3x 2＋6x ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2＋6a ＝－3，得a ＝－1，代入到y ＝x 3＋3x 2－5，得b ＝－3，即P (－1，－3)，y ＋3＝－3(x ＋1)，3x ＋y ＋6＝0.答案： 3x ＋y ＋6＝015．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则a 的值为________．解析： 由题意可知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(0)＝0 ∴b ＝0，∴f (x )＝x 2(x ＋a )，有274＝∫－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33| －a 0＝a 412，∴a ＝±3. 又－a >0⇒a <0，得a ＝－3.答案： －316．若Rt △ABC 中两直角边为a ，b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M ，N 的大小关系是________．解析： 在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ， ∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2△P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ，∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④， ③÷④整理得M ＝N . 答案： M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知曲线y ＝5x ，求： (1)曲线上与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)求过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程． 解析： (1)设切点为(x 0，y 0)，由y ＝5x ， 得y ′|x ＝x 0＝52x 0.∵切线与y ＝2x －4平行， ∴52x 0＝2，∴x 0＝2516，∴y 0＝254，则所求切线方程为y －254＝2⎝⎛⎭⎫x －2516，即2x －y ＋258＝0. (2)∵点P (0,5)不在曲线y ＝5x 上，故需设切点坐标为M (x 1，y 1)，则切线斜率为52x 1.又∵切线斜率为y 1－5x 1，∴52x 1＝y 1－5x 1＝5x 1－5x 1，∴2x 1－2x 1＝x 1，得x 1＝4.∴切点为M (4,10)，斜率为54，∴切线方程为y －10＝54(x －4)，即5x －4y ＋20＝0.18．(本小题满分12分)设复数z 满足|z |＝1且(3＋4i)z 是纯虚数，求复数z . 解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1. ①(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0. ②联立①②解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45＋35i 或z ＝－45－35i.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式；(2)f (x )的单调递增区间．解析： (1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图象过点(1，－3)得a ＋b ＋1＝－3， ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ， 又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－43a ＋b ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－6，∴f (x )＝2x 3－6x ＋1. (2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c.证明： 已知a >b >c ，因为a －ca －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，所以a －ca －b ＋a －c b －c ≥4，即1a －b ＋1b －c ≥4a －c.21．(本小题满分13分)用总长14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5 m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解析： 设该容器底面的一边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，此容器的高为h ＝14.84－x －(x ＋0.5)＝3.2－2x (0<x <1.6)．于是，此容器的容积为V (x )＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，其中0<x <1.6. 由V ′(x )＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，得x ＝1或x ＝－415(舍去)．因为V (x )在(0,1.6)内只有一个极值点，且x ∈(0,1)时，V ′(x )>0，函数V (x )单调递增；x ∈(1,1.6)时，V ′(x )<0，函数V (x )单调递减．所以，当x ＝1时，函数V (x )有最大值V (1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h ＝3.2－2＝1.2(m)．即当高为1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3.22．(本小题满分13分)设函数f (x )＝x 22(x －1)，给定数列{a n }，其中a 1＝a >1，a n ＋1＝f (a n )(n∈N ＋)．(1)若{a n }为常数列，求a 的值；(2)判断a n 与2的大小，并证明你的结论． 解析： (1)若{a n }为常数列，则a n ＝a . 由a n ＋1＝f (a n )，得a ＝f (a )． 因为f (x )＝x 22(x －1)，所以a ＝a 22(a －1).又a >1，所以a ＝2(a －1)，解得a ＝2. (2)当a ＝2时，由(1)知a n ＝2.当a ≠2时，因为a 1＝a ，a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2(a n －1)，所以a 2＝a 212(a 1－1)＝a 22(a －1).所以a 2－2＝a 22(a －1)－2＝a 2－4a ＋42(a －1)＝(a －2)22(a －1)>0，即a 2>2.因为a 3－2＝a 222(a 2－1)－2＝(a 2－2)22(a 2－1)>0，所以a 3>2.猜想当n ≥2时，a n >2. 下面用数学归纳法证明：①n ＝2时，a 2>2，显然猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时，猜想成立，即a k >2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a 2k2(a k －1)，所以a k ＋1－2＝a 2k －4a k ＋42(a k －1)＝(a k －2)22(a k －1).由a k >2，知a k ＋1－2>0，所以a k ＋1>2.根据①和②可知，当a ≠2时，对于一切不小于2的正整数n 都有a n >2.综上所述，当a ＝2时，a n ＝2；当1<a <2时，a 1<2，a n >2(n ≥2)；当a >2时，a n >2.模块综合检测(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 求出复数z ，再确定z 对应的点的坐标．∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限． 答案： D2．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析： 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．答案： B3．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析： 推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0<a <1时，y ＝a x 是减函数；当a >1时，y ＝a x 是增函数．答案： A4．若复数z ＝1＋b i2＋i (b ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则复数z 的共轭复数是( )A ．35iB ．－35iC ．iD ．－i解析： 因为z ＝1＋b i 2＋i ＝(1＋b i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2＋b 5＋2b －15i 是纯虚数，所以2＋b ＝0且2b －1≠0，解得b ＝－2.所以z ＝－i ，则复数z 的共轭复数是i. 答案： C5．类比平面内正三角形“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．② C ．③D ．①②③解析： 三个性质都是正确的，但从“类比”角度看，一般是“线→面”、“角→二面角”．答案： B6．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－1处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析： 由题意知f ′(－1)＝0，当x <－1时f ′(x )<0，当x >－1时f ′(x )>0， ∴当x <－1时，x ·f ′(x )>0， 当－1<x <0时，x ·f ′(x )<0， 当x >0时，x ·f ′(x )>0. 答案： B7．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2且a >1，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．6解析： ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )| a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a ＝2. 答案： A8．观察式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可归纳出一般式子为( )A ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜12n －1(n ≥2)B ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n ＋1n (n ≥2)C ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n －1n (n ≥2)D ． 1＋122＋132＋…＋1n 2＜2n2n ＋1(n ≥2)解析： 由合情推理可得． 答案： C9．在平面内有n (n ∈N ＋，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (9)等于( )A ．18B ．22C ．37D ．46解析： f (3)＝7， f (4)－f (3)＝4， f (5)－f (4)＝5， …f (n )－f (n －1)＝n . 以上各式相加： ∴f (n )＝7＋4＋5＋…＋n∴f (9)＝7＋4＋5＋…＋9＝7＋6×(4＋9)2＝46.答案： D10．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2 解析： 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )．又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1. 又y 0＝ln(x 0＋a )， ∴y 0＝0.∴x 0＝－1.∴a ＝2. 答案： B11．定义复数的一种运算z 1* z 2＝|z 1|＋| z 2 |2 (等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A ．92B ．322C ．32D ．94解析： z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94， ∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案： B12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2>0恒成立，则不等式f (x )>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析： 由题意知g (x )＝f xx 在(0，＋∞)上是增函数，且g (1)＝0，∵f (x )是R 上的奇函数， ∴g (x )是R 上的偶函数． f (x )x的草图如图所示： 由图象知：当x >1时，f (x )>0，当－1<x <0时，f (x )>0.∴不等式f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析： 根据题意先求出P ，Q 的坐标，再应用导数求出切线方程，然后求出交点． 因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，易知P (4,8)，Q (－2,2)，所以在P ，Q 两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l 1：4x －y －8＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0， 将这两个方程联立方程组求得y ＝－4. 答案： －414.⎠⎛01(1－x 2＋x )d x ＝________.解析： ⎠⎛011－x 2d x ＝14π，⎠⎛01x d x ＝12x 2| 10＝12－0＝12， ∴⎠⎛01(1－x 2＋x )d x ＝14π＋12.答案： 14π＋1215．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________ ________________________________________________________________________. 解析： 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 632. 答案： 表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎫S 63216．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析： f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m 要使f (x )是R 上的单调函数， 需使Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.答案： m ≥13三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若复数z ＝1＋i ，求实数a ，b 使得az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 解析： 由z ＝1＋i ，可知z ＝1－i ，代入az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得a (1＋i)＋2b (1－i)＝[a ＋2(1＋i)]2，即a ＋2b ＋(a －2b )i ＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝(a ＋2)2－4，a －2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析： 当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.19．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n <(n ＋1)n . 证明： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k <(k ＋1)k ；那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1<(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)<(k ＋2)k ＋1＝[(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边<右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)可知，不等式对任意n ∈N *都成立．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围． 解析： (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ， 所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)； 当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a <1，f ′(－1)·f ′(1)<0，解得－12<a <12.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12. 21．(本小题满分13分)某厂生产产品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价P (万元)与产品件数x 满足：P 2＝kx，生产100件这样的产品单价为50万元．(1)设产量为x 件时，总利润为L (x )(万元)，求L (x )的解析式；(2)产量x 定为多少件时总利润L (x )(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)． 解析： (1)由题意有502＝k100，解得k ＝25×104， ∴P ＝25×104x ＝500x， ∴总利润L (x )＝x ·500x －1 200－2x 375＝－2x 375＋500x －1 200(x >0)．(2)由(1)得L ′(x )＝－225x 2＋250x，令L ′(x )＝0⇒250x ＝225x 2，令t ＝x ，得250t ＝225t 4⇒t 5＝125×25＝55，∴t ＝5，于是x ＝t 2＝25，所以当产量定为25时，总利润最大． 这时L (25)≈－416.7＋2 500－1 200≈883.答：产量x 定为25件时总利润L (x )最大，约为883万元． 22．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[－a,1]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析： (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0. ∴－a3≤1且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.(2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2＋8x －3＝0得x ＝13或x ＝－3.∵f (－4)＝12，f (－3)＝18，f ⎝⎛⎭⎫13＝－1427，f (1)＝2， ∴f (x )在[－a,1]上的最大值是f (－3)＝18.(3)若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0， ∴b >－7且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．。
最新人教A版高中数学选修2-2 综合测试题2(含答案解析)
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（每题小题5分）1.设y=2x －x ,则x ∈[0,1]上的最大值是（ ） A 0 B －41 C 21 D 412.若质点P 的运动方程为S(t)=2t 2+t （S 的单位为米，t 的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ） A 2米/秒 B 3米/秒 C 4米/秒 D 5米/秒 3.曲线ｙ＝－313x －2在点（－1，35-）处切线的倾斜角为（ ） Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 135º Ｄ 150º 4.函数y=－2x + 3x 的单调递减区间是（ ）A (－∞,－36) B (－36,36) C(－∞,－36)∪(36,+∞) D (36,+∞)5.过曲线ｙ＝3x ＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ） Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝3x ＋３ Ｃ ｙ＝-3x -31Ｄ ｙ＝-３ｘ-３ 6.曲线ｙ＝313x 在点（１，31）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为 Ａ 30º Ｂ 45º Ｃ 60º Ｄ 90º7.已知函数)(x f =3x +a 2x +b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a 、b 的值分别为（ ）. A －3, 2 B －3, 0 C 3, 2 D 3, －4 8.已知)(x f =a 3x +32x +2,若)1(/-f =4,则a 的值等于（ ） A319 B 310 C 316 D 313 9.函数y = 3x －12x +16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ） A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 1610.已知a>0，函数ｙ＝3x -a ｘ在[1，+∞)上是单调增函数，则a 的最大值为（ ） A 0 B 1 C 2 D 311.已知)(x f =23x -62x +m （m 为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）A -37B -29C -5D -1112.已知)(x f =x +3x , 且x 1+x 2<0, x 2+x 3<0, x 3+x 1<0则（ ）A f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0B f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<0C f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0D f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)符号不能确定.二、填空题（每小题4分）13.过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________. 14.函数)(x f =3x －3x 的递减区间是__________15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝32x －4x +2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________. 16.函数)(x f =x (1－2x )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题17.已知函数)(x f =a 4x +b 2x +c 的图像经过点(0,1)，且在x =1处的切线方程是y=x －2. 求)(x f 的解析式；12分18.证明：过抛物线y=a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0, x 1< x 2)上两点A(x 1,0),B(x 2,0)的切线与x 轴所成的锐角相等。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2D ．钝角3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于124．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r)×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{}(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2(其中0<r<d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 27．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 1258．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2，可以类比得到复数z 的性质：|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有两个不同的实数根的条件是b 2－4ac >0，类比可得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈C 且a ≠0)有两个不同的复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④9．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.12．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．14．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋COCC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1,5]上的最值．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，试说明理由．18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．高中数学选修2-2综合测试题参考答案1．选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.2．选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”． 4．解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x 113－＋－13＋110＝32x 2310＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 323210＝1－⎝⎛⎭⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 4410＝14.综上，a ＞b ＞c .5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．选B 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .7．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝8 125， 58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 015)＝f (502× 4＋7)＝f (7)．∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．选D ②中|z |2∈R ，但z 2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b 2－4ac 来确定根的个数．9．选Cx 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y.10．选C 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值可知x <－2，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；x >－2，f ′(x )>0，则－2<x <0时，xf ′(x )<0，x >0时，xf ′(x )>0.11．解析：∵z ＝3＋i i －i ＝(3＋i )(－i )－i 2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ， k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．解析：根据面积公式，在△ABC 中， AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′ ＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOC S △ABC ，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2.根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中， AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝4－V O -ABD ＋V O -ACD ＋V O -ABC ＋V O -BCDV A -BCD＝4－V A -BCDV A -BCD ＝3.答案：2 3 15．解：F(x )＝1x⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 21x -＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4； 由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)， 单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16． 证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0.∴b >－7，且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a3－2a，a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a 4－3a . (2)推测a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ， 右边＝(1－1)－(1－2)a 1－(1－1)a＝a ，结论成立．②假设n ＝k 时等式成立，有a k ＝(k －1)－(k －2)ak －(k －1)a ，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12－a k＝12－(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a＝k －(k －1)a2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]＝k －(k －1)a(k ＋1)－ka.故当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a.。
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人教版高中数学精品资料本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋12i . 答案 B2．若f(x)＝e x，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2eD ．－2e解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e .∴lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2e .答案 D3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32D ．33解析 观察前几项知，5＝2＋3， 11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能答案 A5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0， 解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0解析 由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－13)＝73， S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e xd x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e .∵e 2－e >4，ln 2<lne ＝1,2<73<3， ∴S 3>S 1>S 2. 答案 B9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .49144解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92D ．9解析 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)． ∴阴影部分的面积为S ＝⎠⎛03(x －x 2＋2x)d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪ 30＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除 答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．解析 因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－1)＋2＝n m ，(－1)×2＝p m ，解得m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．答案 第二14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析 ∵⎠⎛1－1(3x2＋2x)d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪ 1－1＝2， ∴2(3a 2＋2a)＝2.即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1，或a ＝13. 答案 －1或13 15．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________．解析 观察上列等式可得第4个等式为(4＋1)(4＋2)(4＋3)(4＋4)＝24×1×3×5×7，…，第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x)＝4(x 2＋1)－4x·2x (x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x)>0，得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.若在区间(m,2m ＋1)上是单调增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m>－1，2m ＋1<1，解得－1<m<0.但m ＝0时，也适合，故－1<m ≤0.答案 (－1,0]三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A>sin B ，则∠B 必为锐角．证明 假设B 不是锐角，则0°<∠A<∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°， ∴sin A<sin (180°－B)，即sin A<sin B ，这与已知sin A>sin B 矛盾，故∠B 必为锐角．18．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)d x＝－2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0.∴f(x)＝ax 2＋2－a.又∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝13a ＋2－a ＝－2，∴a ＝6. 从而c ＝－4.故f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴f(x)min ＝－4.f(x)max ＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解 由y ＝f ′(x)的图象可知，在(－∞，－1)上f ′(x)<0，在(－1,2)上f ′(x)>0，在(2，＋∞)上f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x ＝－1处取得极小值， 所以x 0＝－1.∵f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f(－1)＝－7， 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.20．(12分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ＝ax 2－10ax ＋25a ＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2ax －10a ＋6x ＝2a (x －5)＋6x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝－8a ＋6.故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． 又点(0,6)在切线上，得6－16a ＝8a －6，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，(x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)； 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )的减区间为(2,3)．由此可知，当x ＝2时，f (x )取得极大值f (2)＝92＋6ln2. 当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解 (1)易求得S 1＝1＝22，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.(2)①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，S k ＝2kk ＋1，则当n ＝k ＋1时， S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1 ＝(k ＋1)2(S k ＋1－S k )，∴S k ＋1＝(k ＋1)2k 2＋2k ·2k k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，这表明当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 根据①，②可知，对n ∈N *， S n ＝2n n ＋1，从而a n ＝S n n 2＝2n (n ＋1).22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)， 即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)，当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x，所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0， 故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k >0. 所以在区间(－1,0)和(1－k k ，＋∞)上f ′(x )>0；在(0，1－k k )上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)和(1－k k ，＋∞)，单调减区间为(0，1－k k )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x>0，故f (x )的单调增区间为(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－k k ∈(－1,0)，所以在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上f ′(x )>0；在区间(1－k k ，0)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1，1－k k )和(0，＋∞)，单调减区间为(1－k k ，0)．。