1989年全国统一高考数学试卷(理科)
1989年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（3分）的值等于（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 486．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z 满足关系：z+||=2+i ，那么z 等于（ ） A ． ﹣+i B ． +i C ． ﹣﹣iD ． ﹣i 8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 59．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（ ） A ． B ．C ．D ．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ）A ． 10B ．C ．D ．11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是_________ 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+…+a 6= _________ ． 17．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件 18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴OO'之间的距离等于 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）证明：．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k ﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）的值等于（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答：解：===﹣[cos（arcsin）cos（arccos）+sin（arcsin）sin（arccos）]=﹣[]=﹣1故选A．点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么S n的值等于（）A．8B．16 C．32 D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；综合题．分析：解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．解答：解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=．，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=3，b=，c=2．∴它的短轴长2故选C点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题． 11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数考点： 复合函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 先求出g （x ）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项． 解答： 解：因为 f （x ）=8+2x ﹣x 2，则 g （x ）=f （2﹣x 2）=8+2x 2﹣x 4 =﹣（x 2﹣1）2+9，因为g′（x ）=﹣4x 3+4x ，x ∈（﹣1，0），g′（x ）＜0，g （x ）在区间（﹣1，0）上是减函数． 故选A ．点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个考点： 排列及排列数公式． 专题： 压轴题． 分析： 由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A 33=6种，求乘积即可．解答： 解：由题意，符合要求的数字共有2×3A 33=36种故选C点评： 本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是 {x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k ∈Z ）考点： 正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式． 专题： 计算题．分析： 先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集． 解答：解：=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解答：解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63点评：本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．17．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO'之间的距离等于．考点：棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；压轴题．分析：画出几何图形，直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，求解即可．解答：解：如图直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，由图形可知直线AB与轴OO'之间的距离等于O到BC 的距离，AB=5，AC=4，所以BC=3所以所求距离为：故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．考点：直线和圆的方程的应用；关于点、直线对称的圆的方程．分析：化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．解答：解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=1，设光线L所在直线的方程是y﹣3=k（x+3）（其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，即．整理得：12k2+25k+12=0，解得：，或．故所求的直线方程是，或，即3x+4y﹣3=0，或4x+3y+3=0．点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的极限．专题：证明题；压轴题．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间I k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．又∵当x∈I k时，（x﹣2k）∈I0，∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．即对k∈Z，当x∈I k时，f（x）=（x﹣2k）2．（2）当k∈Z且x∈I k时，利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）可得，即当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，易知无解，综上所述，a应满足故所求集合点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．。
1989年全国统一高考数学试卷(理科)
1989年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（3分）的值等于（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 486．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z 满足关系：z+||=2+i ，那么z 等于（ ） A ． ﹣+i B ． +i C ． ﹣﹣iD ． ﹣i 8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 59．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（ ） A ． B ．C ．D ．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ）A ． 10B ．C ．D ．11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是_________ 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+…+a 6= _________ ． 17．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件 18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴OO'之间的距离等于 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）证明：．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k ﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）的值等于（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答：解：===﹣[cos（arcsin）cos（arccos）+sin（arcsin）sin（arccos）]=﹣[]=﹣1故选A．点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么S n的值等于（）A．8B．16 C．32 D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；综合题．分析：解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．解答：解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=．，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=3，b=，c=2．∴它的短轴长2故选C点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题． 11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数考点： 复合函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 先求出g （x ）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项． 解答： 解：因为 f （x ）=8+2x ﹣x 2，则 g （x ）=f （2﹣x 2）=8+2x 2﹣x 4 =﹣（x 2﹣1）2+9，因为g′（x ）=﹣4x 3+4x ，x ∈（﹣1，0），g′（x ）＜0，g （x ）在区间（﹣1，0）上是减函数． 故选A ．点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个考点： 排列及排列数公式． 专题： 压轴题． 分析： 由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A 33=6种，求乘积即可．解答： 解：由题意，符合要求的数字共有2×3A 33=36种故选C点评： 本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是 {x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k ∈Z ）考点： 正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式． 专题： 计算题．分析： 先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集． 解答：解：=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解答：解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63点评：本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．17．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO'之间的距离等于．考点：棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；压轴题．分析：画出几何图形，直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，求解即可．解答：解：如图直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，由图形可知直线AB与轴OO'之间的距离等于O到BC 的距离，AB=5，AC=4，所以BC=3所以所求距离为：故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．考点：直线和圆的方程的应用；关于点、直线对称的圆的方程．分析：化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．解答：解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=1，设光线L所在直线的方程是y﹣3=k（x+3）（其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，即．整理得：12k2+25k+12=0，解得：，或．故所求的直线方程是，或，即3x+4y﹣3=0，或4x+3y+3=0．点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的极限．专题：证明题；压轴题．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间I k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．又∵当x∈I k时，（x﹣2k）∈I0，∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．即对k∈Z，当x∈I k时，f（x）=（x﹣2k）2．（2）当k∈Z且x∈I k时，利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）可得，即当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，易知无解，综上所述，a应满足故所求集合点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( )（A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1989年高考数学试题(全国理)及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分）。
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集，那么等于（ A ）（A）（B）{d} （C）{a,c} （D）{b,e}2．与函数y=x有相同图象的一个函数是（ D ）（A）（B）（C）（D）3．如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ C ）（A）（B）（C）（D）4．的值等于（ A ）（A）-1 （B）（C）（D）5．已知是等比数列，如果且的值等于（ B ）（A）8 （B）16 （C）32 （D）48 6．如果的值等于（ C ）（A）（B）（C）（D）7．设复数z满足关系式，那么z等于（ D ）（A）（B）（C）（D）8．已知球的两个平行截面的面积分别为5和8，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ B ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）59．已知椭圆的极坐标方程是那么它的短轴长是（C ）（A）（B）（C）（D）10．如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（ D ）（A）10 （B）（C）（D）11．已知如果那么（ A ）（A）在区间（-1，0）上是减函数（B）在区间（0，1）上是减函数（C）在区间（-2，0）上是增函数（D）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ C ）（A）60个（B）48个（C）36个（D）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程的解集是_________________答案：或14．不等式的解集是____________________ 答案：15．函数的反函数的定义域是_____________ 答案：（-1，1）16．已知那么____答案：-217．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的_______条件;的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）AOB18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴之间的距离等于________________ 答案：三．解答题（本题满分60分，共6个小题.）19．（本小题满分8分）证明：证：20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积A1 B1D CN D1 C1 OA M B（Ⅰ）证：连结A1O，则A1O⊥底面ABCD作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M= A1N∴OM=ON∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1∴AO=AM又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12-AO2=∴A1O=∴平行六面体的体积V=21．（本小题满分10分）A YCO X自点A（-3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是（x-2)2+(y+2)2=1,设光线L所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心（2，-2）到这条直线的距离等于1，即故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.22．（本小题满分12分）已知试求使方程有解的k的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得解得：综合得，当k在集合内取值时，原方程有解23．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论解：假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得于是，对n=1,2,3下面等式成立：记设n=k时上式成立，即那么也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数，对,用表示区间已知当时，f(x)=x2.（1）求f(x)在上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合不等的实根}解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数，∴当时，2k也是f(x)的周期又∵当时，，∴即对，当时，（2）当且时，利用（1）的结论可得方程上述方程在区间上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a，故从（2），（3）可得即当a＜-8k时：易知无解，综上所述，a应满足故所求集合。
1989年全国统一高考数学试卷(文科)
1989年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 48 5．（3分）如果（1﹣2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，那么a 1+a 2+…+a 7的值等于（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 26．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）直线2x+3y ﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（ ） A ． 3x ﹣2y+2=0 B ． 2x+3y+7=0 C ． 3x ﹣2y ﹣12=0D ． 2x+3y+8=08．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 5 9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ） A ．10 B ．C ．D ．11．（3分）如果最小值是（ ）A ．B ．C ．﹣1 D ．12．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．（4分）给定三点A （1，0），B （﹣1，0），C （1，2），那么通过点A 并且与直线BC 垂直的直线方程 _________ ． 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件17．（4分）已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，如果＜1，那么x 的取值范围为 _________ ．18．（4分）如图，P 是二面角α﹣AB ﹣β棱AB 上的一点，分别在α，β上引射线PM ，PN ，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB ﹣β的大小是 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）设复数，求z 的模和辐角的主值．20．（8分）证明：．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．1989年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 48考点： 极限及其运算；等比数列的前n 项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．5．（3分）如果（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．解答：解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1，令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1∴a1+a2+…+a7=﹣2故选择A点评：本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线是（）D．2x+3y+8=0A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点，关于点（1，﹣1）对称点求出，验证B即可得到答案．解答：解：直线2x+3y﹣6=0关于点（1，﹣1）对称的直线，和直线2x+3y﹣6=0平行，排除A、C，在直线2x+3y﹣6=0选特殊点（0，2），它关于点（1，﹣1）对称点（2，﹣4），显然（2，﹣4）不在2x+3y+7=0上．故选D．点评：选择题的解法，灵活多样，本题用排除、特值、验证的方法解答．本题是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个考点：分步乘法计数原理．分析：偶数即个位数字只能是2或4解答：解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44=2×4×3×2×1=48个故选B点评： 分步乘法计数原理的理解，偶数怎样选，注意没有0；当然也可以用概率解答．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ） A ． 10 B ．C ．D ．考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P 到双曲线右焦点的距离和点P 到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P 到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题．11．（3分）如果最小值是（ ）A ．B ．C ．﹣1 D ．考点： 函数的值域；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 压轴题． 分析：由|x|，可进一步得到sinx 的范围，借助二次函数求最值的配方法，就可以确定出函数的最小值．解答：解：函数f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2x+sinx=∵|x|≤，∴∴∴时，故选D ．点评：本题有两点值得注意： （1）sin 2x+cos 2x=1（2）求函数最值的有效方法之一是函数思想，即求最值建函数．12．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，D ． 在区间（0，2）0）上是增函数上是增函数考点：复合函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：先求出g（x）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项．解答：解：因为f（x）=8+2x﹣x2，则g（x）=f（2﹣x2）=8+2x2﹣x4=﹣（x2﹣1）2+9，因为g′（x）=﹣4x3+4x，x∈（﹣1，0），g′（x）＜0，g（x）在区间（﹣1，0）上是减函数．故选A．点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）给定三点A（1，0），B（﹣1，0），C（1，2），那么通过点A并且与直线BC垂直的直线方程x+y﹣1=0．考点：直线的点斜式方程．分析：先求得斜率，再用点斜式求得方程．解答：解：k=﹣∴过点A的直线方程：y=﹣（x﹣1）即：x+y﹣1=0故答案是x+y﹣1=0点评：本题主要考查如何求解直线方程．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．17．（4分）已知0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，那么x的取值范围为（3，4）．考点：指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据条件0＜a＜1，0＜b＜1，以及指数函数、对数函数的单调性和特殊点，把不等式进行等价转化，从而得到x的取值范围．解答：解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，如果＜1，∴log b（x﹣3）＞0，∴0＜x﹣3＜1，∴3＜x＜4，故答案为：（3，4）．点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，体现了等价转化的数学思想．18．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．解答：解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN= a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN= a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN 为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）设复数，求z的模和辐角的主值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：首先把复数提出系数，变化为复数的三角形式，根据三角形式的乘方运算法则，写出5次方的结果，从复数的三角形式上看出模长和幅角的主值．解答：解：∵=∴复数z的模为32，的模和辐角的主值为点评：本题考查复数的代数形式转化为三角形式，复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误．20．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．21．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O 在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A 1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．22．（10分）用数学归纳法证明（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．解答：证明：当n=1时，左边=﹣14，右边=﹣1•2•7=﹣14，等式成立假设当n=k时等式成立，即有（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]=﹣k（k+1）（4k+3）那么当n=k+1时，（1•22﹣2•32）+（3•42﹣4•52）++[（2k﹣1）（2k）2﹣2k（2k+1）2]+[（2k+1）（2k+2）2﹣（2k+2）（2k+3）2]=﹣k（k+1）（4k+3）﹣2（k+1）[4k2+12k+9﹣4k2﹣6k﹣2]=﹣（k+1）[4k2+3k+2（6k+7）]=﹣（k+1）[4k2+15k+14]=﹣（k+1）（k+2）（4k+7）=﹣（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据以上论证可知等式对任何n∈N都成立．点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．23．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．24．（12分）给定椭圆方程，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：设所求双曲线的方程是，由题设知c2=α2+β2=a2﹣b2．由方程组，解得交点的坐标满足．由此可推出相应的四边形顶点坐标．解答：解：设所求双曲线的方程是由题设知c2=α2+β2=a2﹣b2．由方程组解得交点的坐标满足．由椭圆和双曲线关于坐标轴的对称性知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积因为S与同时达到最大值，所以当时达到最大值2ab这时，因此，满足题设的双曲线方程是．相应的四边形顶点坐标是．点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+-- []1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( ) （A ）)(N M ⋂S ⋂ （B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25（13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1984年全国统一高考数学试卷(理科)
1984年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）数集✠（ ⏹ ）⇨，⏹是整数❝与数集✡（ ）⇨， 是整数❝之间的关系是（）✌．✠②✡．✠③✡．✠✡．✠♊✡．（ 分）如果圆⌧ ⍓ ☝⌧☜⍓☞与⌧轴相切于原点，那么（）✌．☞，☝♊，☜♊．☜，☞，☝♊．☝，☞，☜♊．☝，☜，☞♊．（ 分）如果⏹是正整数，那么的值（）✌．一定是零．一定是偶数．是整数但不一定是偶数．不一定是整数．（ 分）♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）大于♋❒♍♍☐♦⌧的充分条件是（）✌．⌧ （ ，．⌧ （﹣ ， ）．⌧ ☯，．．（ 分）如果→是第二象限角，且满足，那么（）✌．是第一象限角．是第三象限角．可能是第一象限角，也可能是第三象限角是第二象限角．二、解答题（共 小题，满 分）．（ 分）已知圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，求圆柱的体积．．（ 分）函数●☐♑ （⌧ ⌧ ）在什么区间上是增函数？．（ 分）求方程的解集．．（ 分）求式子（ ⌧﹣ ） 的展开式中的常数项．．（ 分）求的值．．（ 分）要排一张有 个歌唱节目和 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．．（ 分）设画出函数⍓☟（⌧﹣ ）的图象．．（ 分）画出极坐标方程的曲线．．（ 分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行． ．（ 分）设♍，♎，⌧为实数，♍♊，⌧为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．．（ 分）设☐♊，实系数一元二次方程 ﹣ ☐❑有两个虚数根 ， 、再设 ， 在复平面内的对应点是☪ ，☪ ，求以☪ ，☪ 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长． ．（ 分）求经过定点 （ ， ），以⍓轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．．（ 分）在 ✌中， ✌， ， 所对的边分别为♋，♌，♍，且♍ ，， 为 ✌的内切圆上的动点，求点 到顶点✌， ， 的距离的平方和的最大值与最小值．．（ 分）设♋＞ ，给定数列 ⌧⏹❝，其中⌧ ♋，求证：（ ）⌧⏹＞ ，且；（ ）如果♋♎ ，那么．．如图，已知圆心为 ，半径为 的圆与直线●相切于点✌，一动点 自切点✌沿直线●向右移动时，取弧✌的长为，直线 与直线✌交于点 ．又知当✌时，点 的速度为❖，求这时点 的速度．年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 小题，每小题 分，满分 分）．（ 分）数集✠（ ⏹ ）⇨，⏹是整数❝与数集✡（ ）⇨， 是整数❝之间的关系是（）✌．✠②✡．✠③✡．✠✡．✠♊✡考点：集合的包含关系判断及应用．分析：题中两个数集都表示⇨的奇数倍的实数，根据集合的相等关系得这两个数集的关系．解答：解： 数集✠（ ⏹）⇨，⏹是整数❝其中的元素是⇨的奇数倍．数集✡（ ）⇨， 是整数❝其中的元素也是⇨的奇数倍．它们之间的关系是✠✡．故选 ．点评：本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间相等的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．．（ 分）如果圆⌧ ⍓ ☝⌧☜⍓☞与⌧轴相切于原点，那么（）✌．☞，☝♊，☜♊．☜，☞，☝♊．☝，☞，☜♊．☝，☜，☞♊考点：圆的一般方程．分析：圆与⌧轴相切于原点，则圆心在⍓轴上，☝，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，☞，☜♊解答：解：圆与⌧轴相切于原点，则圆心在⍓轴上，☝，圆心的纵坐标的绝对值等于半径，☞，☜♊．故选 ．点评：本题考查圆的一般式方程，直线与圆的位置关系，是基础题． ．（ 分）如果⏹是正整数，那么的值（）✌．一定是零．一定是偶数．是整数但不一定是偶数．不一定是整数考点：进行简单的合情推理．专题：分类讨论．分析：这是一个简单的合情推理问题，我们可以对⏹的取值进行分类讨论，并加以简单的证明，不难得到正确的答案．解答：解： ⏹是正整数♊当为为奇数时，⏹ ﹣ 必为 的整数倍，不妨令⏹ ﹣ ☪，☪ ☠✉则 ☪，☪ ☠✉即此时的值为偶数．♋当为为偶数时， ﹣（﹣ ）⏹ 则 故的值一定是偶数故选点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是❽新❾而不❽难❾，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．．（ 分）♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）大于♋❒♍♍☐♦⌧的充分条件是（）✌．⌧ （ ，．⌧ （﹣ ， ）．⌧ ☯，．考点：反三角函数的运用．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：充分考虑♋❒♍♍☐♦⌧的范围，推出♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）的范围，然后确定♋❒♍♍☐♦（﹣⌧）大于♋❒♍♍☐♦⌧的充分条件解答：解： ♋❒♍♍☐♦⌧ ☯，⇨，（ ）♋❒♍♍☐♦⌧ ☯，）时，⌧ （ ， ，♋❒♍♍☐♦（﹣⌧） （，⇨＞♋❒♍♍☐♦⌧，（ ）♋❒♍♍☐♦⌧ （，⇨时，⌧ ☯﹣ ， ），♋❒♍♍☐♦（﹣⌧） ☯，）＜♋❒♍♍☐♦⌧，（ ）♋❒♍♍☐♦⌧时 ⌧，♋❒♍♍☐♦⌧ ♋❒♍♍☐♦（﹣⌧），故选✌．点评：本题考查反三角函数的运用，考查分类讨论的思想，是基础题．．（ 分）如果→是第二象限角，且满足，那么（）是第一象限角✌．是第三象限角．可能是第一象限角，也可能是第三象限角．是第二象限角．考点：半角的三角函数．专题：计算题；压轴题．分析：先根据→的范围确定的范围，再由可确定的大小关系，进而确定的象限．解答：解： →是第二象限角 （ ☪）当 为偶数时，在第一象限；当 为奇数时，在第三象限；是第三象限角故选 ．点评：本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系．属基础题．二、解答题（共 小题，满 分）．（ 分）已知圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，求圆柱的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；分类讨论．分析：圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．解答：解：圆柱的侧面展开图是边长为 与 的矩形，当母线为 时，圆柱的底面半径是此时圆柱体积是当母线为 时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是综上所求圆柱的体积是：或．点评：本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，是基础题．容易疏忽一种情况． ．（ 分）函数●☐♑ （⌧ ⌧ ）在什么区间上是增函数？考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．解答：解：令⌧ ⌧ ＞ ，得⌧♊﹣ ，由♦⌧ ⌧ 知，其对称轴为⌧﹣故内层函数在（﹣ ，﹣ ）上是减函数，在（﹣ ， ）上是增函数．因为外层函数的底数 ＜ ，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数⍓●☐♑ （⌧ ⌧ ）在（﹣ ，﹣ ）上是增函数．答：函数⍓●☐♑ （⌧ ⌧ ）在（﹣ ，﹣ ）上是增函数．点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查了对数与二次函数的单调性的判断方法以及定义域的求法．．（ 分）求方程的解集．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；数形结合．分析：利用平方关系和倍角公式对方程进行整理，根据一个周期内的正弦函数值求解，最后解集写出几何形式．解答：解：由题意知，，即 ♦♓⏹⌧，♦♓⏹⌧﹣，则 ⌧ ⏹⇨或﹣ ⏹⇨（⏹ ☪），解得⌧ ⏹⇨或﹣ ⏹⇨（⏹ ☪），所求方程的解集是： ⌧⌧ ⏹⇨，⏹ ☪❝✉⌧⌧﹣ ⏹⇨，⏹ ☪❝点评：本题考查了三角函数方程的求解，即利用同角的基本关系、倍角公式、两角和差公式等等，对方程进行化简，再由三角函数在一个周期内的函数值和周期求出解集．．（ 分）求式子（ ⌧﹣ ） 的展开式中的常数项．考点：二项式系数的性质．分析：解法一：利用分步乘法原理展开式中的常数项是三种情况的和，解法二：先将利用完全平方公式化成二项式，利用二项展开式的通项公式求得第❒ 项，令⌧的指数为 得常数项．解答：解法一：（ ⌧﹣ ） （ ⌧﹣ ）（ ⌧﹣ ）（ ⌧﹣ ）得到常数项的情况有：♊三个括号中全取﹣ ，得（﹣ ） ；♋一个括号取 ⌧，一个括号取，一个括号取﹣ ，得 （﹣ ） ﹣ ， 常数项为（﹣ ） （﹣ ） ﹣ ．解法二：（ ⌧﹣ ） （﹣） ．设第❒ 项为常数项，则❆❒ ❒❿（﹣ ）❒❿（）❒❿⌧ ﹣❒ （﹣ ） ❿ ❒❿⌧ ﹣ ❒，得 ﹣ ❒，❒ ．❆ （﹣ ） ❿ ﹣ ．点评：本题考查解决二项展开式的特定项问题的重要工具有二项展开式的通项公式；还有分步乘法原理．．（ 分）求的值．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子、分母同时除以 ⏹，原式转化为，由此能求出的值．解答：解： ．点评：本题考查数列的极限和运算，解题时要注意合理地进行等价转化．．（ 分）要排一张有 个歌唱节目和 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：首先分析两个舞蹈节目不得相邻的排列法，可以猜想到用插空法求解，然后分别求出舞蹈节目的排法及歌唱节目的排法，相乘即可得到答案．解答：解：此题采用插空法，因为任何两个舞蹈节目不得相邻，即可把 个歌唱节目每个的前后当做一个空位，共有 个空位，只需把舞蹈节目安排到空位上就不会相邻了，共有 种排法，舞蹈节目排好后再排歌唱节目共有✌ 种所以共有种 ❿✌ 排法，答案为 ❿✌ ．点评：此题主要考查排列组合及其简单的计数问题，对于不相邻这种类型题目的求解，要想到可以用插空法求解，这种解题思路非常重要，要很好的理解记忆．．（ 分）设画出函数⍓☟（⌧﹣ ）的图象．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．分析：考查函数图象的变化，⍓☟（⌧﹣ ）的图象是由⍓☟（⌧）的图象向右平移一个图象得到的．故可以先画出☟（⌧）的图象然后再向右平移 个单位得到☟（⌧﹣ ）的图象．解答：解：点评：考查函数图象的平移问题．记⍓♐（⌧），则⍓♐（⌧ ），⍓♐（⌧﹣ ），⍓♐（⌧） ，⍓♐（⌧）﹣ 的图象，是由⍓♐（⌧）图象分别向左，向右，向上，向下平移 个单位得到的．．（ 分）画出极坐标方程的曲线．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：作图题．分析：先将方程化简一下，然后根据极坐标方程的几何意义进行画图即可．解答：解：方程⇧﹣ 或→﹣ ，即⇧表示圆心在极点，半径为 的圆→表示极角为的射线画出图象即可．点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及作图能力的考查，属于基础题． ．（ 分）已知三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；综合题．分析：三个平面两两相交，有三条交线，这三条交线交于一点，或互相平行．证明时要分三条交线交于一点，和三条交线互相平行两种情况；（ ）证三线交于一点时，先由两线交于一点，再证这一点也在第三条直线上；（ ）证三线平行时，先由两线平行，再证第三条直线与这两条平行线中的任一条直线平行即可．解答：证明：设三个平面为↑，↓，↖，且↑✆↓♍，↑✆↖♌，↓✆↖♋； ↑✆↓♍，↑✆↖♌， ♍②↑，♌②↑；♍与♌交于一点，或互相平行．（ ）如图♊，若♍与♌交于一点，可设♍✆♌．由 ♍，且♍②↓，有 ↓；又由 ♌，♌②↖，有 ↖； ↓✆↖♋；所以，直线♋，♌，♍交于一点（即 点）．图♊； 图♋（ ）如图♋，若♍♌，则由♌②↖，且♍④↖， ♍↖；又由♍②↓，且↓✆↖♋， ♍♋；所以♋，♌，♍互相平行．点评：本题考查了空间中的直线平行，或相交的证明，特别是几何符号语言的应用，是有难度的问题．．（ 分）设♍，♎，⌧为实数，♍♊，⌧为未知数，讨论方程在什么情况下有解，有解时求出它的解．考点：对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用；根的存在性及根的个数判断．分析：先将对数式转化为指数式，再根据对数函数的真数大于 ，底数大于 且不等于 找到方程有根的等价条件后可解题．解答：解：原方程有解的充要条件是：由条件（ ）知，所以♍⌧ ♎ 再由♍♊，可得又由及⌧＞ ，知，即条件（ ）包含在条件（ ）及（ ）中再由条件（ ）及，知⌧♊因此，原条件可简化为以下的等价条件组：由条件（ ）（ ）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：♊♍＞ ， ﹣♎＞ ，即♍＞ ，♎＜ ；♋♍＜ ， ﹣♎＜ ，即♍＜ ，♎＞ 、再由条件（ ）（ ）及（ ）可知♍♊ ﹣♎从而，当♍＞ ，♎＜ 且♍♊ ﹣♎时，或者当♍＜ ，♎＞ 且♍♊ ﹣♎时，原方程有解，它的解是点评：本题主要考查对数式与指数式的互化和方程根的判定．属中档题．．（ 分）设☐♊，实系数一元二次方程 ﹣ ☐❑有两个虚数根 ， 、再设 ，在复平面内的对应点是☪ ，☪ ，求以☪ ，☪ 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．考点：复数的基本概念；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意两个虚数根 ， 是共轭复数，可得椭圆的短轴长： ♌ ☐，焦距为 ♍ ﹣ ，然后求出长轴长．解答：解：因为☐，❑为实数，☐♊， ， 为虚数，所以（﹣ ☐） ﹣ ❑＜ ，❑＞☐ ＞由 ， 为共轭复数，知☪ ，☪ 关于⌧轴对称，所以椭圆短轴在⌧轴上，又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长 ♌ ☐，焦距离 ♍ ﹣ ，长轴长 ♋点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．．（ 分）求经过定点 （ ， ），以⍓轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程．考点：椭圆的标准方程；轨迹方程．分析：先确定椭圆的位置，设左定点的坐标为✌（⌧，⍓），然后根据离心率的含义得到左焦点的坐标，根据椭圆的第二定义确定方程．解答：解：因为椭圆经过点 （ ， ），且以⍓轴为准线，所以椭圆在⍓轴右侧，长轴平行于⌧轴设椭圆左顶点为✌（⌧，⍓），因为椭圆的离心率为，所以左顶点✌到左焦点☞的距离为✌到⍓轴的距离的，从而左焦点☞的坐标为设♎为点 到⍓轴的距离，则♎根据及两点间距离公式，可得这就是所求的轨迹方程点评：本题主要考查椭圆方程的第二定义，平面上到定点☞距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合．．（ 分）在 ✌中， ✌， ， 所对的边分别为♋，♌，♍，且♍ ，，为 ✌的内切圆上的动点，求点 到顶点✌， ， 的距离的平方和的最大值与最小值．考点：三角函数的最值；正弦定理．专题：计算题．分析：利用正弦定理可求得，进而根据题设等式求得整理求得✌判断出三角形为直角三角形，进而可利用勾股定理求得♋和♌，利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出☐的坐标，表示出，✌ ，利用⌧的范围确定 的范围，则最大和最小值可得．解答：解：由，运用正弦定理，有，♦♓⏹✌♍☐♦✌♦♓⏹♍☐♦ ♦♓⏹✌♦♓⏹．因为✌♊，所以 ✌⇨﹣ ，即✌由此可知 ✌是直角三角形由♍ ，，♋ ♌ ♍ 以及♋＞ ，♌＞ 可得♋，♌ ．如图，设 ✌的内切圆圆心为 ，切点分别为 ，☜，☞，则✌☜（ ） ．但上式中✌♍ ，所以内切圆半径❒☜，如图建立坐标系，则内切圆方程为：（⌧﹣ ） （⍓﹣ ）设圆上动点 的坐标为（⌧，⍓），则 ✌ （⌧﹣ ） ⍓ ⌧ （⍓﹣ ） ⌧ ⍓⌧ ⍓ ﹣ ⌧﹣ ⍓ ☯（⌧﹣ ） （⍓﹣ ） ﹣ ⌧﹣ ⌧ ﹣ ⌧．因为 点在内切圆上，所以 ♎⌧♎ ，最大值 ﹣ ，最小值 ﹣ 点评：本题主要考查了三角函数求最值的问题，直角三角形内切圆的问题，圆的性质问题．考查了学生基础知识的综合应用．．（ 分）设♋＞ ，给定数列 ⌧⏹❝，其中⌧ ♋，求证：（ ）⌧⏹＞ ，且；（ ）如果♋♎ ，那么．考点：用数学归纳法证明不等式．专题：计算题；压轴题．分析：（ ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式⌧⏹＞ 当⏹ 时成立，再假设不等式⌧⏹＞ 当⏹（ ♏ ）时成立，进而证明当⏹ 时，不等式⌧ ＞ 也成立，最后得到不等式⌧⏹＞ 对于所有的正整数⏹成立；（ ）我们用数学归纳法进行证明，先证明不等式当⏹ 时成立，再假设不等式当⏹（ ♏ ）时成立，进而证明当⏹ 时，不等式也成立，最后得到不等式对于所有的正整数⏹成立；解答：证明：（ ）♊当⏹ 时，，，⌧ ♋＞ ，＜⌧ ＜⌧ ．结论成立．♋假设⏹时，结论成立，即 ＜⌧ ＜⌧ （ ☠ ），则 ＞⌧ ，＞ ．＜⌧ ＜⌧ ，综上所述，由♊♋知 ＜⌧⏹ ＜⌧⏹．⌧ ⏹＞ 且．（ ）由条件⌧ ♋♎ 知不等式当⏹ 时成立假设不等式当⏹（ ♏ ）时成立当⏹ 时，由条件及⌧ ＞ 知♎，再由⌧ ＞ 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数⏹成立点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集☠相关的性质，其步骤为：设 （⏹）是关于自然数⏹的命题，若 ）（奠基） （⏹）在⏹ 时成立； ）（归纳） 在 （ ）（ 为任意自然数）成立的假设下可以推出 （ ）成立，则 （⏹）对一切自然数⏹都成立．．如图，已知圆心为 ，半径为 的圆与直线●相切于点✌，一动点 自切点✌沿直线●向右移动时，取弧✌的长为，直线 与直线✌交于点 ．又知当✌时，点 的速度为❖，求这时点 的速度．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：设✌的长为⌧，✌的长为⍓，用⌧表示⍓，并用复合函数求导法则对时间♦进行求导．解答：解：如图，作 ✌，并设✌⌧，✌⍓， ✌→，由题意弧✌的长为，半径 ，可知→，考虑→ （ ，⇨）．✌， ．⍓﹣（ ﹣♍☐♦）， ♦♓⏹，．上式两边对时间♦进行求导，则⍓♦ ⍓⌧❿⌧♦．⍓♦当时，⌧♦ ❖，代入上式得点 的速度．点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．。
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案.pdf
Unit5 Topic2 SectionD 一、话题导学：（学习目标） 1. Learn some new words and phrases : useless, deal, elder, refuse, sadness, anyone, unfair, though, deal with, it’s normal to do sth. go mad, refuse to do sth. even though, not...ang longer=no longer 2. Revision: grammar and functions 3. Learn how to deal with unhappy feelings. Encourage students to face setbacks bravely and keep ina good mood. (1) Jeff almost went mad when his elder brother was killed in a car accident. (2) After a few months, Jeff began to understand it was useless to be angry. (3) Now he still misses his brother, but he doesn’t hate the driver ang longer. (4) He is feeling better now. 二、预习导纲： 1、单词互译与记忆 1) useless_________, 2) deal___________, 3) elder___________, 4) refuse__________, 5) sadness________, 6) anyone________, 7) unfair__________, 8) though_________ 2、短语互译与记忆 1）deal with 2）it’s normal to do sth 3）go mad 4）refuse to do sth.__________________ 5）虽然 _________________ 6）不再 ___________________________ 3、句子理解与熟读 1）No one can be happy all the time. 2）It’s normal to have these feelings. 3）He no longer stays in his room by himself. Instead, he goes to the movies or plays sports with his friends. 三、课堂导练：1、选词填空 go, use, old, someone, sadness1) English is very ____________, we must study it hard.2) Jim refuses _________ hiking with us, because he has other things to do. 3) I feel very _________ becauseI failed the English exam. 4) He is two years ________ than me, so he is my _________ brother. 5) Is there ________ at home?2. 单项选择。
1989年全国高考数学(理科)试题
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题满分36分，共12个小题.每一个小题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.1.如果{},,,,I a b c d e =，{},,M a c d =，{},,N b d e =，其中I 是全集，那么()()I I C M C N =A. ∅B. {}dC. {},a cD. {},b e2.与函数y x =有相同图象的一个函数是A.yB.2x y x = C.log ,(0,1)a x y a a a =>≠ D.log ,(0,1)x a y a a a =>≠3.，高为2，那么它的侧面积是A. B. C. D. 4.43cos[arcsin()arccos()]55---的值等于A. 1-B. 725-C. 725D. 5- 5.已知{}n a 是等比数列，如果12318a a a ++=，2349a a a ++=-，12n n S a a a =+++，那么lim n n S →∞= A. 8 B. 16 C. 32 D. 486.如果1cos 5θ=，532πθπ<<，那么sin 2θ的值等于A. C. 7.设复数z 满足关系式2z z i +=+，那么z 等于 A. 34i -+B. 34i - C. 34i -- D. 34i + 8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是A. 2B. 3C. 4D. 59.已知椭圆的极坐标方程是532cos ρθ=-，那么它的短轴的长是 A. 10310.如果双曲线2216436x y -=上一点P 到它的有焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是A. 10D. 32511.已知2()82f x x x =+-,如果2()(2)g x f x =-,那么()g xA.在区间(1,0)-上是减函数B.在区间(0,1)上是减函数C.在区间(2,0)-上是增函数D.在区间(0,2)上是增函数12.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有A.60个B.48个C.36个D.24个二、填空题: 本题满分24分，共6个小题，每小题4分，只要求直接填写结果.13.方程sin x x =的解集是 .14.不等式234x x ->的解集是 .15.函数11x x e y e -=+的反函数的定义域是 . 16.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++,那么127a a a +++= .17.已知,A B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 条件；A 是B 的 条件.18.如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4, ,A B 两点分别在两底面的圆周上,并且5AB =,那么直线AB 与轴OO '之间的距离等于 .三、解答题. 本题满分60分，共6个小题19.证明：（本小题满分8分）32sin tan tan 22cos cos 2x x x x x-=+. 20. （本小题满分10分） A BO O '如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知5AB =，4AD =,13AA =, AB AD ⊥,113A AB A AD π∠=∠= (1)求证:顶点1A 在底面ABCD 的射影O 在BAD ∠的平分线上；(2)求这个平行六面体的体积.21.（本小题满分10分） 自点(3,3)A -发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切,求光线L 所在直线的方程.22.（本小题满分12分）已知0,1a a >≠,试求使方程222log ()log ()a a x a x a -=-有解的k 的取值范围.23.（本小题满分10分）是否存在常数,,a b c 使得等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论.24.（本小题满分10分）设()f x 是定义在区间(,)-∞+∞上以2为周期的函数,对k Z ∈,用k I 表示区间(]21,21k k -+,已知当0x I ∈时2()f x x =.(1)求()f x 在k I 上的解析表达式;(2)对自然数k ,求集合{k M a =是方程()f x ax =在k I 上有两个不相等的实根}.A B CD O A 1B 1C 1D 1。
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考答案
1999年全国统一高考数学试卷（理科）及其参考考答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至8。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：l ．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束。
监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+-- []1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-正棱台、圆台的侧面积公式：1()2S c c l ='+台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．台体的体积公式：h S S S S V )31'++=‘台体（，其中'S ，S 分别表示上下底面积，h 表示高。
一、选择题：本大题共14小题；第1—10题每小题4分，第11—14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( ) （A ）)(N M ⋂S ⋂（B ）S P M ⋃⋂)(（C ）S P M ⋂⋂)( （D ）S P M ⋃⋂)(（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( ) （A ）a（B ）1a -（C ）b （D ）1b -（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( )(A)是增函数（B ）是减函数（C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3sin(4πθρ-= ( )(A)直线3πθ=对称（B ）直线πθ65=轴对称 （C ）点(2,)3π中心对称 （D ）极点中心对称（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）(A)cm 36 （B ）cm 6 （C ）2（D ）3（8）2312420443322104)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若 的值为 （ ）(A)1 (B)-1 (C)0 (D)2(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆4032322=+=-+y x y x （ ）（A ）6π (B)4π (C)3π (D)2π(10) 如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝EF ,23与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）29 (B)5 (C)6 (D)215（11）若sin (αααctg tg >>∈<<-απαπ则),22（ ）(A))4,2(ππ--(B) )0,4(π- (C) )4,0(π (D) )2,4(ππ （12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝（ ）（A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25 （13）已知丙点M （1，),45,4()45--N 、给出下列曲线方程：4x+2y-1=0 ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足MP P N =的所有曲线方程是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。
1989年高考数学试题(全国理)及答案
1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分）。
1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y =（B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y xa log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π244．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 6．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ） （A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）515 7．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ） （A ）i 43+-（B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+ 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）3210．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数（C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果.）13．方程2x cos 3x sin =-的解集是_________________答案：}Z k ,12)1k 2(x ,127k 2x |x {∈π+π+=π+π=或或}Z k ,34)1(k x |x {k ∈π+π-+π= 14．不等式4|x 3x |2>-的解集是____________________答案：}4x ,1x |x {>-<或15．函数1e 1e y x x +-=的反函数的定义域是_____________答案：（-1，1）16．已知,x a x a x a a )x 21(7722107++++=- 那么=+++721a a a ____答案：-217．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的_______条件;B A 是的______条件答案：必要，必要（注：仅答对一个结果的，只给2分）18．如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴O O '之间的距离等于________________ 答案：233 三．解答题（本题满分60分，共6个小题.） 19．（本小题满分8分） 证明：x2cos x cos x sin 22x tg 2x 3tg +=- 证：2x cos2x 3cos x sin 2x cos 2x 3cos 2xsin2x 3cos 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x sin 2x 3cos 2x 3sin2x tg 2x 3tg =-=-=-x 2cos x cos x sin 2+= 20．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=.3π （Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;（Ⅱ）求这个平行六面体的体积（Ⅰ）证：连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 由三垂线定理得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD ∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ∴A 1M= A 1N ∴OM=ON∴点O 在∠BAD 的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA 1,232133cos =⋅=π∴AO=AM .2234csc =π 又在职Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12-AO 2=,29299=- ∴A 1O=.223∴平行六面体的体积V=.23022345=⋅⋅21．（本小题满分10分）自点A （-3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程解：已知圆的标准方程是（x-2)2+(y-2)2=1,它关于x 轴的对称圆的方程是 （x-2)2+(y+2)2=1,设光线L 所在直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率k 待定）由题设知对称圆的圆心C '（2，-2）到这条直线的距离等于1，即234:1225120,:,.43d k k k k =++==-=-整理得解得或故所求的直线方程是),3x (343y ),3x (433y +-=-+-=-或 即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0. 22．（本小题满分12分）已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x (log)ak x (log 222aa -=-有解的k 的取值范围 解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足⎪⎩⎪⎨⎧>->--=-)3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解⎩⎨⎧>--=-)2(,0ak x )1(,a x )ak x (222由（1）得)4()k 1(a kx 22+=当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解当k ≠0时，（4）的解是 )5(.k 2)k 1(1x 2+=把（5）代入（2），得.k k2k 12>+ 解得：.1k 01k <<-<<∞-或 综合得，当k 在集合)1,0()1,(⋃--∞内取值时，原方程有解123．（本小题满分10分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论 解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得 于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅= 设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++= 那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=22(1)(2)(1)(2)(351224)[3(1)11(1)10]1212k k k k k k k k k ++++=+++=++++也就是说，等式对n=k+1也成立综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立 24．（本小题满分10分）设f(x)是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对Z k ∈,用k I 表示区间],1k 2,1k 2(+-已知当0I x ∈时，f(x)=x 2.（1）求f(x)在k I 上的解析表达式;（2）对自然数k,求集合上有两个在使方程k k I ax )x (f |a {M ==不等的实根} 解：（1）∵f(x)是以2为周期的函数， ∴当Z k ∈时，2k 也是f(x)的周期又∵当k I x ∈时，0I )k 2x (∈-，∴.)k 2x ()k 2x (f )x (f 2-=-= 即对Z k ∈，当k I x ∈时，.)k 2x ()x (f 2-= （2）当Z k ∈且k I x ∈时，利用（1）的结论可得方程).k 8a (a k 16)a k 4(.0k 4)a k 4(x :,ax )k 2x (22222+=-+=∆=++-=-它的判别式是整理得上述方程在区间k I 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+].)k 8a (a a k 4[211k 2],)k 8a (a a k 4[211k 2,0)k 8a (a ⎪⎩⎪⎨⎧-≤++<+>+).3(,a 2)k 8a (a )2(,a 2)k 8a (a )1(,0)k 8a (a 化简得由（1）知a>0，或a<-8k.当a>0时：因2+a>2-a ，故从（2），（3）可得,a 2)k 8a (a -≤+即1k 21a 0.2a ,1)1k 2(.0a 2,)a 2()k 8a (a 2+≤<⎩⎨⎧<≤+⎩⎨⎧>--≤+即即当a ＜-8k 时：,0k 82a 2<-<+易知a 2)k 8a (a +<+无解，综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<故所求集合}1k 21a 0|a {M k +≤<=。