高中数学指数函数与对数函数知识点与解题规律技巧典型例题讲解及答案解析
指数函数与对数函数(讲义及答案)
指数函数与对数函数（讲义） 知识点睛1.指数函数及对数函数的图象和性质：指数函数xy a=对数函数log ay x=图象定义域R(0，+∞)值域(0，+∞)R性质过定点(0，1)过定点(1，0)01a<<时，在R上是减函数；1a>时，在R上是增函数；01a<<时，在(0，+∞)上是减函数；1a>时，在(0，+∞)上是增函数2.利用指数函数、对数函数比大小（1）同底指数函数，利用单调性比较大小；（2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法；（3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论；（4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合．3.换底公式及常用变形：logloglogcacbba=（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）1loglogabba=（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1）log logmnaanb bm=（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1）logaba b=（a>0，且a≠1；b>0）精讲精练1.若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（）A ．ba c 111+=B ．b ac 122+=C ．b a c 221+=D ．b a c 212+=2.计算：（1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，，，，则228log ()x y +=_________；（2）设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩≤（），（）则1(())2g g =_____________；（3）若2(3)6()log 6f x x f x x x +<⎧=⎨⎩≥（）（），则)1(-f 的值为________．3.（1）函数22()log (1)f x x x =+-是_______函数（奇或偶）；（2）设函数()1xx a e f x ae-=+（a 为常数）在定义域上是奇函数，则a =__________．4.下列大小关系正确的是（）A ．3log 34.044.03<<B ．4.03434.03log <<C ．4.04333log 4.0<<D ．34.044.033log <<5.设a =3log 2，b =ln2，c =125-，则（）A ．a <b <c B ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a6.已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.52(log 3)(log 5)(2)a f b f c f m ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a7.（1）已知函数22()lg (1)(1)1f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦．若()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________；（2）若函数26()3log 2a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（）（）（0a >，且1a ≠）的值域是[4)+∞，，则实数a 的取值范围是__________；（3）函数20.5()log (3)f x x ax a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．8.已知函数221()log [(1)]4f x ax a x =+-+．（1）若定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________；（2）若值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．9.已知函数30()20x x a x f x a x --<⎧=⎨-⎩≥（）（）（0a >且1a ≠）是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A ．2(0]3，B ．1(0]3，C ．(01)，D ．(02]，10.若函数5(3)41()log 1aa x a x f x x x --⎧=⎨>⎩≤（）（）是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3[3)5，B ．3[1)5，C ．1(3)5，D ．1(1)5，11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增．若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是___________．12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是___________．13.已知定义在R 上的函数2()ln(1)||f x x x =++，若(21)(1)f x f x ->+，则x 的取值范围是___________．14.已知函数2()||f x x x =-，若3(log (1))(2)f m f +<，则实数m的取值范围是____________________．15.已知函数()ln()10x x f x a b a b =->>>（）．（1）求函数f (x )的定义域I ；（2）判断函数f (x )在定义域I 上的单调性，并说明理由；（3）当a ，b 满足什么关系时，()f x 在[1)+∞，上恒取正值．16.已知函数1()11x x a f x a a -=>+（）．（1）判断f (x )奇偶性；（2）求函数f (x )的值域；（3）证明f (x )是区间()-∞+∞，上的增函数．【参考答案】1.B2.（1）13；（2）13；（3）3．3.（1）奇；（2）1±4.C5.C6.C7.（1）5(1]()3-∞-+∞ ，，；（2）(1，2]；（3）(0][12)-∞+∞ ，，8.（1）3535()22-+，；（2）3535[0][)22-++∞ ，，9.B10.A 11.13()22，12.1[2]2，13.(0)(2)-∞+∞ ，，14.8(8)9-，15.（1）(0)+∞，；（2）单调递增；（3）1a b ->16.（1）奇函数；（2）(-1，1)；（3）略．。
高考数学中的指数函数与对数函数题详解
高考数学中的指数函数与对数函数题详解指数函数和对数函数是高考数学中的重要内容，涉及到的题型和考点较多。
本文将对指数函数和对数函数的基本定义、性质以及解题方法进行详细解析。
一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x （其中a>0且a≠1）。
下面，我们来讨论指数函数的基本性质。
1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
2. 指数函数的图像特点当指数a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势。
3. 指数函数的性质(1) 指数函数在定义域内具有严格单调性，即当a>1时为严格递增函数，当0<a<1时为严格递减函数。
(2) 指数函数在定义域内具有连续性，无间断点。
(3) 指数函数在定义域内具有无界性，即当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷。
(4) 指数函数具有经过点(0, 1)的特点。
接下来，我们通过解题的方式来进一步认识指数函数。
例题1：已知方程2^x = 4的解为x = 2，则方程e^(x-1) = 1的解为多少？解题思路：首先，根据指数函数的性质可知，2^x = 4 等价于 x = 2。
然后，代入方程e^(x-1) = 1，得到e^(2-1) = 1，即e^1 = 1，因此方程e^(x-1) = 1的解为x = 1。
二、对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，其一般形式为y = loga(x)（其中a>0且a≠1，x>0）。
下面，我们来探讨对数函数的基本性质。
1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。
2. 对数函数的图像特点当0<a<1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势；当a>1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
掌握高中数学中的指数与对数问题解析与技巧
掌握高中数学中的指数与对数问题解析与技巧数学中的指数与对数问题是高中数学中的重要内容之一，也是学习数学的基础。
掌握这一部分的解析与技巧，对于高中数学知识的理解和应用都有着重要的作用。
本文将为大家介绍一些掌握高中数学中的指数与对数问题的解析与技巧。
1. 指数与幂运算的基本概念指数是数学中的一个重要概念，表示一个数被乘若干次。
以a^n为例，其中a称为底数，n称为指数。
当n为正整数时，a^n表示a连乘n次；当n为负整数时，a^n表示a的倒数连乘n次；当n为0时，a^0表示1。
另外，指数运算具有一些基本的法则，如乘法法则、除法法则、幂的乘法法则和幂的除法法则等。
2. 对数与对数运算的基本概念对数是指数的逆运算，以log_a(x)表示，其中a为底数，x为真数。
对数的性质包括对数的运算法则、对数与指数的互为逆运算、对数的变换法则等。
在解决一些指数问题时，可以通过取对数将问题转化为求对数值的问题，从而简化计算过程。
3. 指数与对数的性质与等式在指数与对数的运算过程中，有一些重要的性质与等式应该掌握。
比如，指数的乘方律、对数的乘法法则、对数的换底公式等。
熟练掌握这些性质与等式，可以帮助我们在计算中更加高效准确。
4. 解决指数与对数问题的一般步骤在解决高中数学中的指数与对数问题时，可以按照以下步骤进行：首先，明确问题要求，理解问题的背景和意义；其次，根据已知条件，运用指数与对数的基本概念和性质列出方程或不等式；然后，通过化简、变形等方法解决所列方程或不等式，得到最终的解；最后，对解的合理性进行验证，将解代入原方程或不等式进行检验。
5. 解析与技巧的应用举例为了更好地理解与掌握指数与对数的解析与技巧，我们通过实际问题举例进行讲解。
例如，对于指数函数的图像研究，我们可以通过画出函数的图像来探索函数的性质；对于对数方程的解法，我们可以通过取对数将方程转化为线性方程，再求解等。
6. 练习与拓展为了加深对指数与对数问题的理解与应用，我们还需要进行一些练习与拓展。
高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧单选题1、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ） A ．11B ．5C ．−8D ．−5 答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答. 奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B2、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69 答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t ∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.3、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．3434∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，∴f(x)在R上是减函数，∴{0<a<1 a−2<0(a−2)×0+3a≤a0，解得0<a≤13，∴a的取值范围是(0,13]．故选：C．4、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.5、已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（）A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则fʹ(x)=mx m−1−1， 令fʹ(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知2a =5b =10，则1a+1b =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．15答案：A分析：运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值． 解：若2a =5b =10， 可得a =log 210，b =log 510， 则1a +1b =1log510+1log 210=lg5+lg2=lg10=1，故选：A．7、设4a=3b=36，则1a +2b=（）A．3B．1C．−1D．−3答案：B分析：先求出a=log436,b=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 因为4a=3b=36，所以a=log436,b=log336，则1a =log364,2b=log369，所以则1a +2b=log364+log369=log3636=1.故选：B.8、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B多选题9、函数f(x)=2x−2x−a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3答案：BC分析：根据初等函数的单调性判断函数f(x)=2x−2x−a的单调性，根据零点存在定理可得f(1)f(2)<0，从而可得结果.因为函数y=2x、y=−2x在定义域{x|x≠0}上单调递增，所以函数f (x )=2x −2x−a 在{x |x ≠0}上单调递增，由函数f (x )=2x −2x−a 的一个零点在区间(1,2)内，得f (1)×f (2)=(2−2−a)(4−1−a)=(−a )×(3−a )<0， 解得0<a <3, 故选：BC10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne=ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、设函数f (x )={|x 2+3x |,x ≤1log 2x,x >1，若函数f (x )+m =0有五个零点，则实数m 可取（ ）A ．−3B ．1C ．−12D ．−2 答案：CD分析：函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点，作出f (x )图像，利用图像求解即可a cb +>c a >a c b +>函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点，作出f (x )图像可知，当x =−32时，f (−32)=|(−32)2+3×(−32)|=94 若y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点， 则−m ∈(0,94)， ∴m ∈(−94,0)，故选：CD ．12、已知函数f(x)=2x −12x +1，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f(x)的定义域为RB ．函数f(x)的值域为(−1,1)C ．函数f(x)的图象关于y 轴对称D ．函数f(x)在R 上为增函数 答案：ABD分析：根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. A ：因为2x >0，所以函数f(x)的定义域为R ，因此本选项结论正确； B ：f(x)=2x −12x +1=1−22x +1，由2x >0⇒2x +1>1⇒0<12x +1<1⇒−2<−22x +1<0⇒−1<−22x +1<1，所以函数f(x)的值域为(−1,1)，因此本选项结论正确；C：因为f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；D：因为函数y=2x+1是增函数，因为y=2x+1>1，所以函数y=22x+1是减函数，因此函数f(x)=1−22x+1是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD13、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g (x 1+x 22)<g (x 1)+g (x 2)2，故选项D 错误；故选：AC. 填空题14、已知实数a >0且a ≠1，不论a 取何值，函数y =a x−4+2的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为______． 答案：(4,3)分析：根据指数函数过定点问题求解. 令x −4=0，得 x =4，此时 y =3，所以函数y =a x−4+2的图像恒过的定点坐标为(4,3)， 所以答案是：(4,3)15、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ． 答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]16、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______． 答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)， 可得{2k −5=1b =2，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ， ∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f(x)−a=0有4个不相等的实数根，等价于f(x)与y=a有4个不同的交点，由图象可知：−1<a<0，即实数a的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=140=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．2因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
高中数学必修1 指数函数与对数函数教案(知识点+例题+练习)
学员姓名年级高一辅导科目数学课程类型1对1任课老师班组课题指数函数与对数函数课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次11 授课日期及时段教学目标重难点重点：难点：教学及学习方法教学方法：学习方法：教学内容【基础知识网络总结与巩固】本节考点：考点回顾考点一考点二考点三【上节知识回顾】【本节知识要点】1. 指数函数的图象和性质函数y＝a x(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征在x轴上方，过定点(0,1)性质定义域值域单调性函数值变化规律R(0，＋∞)减函数增函数当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>12．对数函数的图象和性质y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.求解与指数函数、对数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数、对数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．【重难点例题启发与方法总结】典型例题剖析例1 求下列函数的定义域 (1)f (x )＝1－2log 6x ； (2)y ＝32x －1－19.【解析】(1)由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 变式训练 函数f (x )＝4－x 2＋log 2(x －1)的定义域是( ) A ．(1,2] B ．[1,2] C ．(1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧4－x 2≥0x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x >1，∴1＜x ≤2，即函数的定义域为(1,2]， 故选A.例2 (1)已知函数f (x )＝(23)|x |－a ，则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．2．(2018·湖南衡阳期末)已知集合A ＝{x |log 12x >－1}，B ＝{x |2x >2}，则A ∪B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0,2) 答案：C解析：由A ＝{x |log 12x >－1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |2x >2}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，则A ∪B ＝(0，＋∞)．故选C. 3．(2018·福建福州外国语学校期中)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，且f (x )是(0，＋∞)上的增函数，则m 的值为( )A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 答案：B解析：因为函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，所以m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m＝－1.又因为幂函数在(0，＋∞)上单调递增，所以－5m －3>0，即m <－35，所以m ＝－1，故选B.方法点拨：求有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数．注意幂函数中自变量的系数为1.4．(2018·重庆第一中学一诊模拟)设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b [来源:学科网]C ．b >c >aD ．c >b >a [来源:学科网ZXXK] 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案：D解析：当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a大于1，故选D.6．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎡⎦⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎡⎦⎤116，14. 7．(2018·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案：C解析：通解 当a <0时，不等式f (a )<1为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.优解 取a ＝0，f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.8．(2018·怀化二模)已知函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 016]内的企盼数的个数是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：B解析：因为函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，所以f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，所以f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 23·log 34·…·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，若f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数，则k ＋2＝2m ，m ∈Z ，又k ∈[1,2 016]，所以k ∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，故在区间[1,2 016]内的企盼的个数是9.二、填空题[来源:学科网]9．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝⎛⎭⎫9412＋cos 4π3＝________. 答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.10．(2018·江西自主招生)方程log 3(1＋2·3x)＝x ＋1的解为________． 答案：0解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.11．(2018·山西一模，13)已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________. 答案：－1解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．[来源:学科网] 三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，即()3y －m ·x2－8x ＋3y －n ＝0[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.【课后强化巩固练习与方法总结】1．已知集合M ＝{}x |y ＝x －1，N ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则∁R (M ∩N )等于( ) A ．[1,2) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．[0,1] D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)2．已知a ＝23log 4.1，b ＝23log 2.7，c ＝⎝⎛⎭⎫123log 0.1，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b3．函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，32)D ．(32，＋∞)学管签字：学管主任签字：。
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
（一）指数函数的图像和性质当$a ＞ 1$时，指数函数是单调递增的；当$0 ＜ a ＜ 1$时，指数函数是单调递减的。
指数函数的图像恒过点$（0, 1)＄。
当$x ＞ 0$时，若$a ＞ 1$，则$a^x ＞ 1$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$0 ＜a^x ＜ 1$。
当$x ＜ 0$时，若$a ＞ 1$，则$0 ＜ a^x ＜ 1$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$a^x ＞ 1$。
（二）指数运算的基本法则1、＄a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）5、＄a^｛n} ＝＼frac{1}｛a^n}＄例题 1若$2^x ＝ 8$，求$x$的值。
解：因为$8 ＝ 2^3$，所以$2^x ＝ 2^3$，则$x ＝ 3$。
例题 2计算：＄3^2 × 3^4$解：根据指数运算法则，＄3^2 × 3^4 ＝ 3^｛2 ＋ 4} ＝ 3^6 ＝ 729$例题 3化简：＄＼frac{5^8}｛5^5}＄解：＄＼frac{5^8}｛5^5} ＝ 5^｛8 5} ＝ 5^3 ＝ 125$二、对数函数对数函数的一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
（一）对数函数的图像和性质当$a ＞ 1$时，对数函数在$（0, ＋∞）＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，对数函数在$（0, ＋∞）＄上单调递减。
对数函数的图像恒过点$（1, 0)＄。
当$x ＞ 1$时，若$a ＞ 1$，则$＼log_a x ＞ 0$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则$＼log_a x ＜ 0$。
当$0 ＜ x ＜ 1$时，若$a ＞ 1$，则$＼log_a x ＜ 0$；若$0 ＜ a ＜1$，则$＼log_a x ＞ 0$。
新高考高中数学核心知识点全透视：指数函数、对数函数与幂函数(精讲精析篇)(附答案及解析)
专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【典例1】计算：．【典例2】已知则的值为__________．【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点02 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）． A ． B ．C ．D ．【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2【典例5】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x my a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点03 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例6】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C.D.【典例7】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【典例8】（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.【典例9】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【总结提升】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．热门考点04 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【典例10】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ . 【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点05 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例12】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【典例13】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B.C. D.【典例14】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(0,1)-∞-U【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.热门考点06 对数函数的性质及应用1.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 2. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【典例15】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【典例16】（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >【典例17】（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点07 幂函数的图象和性质1.比较幂值大小的常见类型及解决方法2.幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征：【典例18】（2018·上海高考真题）已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____． 【典例19】（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．热门考点08 函数与方程1.判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 2.判断函数零点个数的方法：（1）直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；（2）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 【典例20】（2019·山东高二期末）函数3()2xf x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（ ） A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，e)【典例21】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【典例22】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程()00,1xa x a a a --=>≠且有两个解，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．()01， C ．()0+∞，D ．ϕ【总结提升】1.在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．2. 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．巩固提升1.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是( ) A.B.y =C.D.2．已知a ，b 均为不等于1的正数，且满足lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（ ）A. B.C. D.3．（2010·全国高考真题（文））已知函数()lg f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则+a b 的取值范围是 （ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞4．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是( ) A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+5．（2019·河北高三月考（理））已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ）A.43- B.2332 C.34D.38-6．（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1 8.（2019·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.9.（2018·天津高考真题（文））已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10. (2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ）A. B. C. D.11.（2019·上海市高桥中学高一期末）式子()2log 3y x =-的定义域为_________. 12.函数log ()a y x k =+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()0,0，则函数1log ()ay x k =-的图象恒过点______.13.（2019·上海市大同中学高三月考）幂函数ky x =的图象经过点(14,2)，则它的单调减区间为________14.（2019·上海市行知中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______.15.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．16.（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222xx f x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202xx m --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________.专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【典例1】计算：．【答案】12.【解析】．【典例2】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点02 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ， 当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c＞1，故选D.【典例5】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______． 【答案】7【解析】∵函数3x my an -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，令0x m -=，可得x m =，2y n =-，可得函数的图象经过定点(),2m n -.再根据函数的图象经过定点()3,2， ∴3m =，22n -=，解得3m =，4n =，则7m n +=， 故答案为：7． 【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点03 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【典例6】（2016新课标全国III ）已知，，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A ．【典例7】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.【典例8】（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】,2222,xx-∴<是一个递增函数；故答案为：.【典例9】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+． （1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤【解析】（1）因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，则在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-， 所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，则1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5.（2）因为[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+， 所以要使()0f m =有解， 则函数2y a =与函数1y m m=+有交点，而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增， 故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =， 所以可得21724a ≤≤， 所以a 的范围为1718a ≤≤.【总结提升】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．热门考点04 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【典例10】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ .【答案】4，2.【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点05 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例12】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A 、B 两图， ，而ax 2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾， 对于C 、D 两图，0＜＜1，在C 图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C 错，D 正确．故选：D ．【典例13】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例14】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >， 观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：A . 【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.热门考点06 对数函数的性质及应用1.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．2. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【典例15】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果. 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==Q0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab +<<又a 0,b 0><Qab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.【典例16】（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C【解析】因为1x y e-=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数， 又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <， 由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<； 当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【典例17】（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为：()1,2. 【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点07 幂函数的图象和性质。