2021年中考一轮复习华东师大版数学专题演练—— 二次函数的应用(Word版 含答案)
中考 一轮复习 二次函数专题之实际应用问题和线段问题(word版含简单答案)
二次函数专题一，二次函数实际应用问题（经济类）1．某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （盏）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10700y x =-+，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？2．某水果批发商场经销一种水果，如果每干克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现．在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元．日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．3．东莞某镇斥资打造夜市网红街，王阿姨在这夜市做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件的销售单价x （元）满足一次函数关系：y ＝﹣2x +140（x ＞40）．（1）若设每天的利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式；（2）若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 4．某经销商经销一种封面为建党100周年的笔记本，每本进价为3元，按每本5元出售，每天可售出30本．调查发现这种笔记本销售单价每提高1元，每天的销售量就会减少3本． （1）当销售单价定为多少元时，该经销商每天销售这笔记本的销售利润为105元？（2）当销售单价定为多少元时，才能使该经销商每天销售这种笔记本所得的利润最大？最大利润是多少元？5．524红薯富含膳食纤维，维生素（A ，B ，C ，D ，E ）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱.某土特产批发店以30元/箱的价格进货.根据市场调查发现，批发价定位48元/箱时，每天可销售500箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量50箱． （1）写出每天的利润w 与降价x 元的函数关系式； （2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ （3）要使每天的利润为9750元，并让利于民，应降价多少元？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商销售以冬奥会为主题的文化衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出3件．（1）若降价x元，则平均每天销售数量为件（用含x的代数式表示）；（2）若该经销商每天获得利润1800元，则每件商品应降价多少元？（3）若每件盈利不少于24元，不多于36元，求该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为多少？二，二次函数几何综合（线段类）7．如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；①当CD平分①ACB 时，求ABC的面积．8．已知抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(﹣3，0)和点C(1，0)，顶点为点M．（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x 轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P 为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，过点A的直线l交抛物线于点C(2，m)．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P 的坐标．10．综合与探究如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 11．综合与探究如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，此时点P 的坐标是 （3）点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出①BCQ 面积的最大值．（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，B ，C 两点的坐标分别为（3，0）和（0，3）． （1）直线BC 的解析式为________． （2）求抛物线所对应的函数解析式．（3）①顶点D 的坐标为________；①当0≤x ≤4时，二次函数的最大值为_______，最小值为__________．（4）若点M 是第一象限的抛物线上的点，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，求线段MN 的最大值．13．如图，已知抛物线2134y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知B 点的坐标为B （6，0）．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）M 为线段BC 上方抛物线上一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ①y 轴，求MN 的最大值；答案第1页，共2页参考答案1．（1）40元；（2）48元时， 3960元 2．（1）涨价5元（2）当涨价为152元时，利润最大，最大利润为6125元 3．（1）w ＝﹣2x 2+220x ﹣5600（x ＞40）（2）销售单价定为48元时，利润最大，最大利润是352元4．（1）10元或8元；（2）每本售价定为9元时，利润最大，最大利润是108元 5．（1）()2504009000018w x x x =-++≤≤，（2）当降价4元时，每天可获得最大利润，最大利润为9800（3）应降价5元 6．（1）（30+3x ）（2）每件商品应降价20元（3）该经销商每天获得的最高利润和最低利润分别为1875元，1512元7．（1）224233y x x =-++（2）①2；①548．（1）y =-x 2-2x +3；顶点M 的坐标为（-1，4）；（2）点E （-37，0）；（3）点P 的坐标为（2，-5）或（1，0）．9．（1）223y x x =--；（2）P 13(,)22-10．（1）223y x x =--；（2）点D 的坐标为()1,2-；（3）存在，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ．答案第2页，共2页11．（1）234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；（2）35,22P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）8；（4）存在，()3,4或4⎫-⎪⎪⎝⎭或4⎫-⎪⎪⎝⎭．12．（1）3y x =-+ ；（2）2y x 2x 3=-++ ；（3）①()1,4D；①4，-5；（4）9413．（1）抛物线解析式为2134y x x =-++，抛物线对称轴为直线2x =；（2）当P 点坐标为（2，2）时，使得①P AC 的长最小；（3）94。
最新中考数学专题复习——二次函数的实际应用(面积最值问题11页)及答案
第 1 页二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活理论中，人们经常面对带有“最〞字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用根本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度挪动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度挪动，假如P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停顿挪动．〔1〕运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？〔2〕此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．〔3〕t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门〔木质〕．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米那么长为：x x 4342432-=+-(米)那么：)434(x x S -= ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例3]：边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE 〔如图〕，其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，那么矩形PNDM 的面积S=xy 〔2≤x≤4〕易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H那么有△AFB ∽△BHP∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】此题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考察学生的综合应用才能．同时，也给学生探究解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖〔如图(1)所示〕是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，假设将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影局部组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 那么BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2021浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2021庆阳市)兰州市“安居工程〞新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如下图)，那么6楼房子的价格为 元/平方米．提示：利用对称性，答案：2080．3．如下图，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2 ∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN第 3 页 ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值． 4．(2021湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大〔 C 〕A ．7B ．6C ．5D ．45．如图，铅球运发动掷铅球的高度y (m)与程度间隔 x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，那么该运发动此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10m解：令0=y ，那么：02082=--x x 0)10)(2(=-+x x〔图5〕 〔图6〕 〔图7〕6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，假如抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，那么水流落地点B 离墙的间隔 OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m 解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3 7．(2021乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动道路是抛物线21 3.55y x =-+的一局部，如图7所示，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的间隔 L 是〔 B 〕A ．4.6mB ．4.5mC ．4mD ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．假设设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；〔2〕根据〔1〕中求得的函数关系式，描绘其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，假如用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)假如中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比拟(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，那么宽为350x -米，设面积为S 平方米． ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，那么宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 那么：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式． 解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°.∴△ABP ∽△PCQ.11．(2021年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x 〔10-2x 〕=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2021四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，那么绳子的最低点距地面的间隔 为 0.5 米．答案：如下图建立直角坐标系那么：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，第 5 页⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2021黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．〔1〕求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；〔2〕当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：〔1〕根据题意，得x x x x S 3022602+-=⋅-= 自变量的取值范围是〔2〕∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2021年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建立的快速开展，对花木的需求量逐年进步．某园林专业户方案投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)〔1〕分别求出利润与关于投资量的函数关系式； 〔2〕假如这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：〔1〕设=,由图12-①所示，函数=的图像过〔1，2〕，所以2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过〔2，2〕，所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； 〔2〕设这位专业户投入种植花卉万元〔〕，那么投入种植树木(x -8)万元， 他获得的利润是万元，根据题意，得∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8 x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子〔纸板的厚度忽略不计〕．〔1〕要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？〔2〕你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？假如有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有，请你说明理由；〔3〕假如把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；假如有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有，请你说明理由．解：〔1〕设正方形的边长为cm ， 那么． 即． 解得〔不合题意，舍去〕，． 剪去的正方形的边长为1cm ．〔2〕有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2， 那么与的函数关系式为： 即． 改写为． 当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．〔3〕有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．假设按图1所示的方法剪折， 那么与的函数关系式为： 即． 当时，．假设按图2所示的方法剪折， 那么与的函数关系式为：即．当时，．比拟以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的间隔均为5m．〔1〕将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；〔2〕求支柱的长度；〔3〕拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：〔1〕根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．〔2〕可设，于是从而支柱的长度是米．〔3〕设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，那么点坐标是．过点作垂直交抛物线于，那么．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．第 7 页。
专题2611 二次函数(同步测试)-2021年九年级数学同步精讲精练之二次函数(华师大版)(解析版)
第1课时二次函数【同步测试】一．选择题（共10小题）1．下列函数中是二次函数的是（）A．y B．y＝2x+1 C．y x2+2x3D．y＝﹣4x2+5【答案】Dy＝﹣4x2+5是二次函数，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．，﹣2，﹣3 B．，﹣2，﹣1 C．，4，﹣3 D．，﹣4，1【答案】B【解析】解：y1，二次项系数是，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，化成一般形式，再判断二次项系数、一次项系数和常数项．3．下列函数中：（1）y＝2（x﹣1）（x+4）；（2）y＝3（x﹣1）2+2；（3）y＝x2；（4）y＝（x﹣3）2﹣x2．不是二次函数的是（）A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（3）D．（2）（4）【答案】B【解析】解：（1）y＝2（x﹣1）（x+4），是二次函数；（2）y＝3（x﹣1）2+2，是二次函数；（3）y＝x2，含有分式，不是二次函数，符合题意；故选：B．学科@网【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．4．下列各式：①y＝2x2﹣3xz+5；②y＝3﹣2x+5x2；③y2x﹣3；④y＝ax2+bx+c；⑤y＝（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2；⑥y＝（m2+1）x2+3x﹣4（m为常数）；⑦y＝m2x2+4x﹣3（m为常数）．是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①y＝2x2﹣3xz+5，含有两个未知数，故此选项错误；②y＝3﹣2x+5x2，符合二次函数的定义，此选项正确；③y2x﹣3，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；④y＝ax2+bx+c，a≠0，故此选项错误；⑤y＝（2x﹣3）（3x﹣2）﹣6x2＝﹣10x+6，不是二次函数，故此选项错误；⑥y＝（m2+1）x2+3x﹣4（m为常数），符合二次函数定义，故此选项正确；⑦y＝m2x2+4x﹣3（m为常数），m≠0，不是二次函数，故此选项错误；故是二次函数的有：2个．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数定义是解题关键．5．若函数y＝（a2+a）x|a|+1+2x+m是二次函数，则a的值为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．1或0【答案】B【解析】解：函数y＝（a2+a）x|a|+1+2x+m是二次函数，∴a2+a≠0，|a|+1＝2．解得：a＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．6．下列函数关系中，满足二次函数关系的是（）A．圆的周长与圆的半径之间的关系B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系C．圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系D．距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系【答案】CC、柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系，V＝πhr2，是二次函数关系，故符合题意；D、距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系，是反比例函数关系，故不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义哈一次函数和反比例函数定义，根据题意得出正确把握相关函数的定义是解题关键．7．圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．以上答案均不正确【答案】C【解析】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．8．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系【答案】A【解析】解：A、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；B、E＝mv2，m一定，是二次函数，正确；C、f＝mv2，v一定，是二次函数，正确；D、H＝gt2，g一定，是二次函数，正确．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题，难度不大，注意掌握二次函数的定义．9．若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y＝（x+6）2B．y＝x2+62C．y＝x2+6x D．y＝x2+12x【答案】D则面积为：（x+6）2，∴y＝（x+6）2﹣36＝x2+12x．故选：D．学科&网【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积．10．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x元，所获利润为y元，可得函数关系式为（）A．y＝﹣10x2+110x+10 B．y＝﹣10x2+100xC．y＝﹣10x2+100x+110 D．y＝﹣10x2+90x+100【答案】D【解析】解：由题意，得y＝（10+x﹣9）（100﹣10x），y＝﹣10x2+90x+100．故选：D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润＝单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．二．填空题（共3小题）11．如图，在直角梯形ABCD中，BF＝AE＝DG＝x，AB＝6，CD＝3，AD＝4，则四边形CGEF的面积y 与x之间的函数关系式为_____，自变量x的取值范围是________．【答案】y＝x2﹣7x+18，0＜x＜3．【解析】解：由题意可得：y＝S梯形ABCD﹣S△DGE﹣S△EAF﹣S△BFC（3+6）×4x×（4﹣x）x×（6﹣x）x×4＝18x2﹣2x x2﹣3x﹣2x＝x2﹣7x+18，（0＜x＜3）故答案为：y＝x2﹣7x+18，0＜x＜3．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，表示出各部分面积是解题关键．12．某产品年产量为30台，计划今后每年比前一年的产量增长率为x，试写出两年后的产量y台与x的函数关系式：_________．【答案】y＝30（1+x）2∴两年后的产量y台与x的函数关系式为：y＝30（1+x）（1+x）＝30（1+x）2．故答案为：y＝30（1+x）2．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据已知得出一年后的产量y台与x的函数关系式是解题关键．13．如图所示，要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，若设AB的长为xm，则矩形的面积y＝_____________．【答案】﹣2x2+20x（0＜x＜10）【解析】解：∵AB的长为xm，总长为20m，∴BC＝（20﹣2x）cm，∴x＞0，20﹣2x＞0，∴y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）．【点睛】解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到BC的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑．。
2021年华东师大版数学中考复习专题演练 —一次函数(含答案)
2021年华东师大版数学中考复习专题演练 — 二次函数的应用一、单选题1．点()1,A a y 、()22,B a y 都在一次函数0)(2y ax a a =-+≠的图象上，则1y 、2y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不确定 2．已知关于x 的一次函数为y =mx +4m ﹣2，下列说法中正确的个数为（ ） ①若函数图像经过原点，则m =12； ①若m =13，则函数图像经过第一、二、四象限； ①函数图像与y 轴交于点（0，﹣2）；①无论m 为何实数，函数的图像总经过（﹣4，﹣2）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图直线1y k x b =+与直线2y k x =都经过点(1,2)A --，则方程组12y k x b y k x =+⎧⎨=⎩，的解是（ ）A ．12x y =⎧⎨=⎩B ．12x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =-⎧⎨=⎩D ．12x y =-⎧⎨=-⎩4．若一次函数2y kx k =+-（k 是常数，0k ≠）的图象经过点P ，且函数y 的值随自变量x 的增大而减小，则点P 的坐标可以是（ ）A ．(3,2)B ．(3,3)C ．(1,3)-D ．(1,1)-5．如图，已知142y x =--和12y x =的图象交于点P ，根据图象可得关于x ，y 的二元一次方程组1402102x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解是（ ）A ．42x y =-⎧⎨=-⎩B ．24x y =-⎧⎨=-⎩C ．44x y =-⎧⎨=-⎩D ．无法确定 6．将直线26y x =-向右平移5个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．215y x =+B ．215y x =-C ．26y x =+D ．26y x =- 7．一次函数图象经过30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，当比例系数0k <时，其图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．一次函数21y x =-+上有两点()12,y -和()21,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．无法比较 9．下列函数，是正比例函数的是（ ）A ．1y x =B ．112y x =-+C ．12y x =-D ．2y x 10．关于直线(:0)L y kx k k =+≠，下列说法正确的是（ ）A ．L 经过定点（1，0）B ．L 经过定点（-1，0）C ．L 经过第二、三、四象限D ．L 经过第一、二、三象限二、填空题11．已知点A (-2，y 1)、B (3，y 2)都在直线y =mx +n (m >0，n <0)，则y 1与y 2的大小关系是_____________．12．若()4y k x =-是正比例函数，则k 的取值范围是________．13．已知一次函数y ＝kx +3（k >0）的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则一次函数的表达式为_____．14．点P （a ，b ）在函数y ＝3x ＋2的图象上，则代数式6a ﹣2b 的值等于_____． 15．如图，已知一次函数y ＝﹣x +1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 在y 轴上（M 不与原点重合），并且使以点A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，则M 的坐标为_____．16．已知直线y ＝13x +2与函数y ＝()()1111x x x x ⎧+≥-⎪⎨--<-⎪⎩的 图象交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）点A 的坐标是_____；（2）已知O 是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m 个单位，点A ，B 平移后的对应点分别为A ′，B ′，连结OA ′，OB ′．当m ＝_____时，|OA '﹣OB '|取最大值．17．一次函数 1y =ax -a +1（a 为常数，且a ≠0）．（1）若点(-1，3)在一次函数1y =ax -a +1的图象上，求a 的值； （2）当-1≤x ≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数1y 的表达式； （3）对于一次函数2y =kx +2k -4(k ≠0)，若对任意实数x ，1y > 2y 都成立，求k 的取值范围．18．已知一次函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()2,3A -和()2,0B ． （1）求该函数的表达式．（2）若点P 是x 轴上一点，且ABP △的面积为6，求点P 的坐标． 19．已知：y 与x +2成正比例，且x ＝﹣4时，y ＝﹣2；（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）点P 1（m ，y 1），P 2（m ﹣2，y 2）在（1）中所得函数图像上，比较y 1与y 2的大小． 20．在平面直角坐标系中，设一次函数1y kx b =+，2y bx k =+（k ，b 是实数，且0bk ≠） （1）若函数1y 的图象过点(4,3)b ，求函数1y 与x 轴的交点坐标； （2）若函数1y 的图象经过点(,0)m ，求证：函数2y 的图象经过点1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）若函数1y 的图象不经过第一象限，且过点(2,3)-，当k b <时，求k 的取值范围．参考答案1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．A8．A9．C10．B11．12y y <12．4k ≠13．332y x =+ 14．-415．（0，），（0，1），（0，-1），（0，0）． 16．（95-44，）； 6． 17．（1）a= -1；（2）y=4x -3或y= -2x+3；（3）k ＜0或0＜k ＜53． 【详解】（1）①点(-1，3)在一次函数1y =ax -a +1的图象上， ①3= -a -a+1，解得a= -1；（2）当a ＞0时，①y 随x 的增大而增大，且-1≤x ≤2， ①当x=2时，函数有最大值5，把（2，5）代入解析式1y =ax -a +1，得5=2a -a+1，解得a= 4，①一次函数1y 的表达式为1y =4x -3；当a ＜0时，①y 随x 的增大而减小，且-1≤x ≤2，①当x= -1时，函数有最大值5，把（-1，5）代入解析式1y =ax -a +1，得5= -a -a+1，解得a= -2，①一次函数1y 的表达式为1y = -2x+3；综上所述，一次函数的解析式为1y =4x -3或1y = -2x+3； （3）①对任意实数x ，1y > 2y 都成立，①当k=a ＞0时，只需满足-a +1＞2k -4，①-k +1＞2k -4，①k=a ＜53， ①0＜k=a ＜53； ①当k=a ＜0时，只需满足-a +1＞2k -4，①-k +1＞2k -4，①k=a ＜53， ①k=a ＜0， 综上所述，k 的取值范围为 k ＜0或0＜k ＜53． 18．（1）3342y x =-+；（2）点()2,0P -或()6,0 【详解】解：（1）把()2,3-、()2,0分别代入()0y kx b k =+≠得， 2320k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得 3432k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①一次函数表达式为3342y x =-+． （2）设(),0P m ，则2PB m =-，①ABP △的面积为6， ①12362m -⨯=， 解得2m =-或6， ①点()2,0P -或()6,0．19．（1）2y x =+；（2）12y y ＞【详解】解：（1）①y +与x +2成正比例，设y ＝k （x +2）， 把x ＝﹣4，y ＝﹣2代入得：﹣2＝k （﹣4+2）， 解得：k ＝1，①y ＝x +2；（2）①k ＝1＞0，①y 随x 的增大而增大，又①m ＞m -2，①y 1＞y 2．20．（1）（-2，0）；（2）见解析；（3）312-≤<-k 【详解】解：（1）①函数1y 的图象过点(4,3)b ， ①34=+b k b①2b k =①12=+y kx k当10y =时，20+=kx k ；①2x =-①函数1y 与x 轴的交点坐标为（-2，0）； （2）①函数1y 的图象经过点(,0)m ， ①0=+mk b ①=-b k m①2=-b y bx m ； 当1x m =时，210=⨯-=b y b m m； ①函数2y 的图象经过点1,0m ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）①函数1y kx b =+的图象不经过第一象限， ①0,0k b <≤； ①1y 的图象过点(2,3)-， ①23+=-k b ， ①32b k =--， ①k b <①320320k k k k <--⎧⎪<⎨⎪--≤⎩， ①312-≤<-k ．。
2021年华东师大版数学九年级中考专题演练—— 二次函数
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．D
5．D
6．B
7．D
8．C
9．C
10．D
11．
12．1
13．
14．
15．
16．2
17．（1）证明见解析；（2）当点 在 上时， ；当点 在 的延长线上时， ；（3）不变， ．
2021年华师大版数学中考专题演练——二次函数
一、单选题
1．当函数 是二次函数时， 的取值为（）
A． B． C． D．
2．下列函数中，是二次函的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数，y是x的反比例函数的是（）
A．y=8x+7B．y=x2
C．y= D．20y=x
4．在抛物线 上的一个点的坐标为（）
【详解】
解：（1） 、 分别从 、 两点同时出发，以相同的速度作直线运动，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）当点 在 上时，过点 作 ，交 于
， ，
， ，
在 上， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
中 上的高为 的一半，
；
同理，当点 在 的延长线上时， ；
（3）如图所示：连接DM，
由全等可得 ，
为等腰直角三角形，
19．已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
20．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
2021年九年级数学中考一轮复习二次函数的应用题型分类训练：销售利润问题(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习二次函数的应用题型分类训练：销售利润问题（附答案）1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a+x2B．y＝（a+x）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A．600元B．625元C．650元D．675元3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为．4．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．5．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？6．为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y＝﹣x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．7．某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．8．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．9．我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投人市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由．10．某灯具厂生产并销售A，B两种型号的智能台灯共100盏，生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯，则每盏B型台灯可以获利90元，如果超出20盏B型台灯，则每超出1盏，每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（1）完成下列表格：A型B型合计台灯数量（盏）x100每盏台灯获利（元）30（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时，求生产并销售A，B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润，最大的利润为多少元？11．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过8元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．12.华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量y（%）是充电时间x（分）的一次函数，其中y≤100（%）．已知充电前电量为0（%），测得充电10分钟后电量达到100（%），充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电盘y是工作时间x的二次函数，如图所示，A是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了40分钟，这时电量降为20（%），厂商规定手机充电时不能工作，电量小于10（%）时手机部分功能将被限制，不能正常工作．（1）求充电时和充电后使用阶段y关于x的函数表达式（不用写出取值范围）；（2）为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用40分钟后停止工作再次充电，充电6分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到10（%）就停止工作）？13.我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．参考答案1．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝a+x2B．y＝（a+x）2C．y＝a（1﹣x）2D．y＝a（1+x）2解：依题意，得y＝a（1+x）2．故选：D．2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，则能获取的最大利润是（）A．600元B．625元C．650元D．675元解：设降价x元，所获得的利润为W元，则W＝（20+x）（100﹣x﹣70）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，∵﹣1＜0∴当x＝5元时，二次函数有最大值W＝625．∴获得的最大利润为625元．故选：B．3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，销售这批商品所得利润y（元）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣10x2+560x﹣7350．解：设每件商品售价x元，则可卖出（350﹣10x）件商品，根据题意得：y＝（x﹣21）（350﹣10x）＝﹣10x2+560x﹣7350．故答案为：y＝﹣10x2+560x﹣7350．4．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．解：（1）＝﹣10x2+210x﹣800，故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800；（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，令y＝240，y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240；解得，x1＝8，x2＝13，∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）由题意得：解得x≤9，又x≥6∴6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280，即每千克售价为9元时，最大利润为280元．5．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx+b，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴线段CD所表示的一次函数的表达式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130）；（3）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1，∵y1＝k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴，∴，∴这个AB的表达式为；y1＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x＝90时，W＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．6．为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y＝﹣x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．解：（1）设利润为w，由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+110）＝﹣x2+120x﹣2200＝﹣（x﹣120）2+5000，则该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为120元时，每天获利最大，最大利润是5000元；（2）由题意可得：w﹣200＝﹣（x﹣120）2+5000﹣200＝4000，解得：x1＝80，x2＝160，故为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围为：80≤x≤160．7．某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．解：（1）设每个房间价格提高50x元，则租出去的房间数量为（30﹣x）间，由题意得，利润w＝（30﹣x）（600+50x）﹣50x＝﹣50x2+850x+18000＝﹣50（x﹣8.5）2+21612.5因为x为正整数所以当x＝8或9时，利润w有最大值，w max＝21600；（2）当w＝19500时，﹣50x2+850x+18000＝19500解得x1＝2，x2＝15，∵要租出去的房间最少∴x＝15，此时每个房间的利润为600+50×15＝1350．8．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．解：（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0）根据题意得，解得∴y＝﹣200x+2200当10＜x≤12时，y＝200故y与x的函数解析式为：y＝（2）由已知得：W＝（x﹣6）y当6≤x≤10时，W＝（x﹣6）（﹣200x+2200）＝﹣200（x﹣）2+1250∵﹣200＜0，抛物线的开口向下∴x＝时，取最大值，∴W＝1250当10＜x≤12时，W＝（x﹣6）•200＝200x﹣1200∵y随x的增大而增大∴x＝12时取得最大值，W＝200×12﹣1200＝1200综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．9．我市某乡镇实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包了若干亩土地种植新品种草莓，已知该草莓的成本为每千克10元，草莓成熟后投人市场销售．经市场调查发现，草莓销售不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．（2）当该品种草莓的定价为多少时，每天销售获得利润最大？最大利润是多少？（3）某村今年草莓采摘期限30天，预计产量6000千克，则按照（2）中的方式进行销售，能否销售完这批草莓？请说明理由．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．把A（12，400），B（14，350）分别代入得，解得＝∴y与x的函数关系式为y＝﹣25x+700由题意知∴10≤x≤28（2）设每天的销售利润为w元，由题意知w＝（x﹣10）（﹣25x+700）＝﹣25x2+950x﹣7000＝﹣25（x﹣19）2+2025∵a＝﹣25＜0，∴当x＝19时，w取最大值，为2025．当该品种草莓定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，为2025元（3）能销售完这批草莓当x＝19时，y＝﹣25×19+700＝225，225×30＝6750＞6000∴按照（2）中的方式进行销售，能销售完10．某灯具厂生产并销售A，B两种型号的智能台灯共100盏，生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯，则每盏B型台灯可以获利90元，如果超出20盏B型台灯，则每超出1盏，每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（1）完成下列表格：A型B型合计台灯数量（盏）100﹣x x100每盏台灯获利（元）30﹣2x+130﹣2x+160（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时，求生产并销售A，B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润，最大的利润为多少元？解：（1）根据题意得，A种台灯的生产销售数量为：（100﹣x）台；B种台灯超过20盏每盏台灯获利为：90﹣2（x﹣20）＝90﹣2x+40＝130﹣2x（元/盏）；两种台灯每盏的获利总计为：30+（130﹣2x）＝160﹣2x（元）．故答案为：100﹣x；﹣2x+130；﹣2x+160．（2）由题意得：x（﹣2x+130）﹣30（100﹣x）＝200得：x1＝x2＝40，100﹣40＝60（盏）答：当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时，生产并销售A，B两种台灯分别为60盏，40盏．（3）设总利润为w，则：w＝30（100﹣x）+x（﹣2x+130），即w＝﹣2（x﹣25）2+4250∴当x＝25时，所获得的利润最大，最大利润为4250元．此时，A型台灯：100﹣25＝75（盏）答：当A型台灯75盏，B型台灯25盏时，生产销售获得利润最大，最大的利润为4250元．11．某新型高科技商品，每件的售价比进价多6元，5件的进价相当于4件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．（1）该商品的售价和进价分别是多少元？（2）设每天的销售利润为w元，每件商品涨价x元，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？（3）为增加销售利润，营销部推出了以下两种销售方案：方案一：每件商品涨价不超过8元；方案二：每件商品的利润至少为24元，请比较哪种方案的销售利润更高，并说明理由．解：（1）该商品的售价x元，进价为y元，由题意得：，解得，故商品的售价30元，进价为24元．（2）由题意得：w＝（30+x﹣24）（200﹣5x）＝﹣5（x﹣17）2+2645，当每件商品涨价17元，即售价30+17＝47元时，商品的销售利润最大，最大为2645元．（3）方案一：每件商品涨价不超过8元，a＝﹣5＜0，故当x＝8时，利润最大，最大利润为w＝﹣5（8﹣17）2+2645＝2240元；方案二：每件商品的利润至少为24元，即每件的售价应涨价：30+x﹣24≥24，解得x≥18，a＝﹣5＜0，故当x＝18时，利润最大，最大利润为w＝﹣5（18﹣17）2+2645＝2640元．∵2640＞2240，∴方案二的销售利润最高．12．华为瓦特实验室试验一种新型快充电池，充电时电池的电量y（%）是充电时间x（分）的一次函数，其中y≤100（%）．已知充电前电量为0（%），测得充电10分钟后电量达到100（%），充满电后手机马上开始连续工作，工作阶段电池电盘y是工作时间x的二次函数，如图所示，A是该二次函数顶点，又测得充满电后连续工作了40分钟，这时电量降为20（%），厂商规定手机充电时不能工作，电量小于10（%）时手机部分功能将被限制，不能正常工作．（1）求充电时和充电后使用阶段y关于x的函数表达式（不用写出取值范围）；（2）为获得更多实验数据，实验室计划在首次充满电并使用40分钟后停止工作再次充电，充电6分钟后再次工作，假定所有的实验条件不变请问第二次工作的时间多长（电量到10（%）就停止工作）？解：（1）设充电时的函数表达式为y＝kx+b，将A（10，100）代入y＝kx得：k＝10，即充电时函数表达式为：y＝10x，因为二次函数顶点为A（10，100），且过点B（50，20）设y＝a（x﹣10）2+100，再将（50，20）代入得：，所以，（2）开始充电时，电量为20（%），充电速率不变，充电6分钟，此时电量y1＝20+10×6＝80，当＝80时，解得：x＝﹣10（舍去）或x＝30，把y＝10代入二次函数解析式得：﹣（x﹣10）2+100＝10解得：x＝﹣30﹣10（舍去）或x＝30+10，即：第二次工作的时间为30+10﹣30＝30﹣20，答：第二次工作的时间为30﹣20（分钟）．13．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．解：由题意（1）y＝（x﹣5）（100﹣×5）＝﹣10x2+210x﹣800故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+210x﹣800（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5＝240解得，x1＝8，x2＝13∵﹣10＜0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13（3）∵每件文具利润不超过80%∴，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y＝﹣10x2+210x﹣800＝﹣10（x﹣10.5）2+302.5∵对称轴为x＝10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x＝9时，取得最大值，此时y＝﹣10（9﹣10.5）2+302.5＝280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元。
中考数学专题练习 二次函数的综合应用 华东师大版 试题
币仍仅州斤爪反市希望学校二次函数的综合应用一：动点中的二次函数问题：1、如图，直角坐标系内的梯形AOBC〔O为原点〕，AC∥OB，OC⊥BC，OA=2，AC，OB的长是关于x的方程x2﹣〔k+2〕x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5．〔1〕填空：0C= ，k= 4 ；〔2〕求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；〔3〕AC与抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P 沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三角形．解答：解：〔1〕，4．〔2〕由题意得C〔1，2〕，B〔5，O〕，设所求抛物线解析式为y=ax〔x﹣5〕，a=﹣y=﹣x2+x．〔3〕直线AC：y=2．直线AC与抛物线交于点C，D．解得x1=1，x2=4．∴CD=3．延长QM交x轴于点N．①假设MP⊥OB，那么四边形AOPQ是矩形，∴AQ=OP，∴4﹣t=t，且t=2．②假设PM⊥BM，那么MN2=PN•BN．∵∴PN=5﹣〔1+t〕﹣t=4﹣2t，BN=1+t，∴〔〕2=〔4﹣2t〕〔1+t〕，∴t1=﹣1〔舍去〕，t2=．综上所得，当t=2〔秒〕，或t=〔秒〕时，△PMB是直角三角形．2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．〔1〕求证：梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；〔3〕在〔2〕中：①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．考点：等腰梯形的判定；二次函数的应用；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题；动点型．分析：〔1〕需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；〔2〕可证△BPM∽△CQP，，PC=x，MQ=y，BP=4﹣x，QC=4﹣y，，即可得出y=﹣x+4；〔3〕应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况；由〔2〕中的函数关系，可得当y取最小值时，x=PC=2，P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．解答：〔1〕证明：∵△MBC是等边三角形，∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．∵M是AD中点，∴AM=MD．∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．∴△AMB≌△DMC．∴AB=DC．∴梯形ABCD是等腰梯形．〔2〕解：在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．∴∠BMP=∠QPC．∴△BPM∽△CQP．∴．∵PC=x，MQ=y，∴BP=4﹣x，QC=4﹣y．∴．∴y=﹣x+4．〔3〕解：①当BP=1时，那么有BP AM，BP MD，那么四边形BPDM为平行四边形，∴MQ=y=×32﹣3+4=．当BP=3时，那么有PC AM，PC MD，那么四边形APCM为平行四边形，∴MQ=y=×12﹣1+4=．∴当BP=1，MQ=或BP=3，MQ=时，以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有2个．②△PQC为直角三角形．∵y=〔x﹣2〕2+3，∴当y取最小值时，x=PC=2．∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∴∠CPQ=30°，∴∠PQC=90°．∴△PQC是直角三角形．点评：此题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．3、如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．〔1〕如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y1〔cm2〕，求y1〔cm2〕关于t〔秒〕的函数关系式；〔2〕如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y2〔cm2〕，求y2〔cm2〕关于t〔秒〕的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．考点：梯形；二次函数综合题；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：〔1〕此题的关键是看三角形BPQ中，BQ边上的高的值，分三种情况进行讨论：①当P在BA上运动时，过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BC于M，那么AM的值不难求出，可在相似三角形BPN和BAM中，表示出PN的长．②当P在AD上运动时，高PN=DC．③当P在DC上运动时，高PC=BA+AD+DC﹣t．然后根据三角形的面积公式即可求出y1，t的函数关系式．〔2〕由于四边形APED不是规那么的四边形，因此其面积可用梯形ABCD的面积﹣三角形BPC的面积﹣三角形CPE的面积来求．关键还是求出三角形BPC和CPE 的高，过P分别作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，PH=CF=CE，而PF的长可用BC ﹣BH来得出，由此可得出关于y2与t的函数关系式．解答：解：〔1〕过点A作AM⊥BC于M，如图1，那么AM=6，BM=8，∴AD=MC=2．过点P作PN⊥BC于N，那么△PNB∽△AMB，∴．∴．∴．①当点P在BA上运动时，y1=BQ•NP=t•t=t2；②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，y1=BQ•NP=×10×6=30；③当点P在DC上运动时，y1=BQ•CP=×10〔10+2+6﹣t〕=﹣5t+90．〔2〕过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，∵∠BCD=90°，∴四边形PHCF是矩形，∴FC=EF=PH=t，在Rt△BHP中，BH===t，∴PF=BC﹣HB=10﹣．∴y2=S梯形ABCD﹣S△BPC﹣S△PEC=〔2+10〕×6﹣×10×t﹣×t〔10﹣t〕=t2﹣9t+36当CE=CD时，t=6，∴t=5．∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．点评：此题主要考查了梯形的性质，三角形的相似，图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识点．不规那么图形的面积通常转化为规那么图形的面积的和差．二：几何图形移动中的二次函数问题：4、如图，Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动〔如图2〕，直到C点与N 点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠局部的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系，作垂直辅助线，延长AD构成一个长方形，更有利解题，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠局部的形状可分为以下三种情况，〔1〕C点由M点运动到F点的过程中〔0≤x≤2〕；〔2〕当C点由F点运动到T点的过程中〔2＜x≤6〕；〔3〕当C点由T点运动到N点的过程中〔6＜x≤8〕；把思路理清晰，解题就容易了．解答：解：在Rt△PMN中，∵PM=PN，∠P=90°∴∠PMN=∠PNM=45°，延长AD分别交PM，PN于点G、H．过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．∵DC=2cm，∴MF=GF=2cm，TN=HT=2cm．∵MN=8cm，∴MT=6cm．因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠局部的形状可分为以下三种情况：〔1〕当C点由M点运动到F点的过程中〔0≤x≤2〕，如图①所示，设CD与PM交于点E，那么重叠局部图形是Rt△MCE，且MC=EC=x．∴y=MC•EC=x2〔0≤x≤2〕．〔2〕当C点由F点运动到T点的过程中〔2＜x≤6〕，如图②所示，重叠局部图形是直角梯形MCDG．∵MC=x，MF=2，∴FC=DG=x﹣2，且DC=2，∴y=〔MC+GD〕•DC=2x﹣2〔2＜x≤6〕．〔3〕当C点由T点运动到N点的过程中〔6＜x≤8〕，如图③所示，设CD与PN交于点Q，那么重叠局部图形是五边形MCQHG．∵MC=x，∴CN=CQ=8﹣x，且DC=2，∴y=〔MN+GH〕•DC﹣CN×CQ=﹣〔8﹣x〕2+12〔6＜x≤8〕．点评：此题主要考查直角三角形的性质和垂直关系的应用，直角三角形内部辅助线的作法，以及分类讨论思想的应用．5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合局部的面积记为S平方厘米．〔1〕当t=4时，求S的值；〔2〕当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．考点：等腰梯形的性质；二次函数综合题；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：〔1〕首先判定当t=4时，点B与点Q重合，点P与点D重合，那么求△BDC的面积即可．〔2〕分别从4≤t＜6与6≤t≤10去分析，求得各自的函数解析式，再分析各种情况下的最大值即可求得答案．解答：解：〔1〕当t=4时，CQ=4cm，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，∵，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，∴BE=1，∴AE=DF=cm，在△ABE和△DFC中，∴△ABE≌△DFC，∴BE=CF，∵EF=AD=2cm，BC=4cm，∴BE=CF=1cm，∴点D与点P重合，∴S△BDC=BC•DF=×4×=2〔cm2〕；〔2〕当4≤t＜6时，P在线段AD上，作KH⊥QH，过点M作MN⊥BC于N，∵∠Q=30°，∠1=60°，∴∠2=∠1﹣∠Q=30°，∠3=∠2=30°，∴QB=BM=QC﹣BC=t﹣4，∵∠R=∠Q=30°，∠DCB=∠ABC=60°，∴∠CKR=∠DCB﹣∠R=30°=∠R，∴KC=CR=6﹣t，∴HK=KC•sin60°=〔6﹣t〕∴同理：MN=〔t﹣4〕，∴S=S△PQR﹣S△BQM﹣S△CRK=QR•PG﹣BQ•MN﹣CR•KH=×6×﹣×〔t﹣4〕2﹣×〔6﹣t〕2=﹣t2+5t﹣10，∵a=﹣＜0，开口向下，∴S有最大值，当t=﹣=5时，S最大值为；当6≤t≤10时，P在线段DA的延长线上，∵∠1=60°，∠2=30°，∴∠3=90°∴RC=t﹣6，BR=4﹣RC=4﹣〔t﹣6〕=10﹣t，∴TB=BR=，TR=BR=〔10﹣t〕，∴S=TB•TR=××〔10﹣t〕=t2﹣t+，当a＞0时，开口向上，﹣=10，∴t=6时，S最大值为2；综上，t=5时，S最大值为．点评：本小题主要考查等腰三角形、等腰梯形、解直角三角形、二次函数等根底知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．三：图形变换中的二次函数问题：6、如下列图，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax2〔a＜0〕的图象上．〔1〕求抛物线y=ax2的函数关系式；〔2〕正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax2的图象上并求这个点的坐标．〔参考数据：sin30°=，cos30°=，tan30°=．〕考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：〔1〕由于OA顺时针旋转30°后A点落在抛物线上，设此时的A点为A1，过A1作A1⊥x 轴于M，那么可根据正方形的边长和∠A1OA的度数求出A1M和OM的长，即可得出A1的坐标，然后根据A1的坐标即可求出抛物线的解析式．〔2〕根据抛物线的对称性即可得出要经过120°点A才会再落到抛物线的图象上．且此点与A1关于y轴对称，即坐标为〔﹣，﹣〕．解答：解：〔1〕设旋转后点A落在抛物线上点A1处，OA1=OA=1，过A1作A1M⊥x轴于M，根据旋转可知：∠A1OM=30°，那么OM=OA1cos30°=，A1M=OA1sin30°=，所以A1〔，﹣〕．由A1在y=ax2上，代入抛物线解析式得：﹣=a〔〕2解得a=﹣，∴y=﹣x2〔2〕由抛物线关于y轴对称，再次旋转后点A落在抛物线点A2处，点A2与点A1关于y轴对称，因此再次旋转120°，点A2的坐标为〔﹣，﹣〕．点评：此题考查了图形的旋转变换、二次函数确实定、二次函数的性质等知识点．7、如图，在直线l上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF∥DG，∠DGF=90°，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60度．解答以下问题：〔1〕旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A1B1C，并求出AB1的长度；〔2〕翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A2B1C1，试判定四边形A2B1DE 的形状并说明理由；〔3〕平移：将△A2B1C1沿直线l向右平移至△A3B2C2，假设设平移的距离为x，△A3B2C2与直角梯形重叠局部的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少．考点：旋转的性质；二次函数综合题；平行四边形的判定；翻折变换〔折叠问题〕；平移的性质．专题：压轴题．分析：〔1〕根据旋转的定义得到CB′=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB′的长，就可以求出AB1的长度；〔2〕四边形A2B1DE是菱形，可以证明A2B与DE平行且相等，得到四边形A2B1DE是平行四边形，又A2B1=B1D=4，所以平行四边形A2B1DE是菱形．〔3〕y等于△ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A3B2与DE相交时，即当2≤x＜4时：根据A3B2∥DE，得到那么重合局部的三角形与△A3B2C2相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合局部的长度，得到C1C2的长度．从而求出x的值．另外一种情况是当A3B2与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C1C2的长度．从而求出x的值．解答：解：〔1〕在△ABC中，由得：BC=2cm，AC=AB×cos30°=cm，∴AB1=AC+CB1=AC+CB=cm．〔2〕四边形A2B1DE菱形．理由如下：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，∴BC=AB=×4=2cm，∵∠EDG=60°，∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°，∴A2B1∥DE，又∵A2B1=A1B1=AB=4cm，DE=4cm，∴A2B1=DE，∴四边形A2B1DE是平行四边形，又∵A2B1=AB=4cm，B1D=CD﹣B1C=6﹣2=4cm，∴A2B1=B1D=4cm，∴平行四边形A2B1DE是菱形．〔3〕由题意可知：S△ABC=cm2，①当0≤x＜2或x≥10时，y=0，此时重叠局部的面积不会等于△ABC的面积的一半．②当2≤x＜4时，直角边B2C2与直角梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2﹣DC1=〔x ﹣2〕cm，那么y=〔x﹣2〕〔x﹣2〕=〔x﹣2〕2，当y=S△ABC=时，即〔x﹣2〕2=解得〔舍〕或x=2+．∴当x=2+cm时，重叠局部的面积等于△ABC的面积的一半．③当4cm≤x＜8cm时，△A3B2C2完全与直角梯形重叠，即y=2cm2．④当8cm≤x＜10cm时，B2G=B2C2﹣GC2=2﹣〔x﹣8〕=10﹣xcm那么y=〔10﹣x〕•〔10﹣x〕=〔10﹣x〕2，当y=S△ABC=时，即〔10﹣x〕2=，解得x=10﹣cm，或x=10+cm〔舍去〕．∴当x=10﹣cm时，重叠局部的面积等于△ABC的面积的一半．由以上讨论知，当x=2+cm或x=10﹣cm时，重叠局部的面积等于△ABC的面积的一半．点评：此题主要考查了旋转的性质，用运动变化的观点理解此题是解决的关键．8、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF〔点E、F为折痕与矩形边的交点〕，再将纸片复原．〔1〕当x=0时，折痕EF的长为 3 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；〔2〕请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；〔3〕令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？假设相似，求出x的值；假设不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！考点：翻折变换〔折叠问题〕；二次函数综合题；相似三角形的性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：〔1〕当x=0时，点A与点P重合，那么折痕EF的长等于矩形ABCD中的AB，当点E 与点A重合时，折痕是一个直角的角平分线，可求EF=；〔2〕由题意可知，EF垂直平分线段DP，要想使四边形EPFD为菱形，那么EF也应被DP平分，所以点E必须要在线段AB上，点F必须在线段DC上，即可确定x的取值范围．再利用勾股定理确定菱形的边长．〔3〕构造直角三角形，利用相似三角形的对应线段成比例确定y的值，再利用二次函数的增减性确定y的最大值．解答：解：〔1〕当x=0时，折痕EF=AB=3，当点E与点A重合时，折痕EF==．〔2〕1≤x≤3．当x=2时，如图，连接PE、PF．∵EF为折痕，∴DE=PE，令PE为m，那么AE=2﹣m，DE=m，在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2∴1+〔2﹣m〕2=m2，解得m=；此时菱形边长为．〔3〕如图2，过E作EH⊥BC；∵△EFH∽△DPA，∴，∴FH=3x；∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；当F与点C重合时，如图3，连接PF；∵PF=DF=3，∴PB=，∴0≤x≤3﹣2；∵函数y=9+9x2的值在y轴的右侧随x的增大而增大，∴当x=3﹣2时，y有最大值，此时∠EPF=90°，△EAP∽△PBF．综上所述，当y取最大值时△EAP∽△PBF，x=3﹣2．点评：此题是一道综合性较强的题目，主要考查学生的图感，利用折叠过程中的等量关系寻找解题途径；特别是最后一问中涉及到的知识点比较多，需要同学们利用相似三角形的性质确定函数关系式后再根据自变量的取值范围来确定二次函数的最值问题．9、如图1，菱形纸片ABCD中，AB=1，∠B=60°，将纸片翻折〔如图2〕，使D点落在AD所在直线上，并可在直线AD上运动，折痕为EF．当＜DE＜1时，设AB与DC相交于点G〔如图〕．〔1〕线段AD与DG相等吗？△ADG与△BCG的面积之和是否随着DE的变化而变化？为什么？〔2〕设AD=x，重叠局部〔图3中阴影局部〕的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围以及面积y的取值范围．考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：〔1〕根据菱形性质，∠B=∠D=60°，又AD∥BC，不难得出△ADG为等边三角形，故AD=DG，可证△DAG、△BCG都为等边三角形，设AD=x，那么有BC=1﹣x，用等边三角形计算面积的方法求解．〔2〕平行四边形面积可以理解为S△ADG+S△BCG+2S阴影局部．解答：解：〔1〕AD=DG．理由如下：∵∠D=60°，∠DAB=∠B=60°∴△DAG为等边三角形∴AD=DG△ADG与△BCG的面积和会随DE的变化而变化设AD=x，那么有BC=1﹣x∵△DAG为等边三角形∴△BCG也为等边三角形∴S△ADG+S△BCG=x2+〔1﹣x〕2=〔2x2﹣2x+1〕随x的变化而变化．〔2〕∵2y=2××12﹣x2﹣〔1﹣x〕2∴y=﹣x2+x+〔0＜x＜1，＜y≤〕．点评：此题考查了菱形的性质，等边三角形的面积表示方法，用割补法表示阴影局部的面积等问题．四：二次函数和圆的综合问题：10、如下列图，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A〔6，0〕、B〔0，﹣8〕．〔1〕求直线AB的解析式；〔2〕假设有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；〔3〕设〔2〕中的抛物线与x轴交于D〔x1，y1〕、E〔x2，y2〕两点，且x1＜x2，在抛物线上是否存在点P，使△PDE 的面积是△ABC面积的？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．〔2〕了A、B的坐标，M是线段AB的中点，不难得出M点的坐标和圆的半径，据此可求出C点的坐标．然后用顶点式二次函数解析式设抛物线，将B点坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值．也就得出了抛物线的解析式．〔3〕先求出三角形ABC的面积〔可将三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC两局部来求〕．然后根据三角形ABC与三角形PDE的面积比求出三角形PDE的面积．由于三角形PDE中，DE的长是定值，因此可求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标．解答：解：〔1〕设直线AB的解析式为y=kx+b根据题意，得：解之，得k=，b=﹣8∴直线AB的解析式为y=x﹣8〔2〕设抛物线对称轴交x轴于F，∵∠AOB=90°，∴AB为圆M的直径，即AM=BM，∴抛物线的对称轴经过点M，且与y轴平行，OA=6，∴对称轴方程为x=3，作对称轴交圆M于C，∴MF是△AOB的中位线，∴MF=BO=4，∴CF=CM﹣MF=1，∵点C〔3，1〕，由题意可知C〔3，1〕就是所求抛物线的顶点．方法一：设抛物线解析式为y=a〔x﹣3〕2+1，∵抛物线过点B〔0，﹣8〕，∴﹣8=a〔0﹣3〕2+1，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣〔x﹣3〕2+1或y=﹣x2+6x﹣8；方法二：∵抛物线过点B〔0，﹣8〕，∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣8，由题意可得：，∴a=﹣1，b=6，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+6x﹣8；〔3〕令﹣x2+6x﹣8=0，得x1=2，x2=4，∴D〔2，0〕，E〔4，0〕，设P〔x，y〕，那么S△PDE=•DE•|y|=×2|y|=|y|，S△ABC=S△BCM+S△A CM=•CM•〔3+3〕=×5×6=15，假设存在这样的点P，那么有|y|=×15=3，从而y=±3，当y=3时，﹣x2+6x﹣8=3，整理得：x2﹣6x+11=0，∵△=〔﹣6〕2﹣4×11＜0，∴此方程无实数根；当y=﹣3时，﹣x2+6x﹣8=﹣3，整理得：x2﹣6x+5=0，解得：x1=1，x2=5，∴这样的P点存在，且有两个这样的点：P1〔1，﹣3〕，P2〔5，﹣3〕．点评：此题考查了一次函数与二次函数解析式确实定、函数图象交点、图形面积的求法等知识点．综合性较强，难度适中．11、在平面直角坐标系xOy中，点A〔﹣1，0〕，B〔0，1〕，C〔2，〕．〔Ⅰ〕直线l：y=kx+b过A、B两点，求k、b的值；〔Ⅱ〕求过A、B、C三点的抛物线Q的解析式；〔Ⅲ〕设〔Ⅱ〕中的抛物线Q的对称轴与x轴相交于点E，那么在对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切？假设存在，求出点F的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕直线l：y=kx+b过A、B两点，把这两点的坐标代入函数解析式，就可以得到关于k，b的方程组，就可以求出k，b的值．〔2〕A、B、C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．〔3〕对称轴上是否存在点F，使⊙F与直线l和x轴同时相切，应分F在x轴的上方和下方两种情况进行讨论．当F在x轴的上方时，设直线l与x轴的交点是P，那么PF是三角形MPE的角平分线，根据三角形角平分线的性质就可以求出F的坐标．当F在x轴的下方时，△MNF为等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质就可以求出F点的坐标．解答：解：〔Ⅰ〕∵直线y=kx+b过A、B两点，∴〔1分〕解这个方程组，得k=1，b=1．〔2分〕〔Ⅱ〕设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，那么有：〔3分〕解这个方程组，得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．〔4分〕〔Ⅲ〕存在⊙F与直线l和x轴同时相切．易知抛物线Q的对称轴为x=2，〔5分〕①当圆心F在x轴的上方时，设点F的坐标为〔2，y0〕，把x=2代入y=x+1，得y=3．∴抛物线Q的对称轴与直线l的交点为M〔2，3〕．〔6分〕∴EF=y0，ME=3，MF=ME﹣EF=3﹣y0．〔7分〕由直线l：y=x+1知，∠NMF=45度．∴△MNF是等腰直角三角形∴MF=NF=EF∴3﹣y0=y0∴y0=3﹣3∴点F的坐标为〔2，3﹣3〕．〔8分〕②当圆心F在x轴的下方时，设点F的坐标为〔2，y0〕，那么MF=3﹣y0，FE=﹣y0．由△MNF为等腰直角三角形，得3﹣y0=y0，〔9分〕∴y0=﹣3﹣3∴点F的坐标为〔2，﹣3﹣3〕．〔10分〕点评：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式．利用数形结合的方法解决此题，理解图形中圆与直线的关系是解题的关键．12、：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点．〔1〕试用含a的代数式表示b；〔2〕设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两局部．假设将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；〔3〕设点B是满足〔2〕中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的局部上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕根据图象，易得点A、C的坐标，代入解析式可得a、b的关系式；〔2〕根据抛物线的对称性，结合题意，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可得答案；〔3〕根据题意，设出P的坐标，按P的位置不同分两种情况讨论，可得答案．解答：解：〔1〕解法一：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为〔4，0〕．∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，∴c=0，16a+4b=0．∴b=﹣4a〔1分〕．解法二：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为〔4，0〕．∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，∴抛物线的对称轴为直线x=2．∴x=﹣=2．∴b=﹣4a〔1分〕．〔2〕由抛物线的对称性可知，DO=DA∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO又由〔1〕知抛物线的解析式为y=ax2﹣4ax∴点D的坐标为〔2，﹣4a〕①当a＞0时，如图设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与OD'相切，∴点O为切点〔2分〕∴D'O⊥OD∴∠DOA=∠D'OA=45°∴△ADO为等腰直角三角形∴OD=2〔3分〕∴点D的纵坐标为﹣2∴﹣4a=﹣2，∴a=，b=﹣4a=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x．〔4分〕②当a＜0时，同理可得：OD=2抛物线的解析式为y=﹣x2+2x〔5分〕综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x．〔3〕答：抛物线在x轴上方的局部上存在点P，使得∠POA=∠OBA设点P的坐标为〔x，y〕，且y＞0①当点P在抛物线y=x2﹣2x上时〔如图〕∵点B是⊙D的优弧上的一点∴∠OBA=∠ADO=45°∴∠POA=∠OBA=60°过点P作PE⊥x轴于点E，∴tan∠POE=∴=tan60°，∴y=．由解得：〔舍去〕∴点P的坐标为．〔7分〕②当点P在抛物线y=﹣x2+2x上时〔如图〕同理可得，y=由解得：〔舍去〕∴点P的坐标为〔4﹣2，﹣6+4〕．〔9分〕综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为〔4+2，6+4〕或〔4﹣2，﹣6+4〕．点评：此题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．13、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A〔〕，且△AOB∽△BOC．〔1〕求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式；〔2〕在线段AC上是否存在点M〔m，0〕．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点〔与点B不同〕，且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数综合题；等腰三角形的性质．专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：〔1〕由二次函数y=ax2+bx+3的解析式，首先求出B点坐标，然后由△AOB∽△BOC，根据相似三角形的对应边成比例，求出OC的长度，得出C点坐标；根据相似三角形的对应角相等得出∠OAB=∠OBC，从而得出∠ABC=90°；由y=ax2+bx+3图象经过点A〔﹣，0〕，C〔4，0〕，运用待定系数法即可求出此二次函数的关系式；〔2〕如果以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形，那么分三种情况讨论：①CP=CO；②PC=PO；③OC=OP．针对每一种情况，都应首先判断M点是否在线段AC上，然后根据相似三角形的对应边成比例求出m的值．解答：解：〔1〕由题意，得B〔0，3〕，∵△AOB∽△BOC，∴∠OAB=∠OBC，∴=，∴=，∴OC=4，∴C〔4，0〕；∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBC+∠OBA=90°，∴∠ABC=90°；∵y=ax2+bx+3图象经过点A〔﹣，0〕，C〔4，0〕，∴，∴y=﹣x2+x+3；〔2〕①如图1，当CP=CO时，点P在BM为直径的圆上，因为BM为圆的直径，∴∠BPM=90°，∴PM∥AB，∴△CPM∽△CBA，∴CM：CA=CP：CB，CM：5=4：5，∴CM=5，∴m=4﹣5=﹣1；②如图2，当PC=PO时，点P在OC垂直平分线上，得PC=BC=，由△CPM∽△CBA，得CM=，∴m=4﹣=；③当OC=OP时，M点不在线段AC上．综上所述，m的值为或﹣1．点评：此题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．五：二次函数中的一般问题：14、抛物线y=x2﹣mx+m﹣2．〔1〕求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；〔2〕假设m是整数，抛物线y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交于整数点，求m的值；〔3〕在〔2〕的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．假设m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：代数综合题；压轴题．分析：〔1〕与x轴有两个交点即是△＞0，只要表示出△，通过配方得到〔m﹣2〕2+4即可说明此抛物线与x轴有两个不同的交点；〔2〕因为关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的根为，由m为整数，当〔m﹣2〕2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．列方程即可求得；〔3〕首先确定函数的解析式，根据题意求得A，B的坐标，根据题意列方程即可．解答：〔1〕证明：令y=0，那么x2﹣mx+m﹣2=0．因为△=m2﹣4m+8=〔m﹣2〕2+4＞0，〔1分〕所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．〔2分〕〔2〕解：因为关于x的方程x2﹣mx+m﹣2=0的根为x==，由m为整数，当〔m﹣2〕2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点．设〔m﹣2〕2+4=n2〔其中n为整数〕，〔3分〕那么[n+〔m﹣2〕][n﹣〔m﹣2〕]=4因为n+〔m﹣2〕与n﹣〔m﹣2〕的奇偶性相同，所以或解得m=2．经过检验，当m=2时，方程x2﹣mx+m﹣2=0有整数根．所以m=2．〔5分〕〔3〕解：当m=2时，此二次函数解析式为y=x2﹣2x=〔x﹣1〕2﹣1，那么顶点坐标为〔1，﹣1〕．抛物线与x轴的交点为O〔0，0〕、B〔2，0〕．设抛物线的对称轴与x轴交于点M1，那么M1〔1，0〕．在直角三角形AM1O中，由勾股定理，得．由抛物线的对称性可得，．又因为，即OA2+AB2=OB2．所以△ABO为等腰直角三角形．〔6分〕那么M1A=M1B．所以M1〔1，0〕为所求的点．〔7分〕假设满足条件的点M2在y轴上时，设M2坐标为〔0，y〕，过A作AN⊥y轴于N，连接AM2、BM2，那么M2A=M2B．由勾股定理，即M2A2=M2N2+AN2；M2B2=M2O2+OB2，即〔y+1〕2+12=y2+22．解得y=1．所以M2〔0，1〕为所求的点．〔8分〕综上所述，满足条件的M点的坐标为〔1，0〕或〔0，1〕．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是仔细审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想的应用．此题属于难度大的问题，要注意审题．15、：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．〔1〕求抛物线的解析式及B的坐标；〔2〕设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；〔3〕直线y=x+a与〔1〕中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？假设存在，求出a的值；假设不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕先根据直线的解析式求出A、C的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式，进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标．〔2〕根据等高三角形的面积比等于底边比，因此两三角形的面积比实际是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的长，然后分情况讨论：①当P在线段AC上时，AP+PC=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，然后根据∠CAB的三角函数值或通过构建相似三角形可求出P点的坐标．②当P在CA的延长线上时，CP﹣AP=AC，3AP=PC，据此可求出AP的长，后面同①．〔3〕可联立两函数的解析式，求出M、N的坐标，过M、N作x轴的垂线设垂足为M′、N′，由于∠MON=90°，因此可得出△MM′O与△N′NO相似，可得出M、N两点的横、纵坐标的绝对值对应成比例，据此可求出a的值．〔也可用坐标系的两点间的距离公式，根据勾股定理来求解．〕解答：解：〔1〕当x=0时，y=6，∴C〔0，6〕，当y=0时，x=﹣3，∴A〔﹣3，0〕，∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，∴，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+6，当y=0时，整理得x2+x﹣6=0，解得：x1=2，x2=﹣3，∴点B〔2，0〕．〔2〕过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵S△ABP：S△BPC=1：3，。
专题15二次函数及其应用(知识点总结例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
1 2 中考数学 专题 15 二次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、二次函数的概念：1.二次函数的概念：（1）一般地，如果 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)，那么 y 叫做 x 的二次函数； （2）抛物线 y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式。
2.二次函数的解析式（ 二次函数的解析式有三种形式）： （1）一般式：y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0) （2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a ，h ，k 是常数，a≠0) （3）两根式(交点式)：y=a(x-x 1)(x-x 2)；①已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1、x 2，通常选用交点式； 即对应二次方程 ax 2+bx+c=0 有实根 x 和 x 存在； ②如果没有交点，则不能这样表示。
3.用待定系数法求二次函数的解析式：（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ； （2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k ，其中对称轴为 x ＝h ，顶点坐标为(h ，k)；（3）若已知抛物线与 x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式(交点式)：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中与 x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)。
【例题 1】已知二次函数的图象经过(2，10)、(0，12)和(1，9)三点，求二次函数的解析式.【答案】y=2x 2-5x+12【解析】设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ，把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入求出 a ，b ，c 即可．解：设抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c ；⎨ ⎩ ⎧4a + 2b + c = 10 把(2，10)、(0，12)、(1，9)分别代入得⎪c = 12⎪a + b + c = 9 所以，二次函数的解析式为：y=2x 2-5x+12。
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2021年华师大版数学中考专题演练—— 二次函数的应用一、单选题1．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2156s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了多远？（ ）A ．10.35mB ．8.375mC ．8.725mD ．9.375m2．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ） A ．35元B ．36元C ．37元D ．36或37元3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，若第二个月的增长率是x ，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么y 与x 的函数关系是 （ ） A ．()()112y a x x =++ B ．()21y a x =+ C ．()221y a x =+D ．22y x a =+4．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m >5．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.42y x x =-+-，则最佳加工时间为（ ）min ．6．抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ．若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A 、C 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知二次函数2232y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．下列说法正确的是（ ）①线段AC 的长度为2；①抛物线的对称轴为直线34x =；①P 是此抛物线的对称轴上的一个动点，当P 点坐标为321,44⎛⎫⎪⎝⎭时，PA PC -的值最大；①若M 是x 轴上的一个动点，N 是此抛物线上的一个动点，如果以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的M 点有4个．A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①8．已知当10x <<－时，二次函数243y x kx =-+的值恒大于1，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥34-B ．－34≤k≤－12C ．－12＜k ＜0 D ．－34≤k ＜0 9．如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a ，b ，c 为常数）与二次函数212y x ex f =++（e ，f 为常数）的图象的顶点分别为A ，B ，且相交于(,)C m n 和(8,)D m n +．若90ACB ∠=︒，则a 的值为（ ）A ．12-B ．14-C ．18-D ．116-10．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y 亿元人民币，设每年投资的增长率为x ，则可得（ ） A ．5(12)y x =+ B ．25y x =C ．()251y x =+D ．()251y x=+二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线()224y x =-+上运动，过点A 作AB①x 轴于点B ，以AB 为斜边作Rt①ABC ，则AB 边上的中线CD 的最小值为_________．12．如图，在①ABC 中，①C ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为_____cm 213．用一根长为20cm 的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是__________2cm ． 14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线224y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是_____米；15．如图，正方形OABC 的一个顶点与原点O 重合，OC 与y 轴的正半轴的夹角为15°，点B 在抛物线213y x =的图象上，则OA 的长为______．16．如图，一段抛物线：(6)(06)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，过抛物线1C ，3C 顶点的直线与1C 、2C 、3C 围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为___________．三、解答题17．某公司最新研制出一种新型环保节能产品，成本每件40元，公司在销售过程中发现每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似看作一次函数y ＝﹣（1）该公司销售过程中，当销售单价x 为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？（2）由于要把产品及时送达客户，公司每天需支付的物流费用是350元，为了保证每天支付物流费用后剩余的利润不少于1400元，则该产品的销售单价x （元）的取值范围是 ．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象经过M(1，0)和N(3，0)，且与y 轴交于D(0，3)，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式；（2）若过点A(-1，0)的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求点B 的坐标，并求直线AB 的解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上，①P 与射线AB 和x 轴都相切，求点P 坐标． 19．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C （0，3），作直线BC ．动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM ①x 轴，交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值；（3）当点P 在线段OB 上运动时，若①CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；20．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点(1,0)A -，点(3,0)B ，点(0,3)C ，连接AC ．（1）求二次函数的表达式；（2）点P 是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像上位于第一象限内的一点，过点P作//PQ AC ，交直线BC 于点Q ，若12PQ AC =，求点P 的坐标．参考答案1．D2．C3．A4．D5．D6．D7．C8．A9．C10．C11．212．1513．2514．21516．10817．（1）当销售单价x为4000元时，每天获得的利润最大，最大利润是4000元；（2）45≤x≤75．【详解】解：（1）设每天获得的利润为w，由题意得：w＝（−10x＋800）（x−40）＝−10x2＋1200x−32000，①对称轴为直线x＝120060 22(10)ba-=-=⨯-，①当x＝60时，w＝−10×602＋1200×60−32000＝4000．①当销售单价x为4000元时，每天获得的利润最大，最大利润是4000元；（2）由（1）知w＝−10x2＋1200x−32000，①支付350元物流费用后剩余的利润不少于1400元，①当−10x2＋1200x−32000−350＝1400时，整理得：x2−60x＋3375＝0，解得：x 1＝45，x 2＝75，①二次函数w'＝−10x 2＋1200x−32000−350的二次项系数为负，对称轴为直线x ＝60， ①当45≤x≤75时，每天支付物流费用后剩余的利润不少于1400元． 故答案为：45≤x≤75． 18．（1）243y x x =-+；（2）点B 为(2，4)或(2，－4)，直线AB 的解析式为4433y x =+或4433y x =--；（3）点p 为(2，32)或(2，－32) 【详解】解：（1）①抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象经过点M （1，0），N （3，0），①设该抛物线的解析式为()()13y a x x =-- ①抛物线与y 轴交于点D （0，3） ①1a =①抛物线的解析式为243y x x =-+（2）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为C ．①点A （1，0），抛物线243y x x =-+的对称轴为2x =①AC=3 ①6ABC S ∆= ①1•62AC BC =①BC=4点B 的坐标为（2，4）或（2，－4） ①直线AB 的解析式为4433y x =+或4433y x =--． （3）①点P 在抛物线的对称轴上，且①P 与射线AB 和x 轴都相切，所以点P 到射线AB 和x 轴的距离相等，即点P 在①BAN 或B AN ∠'的角平分线与对称轴l 的交点处． 当点P 在x 轴上方时， 设点P 的坐标为（2，b ）由（1）（2）可知，AC=3，BC=4，①AB=5 过点P 作PH①AB ，垂足为H ，则AH=AC=3①BH=AB -AH=5-3=2，PH=PC=b ，BP=BC -PC=4-b ， 在Rt BPH ∆中，222PH BH PB +=①()22224b b +=- ①32b =①点P 的坐标为（2，32） 同理，当点P 在x 轴下方时，点P 的坐标为（2，－32） 所以，点p 的坐标为（2，32）或（2，－32）． 19．（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3；（2）当m ＝32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）m ＝2；（4）m 的值为2或32． 【详解】解：（1）①抛物线过A 、C 两点， ①代入抛物线解析式可得103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，①抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，令y ＝0可得，﹣x 2+2x +3＝0，解x 1＝﹣1，x 2＝3， ①B 点在A 点右侧， ①B 点坐标为（3，0）， 设直线BC 解析式为y ＝kx +s ，把B 、C 坐标代入可得303k s s +=⎧⎨=⎩，解得13k s =-⎧⎨=⎩，①直线BC 解析式为y ＝﹣x +3； （2）①PM ①x 轴，点P 的横坐标为m ， ①M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，﹣m +3）， ①P 在线段OB 上运动， ①M 点在N 点上方，①MN ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ＝﹣（m ﹣32）2+94，①当m ＝32时，MN 有最大值，MN 的最大值为94；（3）①PM ①x 轴，①当①CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，则有CM ①MN ，①M 点纵坐标为3，①﹣m 2+2m +3＝3，解得m ＝0或m ＝2，当m ＝0时，则M 、C 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，①m ＝2；（4）①PM ①x 轴，①MN ①OC ，当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC ＝MN ，当点P 在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m 2+3m ，①﹣m 2+3m ＝3，此方程无实数根，当点P 不在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m +3﹣（﹣m 2+2m +3）＝m 2﹣3m ，①m 2﹣3m ＝3，解得m或m综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为32+或32． 20．（1）2y x 2x 3=-++；（2）1(1,4)P ，2(2,3)P【详解】解：（1）把A （-1，0），点B （3，0），点C （0，3），代入二次函数y=ax 2+bx+c 中，得： 09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，二次函数的表达式为y=-x 2+2x+3；（2）过点P ，A 分别作y 轴得平行线与直线BC 交于点M ，N ．则AN①PM ，如图1．①//PQ AC ,①①ACQ=①PQC,①①ACN=①PQM,①AN①PM ，①①ANC=①PMQ,①①ACN①①PQM ， 则12PM PQ AN AC ==， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b,则303k b b +=⎧⎨=⎩解得：13k b =-⎧⎨=⎩①直线BC 得解析式为y=3-x ，则N （-1，4）， ①AN=4， ①12PM AN = ①PM=2，设P 点得横坐标为a ，则M （a ，3-a ），P （a ，-a 2+2a+3）， 得PM=-a 2+2a+3-（3-a ）=-a 2+3a ，令，-a 2+3a=2，解得x=1或x=2，故P 为（1，4）或（2，3）．。