第三章 随机变量的数字特征答案
第3章 随机变量的数字特征(答案)
第3章 随机变量的数字特征 一.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k −===则随机变量3Z X 2=−的数学期望E (Z)= (4)()()()()~(2),2,32323224X P E X E Z E X E X ==−=−=×−=解: 2.设随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞−∞=⇒+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞−∞==⇒+∫=, 11,2A B ∴==3.(95-1-3)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2x 的数学期望 ()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4), 100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E XD XE X =×==−=×−==+=+=4. (99-4-3)设~(),X P λ已知,则[(1)(2)]1E X X −−=λ= (1) 解:()()()()()22~(),,,X P E X D X E XD XE X 2λλλλ===+=λ+−0,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ−−=−+=+=−+=⇒= 5. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1, 1()1, 010,x x f x x x +−≤≤⎧⎪=−<≤⎨⎪⎩,则方差为 DX (1/6)解:()()011123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫=()()0111222234341100101111(1)(1)3434E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫16=()()()221/601/6D X E X E X =−=−=6.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独立,,则~(3,1),~(2,1)X N Y N −27, Z ~Z X Y =−+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =−+=−−×+==+=+=∴7.设两个相互独立的随机变量和Ｙ均服从,若随机变量X (1,1/5)N X aY −满足条件， 2()[(D X aY E X aY −=−)]则a = . (1) 解:()0,()()0110E X aY E X aE Y a a ⇒−=⇒−=⇒−⋅=⇒=18.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =−则Y 与Z 的相关系数为 (0.9)解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =−==−==,,0.9YZ ρ===9.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ===，=2，试求E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=−= ()()()222D Y E Y E Y =−=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====⇒===26222222)2()()22E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（二.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协方差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ; (B ) ; (C ) X 与Y 独立; (D ) X 与Y 不独立 ()()(D XY D X D Y =))()D X Y DX DY +=+2.若随机变量X 与Y 的协方差，则下列结论必正确的是( ). 解C (,)0Cov x y =(A ) X 与Y 独立; (B ); (C )()()(D XY D X D Y =()D X Y DX DY +=+; (D ). ()D X Y DX DY −=−3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则的值( ). 解B ,n p (A ); (B ) ; (C ) 4,0.6n p ==6,0.4n p ==8,0.3n p ==; (D ) . 24,0.1n p ==解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====−==⇒==4.(97-1-3)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差为4和2,则随机变量32X Y −的方差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析:()329()4()944244D X Y D X D Y −=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独立同分布,记,则U 和V 必然( ) 解D ,U X Y V X Y =−=+(A )独立; (B)不独立; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独立同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=−+=+−−=−=⇒=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=∼∼，则（ ）. 解D (A). (B). (C)(21)P Y X =−−=111(21)P Y X =−=(21)P Y X =−+=. (D).(21)P Y X =+=10分析:,1,XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+⇒=⋅+⇒=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x <−−≤<=≤<≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求EX ， （0.3，0.61）DX X -1 0 1解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律1/3 0.2 0.3 0.5（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =−×+×=，，()22210.210.50.7EX =−×+×=2220.70.30.61DX EX E X =−=−=2. 若已知是分布函数，求()0, 10, 011, 1x F x x x x −≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩EX ， （1/2，1/12）DX (思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，，()1, 01'()0, x F x f x ≤<⎧==⎨⎩其他1120 011122EX x dx x =⋅==∫， 112230 011133EX x dx x =⋅==∫，222111321DX EX E X ⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠23.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独立，令32132X X X X +−=,求EX , (12, 46) DX 解:12306()()2()3()2033122E X E X E X E X +=−+=−×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X −=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对进行20次独立观测，Y 表示20次观测值中事件X {}5X >发生的次数，求()2Y E （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 ，(,)Y B n p ∼120,4n p ==13154205,544EY np DY npq ==×===×=()，222153528E Y DY E Y =+=+=5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =−=−=,()10.1510.350.2EY =−×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy −=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴=6、已知随机变量服从区域),(Y X ()}{,01,D x y x x y x =<<−<<上的均匀分布，求(),,,EX DX Cov X Y .解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ⎧=∈⎪=⎨⎪⎩其他（注意，函数区间利用二重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞−∞−∞+∞+∞−∞−∞+∞−−∞===−==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞∞+∞+∞−∞−∞==−∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独立性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞−∞==∫∫=2, 01()0, Xx x f x <<⎧∴=⎨⎩其他 02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞−∞===−∫∫,1, 02()20, Y yy f y ⎧−<<⎪∴=⎨⎪⎩其他2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅,X Y ∴，不独立.3) 121122002()(,)23xxE X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1显然相关.(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠∴Y X ,8. (07-1,3,4-11)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,0,0,x y x y f x y −−<<<⎧=⎨⎩其他<}1) 求, 2)判断X,Y 的独立性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独立.相关) {2P X Y >解1) ()1/21/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >=−−=−−∫∫∫120515()822424x x dx =−=−=∫7112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫，3/2, 01()0, X x x f x −≤⎧≤2),∴=⎨⎩其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫3/2, 01()Y y y f y −≤⎧≤∴=⎨显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅, X Y ∴，不独立3)112300331()()()()243X E X xf x dx x x dx x x +∞−∞==−=−∫∫512=,112300331()()()()2435Y E Y yf y dy y y dy y y +∞−∞==−=−=∫∫121111122232000001121()(,)(2)()()2332E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞−∞−∞==−−=−−=−∫∫∫∫∫∫16= (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设且22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,1,2XY ρ=−设32X YZ =+， 1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,(1/3,3, 0)解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=−32X Y Z =+11()()()32E Z E X E Y ⇒=+=13 1(,)3462XY Cov X Y ρ==−××=−,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+−=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=⋅+−=cov ,0XZ X Z ρ∴==。
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
随机数据处理方法 石油大学出版社 王清河 课后题答案 第三章
协方差阵为
⎜⎜⎝⎛
0.21 − 0.02
−00.2.042⎟⎟⎠⎞ ，
相关阵为
⎜⎜⎝⎛
−
1 0.089
− 01.089⎟⎟⎠⎞ 。
18．设随机变量（X，Y）的概率密度为
f
(x,
y)
=
⎪⎧1 ⎨8
(x
+
y)，
0
≤
x
≤
2，0 ≤
y
≤
2
⎪⎩
0，
其它
求相关系数 ρ XY 。 答案与提示：欲求相关系数，需先求 DX、DY、EX、EY 、Cov ( X，Y ) 。
4
4
12．设 X、Y 的概率分布分别为
f
(x)
=
⎧2e −2 x，
⎨ ⎩
0，
x x
> ≤
0 0
求： E( X + Y ) 和 E(2X − 3Y 2 ) 。
f
( y)
=
⎧4e−4 y，
⎨ ⎩
0，
y y
> ≤
0 0
答案与提示：可利用由数学期望性质及常用分布随机变量的数学期望和方差来
计算 E( X + Y ) 和 E(2X − 3Y 2 ) ，关键是计算 EX 、 EY 、 EY 2 。
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分
布 B(n, p) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B(1, p) ，即为(0-1)分布。
可令
X
=
⎧1，事件A在试验中发生， ⎨⎩0，事件A在试验中不发生.
得 DX ≤ 1 ，即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 1 。
概率论第三章习题及答案
02
题目8
一个盒子里有100个球，其中红球有30个，蓝球有40个，黄球有20个，
绿球有10个。随机抽取一个球并记录其颜色，然后放回盒子中。连续抽
取三次，求三次抽取中抽到红球的次数的期望值。
03
题目9
一个袋子中有5个红球和5个蓝球，从中随机抽取3个球，求抽取到红球
的个数X的分布律。
02 答案部分
基础题目答案
在处理复杂事件时，应先分解 为简单事件，再根据概率的加
法原则进行计算。
注意区分必然事件和不可能事 件，它们在概率论中具有特殊
地位。
知识点回顾与巩固
知识点回顾 概率的基本性质：概率具有非负性、规范性、有限可加性。
事件的独立性及其性质。
知识点回顾与巩固
条件概率的定义及其性质。 贝叶斯公式的应用场景和推导方法。
挑战题目解题思路与技巧
总结词
综合运用知识
详细描述
对于挑战题目，需要综合运用概率论中的知识，如随机变量的分布、随机过程的性质等。 要能够准确理解题目的背景和要求，构建合适的概率模型，并运用适当的数学方法进行求 解。
示例
题目问的是“一个袋子中有3个红球和2个白球，每次从中随机取出1个球并放回，连续取 5次。求取出的5个球中至少有3个红球的概率。”解题时，应先计算取出的5个球中都是 白球的概率，再用1减去这个概率，得出至少有3个红球的概率。
未来学习计划与展望
• 学习随机过程的基本概念和性质，了解常见的随 机过程如泊松过程、马尔可夫链等。
未来学习计划与展望
展望
学习概率论与其他数学分支的交叉知识，如统计学、线 性代数等。
将概率论的知识应用于实际问题和科学研究，加深对理 论知识的理解和掌握。
随机数据处理方法 第三版 课后答案(王清河 著) 中国石油大学出版社
（2） P( A3 | A) = 0.4 。 19．某专门化医院平均接待 K 型病患者 50%，L 型病患者 30%，M 型病患 者 20%，而治愈率分别为 7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，问此患者是 K 型病的概率是多少？
提示与答案：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问的事件是互逆的。
2．如果 x 表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、
互不相容等关系：
A = {x | x ≤ 20}
B = {x | x > 3}
C = {x | x < 9}
D = {x | x < −5} E = {x | x ≥ 9}
解：（1）包含关系： D ⊂ C ⊂ A 、 E ⊂ B 。
P( AB) = P( A ∩ B ) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B)
=1 − 1 − P(B) + P( AB) 3
从而得 2 − P(B) = 0 ，即 3 P(B) = 2 3
7．一个袋中有 5 个红球 2 个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中， 然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率；
球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事
件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。
若设 A 表示：“由甲袋取出的球是白球”； B 表示：“由甲袋取出的球是黑 球”； C 表示：“从乙袋取出的球是白球”。则 P(C) = 5 /12 。
18．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1 是第一家工厂生产的， 2
17．有两个口袋，甲袋中盛有 2 个白球 1 个黑球；乙袋中盛有 1 个白球 2 个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。
随机变量的数字特征
第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方 差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是 （ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩， ，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。
【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析
CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C） 一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰 ＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一 ［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B） ，即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝ 一 ÷
【 i平注】 本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1
ch3 随机变量的数字特征
定义：(1)设离散随机变量X的分布律为 ．
若存在实数 ，使得对每个 ，有 ，则称 为X（或X服从的分布）的众数．
(2)设连续随机变量X的概率密度为 ，若存在实数 ，使得对一切 有 ，则称 为X（或X服从的分布）的众数．
例如：(1)某鞋厂生产一种青年女子凉鞋，用X表示市场上对此种鞋的需求量的尺码大小，设X的分布律为
第3章 随机变量的数字特征
分布函数全面地描述了随机变量的统计规律性．但是在实际问题中，有时并不要求全面了解随机变量的变化情况，而只要求知道随机变量的某些数字特征．
例：(1)X—— 考试成绩，要了解平均成绩 ；
(2)考察一批水泥板的质量，每块水泥板的承受力 ．既要知道这批水泥板的平均承受力 ，又要了解每块水泥板与平均承受力的偏差 ，平均承受力较大、偏离程度较小，质量就较好．
解：X的分布函数 ．
用随机变量Y表示工厂生产一台电视机的获利，则Y的可能取值为 和150，且
；
；
．
于是得 （元）．
即工厂每生产一台电视机平均获利61.71元．
数学期望的性质：
(1)设c是常数，则 ．
(2)设 是常数，X是随机变量，则 ．
证：(1)是显然的．对于(2)，设 是连续随机变量，概率密度为 ．若 ，则等式显然成立．若 ，则 的反函数是 ，根据定理 的概率密度为 ．所以
例4.某种品牌的电视机按规定实行“三包”，若寿命不足30天，顾客可以退换，工厂则要亏损500元；若寿命在30～365天，顾客可以要求免费维修，工厂则要亏损100元；若寿命超过365天，电视机超过保修期，工厂获利150元．假设电视机的寿命X(单位：天)的概率密度函数为 试求工厂每生产一台电视机平均获利多少元？
若用X的概率密度 来表达，则有 ．
【概率论习题答案】第3章_随机变量的数字特征
第3章 随机变量的数字特征1，在下列句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句子的29个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .3，在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==CC p ，229312210121==CC C p ，221312110222==CC C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=⨯+⨯+⨯=E 。
4，抛一颗骰子，若得6点则可抛第二次，此时得分为6+（第二次所抛的点数），否则得分就是第一次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~Xλπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为,4,3,2,1,6}{22--===k kk X P π，问X 的数学期望是否存在？ 解：（1）根据)(~Xλπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P eeX P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第三章03二维随机变量数字特征
解 方法一： 求出边缘密度，再求期望
7 方法二： EX xf ( x, y )dxdy x( x y )dxdy 0 0 12 1 1 7 EY yf ( x, y )dxdy y( x y )dxdy 0 0 12
E 则： [a1 X 1 a 2 X 2 ... a n X n ] a1 E[ X 1 ] a 2 E[ X 2 ] ... a n E[ X n ]
注:一般情况下，E[ g( X ,Y )] g( E[ X ], E[Y ]) (3)、 X和Y的期望
EX
例: E[ XY ] E[ X ]E[Y ]
1、二维离散型随机变量函数的期望
(1)设(X,Y)是二维离散型随机变量，联合分布列为 pij P ( X x i ,Y y j )
二元函数Z=g(X,Y)可以确定一个新的随机变量，期望为：
E[ Z ] E[ g( X , Y )] g( x i , y j ) P ( X x i , Y y j ) g( x i , y j ) pij
Y X 0 1
0 0.3 0.1 0.4
1 0.2 0.1 0.3
2 0 0.3 0.3
PX
0.5 0.5 1
PY
x y ,0 x 1, 0 y 1 f ( x, y) 例设(X,Y)的密度函数为 0 , 其他
求Cov(X,Y).
7 解 EX 0 0 12 1 1 7 EY yf ( x, y )dxdy y( x y )dxdy 0 0 12 1 1 1 E(XY) xyf ( x, y )dxdy xy( x y )dxdy 0 0 3 1 7 7 1 ∴Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY= 3 12 12 144