福建省东山二中2014届高三期中考试数学理试题 Word版含答案
福建省漳州市东山二中高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于（）A．B． C．1 D．﹣12．已知向量=（3，0），=（0，1），若与共线，则实数的λ值为（）A．1 B．﹣1 C．D．3．等比数列{a n}中，a1+a3=5，a2+a4=10，则a6+a8等于（）A．80 B．96 C．160 D．3204．设α、β、γ是三个不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④5．为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．若集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|（x﹣a）（x+1）＜0}，则“a＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知△ABC中，已知∠A=45°，AB=，BC=2，则∠C=（）A．30° B．60° C．120°D．30°或150°8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A•ω=（）A．B．C．D．9．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A． B． C．D．10．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．[﹣，1）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）11．设，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．B．[4，+∞）C．D．12．△ABC中，BC=2，A=45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则•的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若（a﹣i）2为纯虚数（i为虚数单位），则实数a= ．14．已知，则cos2x= ．15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为．16．已知平面向量、、满足⊥，且{||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知和是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻的两个零点．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin2A，求函数f（A）的值域．18．等差数列{a n}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．19．向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）．（Ⅰ）若x=，求向量、的夹角；（Ⅱ）若x∈，函数的最大值为，求λ的值．20．如图，PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD；（Ⅱ）求二面角P﹣BQ﹣D平面角的余弦值；（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值．21．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，求数列{x n}的前2n项的和．22．如果f（x0）是函数f（x）的一个极值，称点（x0，f（x0））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax﹣b）（x≠0且a≠0）（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式表示的区域内，证明：0≤b＜1．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程24．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．选修4-5：不等式选讲25．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2015-2016学年福建省漳州市东山二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若z是纯虚数，则实数a等于（）A．B． C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数z为，再由纯虚数的定义可得a﹣1=0，由此求出实数a的值【解答】解：∵复数==是纯虚数，∴a﹣1=0，a=1，故选C．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，属于基础题．2．已知向量=（3，0），=（0，1），若与共线，则实数的λ值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】向量的共线定理．【专题】计算题．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出，2的坐标，根据两个向量之间的共线关系，写出两个向量的坐标之间的关系，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：由题得： =（3，﹣λ），2=（6，1）∵与共线，∴3+6λ=0，解得：λ=﹣．故选D．【点评】本题考查平面向量共线的坐标表示，本题解题的关键是写出向量共线的坐标关系式，利用方程思想来解题．3．等比数列{a n}中，a1+a3=5，a2+a4=10，则a6+a8等于（）A．80 B．96 C．160 D．320【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的通项公式把第二个等式左边变形后，提取q，把第一个等式代入求出q的值，再把所求的式子利用等比数列的通项公式变形，把q的值及第一个等式代入即可求出值．【解答】解：由a1+a3=5，a2+a4=10，得到a2+a4=q（a1+a3）=10，即5q=10，∴公比q=2，则a6+a8=q5（a1+a3）=25×5=160．故选C【点评】此题考查了等比数列的性质，技巧性比较强，利用了转化及整体代入的思想，是高考中常考的题型．熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．4．设α、β、γ是三个不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】对于①，直线与一个平面内的一条直线平行，则两条这条直线可以在同一个平面内，故错误；对于②若α∥β，n⊄β，n∥α，根据面面平行的性质定理可得n∥β成立，故正确；对于③可以翻译为：垂直于同一平面的两个平面平行，在正方体中可心找出反例，显然错误．对于④，由n∥m，n⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可以得到α∥β，故正确．【解答】解：对四个命题逐个加以判断：对于①，直线与平面平行的前提是平面外一条直线与平面内一条直线互相平行，而n∥m，m⊂α，直线n可以在平面内α，故①错误；对于②若α∥β，n⊄β，n∥α，说明在β内可以找到一条直线l与n平行，根据直线与平面平行的判定定理可得n∥β成立，故②正确；对于③可以翻译为：垂直于同一平面的两个平面平行，在正方体中可心找出③的反例，说明③错误；对于④，由n∥m，n⊥α，可得m⊥α，再结合m⊥β，得平面α与β和同一条直线平行由线面垂直的性质与判定定理可以得到α∥β，故④正确．故选C．【点评】本题考查线线关系、线面关系中的平行的判定、面面关系中垂直的判定，要注意判定定理与性质定理的综合运用．5．为了得到函数的图象，只需把的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y=sin（x+﹣）=sin（x+）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．若集合A={x|x2﹣x＜0}，B={x|（x﹣a）（x+1）＜0}，则“a＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题．【分析】先化简A集合，再根据题设中的条件研究两个集合的关系，结合充分条件与必要条件的定义作出判断得出正确选项．【解答】解：由题意A={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，当a＞1时，B={x|（x﹣a）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜a}，此时有A⊊B，故有“A∩B≠∅”成立，即“a＞1”是“A∩B≠∅”的充分条件；当“A∩B≠∅”成立时若a=，此时满足A∩B≠∅，由此知“A∩B≠∅”得不出“a＞1”综上，“a＞1”是“A∩B≠∅”的充分而必要条件故选A【点评】本题考查充要条件，解题的关键是根据充分条件与必要条件的定义及特例法对两个条件之间的关系进行判断，以确定两个条件之间的充分性与必要性．本题也考查了解一元二次不等式的能力．7．已知△ABC中，已知∠A=45°，AB=，BC=2，则∠C=（）A．30° B．60° C．120°D．30°或150°【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】由∠A，AB，BC的值，利用正弦定理即可求出sinC的值，又根据AB小于BC得到C 度数的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由正弦定理得： =，又∠A=45°，AB=，BC=2，所以sinC==，又AB=＜BC=2，得到：0＜C＜A=45°，则∠C=30°．故选A【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意判断C度数的范围．8．若函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且，则A•ω=（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据图象求出函数的周期，再求出ω的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A•ω的值．【解答】解：由图得，T=4×=π，则ϖ=2，设M（，A），则N（，﹣A），∵，A＞0，∴×﹣A×A=0，解得A=，∴A•ω=．故选C．【点评】本题考查了由函数图象求出函数解析式中的系数，根据A、ω的意义和三角函数的性质进行求解，考查了读图能力．9．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ=（）A． B． C．D．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】利用余弦定理求出BC的数值，正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展开求出cosθ的值．【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，所以BC=20．由正弦定理得sin∠ACB=•sin∠BAC=．由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB=．故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故选B【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理、正弦定理的应用，注意角的变换，方位角的应用，考查计算能力．10．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．[﹣，1）C．[﹣2，1）D．（﹣2，1）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．【解答】解：由题意可得：函数 f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3．令f′（x）=3x2﹣3=0可得，x=±1；因为函数 f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6﹣a2）内先减再增，即f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜6﹣a2，且f（a）=a3﹣3a≥f（1）=﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故选：C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握导数的作用，即求函数的单调区间与函数的最值，并且进行正确的运算．11．设，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（）A．B．[4，+∞）C．D．【考点】函数恒成立问题；一次函数的性质与图象．【专题】计算题；压轴题．【分析】先对函数f（x）分x=0和x≠0分别求函数值，综合可得其值域，同样求出函数g （x）的值域，把两个函数的函数值相比较即可求出a的取值范围．【解答】解：因为f（x）=，当x=0时，f（x）=0，当x≠0时，f（x）==，由0＜x≤1，∴0＜f（x）≤1．故0≤f（x）≤1又因为g（x）=ax+5﹣2a（a＞0），且g（0）=5﹣2a，g（1）=5﹣a．故5﹣2a≤g（x）≤5﹣a．所以须满足⇒≤a≤4．故选A．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，是对知识点的综合考查，属于基础题．12．△ABC中，BC=2，A=45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则•的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．（﹣2，2] C．[﹣2，2] D．（﹣2，2）【考点】平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】首先建立恰当的直角坐标系，根据直角坐标系确定各点的坐标，进一步利用向量的数量积转化成利用定义域求三角函数的值域．最后求的结果．【解答】解：如图所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，由于∠B为锐角，则：点A只能在左半圆上，故设：A（）（）B（），C（0，）所以：，=2由于所以：﹣则：﹣2＜≤2故选：A【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积，三角函数的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求值域．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若（a﹣i）2为纯虚数（i为虚数单位），则实数a= ±1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘法法则、纯虚数的定义，可得a2﹣1=0 且2a≠0，由此求得a的值．【解答】解：∵（a﹣i）2 =a2﹣1﹣2ai 为纯虚数，∴a2﹣1=0 且2a≠0，求得a=±1，故答案为：±1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法法则的应用，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．14．已知，则cos2x= ﹣．【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用诱导公式可求cosx的值，再根据二倍角的余弦函数公式即可求值．【解答】解：∵，可得：cosx=，∴cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．15．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为+．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值．【解答】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为π，∴圆心角为，∵一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，∴蚂蚁所经过路程的最小值为=+．故答案为： +．【点评】本题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．16．已知平面向量、、满足⊥，且{||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x2+y2=1∴++=（2+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知和是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的相邻的两个零点．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin2A，求函数f（A）的值域．【考点】余弦定理；正弦函数的图象；正弦定理．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由题意得函数f（x）的周期，可得ω值，代入点（﹣，0）可得φ值，可得解析式；（II）由正、余弦定理可得b2+c2=3a2，可得cosA=•，由基本不等式可得其范围，由三角函数的值域可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得函数f（x）的周期T=2[﹣（﹣）]=π，∴ω==2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（﹣，0）可得0=sin（﹣+φ），∴﹣+φ=kπ，∴φ=kπ+，k∈Z又0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x；（II）∵在△ABC中，若sinBsinCcosA=sin2A，∴由正弦定理可得bccosA=a2，再由余弦定理可得bc•=a2，整理可得b2+c2=3a2，∴cosA===•≥•=，∴≤cosA＜1，∴f（A）=cos2A=2cos2A﹣1∈[﹣，1），故f（A）的值域为∈[﹣，1）【点评】本题考查解三角形，涉及正弦函数的图象性质和正余弦定理以及基本不等式，属中档题．18．等差数列{a n}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由a1，a3，a4成等比数列，结合已知可得，可求a1，进而可求通项（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，利用裂项相消可求和【解答】（Ⅰ）解：由已知得a3=a1﹣4，a4=a1﹣6，…（2分）又a1，a3，a4成等比数列，所以，…（4分）解得a1=8，…（5分）所以a n=10﹣2n．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…（8分）所以S n==．…（12分）【点评】本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．满分（12分）．19．向量=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（﹣1，0）．（Ⅰ）若x=，求向量、的夹角；（Ⅱ）若x∈，函数的最大值为，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）x=时，可以求出向量的坐标，然后根据即可求出，从而可以得出向量的夹角；（Ⅱ）进行向量数量积的坐标运算得出的值，从而得到，可以求出，讨论λ＞0和λ＜0两种情况，根据f（x）的最大值为便可建立关于λ的方程，从而便可求出λ的值．【解答】解：（Ⅰ）时，；∴；∴；即向量的夹角为；（Ⅱ）=；∴；∵；∴；①若λ＜0，则时，f（x）取最大值；∴；②若λ＞0，则时，f（x）取最大值；∴．【点评】考查向量夹角余弦的坐标公式，已知三角函数值求角，向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，以及正弦函数在闭区间上的最值．20．如图，PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O（Ⅰ）求证：OP⊥平面QBD；（Ⅱ）求二面角P﹣BQ﹣D平面角的余弦值；（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】对第（1）问，要证OP⊥平面QBD，连结OQ，只需证OP⊥BD，OP⊥OQ，前者可由BD⊥平面PAO得证，后者可由△PAO∽△OCQ得证；对第（2）问，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBQ与平面BDQ的法向量，通过两法向量的夹角探求二面角的大小；对第（3）问，设，用λ表示向量的坐标，根据与平面PBQ的法向量的垂直关系建立方程，即可得λ的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OQ，由题知PA∥QC，∴P、A、Q、C四点共面，易知BD⊥AC，BD ⊥PA，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PACQ，得BD⊥OP．由题中数据得PA=2，AO=OC=，QC=1，∴，△PAO∽△OCQ，∴∠POA=∠OQC，又∵∠POA+∠OPA=90°，∴∠POA+∠COQ=90°，∴OP⊥OQ．（或计算OQ=，OP=，PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，即OP⊥OQ）∵BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD．（Ⅱ）解：如图右图所示，以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），Q（2，2，1），O（1，1，0），∴，， =（0，2，1），设平面PBQ的法向量为，∴，得，不妨取y=﹣1，得，由（Ⅰ）知，是平面BDQ的一个法向量，于是cos=，由图知，二面角P﹣BQ﹣D为锐二面角，∴二面角P﹣BQ﹣D的平面角的余弦值为．（Ⅲ）解：设，∴=（0，2，﹣2），，从而，∵CE∥平面PBQ，∴与平面PBQ的法向量垂直，则，得，即．另解：在平面PAD中，分别过点D、P作直线PA、AD的平行线相交于点M，连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，如右图所示．由题可知CN∥PB，NE∥PQ，CN∩NE=N，∴平面CNE∥平面PBQ，∴CE∥平面PBQ．显然，△QCN∽△DMN，由CQ=1，MD=PA=2，∴，即．【点评】本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行的判断及二面角大小的计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力，第（3）问的难度较大．21．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，求数列{x n}的前2n项的和．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的周期性；数列的求和；三角函数的化简求值；正弦函数的单调性．【专题】计算题；整体思想．【分析】（Ⅰ）先根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理得到f（x）=sin （x﹣）；再结合正弦函数的单调性以及整体代入思想即可求出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先根据图象的平移规律得到函数y=g（x）（x＞0）的图象；再结合正弦曲线的对称性，周期性求出相邻两项的和及其规律，最后结合等差数列的求和公式即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）=sinx﹣=sinx﹣cosx=sin（x﹣）．由2kπ≤x﹣≤2kπ+，得2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z）所以f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）（Ⅱ）函数f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sinx的图象，即g（x）=sinx，若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，x n，则由正弦曲线的对称性，周期性得： =，=2π+，…， =2（n﹣1）π+，所以x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=（x1+x2）+（x3+x4）+…+（x2n﹣1+x2n）=π+5π+9π+…+（4n﹣3）π=[n×1+4]•π=（2n2﹣n）π【点评】本题是对三角函数单调性，对称性，周期性以及公式的综合考查，解决问题的关键在于根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理得到f（x）=sin（x﹣）．22．如果f（x0）是函数f（x）的一个极值，称点（x0，f（x0））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax﹣b）（x≠0且a≠0）（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式表示的区域内，证明：0≤b＜1．【考点】函数在某点取得极值的条件．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先对函数求导，若函数f（x）总存在有两个极值点⇔f′（x）=0有两个根，从而确定a，b的关系（2）转化为在（﹣1，1）内f′（x）=0有两个不等实根结合（1）及根的分布可知，⇒，从而求b的取值范围（3）若函数f（x）恰有一个极值点且存在a∈R，使A在不等式①⇔x2﹣ax+b=0的根在①的区域内只有一个，结合根的分别可求结果．【解答】解：（1）令f'（x）=0得x2﹣ax+b=0∵函数f（x）总存在有两个极值点∴x2﹣ax+b=0由2个不同的实数根∴a2﹣4b＞0又∵a≠0且x≠0∴（3分）（2）x2﹣ax+b=0在（﹣1，1）有两个不相等的实根．即得∴﹣1＜b＜1且b≠0（7分）（3）由①f'（x）=0⇒x2﹣ax+b=0（x≠0）①当在x=a左右两边异号∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一个极值点由题意知即即0＜a2＜1存在这样的a的满足题意∴b=0符合题意（9分）②当b≠0时，f′（x）=△=a2﹣4b=0即4b=a2这里函数y=f（x）唯一的一个驻点为由题意即即∴0＜b＜1（13分）综上知：满足题意b的范围为b∈[0，1）．（14分）【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件及有限制条件的极值的取值，结合二次函数的图象，转化为实根分布问题．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程24．（2015•河北）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．选修4-5：不等式选讲25．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
数学上学期期中试题-东山县第二中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题及答案(理)4
福建省东山县第二中学2013-2014学年高二上学期期中（理）（必修5、必修3第一章） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1、计算机执行右面的程序段后，输出的结果是 ( )． A ．4，－2 B ．4， 1 C ．1, 4D ．－2, 42、在△ABC 中，已知075,60,8===C B a ，则b 等于（ ） Ａ．24 Ｂ．34 Ｃ．64 Ｄ．332 3、等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．44、设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128 5、设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为 ( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－16、设f (x )＝x 2＋bx －3，且f (－2)＝f (0)，则f (x )≤0的解集为 ( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．[－3，－1]D ．(－3，－1]7、如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．5B ．3C ．8D ．48、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )A 72.B ．4 C.92D ．59、读程序其中输入甲中i ＝1，乙中i ＝1000，输出结果判断正确的是( ) A ．程序不同，结果不同 B ．程序相同，结果相同C ．程序相同，结果不同D ．程序不同，结果相同10、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若424S S =,则64S S 的值为( ) A ．94 B ． 32 C ．54D ．411、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据a 1，a 2，…，a N ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V .那么在右图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( ) A ．A >0？，V ＝S －T B ．A <0？，V ＝S －T C ．A >0？，V ＝S ＋T D ．A <0？，V ＝S ＋T*12、（1班做）定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x，如果对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x =； ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( )A ．① ③B ．③ ④C ．① ②D ．② ④*12、（2至5班做）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a 是不为0的实数），那么{}n a ( ) A ． 一定是等差数列 B ． 一定是等比数列 C ． 或者是等差数列，或者是等比数列D ． 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13、若某算法框图如右图所示，则运行后输出的值 是_________．14、已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z取得最大值时对应的点有无数个，则a 的值为________．15、如果不等式2210mx mx +-<对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是________．*16、（1班做） 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项(如下表所示)，按如此规律下去， 则a 2009＋a 2010＋a 2011＝________.*16、（2至5班做）.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后， 每一行成等差数列，每一列成等比数列， 那么x ＋y ＋z 的值为三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
【数学】福建省漳州市东山县第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试(理)
2014-2015学年度东山二中高二（上）理科数学一.选择题（每小题5分，共60分，每小题仅有一个选项是符合题目要求的） 1、下列程序语句不正确．．．的是（ ） A 、INPUT“MATH=”；a +b +c B 、PRINT“MATH=”；a +b +c C 、c b a += D 、1a =c b -2、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品的销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查研究为⑴；从丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为⑵.则完成⑴、⑵这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A 、分层抽样法,系统抽样法 B 、分层抽样法,简单随机抽样法 C 、系统抽样法,分层抽样法 D 、简单随机抽样法,分层抽样法3、已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x +4y 的最小值为（ ）A.6B.-6C.12D.-12 4、下列不等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是（ ）A ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C ．x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙；乙比甲成绩稳定6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于)0(lg )41lg(2>>+x x x ),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π)(||212R x x x ∈≥+)(1112R x x ∈>+（ ）A ．0B ．8C ．144D ．162 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为（ ） A ． 16B ． 9C ．4D ． 29. 是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10.函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。
数学上学期期中试题-东山县第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题及答案(理)
2014-2015学年度东山二中高二（上）理科数学一.选择题（每小题5分，共60分，每小题仅有一个选项是符合题目要求的） 1、下列程序语句不正确．．．的是（ ） A 、INPUT“MATH=”；a +b +c B 、PRINT“MATH=”；a +b +c C 、c b a += D 、1a =c b -2、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品的销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查研究为⑴；从丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为⑵.则完成⑴、⑵这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ） A 、分层抽样法,系统抽样法 B 、分层抽样法,简单随机抽样法 C 、系统抽样法,分层抽样法 D 、简单随机抽样法,分层抽样法3、已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x +4y 的最小值为（ ）A.6B.-6C.12D.-12 4、下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x x 甲乙，，则下列判断正确的是（ ）A ．x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B ．x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C ．x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D ．x x <甲乙；乙比甲成绩稳定6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于)0(lg )41lg(2>>+x x x ),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π)(||212R x x x ∈≥+)(1112R x x ∈>+（ ）A ．0B ．8C ．144D ．162 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为（ ） A ． 16B ． 9C ．4D ． 29. 是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10.函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。
数学高考真题-2014福建卷理科
2014年普通高等学校招生考试福建卷(理科数学)第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10 C．12 D．144．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是()图1-1A BC D 图1-2图1-35．阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．406．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)8．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 210．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）11．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．12．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．14．如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-415．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．17．（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．图1-518．（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（本小题满分13分）已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1-620．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分.请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，按所做的前两题计分.(Ⅰ)选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝2112⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．(Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．(Ⅲ)选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.。
2014高考数学(理科)真题-福建
2014高考数学(理科)真题-福建1．（5分）（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【答案】C【解析】数系的扩充和复数．直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．2．（5分）（2014•福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A【解析】计算题；空间位置关系与距离．直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．圆柱的正视图为矩形，3．（5分）（2014•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】等差数列与等比数列．由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=124．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的性质及应用．由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A.18B.20C.21D.40【答案】B【考查点】循环结构．【解析】计算题；算法和程序框图．算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】直线与圆；简易逻辑．根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B.f（x）是增函数C.f（x）是周期函数D.f（x）的值域为[﹣1，+∞）【答案】D【解析】函数的性质及应用．由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A.=（0，0），=（1，2）B.=（﹣1，2），=（5，﹣2）C.=（3，5），=（6，10）D.=（2，﹣3），=（﹣2，3）【答案】B【解析】平面向量及应用．根据向里的坐标运算，，计算判别即可．根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A.5B.+C.7+D.6【答案】D【解析】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．10．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A.（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B.（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C.（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D.（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【答案】A【解析】推理和证明．根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）511．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．【答案】1【解析】不等式的解法及应用．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．【答案】．【解析】解三角形．利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）【答案】160【解析】不等式的解法及应用．此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元14．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【答案】．【解析】综合题；概率与统计．利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．【答案】6【解析】计算题；集合．利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解析】三角函数的图像与性质．（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【答案】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．【解析】空间角．（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【答案】（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X1 60 20 100PX1的数学期望为E（X1）=．X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X2 40 20 80PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=．由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．【解析】概率与统计．（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．【答案】（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．【解析】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．【答案】（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．【解析】等差数列与等比数列．（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．【答案】（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为．【解析】计算题；矩阵和变换．（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【答案】（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．【解析】选作题；坐标系和参数方程．（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．23．（2014•福建）已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．【答案】（1）∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．【解析】计算题；证明题；不等式的解法及应用．（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得．。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—福建卷
2014年福建高考数学试题（理）第Ｉ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4．若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ）A B C D5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7．已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A ．()x f 是偶函数B ． ()x f 是增函数C ．()x f 是周期函数D ．()x f 的值域为[)+∞-,1 8．在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A ．)2,1(),0,0(21==e e B ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e9．设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．2610．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来。
福建省普通高中毕业班2014届高三4月质量检查数学理试题(word版)
福建省普通高中毕业班2014届高三4月质量检查数学理试题（word 版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是A ．()2x f x =B．()f x = C ．()lg f x x = D ．2()f x x =2．执行右图所示的程序框图．若输入的n 的值为3，则输出的k 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．“1a =”是“关于x 的方程220x x a -+=有实数根”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n ()3,n n ≥∈N 边形内的概率为n p ，下列论断正确的是 A ．随着n 的增大，n p 增大B ．随着n 的增大，n p 减小C ．随着n 的增大，n p 先增大后减小D ．随着n 的增大，n p 先减小后增大5．已知y x ,满足221,1,0,x y x y y ⎧+≤⎪+≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是A．⎡⎤⎣⎦ B ．[]1,1- C．⎡⎣ D．⎡-⎣6．如图，AB 是⊙O 的直径，V A 垂直⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为V A ，VC 的中点，则下列结论正确的是 A ．MN//AB B ．MN 与BC 所成的角为45° C ．OC ⊥平面V AC D ．平面V AC ⊥平面VBC 7．若直线10(0,0)ax by a b +-=>>过曲线()1sin 02y x x π=+<<的对称中心，则12a b +的最小值为A[Z.XB． C． D ．68.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>，一条渐近线为l ，抛物线2C ：24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF =A ．2 [Z.XB ．3C ．4D ．59．若曲线1,1,1,11x e x y x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩与直线1-=kx y 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是A ．)223,223(+- B．(0,3- C ．)223,0()0,(-⋃-∞ D ．)223,(--∞10.在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ OP =+a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(),0k k ∈≠Z 也是Ω的向量周期；②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集(){},|0,0x y x y Ω=>>，则()1,2=-b 为Ω的一个向量周期；④若平面点集(){},|sin cos x y y x x Ω==-，则,02π⎛⎫= ⎪⎝⎭c 为Ω的一个向量周期． 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．复数2i1i +等于 ．12．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于 ． 13．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，b =3B π=，则a =__________. 14．对于数列{}n c ，如果存在各项均为正整数的等差数列{}n a 和各项均为正整数的等比数列{}n b ，使得n n n c a b =+，则称数列{}n c 为“DQ 数列”．已知数列{}n e 是“DQ 数列”，其前5项分别是：3,6,11,20,37，则n e =．15．设()g x '是函数()g x 的导函数，且()()f x g x '=．现给出以下四个命题：①若()f x 是奇函数，则()g x 必是偶函数； X ②若()f x 是偶函数，则()g x 必是奇函数； ③若()f x 是周期函数，则()g x 必是周期函数；④若()f x 是单调函数，则()g x 必是单调函数．其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)已知函数()2cos cos 222x x x f x m=++的图象过点（56π，0）.（I ）求实数m 的值以及函数()f x 的单调递增区间；（II ）设()y f x =的图象与x 轴、y 轴及直线x t =（203t π<<）所围成的曲边四边形面积为S ，求S 关于t 的函数()S t 的解析式.17. (本小题满分13分)某地区共有100万人，现从中随机抽查800人，发现有700人不吸烟，100人吸烟．这100位吸烟者年均烟草消费支出情况的频率分布直方图如图．将频率视为概率，回答下列问题：（Ⅰ）在该地区随机抽取3个人，求其中至少1人吸烟的概率；（Ⅱ）据统计，烟草消费税大约为烟草消费支出的40%，该地区为居民支付因吸烟导致的疾病治疗等各种费用年均约为18800万元．问：当地烟草消费税是否足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用？说明理由． 18．(本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC ，AA1=，M 为11A B的中点．（I ）求证：MC ⊥AB ； （II ）在棱1CC 上是否存在点P ，使得MC ⊥平面ABP ？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由． （Ⅲ）若点P 为1CC 的中点，求二面角B AP C --的余弦值．19. (本小题满分13分)如图，设P 是圆22:2O x y +=上的点，过P 作直线l 垂直x 轴于点Q ，M为l上一点，且PQ = ，当点P 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）某同学研究发现：若把三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上，使其一条直角边过点()1,0F ，则三角板的另一条直角边所在直线与曲线Γ有且只有一个公共点．你认为该同学的结论是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明理由． （Ⅲ）设直线m 是圆O 所在平面内的一条直线，过点()1,0F 作直线m 的垂线，垂足为T ，连接OT ，请根据“线段OT 的长度”讨论“直线m 与曲线Γ的公共点个数”．（直接写出结论，不必证明）20．(本小题满分14分)已知函数1()ln (1)f x x a x =--,a ∈R . (Ⅰ)求()x f 的单调区间；(Ⅱ)若()f x 的最小值为0，回答下列问题： （ⅰ）求实数a 的值； （ⅱ）已知数列{}n a 满足11a=,1()2n n a f a +=+，记[x ]表示不大于x 的最大整数，求12[][][]n n S a a a =+++ ，求nS .21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知,a b ∈R ，若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=31a b M 所对应的变换把直线:1l x y +=变换为自身. （Ⅰ）求实数b a ,；（Ⅱ）若向量111⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，211⎛⎫= ⎪-⎝⎭e ，试判断1e 和2e 是否为M 的特征向量，并证明之. （2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()0,1P ，倾斜角为6π；在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为24sin 1ρρθ-=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和圆C 的标准方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长． （3）（本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 若,,a b c +∈R ，且满足2a b c ++=.（Ⅰ）求abc 的最大值；（Ⅱ）证明：29111≥++c b a .2014年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质及定积分等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解法一：（I ）()2cos cos 222x x xf x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x mπ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分 因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z .故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎭⎰ ……………9分1sin 2tx=+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭． ……………12分所以()sin 3S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分 解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m=π+π++1122m m =+=+. ………………3分所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dxπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分cos 6tx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-++⎪⎝⎭ ………………12分所以()cos 6S t t π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． (2)分所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分 169512=． ……………..6分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）． (12)分又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税，所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分． 解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A1B1中点，∴MO ∥A1A ，又A1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),(0,(0,0,O A B C M -． …………….6分设(0,)(0P t t ≤≤，则(0,(4,0,0),(0,)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t = …………….8分∴P的坐标为(0,． ∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分（Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB = 为平面PAC 的一个法向量．……….11分 又由（II）知(0,MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分设二面角B AP C --的平面角为α，则cos ．∴二面角B AP C --． …………….13分19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l上一点，且PQ = ，所以p x x=，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p px y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=． 故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分（Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '．（ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点． ……………5分（ⅱ）当1a ≠时，则1NF bk a =-.若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1a k b -=，所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b --=+ ，……………7分 由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦． （*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。
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一、 选择题
二、 集
合
2{|lg 0},{|4},
M x x N x x =>=≤则
M N =
( )
.A (1,2) .B [1,2) .C (1,2] .D [1,2]
1. 已知3(
,),sin ,2
5π
απα∈=
则tan()4
π
α+等于 ( ) .A 17 .B 7 .C 1
7
- .D 7-
2. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为
( )
.A 2 .B 3 .C 4 .D 5
3. 函数()312f x ax a =+-在区间(1,1)-上存在零点，则a 的取值范围是（ ）
.A 115a -<<； .B 15
a >； .C 1
5
a >
或1a <-； .D 1a <-； 4. 设变量,x y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪
≤+≤⎨⎪≤≤⎩
则23x y +的最大值为 ( )
.A 20 .B 35 .C 45 .D 55
5. 已知2
:1431,:(21)(1)0p x
q x a x a a -??+++ ，若p Ø是q Ø的必要不
充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）
.A 1[0,]2； .B 1[,1]2； .C 11[,]32； .D 1
(,1]3
；
6. 用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 ( )
.A 288个 .B 240个 .C 144个 .D 126个
7. 若2
1()ln(2)2
f x x b x =-
++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是 ( ) .A [1,)-+∞ .B (1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1)-∞-
8. 64(1(1-
+的展开式中x 的系数是 ( )
.A 4- .B 3- .C 3 .D 4
9. 对于定义在[,]a b 上的两个函数()f x 与()g x ，如果对于任意[,]x a b ∈，均有
|()()|1f x g x -≤，
则称()f x 与()g x 在[,]a b 上是接近的。
若函数2
22y x x =-+与函数2y x m =+在区间[1,3]上是接近的，则实数m 的取值范围是 （ ）
.A 2m ≤- .B 20m -≤≤ .C 31m -≤≤- .D 21m -≤≤-
二、填空题
10. 计算：
2
1
x dx -=ò。
11. 已知向量(3,1),(1,3),(,7)a b c k ===，若()//a c b -，则k = 。
12. 已知函数1
()3(x f x a
-=+0,a >且1a ¹)的图象过一个定点P ，且点P 在直线
10(0,0)mx ny m n +-=>>上，则
14
m n
+的最小值是 。
13. 口袋内有10个相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1.若从袋中摸出5个
球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 。
14. 已知函数2
()f x ax x =-，222*
()(2)(,)g x x a x a N b Z =-∈∈，
若存在0x ，使0()f x 为()f x 的最小值，使0()g x 为()g x 的最大值，则此时数对(,)a b 为 。
东山二中2014届高三⑴班上学期期中考数学试卷
2013.11.09
姓名______________ 座号______
一. 选择题（10×5分=50分）
二.填空题（5×4分=20分）
11、_______ ；12、_______ ；13、 ；14、________；15、 .
三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15. (13分)已知函数()ln ().f x x a x a R =-∈
(Ⅰ)当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； (Ⅱ)求函数()f x 的极值.
解：
16. (13分)设函数2())sin .4
f x x x π
=
++ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)设函数()g x 对任意,x R ∈有()(),2g x g x π
+
=且当[0,]2
x π
∈时，1
()().2
g x f x =
- 求()g x 在区间[,0]π-上的解析式. 解：
17. (13分)已知向量2(3sin
,1),(cos ,cos ),222x x x m n ==函数1().2
f x m n =- (Ⅰ)若(,),
36
x ππ
∈-
求()f x 的取值范围；
(Ⅱ)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 若()1,f B =5,a b ==求
ABC ∆ 的面积.
解：
18. (13分) 设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且4224,2 1.n n S S a a ==+(Ⅰ)求数列
{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为,n T 且1
(2
n n n
a T λλ++
=为常数),令*2(),n n c b n N =∈
求数列{}n c 的前n 项和为.n R 解：
19. (14分)已知函数2
(),()ln .f x x ax g x x =-=
(Ⅰ)若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,,x x 且11
(0,),2
x ∈
证明：123
()()ln 2.4
h x h x ->- 解：
20. (1)选修4-4：坐标系与参数方程(7分)
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴.已知点P 的直角坐标为(1,5)-，点
M 的极坐标为(4,).2π若直线l 过点P ，且倾斜角为,3
π
圆C 以M 为圆心，半径为4.
(Ⅰ)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)试判定直线l 和圆C 的位置关系.
解：
(2)选修4-5：不等式选讲(7分)
已知实数,,x y z 满足2
2
2
1.x y z ++=
(Ⅰ)求22x y z ++的取值范围； (Ⅱ)若不等式|3|222
a
a x y z -+
≥++对一切实数,,x y z 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：。