2020-2021学年第一学期高中数学新教材必修第一册苏教版(2019)第四章第4章 章末复习(一)
第1课时三角函数的图象和性质课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
5. 函数 f(x)＝4sinπ3－2x的单调减区间是______－__kπ_－__1_π2_，__－__k_π_＋__51_π2__(k_∈__Z_)_____． 【解析】 令 t＝π3－2x，它为减函数．当 y＝sint 单调递增时，t∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ， k∈Z，所以令－π2＋2kπ≤π3－2x≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－1π2－kπ≤x≤51π2－kπ，k∈Z，故 原函数的单调减区间为－1π2－kπ，51π2－kπ(k∈Z)．
(多选)对于函数 f(x)＝12(sin x＋cos x)－12|sin x－cos x|，下列说法中正确的是 ( BD )
A. f(x)的值域为[－1,1] B. 当且仅当 x＝2kπ＋π4(k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值 C. 函数 f(x)的最小正周期是 π D. 当且仅当 x∈2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)>0
【解析】对于函数 f(x)＝sin6x＋π4，令 x＝－2π4，可得 f(x)＝0，故函数 f(x)的图象关 于点－2π4，0对称，故 A 正确；令 x＝－π8，可得 f(x)＝－1，是最小值，故函数 f(x)的图 象关于直线 x＝－π8对称，故 B 正确；将函数 f(x)＝sin6x＋π4的图象沿 x 轴向右平移2π4个 单位长度，可得函数 y＝sin6x－6·2π4＋π4＝sin 6x 的图象，故 C 正确；当 x∈2π4，72π4时， 6x＋π4∈π2，2π，此时 f(x)不单调，故 D 错误．
3. (多选)下列函数中，最小正周期为 π 的有( ABD )
A. y＝sin2x＋π2 C. y＝tan2x
B. y＝cos2x＋π2 D. y＝|sinx＋cosx|
【解析】 由于函数 y＝sin2x＋π2＝cos2x，最小正周期为 π，故 A 正确；由于函数
专题04 充分条件与必要条件(练)(解析版).pdf
《2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A 版必修第一册）》专题04充分条件与必要条件（练）1．a ,b 中至少有一个不为零的充要条件是（ ）A ．ab ＝0B ．ab>0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0【参考答案】D 【解析】,ab ＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；A ab>0是a ,b 中至少有一个不为零的充分非必要条件；,B ,a 2＋b 2＝0是a ,b 中至少有一个不为零的非充分非必要条件；C ,a 2＋b 2>0,则a ,b 不同时为零；a ,b 中至少有一个不为零,则a 2＋b 2>0.所以a 2＋b 2>0是a ,b 中至少有一个不D 为零的充要条件.故选：D2．a >b 的一个充分不必要条件是（ ）A ．a 2>b 2B ．|a |>|b |C ．D ．a －b >111a b <【参考答案】D 【解析】,,,则ABC 错误；22a b a b >⇒>/11b a a b <⇒/>||||a b a b>⇒>/a －b >1⇒a －b >0而a －b >0⇏a －b >1,则D正确；故选：D3．一元二次函数的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）2y ax bx c =++A ．B ．C ．D ．0,0b c ==0a b c ++=0b c +=0bc =【参考答案】D 【解析】若一元二次函数的图像的顶点在原点,则,且,所以顶点在2y ax bx c =++02b a -=0c =原点的充要条件是故A 是充要条件,B 、C 既不充分也不必要,D 是必要条件,非充分条件.0,0,b c ==故选：D.4．【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学同步练习】设集合,,则“”是“{}1,2M ={}2N a =1a =-”的（ ）N M ⊆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件.C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】解：当时,,满足,故充分性成立；1a =-{}1N =N M ⊆当时,或,所以不一定满足,故必要性不成立.N M ⊆{}1N ={}2N =a 1a =-故选：A.5．【浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中】已知,那么“”是“”的（）a R ∈1a >21a >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】当时,成立,1a >21a >取,此时成立,但是不成立,2a =-21a >1a >“”是“”的充分不必要条件,1a >21a >故选：A.6．【必修第一册 逆袭之路】若,则“且”是“且”的（ ）,a b ∈R 1a >1b >1ab >2a b +≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】A 【解析】因为且,所以根据同向正数不等式相乘得,根据同向不等式相加得,即成1a >1b >1ab >2a b +>2a b +≥立,因此充分性成立；当时满足且,但不满足且,即必要性不成立；1,2a b ==1ab >2a b +≥1a >1b >从而“且”是“且”的充分不必要条件,1a >1b >1ab >2a b +≥故选：A7．【必修第一册 逆袭之路】设,则“”是“”的( )x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】B 【解析】化简不等式,可知 推不出；05x <<11x -<由能推出,11x -<05x <<故“”是“”的必要不充分条件,250x x -<|1|1x -<故选B ．8．若“”是“”的必要不充分条件,则实数的最大值为_______．21x >x m <m 【参考答案】1-【解析】由得,21x >-11x x <>或“”是“”的必要不充分条件,21x >x m <,(,)(,1)(1,)m ∴-∞⊆-∞-⋃+∞．1m ∴≤-故参考答案为．1-9．“方程没有实数根”的充要条件是________.220x x a --=【参考答案】1a <-【解析】解析因为方程没有实数根,所以有,解得,因此“方程没220x x a --=440a ∆=+<1a <-220x x a --=有实数根”的必要条件是.反之,若,则,方程无实根,从而充分性成立.故“方1a <-1a <-∆<0220x x a --=程没有实数根”的充要条件是“”.220x x a --=1a <-故参考答案为：1a <-10．已知a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的____条件．【参考答案】充分不必要【解析】解：a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”⇒“a +b ＞2,且ab ＞1”正确,当a ＝10,b ＝0.2时,a +b ＞2,且ab ＞1,所以a ＞1,且b ＞1不成立,即前者是推出后者,后者推不出前者,所以a 、b 是实数,则“a ＞1,且b ＞1”是“a +b ＞2,且ab ＞1”的充分而不必要条件．故参考答案为：充分而不必要．11．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0},B ＝{x |0＜x ＜3},那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．【参考答案】充分不必要【解析】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1},则A ⊊B ,由m ∈B 不能推出m ∈A ,如x ＝2时,故必要性不成立．反之,根据A ⊊B ,“m ∈A ”⇒“m ∈B ”．所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要12．“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的____条件．（填充分不必要,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要．【参考答案】充分不必要【解析】解：若a ＞1且b ＞1时,ab ＞1成立．若a ＝﹣2,b ＝﹣2,满足ab ＞1,但a ＞1且b ＞1不成立,∴“a ＞1且b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件．故参考答案为：充分不必要．13．试判断“”是“”的充分条件还是必要条件？并给出证明.:1p x =32:10q x x x --+=【参考答案】充分条件,证明见解析【解析】是充分条件,但不是必要条件,证明如下由()()()()2322111110x x x x x x x x --+=---=-+=得或1x =1x =-或,或不能.:1:1p x q x =⇒=1x =-:1q x =1x =-:1p x ⇒=所以是充分条件,但不是必要条件.14．已知是实数,求证：成立的充分条件是,该条件是否为必要条件？试证,a b 44221a b b --=221a b -=明你的结论．【参考答案】必要条件,证明见解析.【解析】由,即44221a b b --=442210a b b ---=由()()()()244242222221111a b b a b a b a b -++=-+=++--则由()()222222442111021a b a b a b a b b -=⇒++--=⇒--=所以成立的充分条件是44221a b b --=221a b -=另一方面如果()()442222221110a b b a b a b --=⇒++--=因为,2210a b ++≠故,()()2222221101a b a b a b ++--=⇒-=所以成立的必要条件是.44221a b b --=221a b -=15．不等式x 2﹣3x +2＞0的解集记为p ,关于x 的不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0的解集记为q ,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．【参考答案】﹣2＜a ≤﹣1【解析】解：由不等式x 2﹣3x +2＞0得,x ＞2或x ＜1；不等式x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＞0等价为（x ﹣1）（x +a ）＞0,①当﹣a ≤1,即a ≥﹣1时,不等式的解是x ＞1或x ＜﹣a ,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ≥1,即a ＝﹣1,②若﹣a ＞1,即a ＜﹣1时,不等式的解是x ＞﹣a 或x ＜1,∵p 是q 的充分不必要条件,∴﹣a ＜2,即﹣2＜a ＜﹣1,综上﹣2＜a ≤﹣1．1．【必修第一册（上） 重难点知识清单】已知a ,b ∈R,则“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】若“0≤a ≤1且0≤b ≤1”,则“0≤ab ≤1”．当a ＝－1,b ＝－1时,满足0≤ab ≤1,但不满足0≤a ≤1且0≤b ≤1,∴“0≤a ≤1且0≤b ≤1”是“0≤ab ≤1”成立的充分不必要条件．故选A.2．【必修第一册（上） 重难点知识清单】“不等式在上恒成立”的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．【参考答案】A 【解析】∵“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”,∴△＝（﹣1）2﹣4m ＜0,解得m ,又∵m ⇒△＝1﹣4m ＜0,所以m是“不等式x 2﹣x +m ＞0在R 上恒成立”的充要条件,故选：A ．3．【浙江省杭州二中检测】“”的一个充分但不必要的条件是( )260x x --<A ．B ．23x -<<03x <<C ．D ．32x -<<33x -<<【参考答案】B 【解析】由解得,260x x --<23x -<<要找“”的一个充分但不必要的条件,260x x --<即是找的一个子集即可,{}23x x -<<易得,B 选项满足题意.故选B4．【必修第一册 逆袭之路】设且,则是的（ ）,a b ∈R 0ab ≠1ab >1a b >A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【参考答案】D 【解析】若“ab ＞1”当a ＝﹣2,b ＝﹣1时,不能得到“”,1a b ＞若“”,例如当a ＝1,b ＝﹣1时,不能得到“ab ＞1“,1a b ＞故“ab ＞1”是“”的既不充分也不必要条件,1a b ＞故选：D ．5．【河南省6月联考】关于的不等式成立的一个充分不必要条件是,则的取x ()()30x a x -->11x -<<a 值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1a ≤-0a <2a ≥1a ≥【参考答案】D 【解析】由题可知是不等式的解集的一个真子集.()1,1-()()30x a x -->当时,不等式的解集为,此时 ；3a =()()30x a x -->{}3x x ≠()1,1-{}3x x ≠当时,不等式的解集为,3a >()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞,合乎题意；()1,1- (),3-∞当时,不等式的解集为,3a <()()30x a x -->()(),3,a -∞⋃+∞由题意可得,此时.()1,1-(),a -∞13a ≤<综上所述,.1a ≥故选：D.6．【河南省开封市2020届高三第三次模拟】设a ,b ∈R ,则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【参考答案】C 【解析】由a ＞b ,①当a ＞b ≥0时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞b •b ,此时成立．②当0＞a ＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为﹣a •a ＞﹣b •b ,即a 2＜b 2,此时成立．③当a ≥0＞b 时,不等式a |a |＞b |b |等价为a •a ＞﹣b •b ,即a 2＞﹣b 2,此时成立,即充分性成立；由a |a |＞b |b |,①当a ＞0,b ＞0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＞0,因为a +b ＞0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．②当a ＞0,b ＜0时,a ＞b ．③当a ＜0,b ＜0时,a |a |＞b |b |去掉绝对值得,（a ﹣b ）（a +b ）＜0,因为a +b ＜0,所以a ﹣b ＞0,即a ＞b ．即必要性成立,综上可得“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的充要条件,故选：C ．7．【必修第一册 过关斩将】设,则“”是“”的（ ）R x ∈11||22x -<31x <A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【参考答案】A 【解析】绝对值不等式,1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<由.31x <⇔1x <据此可知是的充分而不必要条件.1122x -<31x <本题选择A 选项.8．【必修第一册 过关斩将】设集合,,那么“或”是“{|2}M x x =>{|3}P x x =<x M ∈x P ∈x P M ∈⋂”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【参考答案】必要不充分【解析】解:条件是或等价于；结论是．:p x M ∈x P ∈x P M ∈⋃:q x P M ∈⋂依题意得是的真子集,所以“”能推出“”,反之不成立,P M ⋂P M ⋃x P M ∈⋂x P M ∈⋃即结论条件p ,必要性成立；条件结论q ,充分性不成立．q ⇒p ⇒综上,“或”是“”的必要不充分条件．x M ∈x P ∈x P M ∈⋂故参考答案为：必要不充分9．【必修第一册 逆袭之路】设,则“”是“”的______条件选填“充分不必要”,“必要不充a R ∈1a >1a >.(分”,“充要”,“既不充分也不必要”之一)【参考答案】充分不必要条件【解析】解：解绝对值不等式“”,得或,1a >1a >1a <-又“”是“或”的充分不必要条件,1a >1a >1a <-即“”是“”的充分不必要条件,1a >1a >故参考答案为充分不必要条件.10．【必修第一册 过关斩将】已知,若是p 的一个必要条件,则使:13p x -<<1(0)a x a a -<-<>恒成立的实数b 的取值范围是________.a b >【参考答案】{|2}b b <【解析】∵,111a x a a x a -<-<⇔-<<+∴,所以解得{|13}{|11}x x x a x a -<<⊆-<<+11,13,a a -≤-⎧⎨+≥⎩2a ≥又使恒成立,因此,故实数b 的取值范围是.a b >2b <{|2}b b <故参考答案为：．{|2}b b <11．【必修第一册 过关斩将】若M 是N 的充分不必要条件,N 是P 的充要条件,Q 是P 的必要不充分条件,则M 是Q 的________条件.【参考答案】充分不必要【解析】命题的充分必要性具有传递性.根据题意得,但,,且,因此M N P Q ⇒⇔⇒Q P ⇒N P ⇔N M ⇒,但,故M 是Q 的充分不必要条件.M Q ⇒Q M ⇒故参考答案为：充分不必要12．【必修第一册 过关斩将】若实数a ,b 满足,,且,则称a 与b 互补记0a ≥0b ≥0ab =,那么“”是“a 与b 互补”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充(,)a b a b ϕ=--(,)0a b ϕ=分”“充要”或“既不充分也不必要”）【参考答案】充要【解析】解析若,,平方得,当时,所以；(,)0a b ϕ=a b =+0ab =0a =b =0b ≥当时,所以,故a 与b 互补；0b =a =0a ≥若a 与b 互补,易得.(,)0a b ϕ=故“”是“a 与b 互补”的充要条件(,)0a b ϕ=故参考答案为：充要条件13．【必修第一册（上） 重难点知识清单】已知,.{}2320P x x x =-+≤{}11S x m x m =-≤≤+（1）是否存在实数,使是的充要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由；m x P ∈x S ∈m （2）是否存在实数,使是的必要条件？若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由．m x P ∈x S ∈m 【参考答案】（1）不存在实数,使是的充要条件m x P ∈x S ∈（2）当实数时,是的必要条件0m ≤x P ∈x S ∈【解析】（1）.{}{}232012P x x x x x =-+≤=≤≤要使是的充要条件,则,即 此方程组无解,x P ∈x S ∈P S =11,12,m m -=⎧⎨+=⎩则不存在实数,使是的充要条件；m x P ∈x S ∈（2）要使是的必要条件,则 ,x P ∈x S ∈S ⊆P 当时,,解得；S =∅11m m ->+0m <当时,,解得S ≠∅11m m -≤+0m ≥要使 ,则有,解得,所以,S ⊆P 11,1+2m m -≥⎧⎨≤⎩0m ≤0m =综上可得,当实数时,是的必要条件．0m ≤x P ∈x S ∈14．已知两个关于的一元二次方程和,求两方程的根都是x 2440mx x -+=2244450x mx m m -+--=整数的充要条件．【参考答案】1m =【解析】∵是一元二次方程,∴．2440mx x -+=0m ≠又另一方程为,且两方程都要有实根,2244450x mx m m -+--=∴()()212224160,1644450,m m m m ⎧∆=--≥⎪⎨∆=---≥⎪⎩解得．5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵两方程的根都是整数,∴其根的和与积也为整数,即24,4,445,Z m m Z m m Z ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪--∈⎪⎩∴为的约数．m 4又∵,5,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴或．1m =-1当时,第一个方程可化为,其根不是整数；1m =-当时,两方程的根均为整数,∴两方程的根均为整数的充要条件是．1m =1m =15．设集合,,若“”是“”的充分不必要条件,试求满足条{}2|320A x x x =-+={}|1B x ax ==x B ∈x A ∈件的实数组成的集合.a 【参考答案】10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵,{}{}2|3201,2A x x x =-+==由于“”是“”的充分不必要条件.∴ .x B ∈x A ∈B A 当时,得；B =∅0a =当时,由题意得或.B ≠∅{}1B ={}2B =当时,得；当时,得.{}1B =1a ={}2B =12a =综上所述,实数组成的集合是.a 10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
2021新编课件 新教材苏教版高中数学必修第一册第四章指数与对数 教学课件
10
2.
2.把根式 a (a>0)化成分数指数幂是(
3
A.(-a)2
3
B.-(-a)2
3
C.-2
3
D.2
答案 D
解析 a
1
=a·2
=
1
1+
2
=
3
2 ,故选
D.
)
3.(2020湖南高一期中)下列式子成立的是(
A.a - =
-3
B.a -=- -3
C.a - = 3
拆分等方式进行化简.
(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公
式化简时,要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.
探究三
根式与分数指数幂的互化
例3将下列根式化成分数指数幂的形式:
(1) (a>0);(2) 3
1
·2
解 (1)原式=
4
1
5
( 2 )
=
2
;(3)(
2 -2
提示 (1)(
a)n是实数a的n次方根的n次幂.
(2)不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;
当n为大于1的偶数时,a≥0.
二、分数指数幂
名师点析 关于分数指数幂要注意以下几点:
(1)分数指数幂
不可以理解为 个
a 相乘,事实上,它是根式的一种新写法.
(2)0的指数幂:0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
+ + 3
2
2
3
6
6
3
2
6
2
(2) ×(-3 )÷( )=-9
第4章4.1第2课时 数列的递推公式-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 数列的单调性 【例 2】 已知数列{an}的通项公式是 an＝(n＋2)×78n(n∈N*)， 试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． [思路探究] 判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设 an 是 数列的最大项，解不等式．
[提示] 等式 a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an 成立，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋
＝1＋
2(n－1)＝2n－1.
第2课时 数列的递推公式
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
第2课时 数列的递推公式
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知识点 1 数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第 1 项(或前几项)； ②任一项_a_n__与它的前一项__a_n_－_1___(或前几项)间的关系可以用 一个_公__式_来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递__推__公式．
(2)∵bn＝aan＋n 1，且 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58.
故{bn}的前 4 项依次为 b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
第2课时 数列的递推公式
1
2
3
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4.2.2 换底公式-2020-2021学年高一数学新教材配套学案(北师大2019版必修第一册)
1 4.2.2 换底公式【教学目标】重点、难点1、对数换底公式的推导和应用；（重点）2、会用对数换底公式进行化简与求值；（难点）学科素养1、通过对对数换底公式推导的学习，培养逻辑推理素养；2、通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.【知识清单】1、换底公式及其推导证明：设，则，两边取以a 为底的对数，得x ,即2、换底公式的应用对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具，一般常换成以10为底.2、常见结论log a b ·log b a ＝【基础过关】1、log 49log 43的值为( )A.12 B ．2 C.32 D ．92N log x b =N b x =N log b log a a =b log N log x a a =⇒b log Nlog N log a a b =2 2、已知log 34·log 48·log 8m ＝2，则m ＝________【经典例题】题型一 利用换底公式化简求值例1、计算：（1）log 1627log 8132 （2）log 29·log 34题型二 用已知对数表示其他对数例2、若log 23＝a ，log 52＝b ，试用a ，b 表示log 245.【课堂达标】1．（log 29）•（log 34）等于（ ）A ．B ．C ．2D ．42．设82log 9log 3a =，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23 C ．1 D ．23．已知lg 2a =,lg3b =,则3log 6等于( )A ．a b a +B ．a b b +C ．aa b + D ．ba b +4．计算:23log 9log 8⋅=( )A ．12B ．10C ．8D ．63 5．若3414491log 7log 27log log 8m ⨯⨯=，则m =___________．6．234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_________.7、求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.8.求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.【能力提升】1．设lg 2a =，lg3b =，则2log 6=（ ）A ．2abB ．2a bC ．a b a +D ．aa b +2．若lg 2,lg3a b ==，则24log 5等于（ ）．A ．13a a b ++B ．13aa b ++ C ．13a a b -+ D ．13aa b-+ 3．已知32m n k ==且112m n +=，则k 的值为( )4 A ．15 B 15C6 D ．64．计算25log 25log 22⋅=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．若log 2x •log 34•log 59=8，则x =A ．8B ．25C ．16D ．46．若56789log 6log 7log 8log 9log 10p =⨯⨯⨯⨯，则（ ）A ．()01p ∈，B ．1p =C ．()12p ∈，D ．2p =7．（多选题）若0ab >，且1ab ≠，则下列等式中不正确的是（ ）A ．lg()lg lg ab a b =+B ．lg lg lg a a b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．21lg lg 2a a b b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1lg()log 10ab ab =8．已知lg 2a =，lg3b =，则3log 6=__________（用含a ，b 的代数式表示）.9．设25a b m ==,且112a b +=,则m =______.10.已知35log 2,log 3a b ==，试用a ，b 分别表示下列各式：（1）2log 5；（2）lg 2；（3）20log 45．5【参考答案】【知识清单】1、log b N ＝log a Nlog a b (a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)3、1【基础过关】1．B【解析】【分析】直接利用对数的运算性质，对选项进行逐一分析判断即可.【详解】log 49log 43＝log 39＝2log 33＝2.【点睛】本题考查对数换底公式，属简单题.2、9【解析】因为log 34·log 48·log 8m ＝2，所以lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2，化简得lg m ＝2lg 3＝lg 9.所以m ＝9.6 【经典例题】例1、（1）[解析]log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516.（2）[解析]（3）[log 29·log 34＝2log 23·log 24log 23＝2log 24＝4log 22＝4.]例2、[解析]因为log 245＝log 2(5×9)＝log 25＋log 29＝log 25＋2log 23，而log 52＝b ，则log 25＝1b ，所以log 245＝2a ＋1b ＝2ab ＋1b .[课堂达标]1．D【解析】试题分析：利用换底公式、对数运算法则求解．解：（log 29）•（log 34）===4． 故选D ．7 考点：对数的运算性质．2．B【解析】【分析】由对数函数运算性质整理分子，即可求出答案. 【详解】 由题可知，322822222log 3log 3log 923log 3log 3log 33a ====故选：B【点睛】本题考查对数式的运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】应用换底公式和对数的运算公式直接求解即可.【详解】∵lg 2a =,lg3b =∵3lg 6lg 2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故选：B【点睛】8 本题考查了换底公式，考查了对数的运算公式，考查了数学运算能力.4．D【解析】【分析】根据对数换底公式,化简原式即可求得答案. 【详解】23lg9lg82lg33lg 2log 9log 86lg 2lg3lg 2lg3⋅=⋅=⋅=∴ 23log 9log 86⋅=故选:D.【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.5．4 【解析】【分析】由对数的运算性质和对数的换底公式，化简整理得32441log log 8m -=，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得344341424449log 7log log 7log 27log log 3log 3log (7)mm -⨯⨯=⨯⨯9344244444log 7log 33log 3log log log 32log 72m m m -=⨯⨯=-=-， 所以32441log log 8m -=，所以3218m -=，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理利用对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．3【解析】【分析】直接利用换底公式计算得到答案. 【详解】 原式2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln8ln8log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 6ln 7ln 2=⋅⋅⋅⋅⋅===. 故答案为：3.【点睛】本题考查了换底公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.7、18【解析】【分析】首先根据题意得到原式()()()2352log 53log 23log 3=-⋅⋅-，再利用换底公式化简即可得到答案.10 【详解】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换地公式，同时考查对数的运算，属于中档题.8. 18【解析】【分析】原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于中档题.【能力提升】1．C【解析】【分析】把2log 6换成以10为底的对数，再利用对数的运算性质用,a b 表示lg 6lg 2即可.【详解】11 ∵lg 2a =，lg3b =，∵212lg3log 612g a b g a++==． 故选：C ．【点睛】本题考查对数的换底公式、对数的运算性质，注意根据题设条件中的对数的形式选择合适的底的对数去表示目标对数，此类问题属于基础题.2．D【解析】【分析】利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.【详解】由lg 2,lg3a b ==，则24lg51lg 21lg 21log 5lg 24lg8lg33lg 2lg33a a b---====+++. 故选：D【点睛】本题考查了换底公式以及对数的运算性质，需熟记对数的运算法则，属于基础题.3．C【解析】【分析】由3m =2n =k ，将指数式转化为对数式得m =log 3k ，n =log 2k ，再代入112m n+=，利用换底公式求解.12 【详解】∵3m =2n =k ，∵m =log 3k ，n =log 2k ，∵32111132k k log log m n log k log k+=+=+=log k 6=2，∵k 2=6，又0k >∵6k =故选：C.【点睛】本题主要考查了指数与对数互化，换底公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．A【解析】【分析】先化简，再结合换底公式即可求解 【详解】3222525253log 25log 22log 5log 22log 5log 232⋅=⋅=⨯⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查对数的化简求值，属于基础题13 5．B【解析】【分析】由换底公式将原式化为：lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，进而得到lgx=2lg5=lg25. 【详解】∵log 2x•log 34•log 59=8，∵lg 2lg2lg2lg3x ⋅⋅ 2lg3lg5=8，∵lgx=2lg5=lg25，∵x=25． 故选B ．【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:log log (0,1;0,1;0)log c b c N N b b c c N b=>≠>≠>且且. 6．C【解析】【分析】 根据换底公式可统一为常用对数，即可化简. 【详解】因为567895lg 6lg 7lg8lg 9lg10log 6log 7log 8log 9log 10log 10lg 5lg 6lg 7lg8lg 9p =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，14 而555log 5log 10log 25<<，所以()12p ∈，，故选C.【点睛】本题主要考查了换底公式，对数的性质，属于中档题.7．AB【解析】【分析】根据对数的运算法则成立的条件，即可逐项判断出真假．【详解】对于A ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于B ，0,0a b <<时， 0ab >，但是lg ,lg a b 无意义，该等式不正确；对于C ，00aab b >⇒>，按照对数的运算法则，该等式正确；对于D ，由换底公式得，()()()1lg()log 1log 0log 10ab ab ab ab ab ==，该等式正确．故选AB ．【点睛】本题主要考查对数的运算法则成立的条件判断以及换底公式的应用．8．a bb +【解析】【分析】15由换底公式，可得l 3lg6lg2lg3log 6lg3lg3+==，由此能够准确地利用a ，b 表示log 36．【详解】由换底公式，3lg6lg2lg3log 6lg3lg3a bb ++===.故答案为a bb +【点睛】本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．910【解析】【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b +==，得到答案.【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =， 故11log 2log 5log 102,10m m m m a b +=+==∴=10.【点睛】 本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.10.（1）1ab ；（2）1+ab ab ；（3）1212++bab16 【解析】【分析】（1）根据换底公式进行换底即可得到答案；（2）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案；（3）根据换底公式和对数的运算性质即可得到答案. 【详解】 解：（1）535233log 5115log 31log 5log 2log 2og b a ab====； （2）33335333335log 2log 2log 2log 2lg 2log 51log 10log (25)log 2log 51log 2log 3a abab a b======⨯++++； （3）()33333320333333log 45log (59)log 5log 9log 5log (33)log 45log 20log 45log 4log 5log (22)log 5⨯++⨯====⨯+⨯+ 5333553335log 512log 32log 52log 3log 312log 512log 2log 51222log 2log 3bb aba b++++====++++.【点睛】本题主要考查换底公式和对数的运算性质，考查学生的计算能力和公式的应用能力，属于基础题.171819。
2020-2021年数学必修第一册课后试题：第四章4.1 课后课时精练(人教A版)
『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在对数式log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1<x <3 B ．x >1且x ≠2 C ．x >3 D ．1<x <3且x ≠2答案 D解析 要使对数式log (x －1)(3－x )有意义，需⎩⎨⎧3－x ＞0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ＜3且x ≠2.2．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.3．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38 答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，∴⎩⎨⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3.故选B.4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 答案 A解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞答案 B解析 由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立． k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎨⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54，故选B.二、填空题 6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________． 答案 {x |x ＜4且x ≠3}解析 由题意，得⎩⎨⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．7．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________. 答案 1解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 8．集合A ＝{1，log 2x }中的实数x 的取值范围为________． 答案 (0,2)∪(2，＋∞) 解析 ∵集合A ＝{1，log 2x }，∴⎩⎨⎧log 2x ≠1，x ＞0，解得x ∈(0,2)∪(2，＋∞)． 三、解答题9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10(单位：m/s)，其中O 表示燕子的耗氧量．。
2020-2020学年高中数学第一册学案第4章 4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析
2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章4.4 第3课时不同函数增长的差异含解析第3课时不同函数增长的差异学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点）3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只,喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长．问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?提示：都是增函数,而y＝a x（a〉1)增长速度越来越快；y＝log a x(a〉1）在（0，＋∞）上增长速度非常缓慢．三种函数模型的性质y＝a x（a〉1）y＝log a x(a>1)y＝kx（k〉0)在（0,＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝log a x （a〉1）的增长速度越来越慢；②存在一个x0，当x〉x0时，有a x>kx〉log a x1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）(1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()（2）当a〉1，n>0时,在区间(0,＋∞)上，对任意的x,总有log a x 〈x n〈a x成立．(）(3)函数y＝log错误!x衰减的速度越来越慢．（)[答案］（1)×(2)×(3)√2．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（）A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]3．三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：x0510********y15130505 1 130 2 005 3 130 4 505y2590 1 62029 160524 8809 447 840170 061 120y35305580105130155其中关于x呈指数增长的变量是________．y2［由指数函数的变化规律可知，y2随x的变化呈指数增长．] 4．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年）的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③［结合图象可知②③正确，故填②③。
新教材高中数学第4章数学归纳法课件苏教版选择性必修第一册ppt
(2)假设 n＝k(k>2，k∈N*)时，命题成立， 即平面内满足题设的任何 k 条直线交点个数为 f(k)＝12k(k－1)， 那么当 n＝k＋1 时，任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线交 点个数为 f(k)＝12k(k－1)，
l 与其他 k 条直线交点个数为 k，从而 k＋1 条直线共有 f(k)＋k 个交点，
由(1)和(2)可知，命题对所有的 n∈N*都成立．
用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法 更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知 fk＞gk，求证 fk ＋1＞gk＋1时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分 析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点：
1先凑假设，作等价变换； 2瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，有目的地放缩、分析，直到 凑出结论.)
[跟进训练] 1．用数学归纳法证明等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－ 1)n－1nn2＋1．
[证明] ①当 n＝1 时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×1×2 2＝1，左边＝右边，等式成立； ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2 ＝(－1)k－1kk＋2 1，
即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k ＋1)[(k＋1)－1]，
∴当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，对任意 n∈N*，n≥2，命题都成立．
用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有 必要的文字说明.
[跟进训练] 4．平面内有 n(n∈N*)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每 三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 f(n)＝n2－n ＋2 部分．
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第4章 章末复习（一）
一、要点回顾
1. 当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个 ,负数的n 次方根是一个 .这时,a 的n 次方根用符号 表示.
当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数 . 当n 为奇数时,√a n n
= ;
当n 为偶数时,√a n n =|a|= { , a ≥0,
, a <0.
2. 正数的正分数指数幂的意义是a m n
= (a>0, m , n ∈N *,且n>1); 正数的负分数指数幂的意义是a －
m n
= (a>0, m , n ∈N *,且n>1).
3. 有理数指数幂的运算性质
a r a s = , (a r )s = ,(a
b )r = ,其中a>0, b>0, r , s ∈Q . 4. 对数的概念(对数与指数的互化):如果a b =N (a>0且a ≠1),那么b 叫作以a 为底N 的对数,记作b= ,其中a 叫作对数的 ,N 叫作 . 5. 对数的性质:① log a 1= ; ② log a a= ; ③ a log a N = .
6. 对数的运算性质:如果a>0且a ≠1, M>0, N>0, n ∈R,那么
log a (MN )= , log a M N
= , log a M n = . 7. 换底公式及其推论:① log a b=
log c b log c a (a , c 均大于0且不等于1, b>0);
② log a b ·log b a=1,即log a b=1log b a
;
③ lo g a m b n =n
m log a b.
二、考点聚焦
考点一 指数式与对数式的互化(a b =N ⇔log a N=b ,其中a>0且a ≠1) 【例1】 (1) 若log x √y 7=z ,则 ( )
A. y 7=x z
B. y=x 7z
C. y=7x
D. y=z 7x (2) 已知log a 2=m , log a 3=n ,则a 2m+n = .
题组训练
1. 若log x 8=3,则x= .
2. 已知3m =2n =k ,且1m +1n
=2,则k 的值为
( )
A. 15
B. √15
C. 6
D. √6
3. 已知log 5(log 2x )=1,求x 的值.
考点二 利用指数、对数的运算性质计算 【例2】 (1) 已知3a+2b=1,求9a b
√a
的值;
(2) 已知lg a －lg b=m ,求lg (a 2)3－lg (b 2)3
的值.
题组训练 1.
化简:(8)－1
3
+lg √10等于 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2. (1) 已知x log 34=1,求4x +4－
x 的值;
(2) 已知3a =2, 3b =5,求log 360的值.
3. 已知log 4a=log 25b=√3,求lg(ab )的值.
考点三 换底公式的应用 【例3】 计算:
log 5√2×log 79
log 51
3×log 7√4
3
.
题组训练
1. 计算:log 54·log 1625= .
2. 计算:(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258).
3. 已知log 189=a , 18b =5,试用a , b 表示log 3645.
三、课后作业
1. (多选)下列结论中错误的有
( )
A . 若log 2x =3,则x =6
B . 5log 5
1
25
=√5
C . lg(lne)=0
D . lg(lg10)=1 2. 若√(3a －1)2=√(1－3a)33
,则实数a 的取值范围为
( )
A . (0,1
3) B . (0,1
3]
C . (－∞,13
] D . [13
,+∞)
3. 计算:lg 2516
－2lg 59
+lg 3281
等于
( )
A . lg2
B . lg3
C . lg4
D . lg5
4. 已知a =log 54,那么log 564－2log 520用a 表示是 ( )
A . a －2
B . 5a －2
C . 3a －(1+a )2
D . 3a －a 2－1
5. (多选)下列说法中正确的有
( )
A . x
－
34
=√(1
x )3
4
(x >0)
B . √(－x)23
=－x 2
3
C . √a 2=a
D . √－x 3=－x √－x
6. 设a =log 310, b =log 37,则3a
－b
的值为
( )
A .
107
B . 7
10 C . 10
49 D . 49
10
7. 若log a b ·log 3a =4,则b 的值为 . 8. 计算:(1)
(18)－1
3×(－76)0+80.25×√24+(√23
×√3)6;
(2) lg25+23
lg8+lg5×lg20+(lg2)2－10lg3.
9. 已知2x =3, log 48
3
=y ,则x +2y 的值为 ( )
A . 3
B . 4
C . 8
D . log 48
10. 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解.例如,地震
时释放出的能量E (单位:J)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M. 2008年5月汶川发生里氏8.0级地震,它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的 倍.
11. 已知2a ·3b =2c ·3d =6,求证:(a －1)(d －1)=(b －1)(c －1).
12. (1) 已知2a =5b =m (m >0),且1a +1
b
=2,求m 的值;
(2) 已知2x =3y =5z ,且1x +1y +1
z =1,求x , y , z.
1
log22021×2021
1
log42021×2021
1
log82021×2021
1
log162021×2021
1
log322021)15.
*13.计算:(2021。