高中数学破题致胜方法构造齐次方程求双曲线的离心率
高中数学破题致胜微方法双曲线进阶性质：双曲线的通径
先看例题： 例：设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ,,过点F 且与x 轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为83.求双曲线的方程. 解：由题意,得2823c a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而3,2.a b =⎧⎨=⎩ 如图：因此,所求的双曲线方程为22194x y -=. 整理：22b a通径是过双曲线的一个焦点垂直于实轴的弦,长为 请同学们根据上面的例题，自己完成证明。
轴。
再看一个例题，加深印象例：已知F 1(－5,0),F 2(5,0)是双曲线C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ,B 两点,且|AB |=92,则C 的方程为（）。
解:由题意, 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 得222+25922a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而4,3.a b =⎧⎨=⎩ 因此,所求的双曲线方程为221169x y -=.练习：1．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是( )。
(A) 49 (B) 29 (C) 9 (D) 10 2.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为()B. C.2 D.33. 已知F1,F2是双曲线2214yx-=的两个焦点,过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交,其中一个交点为P,则|PF2|=________.4. 在给定双曲线中,焦点到相应准线的距离为12，则该双曲线的离心率为( ) 答案1. 解：双曲线的通径长2992242ba==，正确答案为B.。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是椭圆形几何图形较为重要的一个参数，它代表着椭圆的扁平程度。
在高中数学中，离心率一般作为重要内容涉及到椭圆、双曲线和抛物线的相关题型。
下面，我们将介绍一些高效的解决离心率题型的有效技巧。
一、离心率的定义和特点椭圆的离心率是一个非常重要的物理量，它代表着椭圆的扁平程度。
在椭圆的定义中，其离心率的定义是：离心率等于椭圆长轴和短轴的差值与它们的和的比值。
它的数值在0~1之间。
双曲线的离心率是大于1的，它代表着双曲线的扁平程度。
它的数值大于1。
抛物线没有离心率的概念，因为抛物线是一个具有对称性的几何图形。
二、椭圆题型的解法在椭圆的题型中，很多问题都涉及到了离心率，因此我们需要通过不同的方法求解。
(1)已知椭圆的方程，求椭圆长轴和短轴长度以及离心率。
一般来说，已知椭圆的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中a和b分别表示长轴和短轴长度，离心率为$e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}$。
根据椭圆的定义式，可以知道：$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$其中a,b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
可以通过已知的a和b来确定椭圆的方程。
(3)已知椭圆上两点的坐标，求离心率。
根据椭圆的性质，椭圆上任意两点到椭圆中心的距离之和是定值。
因此，可以利用椭圆焦点的性质求解该问题：设点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$在椭圆上，焦点为点$F_1$和$F_2$，椭圆中心为点$O$，则有：$AF_1+BF_1=AF_2+BF_2=2a$ $(a>$离心率为$e=\dfrac{c}{a}$，其中c表示椭圆两个焦点之间的距离。
其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$为双曲线的焦点之间的距离。
(1)了解椭圆、双曲线和抛物线的定义、性质和方程式，能够熟练计算离心率。
高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)1.直线与双曲线相交 含解析
今天我们研究直线与双曲线相交，即直线与双曲线有一个或两个交点。
直线方程与双曲线方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程或一元一次方程，则（1）一元一次方程情形,直线与双曲线有一个交点等价于直线与双曲线的渐近线平行；（2)一元二次方程情形，直线与双曲线有一个有两个交点等价于直线与双曲线方程联立后方程有两个不同的解，其判别式大于0。
先看例题：例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6相交,求k 的取值范围。
解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝, （1)直线与双曲线有两个公共点，即:()()222101641100k k k ⎧-≠⎪⎨∆=--⨯->⎪⎩, 解得1515(1)(1,1))k ∈-⋃-⋃ （2）直线与双曲线有一个公共点,21=0k-，解得1k =± 综上有1515k << 整理： 设直线l :y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1)若0222=-k a b 即a bk ±=，且0m ≠时，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即a b k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点。
注意：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。
再看一个例题，加深印象例：若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 （ )A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D。
13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭解：由22=+26y kx x y ⎧⎨-=⎩得22410)0(1k x kx -－－＝， ∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得13k -<<-，正确答案D 。
必须掌握的高中数学《圆锥曲线：离心率》五大类型解题技巧
必须掌握的高中数学《圆锥曲线：离心率》五大类型
解题技巧
一、题干解读
首先，要从题干中获取所要解决的问题，对题目中出现的任何重要信息进行精准的解读，例如：圆锥曲线的类型、焦距、曲率半径和离心率等。
二、思路构建
根据题干要求，充分分析问题，查找并熟悉相关知识点，结合已有知识建立正确的思路，来求解其中的离心率。
三、公式应用
根据解题思路，确定正确的运算方法，用公式解决问题，计算出离心率的值。
四、注意事项
计算时要注意使用正确的公式，检查结果是否符合要求，将所求答案放于题干中进行校验等。
五、解答总结
最后，要对解题过程进行归纳总结，总结本次解答的关键思想，把握解题技巧，为预防后续出现相似问题而做好准备。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧【摘要】高中数学中，离心率题型是一个常见但也容易出错的题目。
本文将介绍关于高中数学离心率题型的解法技巧。
在我们将介绍离心率的定义和背景知识。
在我们将详细讲解离心率的性质、解题步骤，并举例说明常见的题型。
我们会提醒大家在解题时需要注意的事项，并进行实战演练。
在我们将总结本文的内容，并探讨离心率在实际生活中的拓展应用，以及如何进一步提升解题能力。
通过本文的学习，读者将能够更加熟练地解决高中数学中关于离心率的题目。
【关键词】高中数学、离心率、题型、解法、有效技巧、引言、定义与性质、解题步骤、常见题型举例、注意事项、实战演练、结论、总结、拓展应用、思考提升。
1. 引言1.1 介绍高中数学中的离心率题型是一种常见而重要的题型，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等几何图形的特性和性质。
理解和掌握离心率的计算方法对于解题十分重要，而有效的解决技巧可以帮助学生提高解题效率，提升数学成绩。
在本文中，我们将介绍关于高中数学离心率题型的解题技巧，希望能够为学生们在学习和应试过程中提供指导和帮助。
在接下来的我们将详细介绍离心率的定义和性质，解题步骤以及常见题型举例，同时给出一些注意事项和实战演练，希望能够帮助学生们全面深入地理解和掌握离心率这一重要的数学知识。
通过不断的学习和练习，我们相信每位学生都能够在离心率题型上取得更好的成绩。
1.2 背景知识高中数学中，离心率是一个重要且常见的概念。
在几何学和代数学中，离心率通常用来描述椭圆、双曲线和抛物线等二次曲线的形状。
理解离心率的概念对于解决与二次曲线相关的数学问题非常重要。
离心率的定义是一个数值，用来衡量一个二次曲线的“扁平”程度。
在椭圆和双曲线中，离心率的取值范围是0到1，越接近1表示曲线越扁平；在抛物线中，离心率为1，表示曲线为对称。
在解决与离心率相关的数学题目时，首先要掌握离心率的定义及其性质。
需要了解解题的基本步骤，包括求解离心率、判断曲线类型、求解焦点、导线等。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是描述椭圆或者双曲线形状的一个重要参数，在高中数学中是一个常见的题型。
解决离心率题型需要掌握一些有效的解决技巧，以下是一些常用的解题方法：1. 确定椭圆或双曲线的方程类型：首先要根据题目中的给定信息确定椭圆或双曲线的方程类型，例如椭圆的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1，双曲线的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。
2. 求取离心率：当已知椭圆或双曲线的方程时，可以利用离心率的定义求取离心率。
椭圆的离心率为e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}，双曲线的离心率为e =\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2} + 1}。
3. 利用离心率性质解题：离心率有许多有用的性质可以用来解决题目。
椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即离心率是大于0小于1的实数。
双曲线的离心率e满足e > 1，即离心率是大于1的实数。
4. 求取椭圆或双曲线的焦点：椭圆的焦点可以通过离心率来求取，焦点的坐标为(\pm ae, 0)。
双曲线的焦点的坐标为(\pm ae, 0)和(0, \pm b)。
5. 利用焦点和离心率的性质求取题目所需要的信息：有时候题目会给出椭圆或双曲线的焦点和离心率，需要求取其他相关信息。
可以根据离心率和焦点的坐标来求取椭圆的长轴、短轴长度，以及双曲线的极限。
6. 综合运用多种方法解题：有些题目可能需要综合运用离心率的性质、椭圆、双曲线的方程以及焦点、长轴、短轴等信息来解决。
在解决离心率题型时，需要熟练掌握椭圆和双曲线的基本概念和公式，同时运用离心率的性质来推导和求解。
多做一些题目，加深对离心率和椭圆、双曲线的理解，掌握常见的解决技巧，就能够更有效地解决高中数学离心率题型。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率题型通常为解析几何的内容，主要涉及圆、椭圆、双曲线等几何图形的离心率。
解决这类题目需要掌握相关的几何知识和计算技巧。
下面将介绍一些有效的解决技巧。
1. 理解离心率的定义离心率是描述一个椭圆或双曲线形状的一个重要参数，它是焦点到几何图形上任意一点的距离与该点到几何图形上一个确定的点的距离的比值。
椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
理解离心率的定义对于解决离心率题型至关重要。
2. 利用离心率的性质离心率与椭圆或双曲线的几何特性有着密切的关系，掌握离心率的性质有助于解决相关的题目。
对于椭圆，离心率越接近于1，椭圆的形状就越接近于圆；对于双曲线，离心率越大，双曲线的形状就越尖锐。
利用这些性质可以帮助我们更好地理解和解答题目。
3. 掌握椭圆和双曲线的标准方程椭圆和双曲线有各自的标准方程，掌握这些方程可以帮助我们快速判断出题目中所涉及的几何图形，并利用这些方程进行计算。
椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1。
4. 结合焦点和直角坐标系椭圆和双曲线的焦点是离心率的重要概念，理解焦点与几何图形形状的关系对于解决离心率题型非常重要。
将焦点与直角坐标系结合起来，可以更加直观地理解离心率的定义和特性，从而更好地解答题目。
5. 利用离心率的计算方法根据离心率的定义，可以利用焦点到几何图形上任意一点的距离与该点到几何图形上一个确定的点的距离的比值来计算离心率。
在解决离心率题型时，需要善于利用距离公式和直线方程来进行计算，灵活运用代数计算的方法，从而求得题目中所涉及的离心率。
解决高中数学中离心率题型的有效技巧主要包括理解离心率的定义，掌握相关几何图形的特性和标准方程，结合焦点和直角坐标系进行分析，以及善于利用计算方法进行求解。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的知识点，也是一个容易出现的考试题型。
在解离心率题时，需要掌握一些有效的解决技巧，下面，将从概念、公式、图形和实例四个方面进行分析和讲解。
一、概念离心率是描述椭圆形和双曲线形质量分布集中程度的参数，也是描述椭圆形、双曲线形轨道形状的一个重要参数。
离心率的定义为$$e=\frac{c}{a}$$其中，$a$代表椭圆长轴的一半，$c$代表椭圆中心到焦点的距离。
二、公式离心率有一些常用的公式，包括离心率的计算公式、椭圆周长公式、椭圆面积公式、双曲线面积公式等，理解和记忆这些公式是解决各类离心率题的关键。
1、离心率的计算公式已知椭圆的长轴和短轴的长度$a,b$，离心率的计算公式为$$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$2、椭圆周长公式椭圆的面积公式为$$S=\pi ab$$4、双曲线面积公式由双曲线的定义可以知道，它分为两部分，两部分的面积是无限的。
因此，计算双曲线面积时，需要指定一定区域。
如果指定双曲线距离焦点距离$r_0$和双曲线上一点到直线$x=a$的距离$x$之间的区域，双曲线的面积为$$S=\pi b\cdot r_0-\frac{b}{2}\cdot x\sqrt{x^2+a^2}+\frac{b^2}{2a}\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})$$三、图形图形是解离心率题的直观工具，掌握常见椭圆和双曲线的图像特点，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
1、椭圆的图像特点椭圆沿长轴对称，焦点在长轴上，且距离轴心的距离为$\sqrt{a^2-b^2}$，长轴和短轴之间有如下关系：$$a>b$$双曲线的焦点在直线$x=\pm a$上，因此，双曲线的左右两侧没有交点，也称为渐近线。
双曲线的顶点在$x$轴上，曲线下半部分与$x$轴相交，上半部分不交。
四、实例以下是一道常见的离心率的实例：【例题】椭圆的长轴为$16$，短轴为$6$，离心率为$\dfrac{5}{8}$，求椭圆的面积。
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今天我们研究构造齐次方程求双曲线的离心率。
双曲线的几何性质中，离心率问题是重点。
根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
先看例题：
例：已知1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C. 213+
D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2
c -，由焦半径公式a ex PF p --=1， 即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==a
c e （31-舍去），故选D
整理：
用齐次方程的方法求双曲线的离心率：
列出关于a ，b ，c 的方程，
222b c a -＝消去b
转化成关于e 的齐次方程求解.
再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线122
22=-b
y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 4
3，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得
c b a ab
432
2=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()
4222316c a c a =-，整理得 01616324=+-e e ，
得42=e 或342
=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A
总结：
1.根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系.
2.在a 、c 的关系式中除以a 的合适次数，得到关于e 的齐次方程，解得离心率e .
练习：
1.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）
A
3 B 26 C 36 D 3
3
2.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点.若△ABF 2为直角三角形，则双曲线的离心率为( )
A ．1＋ 2
B ．1±2 C. 2
D.2±1
答案：
1.
即()()
()222
22222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，
∵222a c b -=，∴212222-=--a c a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴2
6=e ，故选B
2.
解析：∵△ABF 2是直角三角形， ∴∠AF 2F 1＝45°，
|AF 1|＝|F 1F 2|，b 2a ＝2c .
∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0. 解得e ＝1±2.又e >1，
∴e ＝1＋ 2.
所以选A。