(完整word)高中数学双曲线经典例题.doc
(完整word版)双曲线讲义
圆锥曲线第二讲 双曲线一 双曲线的定义平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支.例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线.例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形：（16=；（26=练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.二 双曲线的标准方程（1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22221(0,0)x y a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确（2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22221(0,0)y x a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确例1 若方程22123x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______.(3,2)(3,)-+∞U例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在y 轴上的双曲线.例3 方程221cos 2010sin 2010x y ︒︒-=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线.练习1 若方程2221523x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1三 双曲线的定义及其标准方程的应用例1 若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16例2 在ABC V 中，,,a b c 为其三边边长，点B ，C 的坐标分别为(1,0)B -，(1,0)C ，则满足1sin sin sin 2C B A -=的顶点A 的轨迹方程为______.224141()32x y x -=>例 3 已知(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于P ，则点P 的轨迹方程为________.221(1)8y x x -=>例4 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____.9练习1在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC V 的顶点(6,0),(6,0)A C -，若顶点B在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B -=______.56练习2若点P 是以(A B 为焦点，实轴长为2210x y +=的一个交点，则PB PA +的值为______.例3 已知2225:(2)4A x y ++=e ，221:(2)4B x y -+=e ，动圆P 与A e ，B e 都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为_____.221(0)3y x x -=>练习4 已知双曲线的方程2214y x -=，点A 的坐标为(0)，B 是圆2x +2(1y =上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为1四 双曲线的简单几何性质注：（1）标准方程中参数,,a b c ，其中c 最大，,a b 大小关系不确定.（2）我们把ce a=称为双曲线的离心率且1e >.22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a=±.（3）如果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.（求离心率的范围）（4）122PF PF c +≥,122PF PF c -<.（求离心率范围）（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率e =（6）共轭双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共轭双曲线.三 双曲线的定义练习（5.3）已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=，与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）D .A 实轴长相等 .B 虚轴长相等 .C 焦距相等 .D 离心率相等 四 双曲线标准方程的求解（先定位后定量）例1（调研）设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为4)，则此双曲线的标准方程是______.22145y x -=例2 （调研）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为________.22131********y x -= 练习1（简单）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为_______.221169x y -= 例2（5.3）已知双曲线:C 22221x y a b -=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为_______.221205x y -= 五 双曲的简单几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点，两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.例 1（简单）设双曲线22221x y a b-=，的虚轴长为2，焦距为近线的方程为_______.y x =例2（练透）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为_____.12y x =±.练习1（调研）设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，1234PF PF =，则12PF F V 的面积等于_____.24例2（简单）若直线1y kx =+与双曲线221916y x -=的一条渐近线垂直，则实数k=____.43±六 双曲线的离心率 离心率的取值问题例1（练透）12,F F 是双曲线:C 22221x y a b-=的左右焦点，过1F 的直线l 与C 的左右两支分别交于,A B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为例2（练透）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线，则双曲线的离心率为____.练习1（练透）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F V 的最小内角为30︒，则C 的离心率为练习2（练透） 设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.3练习3（练透）设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +=u u u r u u u u r u u u u rg ，O为坐标原点，且12PF =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为1离心率的范围问题双曲线的离心率范围问题主要考查两点：（1）利用三角形的三边关系得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.（2）若果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.通过余弦定理得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.例1 （调研）已知双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为_____.53. 例2（调研）已知(1,2),(1,2)A B -，动点P 满足AP BP ⊥u u u r u u u r ，若双曲线22221x y a b-=的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是____.12e <<练习1（5.3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是_____.(1,3]练习2（练透）点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率取值范围是_______.4(1,]3练习3（练透）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE V 是锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为______.(1,2) 七 双曲线的综合问题例1 （练透）设双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为____.11。
《双曲线》练习题经典(含答案)
2, 1.
消去
y
得：(λ＋2)x2－4
2x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0 且 Δ>0，
4－λ ∴λ>2 或 λ<0 且 λ≠－2，x1·x2＝λ＋2，
3(4－λ)
uuur uuur 而 MAgMB ＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋ 2x1· 2x2＝3x1x2＝ λ＋2 ，
4－λ 3
y2
∴λ＋2＝－2，解得 λ＝－14.∴曲线 C 的方程是 x2－14＝1.
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0，右顶点为 3, 0 .
（Ⅰ）求双曲线 C 的方程
uuur uuur （Ⅱ）若直线 l : y kx 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA OB 2 （其中 O 为原点），求 k 的
3．在平面直角坐标系中，双曲线 C 过点 P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x﹣y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ）
A．
B．
C．
或
D．
x2
y2
x2 y2
4.已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝1（a＞b＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ）
为 ，则双曲线的离心率为（ A ）
A．2 B．
C．
D．
7．已知双曲线
y2 a2
x2 9
1 的两条渐近线与以椭圆 x2 25
y2 9
1
的左焦点为圆心、半径为
16 5
的圆相切，则双曲
线的离心率为（ A ）
A． 5 B． 5 C． 4 D． 6
高中数学 双曲线范例例题共42页
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
42
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
高三数学2轮复习精选试题汇编：双曲线 Word版含答案
双曲线一、选择题1 ．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,在双曲线右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥且126PF F π∠=,那么双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．31+D ．51+2 ．设F 是抛物线)0(2:21>=p px y C 的焦点 ,点A 是抛物线与双曲线22222:by a x C - =1)0,0(>>b a 的一条渐近线的一个公共点 ,且x AF ⊥轴 ,那么双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．25D ．53. 双曲线1412222222=+=-by x y x 的准线经过椭圆 (b ＞0 )的焦点 ,那么b = A.3 B.5 C.3 D.24. 设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切 ,那么该双曲线的离心率等于(A )3 (B )2 (C )5 (D )6 5.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是 ( )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6. 假设双曲线的两焦点为F 1、F 2 ,以F 1F 2为直径的圆与双曲线交于A 、B 、C 、D ,假设此6点构成正六边形 ,那么双曲线的离心率为 ( ) A ． B ．C ．D ．7.双曲线的右焦点为F ,假设过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,那么此双曲线离心率的取值范围是 (A )(B )(C )(D )8.假设双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,那么(A) (B) (C) (D)9. 在正△ABC 中 ,D ∈AB ,E ∈AC ,向量 ,那么以B ,C 为焦点 ,且过D ,E 的双曲线的离心率为 ( )A ．B ．C ．D ．10.如图 ,B 地在A 地的正东方向4 km 处 ,C 地在B 地的北偏东30º方向2 km 处 ,河流的没岸PQ (曲线 )上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km .现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头 ,向B 、C 两地转运货物 .经测算 ,从M 到B 、M 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ,那么修建这两条公路的总费用最|低是 (A )(2 -2)a 万元 (B )5a 万元 (C )(2+1)a 万元 (D )(2+3)a 万元11.双曲线2221(0)2x y b b -=>的左右焦点分别为12,F F ,其一条渐近线方程为y x = ,点0(3,)P y 在该双曲线上 ,那么12PF PF • =A. 12-B. 2- C .0 D. 412.双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为(A )23(B )2 (C )3(D )1二、填空题13.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点 ,为其右焦点 ,那么的值为______．14.双曲线的顶点到渐近线的距离为2 ,焦点到渐近线的距离为6 ,那么该双曲线的离心率为．15. 点P (－1 ,－3 )在双曲线的左准线上 ,过点P且方向为的光线经直线y =2反射后通过双曲线的左焦点 ,那么此双曲线的离心率为 .16. 假设双曲线的渐近线方程为 ,那么实数的值为_________.三、解答题17.设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.(I )求双曲线C的离心率e的取值范围：(II )设直线l与y轴的交点为P ,且求a的值.18.双曲线的中|心在原点 ,右顶点为A (1 ,0 )点P、Q在双曲线的右支上 ,支M (m,0 )到直线AP的距离为1 .(Ⅰ )假设直线AP的斜率为k ,且 ,求实数m的取值范围；(Ⅱ )当时 ,ΔAPQ的内心恰好是点M ,求此双曲线的方程 .19.双曲线 ,为上的任意点 .(1 )求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2 )设点的坐标为,求的最|小值；20.某中|心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响 ,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚 ,各观测点到中|心的距离都是,试确定该巨响的位置 . (假定当时声音传播的速度为,各相关点均在同一平面上 )答案一、选择题1. C因为12PF PF ⊥且126PFF π∠= ,所以21,3PF c PF c =,又1232PF PF c c a --= ,所以22(31)31(31)(31)c a +===-+ ,即双曲线的离31 ,选C.2. D解：由题意知(,0)2p F ,不妨取双曲线的渐近线为b y x a = ,由22b y xa y px⎧=⎪⎨⎪=⎩得222pa x b =.因为x AF ⊥ ,所以2A p x = ,即2222pa p x b == ,解得224b a = ,即22224b a c a ==- ,所以225c a = ,即25e = ,所以离心率5e = ,选D.3. C详细分析：可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2 =3故b =3.故C.4. C5. 答案：A 详细分析：双曲线的两条渐近线方程为,与直线围成一个三角形区域时有 .应选A6. 答案：A7. 答案：C详细分析:双曲线的右焦点为F ,假设过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,那么该直线的斜率的绝|对值小于等于渐近线的斜率,∴ ≥,离心率e 2 = ,∴ e ≥2 ,选C.8. 答案：C详细分析：由题离心率 ,由双曲线的第二定义知,应选择C .【名师点拔】此题在条件中有意识的将双曲线第二定义 "到左焦点距离与到左准线的距离是定值〞中比的前后项颠倒为 "到左准线的距离是到左焦点距离的〞 ,如此题改为填空题 ,没有了选择支的提示 ,那么难度加大 .【考点分析】此题考查双曲线的第二定义 ,根底题 . 9. 答案:D10. 答案：B 11. C详细分析：由题知22=b ,故)0,2(),0,2(,123210F F y -±=-±= , ∴0143)1,32()1,32(21=+-=±-•±--=•PF PF ,应选择C .解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程22122x y -= ,那么左、右焦点坐标分别为12(2,0),(2,0)F F - ,再将点0(3,)P y 代入方程可求出(3,1)P ± ,那么可得120PF PF ⋅= ,应选C .12. A详细分析：双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为34023d ⨯-==,选A二、填空题13. 答案：8详细分析：根据双曲线定义有|MF 2| -|MF| =2a ,|NF 2| -|NF| =2a ,两式相加得|MF 2| +|NF 2| -|MN| =4a =8点评：此题主要考查双曲线定义的灵活运用 . 14. 答案：3详细分析：如图 ,过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线 ,垂足分别为B 、C ,那么：15. 答案:16. 答案：三、解答题17. 详细分析： (I )由C与t相交于两个不同的点 ,故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得(1－a2 )x2 +2a2x－2a2 =0. ①双曲线的离心率(II )设由于x1 +x2都是方程①的根 ,且1－a2≠0 ,18. 详细分析:(Ⅰ)由条件得直线AP的方程(即.又因为点M到直线AP的距离为1,所以得.∵∴≤≤2,解得+1≤m≤3或- -1≤m≤1 - -.∴m的取值范围是(Ⅱ)可设双曲线方程为由得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP =45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1 .因此 , (不妨设P在第|一象限 )直线PQ方程为 .直线AP的方程y =x -1,∴解得P的坐标是 (2 + ,1 + ) ,将P点坐标代入得 ,所以所求双曲线方程为即19. (1 )设是双曲线上任意一点 ,该双曲的两条渐近线方程分别是和.点到两条渐近线的距离分别是和 ,…它们的乘积是.点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……(2 )设的坐标为 ,那么…,当时 ,的最|小值为 ,即的最|小值为. …20. 详细分析：如图 ,以接报中|心为原点O ,正东、正北方向为x轴、y轴正向 ,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点 ,那么A (－1020 ,0 ) ,B (1020 ,0 ) ,C (0 ,1020 )设P (x,y )为巨响为生点 ,由A、C同时听到巨响声 ,得|PA| =|PB| ,故P在AC的垂直平分线PO上 ,PO的方程为y =－x ,因B点比A点晚4s听到（爆|炸）声 ,故|PB|－|PA| =340×4 =1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上 ,依题意得a =680, c =1020 ,用y =－x代入上式 ,得 ,∵|PB|>|PA|,答：巨响发生在接报中|心的西偏北450距中|心处.。
双曲线 Word版含解析
课时规范练A 组 基础对点练1．(2018·新余摸底)双曲线x 2a 2－y 24a 2＝1(a ≠0)的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B.y ＝±12x C ．y ＝±4xD.y ＝±2x2．(2018·开封模拟)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C ．2D.2633．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线C 的离心率是( ) A. 5 B. 2 C ．2D.524．(2018·贵阳期末)已知双曲线C 的两个焦点F 1，F 2都在x 轴上，对称中心为原点O ，离心率为 3.若点M 在C 上，且MF 1⊥MF 2，M 到原点的距离为3，则C 的方程为( ) A.x 24－y 28＝1 B.y 24－x 28＝1 C ．x 2－y 22＝1D.y 2－x 22＝15．若双曲线C 1：x 22－y 28＝1与C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为45，则b ＝( ) A ．2 B.4 C ．6D.86．(2018·德州模拟)在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)且离心率为3的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 214－y 27＝17．(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1D.3x 25－3y 220＝18．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B.9 C ．5D.39．(2018·洛阳统考)若圆锥曲线C ：x 2＋λy 2＝1的离心率为2，则λ＝10．(2018·福州模拟)已知直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 k < 2.11．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于____.12．已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为B 组 能力提升练1．已知A ，B 分别为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3D. 22．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32 C. 3D.23．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12 B.±22 C ．±1D.±24．(2018·广州调研)在平面直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A ．1＋ 3 B. 3 C.233D.2＋ 35．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点．已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A.223 B. 2 C. 3D.26．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( )A.52B.53C.132D.1337．如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.7B.4C.233D. 38．已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是( ) A ．－38 B.316 C ．－38D.不能确定9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－2,0)，则双曲线的离心率是( ) A.5＋12B. 2C.3＋12D.3210．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加条件的共有( )①双曲线C 上的任意一点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C 的虚轴长为4；③双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合；④双曲线C 的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B.2个 C ．3个D.4个11．(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是12．(2018·郑州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点为F ，过点F 向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线C 的渐近线方程为13．(2018·湖北八校联考)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为____.14．(2016·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是____.。
双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)
双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。
下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。
练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。
2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。
3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。
因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。
2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。
当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。
当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。
3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。
双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。
因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。
(完整word版)打印双曲线基础训练题(含答案),推荐文档
双曲线基础训练题（一）1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的 曲线可能是 （ C ）5．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ B ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x6．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有 （ D ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点7．过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ）A ．28B ．22C ．14D ．128．双曲线方程为152||22=-+-ky k x ，那么k 的取值范围是 （ D ）A ．k ＞5B ．2＜k ＜5C ．－2＜k ＜2D ．－2＜k ＜2或k ＞59．双曲线的渐近线方程是y=±2x ，那么双曲线方程是（ D ）A ．x 2－4y 2=1 B ．x 2－4y 2＝1 C ．4x 2－y 2=－1 D ．4x 2－y 2=110．设P 是双曲线19222=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF（C ）A ．1或5B ． 6C ． 7D ． 911．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则双曲线的离心率e 的最大值为 （ B ）A ．43B ．53C ．2D ．7312．设c 、e 分别是双曲线的半焦距和离心率，则双曲线12222=-by a x (a>0, b>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离是 （ D ）A ．caB ．c bC ．ea D ．eb 13．双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=,22+n 则△PF 1F 2的面积为 （ B ）A ．21 B ．1 C ．2 D ．414．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ C ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[15．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =_____6416．设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB 为直径的圆恰好过F17．双曲线122=-by ax 的离心率为5，则a :b= 4或4118．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．（12分）[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19．(本题12分)已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； [解析]∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x双曲线基础练习题（二）一. 选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0),(4,0)-，则双曲线的方程是A. 221412x y -=B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=2.设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 上，长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程是A. 2222143x y -=B. 22221135x y -=C. 2222134x y -= D. 222211312x y -=3. 已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率等于A ．53B ．43C ．54D ．324. 已知双曲线22112x y n n+=-，则n = A.2- B .4 C.6 D.8-5.设1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点,若1F 、2F 、(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，那么其离心率是A.32 B. 52C. 2D. 3 6．已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线距离之比等于A C. 2 D.4 7．如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 的距离是A.B. C. D. 8.设12F F ，是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点,若其右支上存在一点P 使得1290F PF ∠=o,且12PF =,则e =A.B. 1C.D . 19. 若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是A ．3B ．5C D10. 设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为A ．221+ B ．231+ C ．21+D ．31+11. 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ABCD ．312. 设1,a >则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A ．B ．C ．(25)，D ．(213．已知双曲线()222102x y b b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，它的一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF =u u u r u u u u rgA ．12-B ．2-C ．0D ．414．双曲线22221x y a b-=的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则离心率e 的取值范围是A ．(1)，3B ．(1，3]C ．(3)∞，+D ．)+[3，∞15．设P 为双曲线22112y x -=上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，若1PF ：2PF =3：2，则12PF F ∆的面积为A ．B ．12C ．D ．2416．设1F 、2F 是双曲线2219y x -=的左、右焦点，P 为该双曲线上一点，且120PF PF =u u u r u u u u r g ，则12PF PF +=u u u r u u u u rA ．B ．CD ．二．填空题17．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程是y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为18．以1(60)F -，，2(60)F ，为焦点,离心率2e =的双曲线的方程是19．中心在原点,一个焦点是1(30)F -，20y ±=的双曲线的方程为20．过点(20)N ，且与圆2240x y x ++=外切的动圆圆心的轨迹方程是21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 22． 已知双曲线22291(0)ym x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =23．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近的夹角为3π，则双曲线的离心率为24．已知双曲线22221x y a b -=的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，OAF ∆的面积为22a ，（O 为坐标原点），则该双曲线的两条渐近线的夹角为25．过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于M N ，两点，2F 为其右焦点，则22MF NF MN+-=26． 若双曲线22221x y a b-=的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则e 取值范围是27．.P是曲线22221x y a b-=的右支上一点,F为其右焦点,M 是右准线:x l 与x 轴的交点,若60,PMF ∠=o 45PFM ∠=o ,则双曲线方程是28．过双曲线221916x y -=的右焦点F 且平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B, A 为右顶点，则FAB ∆的面积等于 三．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是x=，离心率e =（2）中心在原点，离心率e =30.已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的两个焦点为1(20)F -，，2(20)F ，，点(3P 在双曲线C 上．⑴求双曲线C 的方程； ⑵记O 为坐标原点，过点(02)Q ，的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F ，，若OEF =△S l 方程．双曲线练习题答案（二）一．选择题1．A 2. A3.A4. B 5. C6．C7．A8D9. D10. B11. B12. B13．C14．B15．B16B 二．填空题17．223144x y-=18．221927x y-=19．22145x y-=20．()22113yx x-=≥21．322．423．324．2π25．826．(11⎤⎦27．2211260x y-=28．3215二．解答题29.分别求满足下列条件的双曲线方程（1）中心在原点，一条准线方程是5x=，离心率e=2214yx-=（2）中心在原点，离心率2e=顶点到渐近线的距离为5；2214xy-=30. 已知双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的两个焦点为1(20)F-，，2(20)F，，点(3P在双曲线C上．⑴求双曲线C的方程；⑵记O为坐标原点，过点(02)Q，的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，若OEF=△S l方程．⑴解略：双曲线方程为22122x y-=．⑵解：直线:l2y kx=+，代入双曲线C的方程并整理，得22(1)460k x kx---=. ①Q直线l与双曲线C相交于不同的两点E F，，222110(4)46(1)0kkkk k≠±⎧⎧-≠⎪⎪∴⇔⎨⎨<<∆=-+⨯->⎪⎪⎩⎩，，，,(1)(11)(1k∴∈--U U，.②设1122()()E x yF x y，，，，则由①式得12241kx xk+=-，12261x xk=--，EF ∴21k -而原点O 到直线l 的距离d =1122OEFS d EF ∴=⋅==△．若OEFS =△，即422201k k k=⇔--=-，解得k =此满足②故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+双曲线基础练习题（三）一、选择题（每题5分）1．已知a=3,c=5，并且焦点在x 轴上，则双曲线的标准程是（ ）A ．116922=+y x B. 116922=-y x C. 116922=+-y x 1916.22=-y x D 2．已知,5,4==c b 并且焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．191622=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D.116922=-y x 3．.双曲线191622=-y x 上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 184．.双曲线191622=-y x 的焦点坐标是 （ ） A. （5，0）、（-5，0）B. （0，5）、（0，-5） C. （0，5）、（5，0） D.（0，-5）、（-5，0） 5、方程6)5()5(2222=++-+-y x y x 化简得：A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 6．已知实轴长是6，焦距是10的双曲线的标准方程是（ ）A ．.116922=-y x 和116922=+-y x B. 116922=-y x 和191622=+-y x C.191622=-y x 和191622=+-y x D. 1162522=-y x 和1251622=+-y x 7．过点A （1，0）和B （)1,2的双曲线标准方程（ ）A ．1222=-y x B ．122=+-y x C ．122=-y x D. 1222=+-y x8．P 为双曲线191622=-y x 上一点，A 、B 为双曲线的左右焦点，且AP 垂直PB ，则三角形PAB 的面积为（ ） A ． 9 B ． 18 C ． 24 D ． 369．双曲线191622=-y x 的顶点坐标是 （ ） A ．（4，0）、（-4，0） B ．（0，-4）、（0，4）C ．（0，3）、（0，-3） D ．（3，0）、（-3，0）10．已知双曲线21==e a ，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方程是（ ）A ．1222=-y x B ．122=-y x C ．122=+-y x D. 1222=+-y x11．双曲线191622=-y x 的的渐近线方程是（ ） A ． 034=±y x B ．043=±y x C ．0169=±y x D ．0916=±y x 12．已知双曲线的渐近线为043=±y x ，且焦距为10，则双曲线标准方程是（ ）A ．116922=-y x B. 191622=+-y x C.116922=+y x D. 191622=-y x 二、填空题（每题5分共20分）13．已知双曲线虚轴长10，焦距是16，则双曲线的标准方程是________________. 14．已知双曲线焦距是12，离心率等于2，则双曲线的标准方程是___________________.15．已知16522=++-t y t x 表示焦点在y 轴的双曲线的标准方程，t 的取值范围是___________.16.椭圆C 以双曲线122=-y x 焦点为顶点，且以双曲线的顶点作为焦点，则椭圆的标准方程是___________________三、解答题17．（本小题（10分）已知双曲线C ：191622=+-y x ，写出双曲线的实轴顶点坐标，虚轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，渐近线方程。
(完整word版)用几何画板画双曲线
用几何画板画双曲线一．双曲线的定义：1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．双曲线的标准方程:设M （x , y ）是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c 〉0）,则如图建立直角坐标系,又F 1、F 2的坐标分别是F 1（－c , 0), F 2(c , 0），若M 点与F 1、F 2两点的距离的差的绝对值等于2a （c 〉a 〉0），则 ｜|MF 1｜－｜MF 2||＝2a ,∴ay c x y c x 2)()(2222=+--++图10－1整理化简，并且设b 2＝c 2－a 2得双曲线的标准方程12222=-b y a x 。
3．双曲线的第二定义： 设动点M （x , y ）与定点F（c ， 0)的距离和它到定直线l ： x ＝c a 2的距离的比是常数a c(c 〉a 〉0）,则点M 的轨迹是双曲线.点F 是双曲线的一个焦点，直线l 是双曲线中对应于焦点F 的准线。
常数e ＝ac(e >1)是双曲线的离心率。
图10－24．双曲线的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b （a ， b 〉0）为半径作两个圆,|OA ｜＝a ， ｜OB ｜＝b , 点P 是以a 为半径的圆上的一个点,点C 是OA 与半径为bd 圆的交点，过点C 作CN ⊥Ox ,交直线OP 于N ，过点N 作OX 轴的平行线，过点P 作PR ⊥OP ,交Ox 轴于R ，过点R 作直线RM 交过点N 的x 轴的平行线于点M ，当点P 在圆上运动时，M 点的轨迹是双曲线。
设点M 的坐标是（x ， y ),φ是以Ox 为始边，OP 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|OR |＝｜OP |se c φ＝a se c φ,y ＝｜RM ｜＝|CN |＝｜OC |t g φ＝bt g φ， ∴ 双曲线的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=btg y a x sec（φ是参数）.二．双曲线的画法：画法1:图10－41．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1｜＝｜OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段AB ，使|AB ｜＝2a ，（|AB |<｜F 1F 2｜)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2,使|A 1A 2｜＝｜AB |；4．在AB 延长线上分别取C ',使｜BC '｜＝|A 1F 1|；在ABC '的延长线方向上作射线C 'C ，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'C 上作点C ;5．分别以F 1、F 2为圆心，用｜BC ｜、｜AC ｜为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|AC ｜、|BC |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点"；6．依次选中点C 、点P 1 （或点C 、点P 2 , 或点C 、点P 3, 或点C 、点P 3），用“作图”菜单中的“轨迹”功能,作出双曲线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程1．已知两圆 C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣ 4）2+y2=2，动圆 M 与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A．x=0B．C．D．2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．5、已知 P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，若| PF1 2| =17，则| PF | 的值为．二、离心率1、已知点 F 、F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，1 2若△ PF1 2F 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．2、设 F1，F2是双曲线 C：（ a＞0，b＞0）的两个焦点．若在 C上存在一点 P．使PF1 2 1 2⊥PF ，且∠ PF F =30°，则 C的离心率为．3、双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点（ a，0）和（0，b），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l 的距离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．3、焦点三角形1、设 P 是双曲线 x2﹣=1 的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点，已知 A（3，1），则 |PA|+|PF| 的最小值为．2、．已知 F1，F2分别是双曲线 3x2﹣5y2=75 的左右焦点， P 是双曲线上的一点，且∠ F1PF2 =120°，求△ F1 PF2的面积．3、已知双曲线焦点在y 轴上， F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的 2 倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F1PF2=60°，求△ PF1F2的面积．4、直线与双曲线的位置关系已知过点 P（1，1）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则直线 L 的斜率 k= ＿＿＿＿5、综合题型如图，已知椭圆x 2y221(a>b>0)的离心率为2，以该椭圆上的点和a2 b2椭圆的左、右焦点F1、F2 为顶点的三角形的周长为4( 2＋1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、B和 C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k1、k2，证明： k1·k2＝1；(3)是否存在常数λ，使得 |AB| ＋|CD| ＝λ |AB| ·|CD| 恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．高中数学双曲线经典例题参考答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．（2015 秋?洛阳校级期末）已知两圆 C 1：（x+4）2+y 2=2，C 2：（x ﹣4）2+y 2=2， 动圆 M 与两圆 C 1， 2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）C A ．x=0 B ．C ．D ．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切， 即两圆 C 1：（2 2， x+4 ）+y=2C 2：（x ﹣4）2+y 2=2，动圆 M 与两圆 C 1，C 2 都相切，∴ | MC 1| =| MC 2| ，即 M 点在线段 C 1， C 2 的垂直平分线上又 C 1，C 2 的坐标分别为（﹣ 4，0）与（ 4， 0）∴其垂直平分线为 y 轴，∴动圆圆心 M 的轨迹方程是 x=0②若一内切一外切，不妨令与圆C 1：（ x+4）2+y 2=2 内切，与圆 C 2 ：（x ﹣4）2+y 2=2外切，则有 M 到（ 4，0）的距离减到（﹣ 4， 0）的距离的差是 2，由双曲线的定义知，点 M 的轨迹是以（﹣ 4，0）与（ 4， 0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得 b 2=c 2﹣a 2=14，故此双曲线的方程为综①②知，动圆 M 的轨迹方程为应选 D ．2．（2014?齐齐哈尔三模）双曲线 的焦距为 2c ，直线 l过点（ a ，0）和（ 0，b ），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l的距离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：直线 l 的方程为+=1，即 bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（ 1，0）到直线 l 的距离，同理得到点（﹣ 1，0）到直线 l 的距离 .，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤ 5．由于 e＞1＞0，所以 e 的取值范围是．故选 D．二．填空题（共 5 小题）3．（2013 秋?城区校级期末）已知P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，若 | PF1 ，则 2 的值为33 ．| =17 | PF |【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．∵ P 是双曲线上一点，∴|| PF1| ﹣ | PF2||=2a=16，又 | PF1| =17，∴| PF2| =1 或 | PF2|=33．又 | PF2| ≥c﹣a=2，∴| PF2| =33．故答案为 334．（2008 秋?海淀区期末）已知点 F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△ PF1 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．F【解答】解：由题意，角 F1或角 F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程﹣=1此时 P（c，y），代入双曲线方程﹣=1解得 y=又三角形 PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，故得=2c，即 2ac=c2﹣a2，即e2﹣2e﹣1=0，解得 e=1故双曲线的离心率是故答案为．．（2014 秋象山县校级月考）设P是双曲线x2﹣ =1 的右支上的动点， F 为5 ?双曲线的右焦点，已知 A（3， 1），则 | PA|+| PF| 的最小值为﹣2 ．【解答】解：设双曲线左焦点为 F2，由双曲线的定义可得 | PF2﹣，即 2 ﹣，| | PF| =2a | PF| =| PF | 2a则| PA|+| PF| =| PF2|+| PA| ﹣2a≥| F2A| ﹣2a，当P、F2、A 三点共线时， | PF2|+| PA| 有最小值，此时 F2（﹣ 2，0）、 A（ 3， 1），则 | PF2 2，|+| PA| =| AF | =而对于这个双曲线， 2a=2，所以最小值为﹣ 2．故答案为：﹣2．6．（2011 秋 ?张家港市校级期末）与双曲线 有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 ．【解答】 解：设所求双曲线的方程为，∵已知双曲线的焦点为（± ，0）∴所求双曲线中的 c 2=5①∵双曲线过点∴②且 c 2=a 2+b 2③联立①②③解得 a 2=4， b 2=1，∴双曲线的方程为．故答案为：．7．（ 2013?湖南）设 F 1，F 2 是双曲线 C ： （a ＞0，b ＞0）的两个焦点．若在 C 上存在一点 P ．使 PF 1⊥ 2，且∠ 1 2 °，则 C 的离心率为．PF PF F =30【解答】 解：依题意可知∠ F 1PF 2=90°|F 1F 2| =2c ，∴ | PF 1| = | F 1F 2| = c ， | PF 2| = | F 1F 2| =c ，由双曲线定义可知 | PF 1| ﹣| PF 2| =2a=（ ﹣1）c∴ e= =．故答案为：．三．解答题（共 4 小题）8．已知 F 1，F 2 分别是双曲线 3x 2﹣5y 2 =75 的左右焦点， P 是双曲线上的一点，且∠ F 1PF 2=120°，求△ F 1PF 2 的面积．【解答】 解：由题意，双曲线 3x 2﹣ 5y2，可化为 =1=75由 余 弦 定 理 可 得160=PF 2+PF 22 ﹣ 2PF 1?PF 2cos120 °= （ PF 1 ﹣ PF 2 ）2+3PF 1 ?PF 2=100+3PF 1?PF 2，∴ PF 1?PF 2=20．△ F1PF2= PF 1 2 ° × ×=5 ． S ?PF sin120 = 20故答案为： A ．9．（2014 春?湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在 y 轴上， F 1， F 2 为其焦点，焦距为 10，焦距是实轴长的 2 倍．求：（ 1）双曲线的渐近线方程；（ 2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F 1PF 2=60°，求△ PF 1F 2 的面积．【解答】 解：（1）设双曲线方程为（ a ＞ 0， b ＞ 0），则∵焦距是实轴长的 2 倍，∴ c=2a ，∴ b== a ，∴双曲线的渐近线方程为 y=±x ；（ 2 ） 由 余 弦 定 理 可 得 4c 2=PF 1 2+PF 22 ﹣ 2PF 1?PF 2cos60 °=（ PF 1 ﹣ PF 2 ）2+PF 1?PF 2=4a 2+PF 1?PF 2，∵焦距为 10，∴ 2c=10，2a=5∴ PF 1?PF 2=75．∴ S △ F1PF2= PF 1 2°=． ?PF sin60 = ?75?10．（ 2008 秋?岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和 B （﹣ 2 ，）两点的双曲线的标准方程．【解答】解：设所求双曲线方程为： mx2﹣ ny2，（mn ＞），=1 0因为点 A（，﹣ 2）和 B（﹣ 2 ，）在双曲线上，所以可得：，解得，故所求双曲线方程为．11．（ 2009 秋?天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（ 1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；（ 2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．【解答】解：（1）焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得 a=8， c=10．∴b2=c2﹣ a2=100﹣ 64=36．所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为．（ 2）当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得 a=3，b= ．所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为．。