函数习题课

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函数习题课 4.设A={1,2,3}，f,g,h是A到A的函数，其中 f(1)=f(2)=f(3)=1；g(1)=1,g(2)=3,g(3)=2； h(1)=3,h(2)=h(3)=1，则（ g ）是单射；（ g ）是满 射；（ g ）是双射。 5.自然数集N是可数的，N×N是( 可数的 )，有理数集Q是可 数的，全体实数构成的集合R是（ 不可数的 ）。
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函数习题课 (2) 任取<p,q>R×R，由f(<x,y>)=<p,q>，通过计算可得 x=(p+q)/2，y=(p-q)/2，从而<p,q> 的像源存在，故f是 满射。 (3)由上面的证明可知，f存在逆函数， f={<x,y>,<x+y,x-y>},f-1={<x+y,x-y>, <x,y>}, 且f-1(<x,y>)=<(x+y)/2,(x-y)/2> (4) f-1 ‫ ס‬f(<x,y>)=f-1(<x+y,x-y>)=<x,y> f ‫ ס‬f(<x,y>)=f(<x+y,x-y>) =<(x+y)+(x-y),(x+y)-(x-y)>=<2x,2y>
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mn 2 6.已知集合A和B，且|A|=n,|B|=m，则从A到B有（ ） n 个不同的二元关系，从A到B有（ m ）个函数。
7.设A={a,b}，B={0,1,2}，那么可定义（ 6 ）种不同的从 A到B的单射。
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8.设A={1,2,3,4}，A上的等价关系R为： R={1,4,4,1,2,3,3,2}∪IA 自然映射f：AA/R，则f= {1,{1,4},2,{2,3},3,{2,3},4,{1,4}} 9.设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是() {<1, a >, <2, b >}，{<1, b >, <2, a >}
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一、选择题
1.函数的复合满足（ B ） A.交换律 B.结合律 C.幂等律
D.பைடு நூலகம்配律
2.若f,g是满射，则复合函数g‫ס‬f必是（ C ） A.映射 B.单射 C.满射 D.双射 3.若g‫ס‬f是满射，则（ C ） A.f必是满射 B.f必是单射 C.g必是满射 D.g必是单射 4.f:Z→Z，对任意iZ，有f(i)=i(mod 8)，则f是（ A ） A.不是双射 B.单射 C.满射 D.双射
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函数习题课 5.Z是整数集合，函数f定义为：Z→Z，f(x)=|x|-2x，则f是 （ A ）。 A.单射 B.满射 C.双射 D.非单射也非满射 6.设A={a,b,c}，B={1,2}，令f:A→B，则不同的函数的个 数为（ B ）。 A.2+3个 B.23个 C.2×3个 D.32个 7.集合{1,2,3}到{1,2}共有（ B A.2 B.6 C.9 ）个满射。 D.12
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函数习题课 8.设f：RR，f（x）=x2-1，g：RR，g（x）=x+2 1）求fog和gof 2）说明上述函数是单射、满射还是双射的？
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函数习题课 解 1）fog(x)=f（g(x))=f（x+2）=(x+2)2-1=x2+4x+3 gof(x)=g（f（x））=g（x2-1）=（x2-1）+2=x2+1 2）（a）fog不是单射的 因为fog（-（x+4））=（x+4）2-4（x+4）+3 =x2+4x+3=fog（x） 但是，除x=-2外，一般-（x+4）≠x，故此fog不是单射函数。 （b）fog不是满射的 因为fog（x）= x2+4x+3 =（x+2）2-1 ≥-1 故此ran（fog）=[-1，+∞]≠R。所以fog不是满射的。 （c）综合（a）、（b）、fog也不是双射的。
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函数习题课 （d）gof不是单射的 因为gof（-x）=（-x）2+1 =x2+1 =gof（x） 但是，除x=0外，一般-x≠x，故此gof不是单射的。 （f）gof不是满射的 因为gof（x）=x2+1≥1，故此ran（gof）=[1，+∞] ≠R。 所以gof不是满射的。 （g）综合（d），（f），gof也不是双射的。
8.f:A→B，g,h：B→C，且g‫ס‬f= h‫ס‬f，当f为（ B ）一 定能推出g=h. A.单射 B.满射 C.映射 D.不是双射
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二、填空题
1.设A={a,b,c}，B={1,2,3}，R,S,T是从A到B的关系，且 R={<a,1>,<b,2>,<c,2>},S={<a,1>,<a,2>},T={<a,1>,<b, 1>,<c,1>}，则在这3个二元关系中，（ R,T ）可定义为 A到B的函数。 2.设A={1,2,3}，R,S,T是A上的二元关系，且 R={<1,2>,<1,3>,<1,1>},S={<1,1>,<2,2>,<3,3>},T={<1, 1>,<2,3>,<3,2>}，则这3个二元关系的逆关系中，（ ） 可定义为A到A的函数。 R-1,S-1,T -1 3.f,g是函数，若g‫ס‬f是双射，则f是（ （ 满 ）射的函数。 单 ）射的，而g是
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函数习题课 2.设函数f:R×R→R×R，f定义为：f(<x,y>)=<x+y,x-y>， (1)证明f是单射； (2)证明f是满射； (3)求逆函数f-1； (4)求复合函数f-1 ‫ ס‬f和f ‫ ס‬f。 解:(1) 任取<x1,y1>,<x2,y2> R×R， 若 f(<x1,y1>)=f(<x2,y2>)， 即<x1+y1,x1-y1>=<x2+y2,x2-y2> 则x1+y1=x2+y2，x1-y1=x2-y2， 可得x1=x2,y1=y2， 从而f是单射。
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函数习题课 3.设A={2,3,4} ，B={2,4,7,10,12} ， 从A到B的关系R={<a,b> |aA，bB，且a整除b}， 试给出R的关系图和关系矩阵，并说明此关系R及其逆关系 是否为函数？为什么？
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函数习题课 解 R={<2,2>, <2,4>, <2,10>, <2,12>, <3,12>, <4,4>, <4,12>}
1 1 0 1 1 M R 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1
关系R不是A到B的函数， 因为元素2，4的象不唯一。 逆关系R-1 也不是A到B的函数 因为元素7的象不存在。
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函数习题课 4.对下列函数： (1) f:R→R，f(x)=x，S={8} (2) f:R→R+，f(x)=2x，S={1} (3) f:N→N×N，f(n)=<n,n+1>，S={<2,2>} (4) f:N→N，f(n)=2n+1，S={2,3} (5) f:Z→N，f(x)=|x|，S={0,1} (6) f:[0,1]→[0,1]，f(x)=x/2+1/4，S=[0,1/2] (7) f:R→R，f(x)=3，S=N (8) f:[0,∞]→R，f(x)=1/(1+x)，S={0,1/2} (9) f:(0,1)→(0,∞)，f(x)=1/x，S={0,1} 请作表回答如下问题(1)是单射、满射或双射的函数有哪些 (2)求给定集合S的像源(3)若f是双射，写出f-1的表达式
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三、简答题
1.设A={1,2,3}，fAA，且f(1)=f(2)=1，f(3)=2，定义 G:A→P(A)，G(x)=f -1(x)。说明G有什么性质（单射、 满射、双射），计算值域ranG.
解：根据定义可得：G(1)={1,2}，G(2)={3}，G(3)= ，G是单射，但不是满射（ P(A) 中有8个元素）。 其值域ranG={{1,2},{3}, }。
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上述问题的回答如下表
函数 f(x)=x 单、满、双 单、满、双 集合S的象源 若f为双射，f-1 {8} f(x)=x
f(x)=2x
f(n)=<n,n+1> f(n)=2n+1 f(x)=|x| f(x)=x/2+1/4 f(x)=3 f(x)=1/(1+x)
单、满、双
单 单 满 单 单
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函数习题课 6.设f:N×N→N，f(<x,y>)=x2+y2， (1)f是单射吗？ (2)f是满射吗？ (3)计算f({<0,0>，<1,2>}) 解：(1)有定义知f不是单射，因为f(<3,4>)=25=f(<0,5>)， 但是<3,4>≠<0,5> (2)f不是满射。比如，3,6,7等均没有像源。 (3)f({<0,0>，<1,2>})={02+02,12+22}={0,5}
{0}
空集 {1} {0,1,-1} [0,1/2] R {1,∞}
f(x)=log2x
f(x)=1/x
单
空集
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函数习题课 5.设f,g,h是Z到Z的函数，Z是整数集，f(z)=3z， g(z)=3z+1，h(z)=3z+2.求f‫ס‬g ， g‫ס‬h ， f ‫ס‬g‫ס‬h 解： (f‫ס‬g)(z)=f(g(z))=3(3z+1)=9z+3 ， (g‫ס‬h)(z)=g(h(z))=3(3z+2)+1=9z+7 ， (f ‫ס‬g‫ס‬h)(z)=f(g(h(z)))=3(3(3z+2)+1)=27z+21