椭圆和双曲线综合
椭圆和双曲线综合练习卷
1. 设椭圆122
22=+n
y m x ，
双曲线122
22=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则（ ） A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】B
m n m e 2
21-=
，
m
n m e 2
22+=
，所以1144
2
4421<-=-=m n m n m e e ，故选B.
2. 已知双曲线:C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂
线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为（ ）
A
．
D
【答案】C 设H 在渐近线b y x a =-上，直线FH 方程为()a y x c b =+，由()b y x a
a y x c
b ?=-????=+??，得
2
a x c ab
y c ?=-???
?=??
，即2(,)a ab H c c -，由3FP FH =，得233(2,)a ab P c c c -+，因为P 在双曲线上，所以
2222222
(23)91c a a a c c
--=，化简得22
413c a =
，2c e a ==．故选C ． 3. 已知0,>b a ，若圆2
2
2
b y x =+与双曲线122
22=-b
y a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围
是（ ）
A ．),2[+∞
B ．]2,1(
C ．)3,1(
D ．)2,2(
【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当a b ≥，即
1≥a
b
时，圆222b y x =+与双曲线
12
2
22=-b y a x
有公共点，则离心率
c e a ==≥A ． 4. P 为双曲线13
2
2
=-y x 的渐近线位于第一象限上的一点，若点P 到该双曲线左焦点的距离为32，则点P 到其右焦点的距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】A 由题意，知1a =
，b =
2c =
，渐近线方程为y =
，所以不妨令
()(0)P a a >
，则有222(2))a ++=，解得1a =
，所以P ，所以点P 到其
2=，故选A ．
5. 设21F F 、分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22
2112211
:1(0,0)x y C a b a b -=>>的公共焦
点，它们在第一象限内交于点M ，?=∠9021MF F ，若椭圆的离心率3
=
4
e ，则双曲线2C 的离心率1e 的取值为（ ）
A.
92
B.2
C.32
D.5
4
【答案】B 由椭圆与双曲线的定理，可知121212,2MF MF a MF MF a +=-=，所以
11MF a a =+，21MF a a =-，
因为?=∠9021MF F ，所以22
2124MF MF c +=，即222
12a a c +=，即2
211
1()(
)2e
e +=，因为3
4
a =
，所以12e =B ．
6.
若圆2
2
((1)3x y +-=与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线相切，则此双曲线
的离心率为（ ）
A
．
3 B
．2
C ．2 D
【答案】A
由题意得
||23a c a c b e c a =?=?=?==，选A.
7. 已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F ，
若以12,A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为（ ）
A
．3
D
【答案】C 直线12B F 方程为1x y
c b +=，即0bx cy bc +-=
a =，变形为
42310e e -+=，∵1e >
，∴2e =
，e =．故选C ． 8. 已知双曲线2
2:13x C y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，且点P 的横坐标为2，则1PF Q ?的周长为（ ）
A
．
．
3 C
．
．3
【答案】D 易知2(2,0)F ，所以PQ x ⊥
轴，a e ==
=
，222233PF QF e a ==-=?
=
，又12233
PF PF a =+=+=，所以1ΔPF Q
周长为2(
333
+=． 9. 若点F 1、F 2分别为椭圆C :22
143
x y +=的左、右焦点,点P 为椭圆C 上的动点,则△PF 1F 2的重心G
的轨迹方程为（ ）
A ．
22103627x y (y )+=≠ B ．2
24109x y (y )+=≠ C ．2243109x y (y )+=≠ D ．22
4103
y x (y )+=≠ 【答案】C
10. 过双曲线12
2
2
=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线
l 有（ ）
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．无数条 【答案】B ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，
当直线与实轴垂直时，有2
312
y -=，∴2y =±，∴直线AB 的长度是4， 综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选B ．
11. 在区间[]1,5和[]2,6内分别取一个数，记为a 和b ，则方程22
221()x y a b a b -=<
表示离心率小于
）
A ．
12 B ．1532 C ．1732 D ．31
32
【答案】B 因为方程22
221()x y a b a b
-=<
2,0,2a b b a a b <∴>∴>>>.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程
22
22
1()x y a b a b -=<
S P S =
阴影距形
11
444233
15224432
?-??-??==
?,故选B.
12. 已知双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使
21
12
sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F ?的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．3-
D ．2-
【答案】B 由双曲线方程2
2
13
y x -=得1,2a c ==，由双曲线定义得212PF PF -=，因为21
12sin sin PF F e PF F ∠=∠，所以由正弦定理得12
2PF PF =，可解得124,2PF PF ==，由知124F F =，根据
余弦定理可知211cos 4PF F ∠=
，22112211
cos 4224
F P F F PF PF PF F ?=∠=??=，故选B. 13. 已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2
214
x y +=上的动点，且0MA MB ?=，则MA BA
?的取值范围是（ ）
A ．2[,1]3
B ．[1,9]
C ．2[,9]3
D ．3
【答案】C 设1122(,),(,)A x y B x y ，则
11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--，由题意有1212(1)(1)0MA MB x x y y ?=--+=，所以
21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y ?=--+-=---+-
[]22221111212111111
(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+
2211113342
22(),[2,2]4433
x x x x =
-+=-+∈- 所以，当2x =-时，MA BA ?有最大值9，当43x =
时，MA BA ?有最小值2
3
，故选C. 14. 椭圆22
:143
x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是
[]
--,那么直线
2,1
PA斜率的取值范围是（）
1
A．
13
24
??
??
??
，B．
33
84
??
??
??
，C．
1
1
2
??
??
??
，D．
3
1
4
??
??
??
，
【答案】B
15. 已知
2
1
,F
F分别是双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
的左、右焦点,过
1
F且垂直于x轴的直线与双曲线交于
B
A,两点,若
2
ABF
?是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（）
A．??
?
?
?
?
+
2
2
1,1 B．??
?
?
?
?
+∞
+,
2
2
1 C．()2
1,1+ D．()+∞
+,2
1
答案：C
16. 过双曲线
2
21
15
y
x-=的右支上一点P，分别向圆()22
1
:44
C x y
++=和圆
()22
2
:41
C x y
-+=作切线，切点分别为,
M N，则22
PM PN
-的最小值为（）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【解析】如图所示，根据切线，可有
2222
12
41
PM PN PO PO
-=--+()()()
121212
323
PO PO PO PO PO PO
=+--=+-
，
1212
8
PO PO OO
+≥=，所以22
PM PN
-最小值为15.
17. 过点(1,1)
P作直线与双曲线
2
21
2
y
x-=交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）
A ．存在一条,且方程为210x y --=
B ．存在无数条
C ．存在两条,方程为()210x y ±+=
D ．不存在
答案：D
18. 已知双曲线()00122
22>>=-b a b
y a x ，
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 【答案】[2，＋∞)
19. 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲
线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设11||4||=4m AF BF =，则2222222||||||2||||cos6013BF AF AB AF AB m =+-=
，所以
212,24,a BF BF m c m e =-=-==
=
20. 已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，,A B 是圆
()
2
224x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为
______________．
【答案】
34+ 【解析】由双曲线定义得
2222,22AF a c BF c a
=+=-，因为
12//F A F B
，所以
2112cos cos F F A F F B
∠=-∠，再利用余弦定理得
22222244(22)4(22)424422(22)c c a c c c a c c c c c a +-++--=-????-
，化简得22310,1e e e e --=>?=
21. 已知双曲线2
2
13
y x -=的左右焦点分别为12F 、F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为(23)-，，则1||||PQ PF +的最小值为__________.
【答案】7
【解析】由双曲线定义可知2||||21+=PF PF ，故1||||PQ PF +2||||21++=PF PQ ，可知当2,,F P Q 三点共线时，1||||PQ PF +最小，且最小值为7252||2=+=+QF .
22. 如图，已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ，点F 为双
曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,126ππα??
∈????
,则该双曲线离心率e 的取值范围为 ．
【答案】2,31????
【解析】设1F 是左焦点，由对称性得1AF BF =，设1AF BF =x =，AF y =，则2x y a -=，又OA OB OF c ===，因为AF BF ⊥，2
2
2
2
(2)4x y c c +==，又2
2
()(2)x y a -=，则
222()xy c a =-．
又2ABF
OAF S S ??=，2112(sin 2)22
xy c α=?，∴222
sin 2c a c α-=，22211sin 2c e a α==-，再由
ππα??∈??
??，得22
1)]
e∈，即1]
e∈．
, 126
23. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线
221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为5
4
的点的轨迹方程为
221169x y -=． 其中真命题的序号为 _______ 【答案】②③
【解析】①中需要对k 的取值范围加以限定；②中有公式可知两个曲线的焦点分别是(34,0)；
③中方程的两个根分别是2和
12；④中直线的方程应该是16
5
x ；故答案为②③. 24. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点
为M ，若022
≥+?，则该椭圆离心率的取值范围为 【答案】]13,0(-
25. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22
194
x y +=相交于A ．B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB
所在直线的方程为 ． 【答案】013-94=+y x
【解析】设),(),,(2221y x B x x A ，分别代入椭圆22
194x y +=的方程中，可得：,14
92
121=+y x ①
,1492
222=+y
x ②，由①-②可得，4
)((9))((21212121）y y y y x x x x -+-=-+，因为点M 是弦AB
的中点，∴2,22121=+=+y y x x ，∴
9
4
2121-=--x x y y =k ，又因为直线过点M （1,1），所以直线
AB 的方程为
)19
4
1--=-x y （，即013-94=+y x .
26. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B
两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. （1）求椭圆C 的焦距；
（2）如果AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆C 的方程． 解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0)
∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2
＝23c
2＝3c ＝23 ∴c ＝2 ∴椭圆C 的焦距为4
(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)
?????
y ＝3(x －2)
x 2a 2＋y 2
b
2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2
－4)＝0
由韦达定理可得???
??
y 1＋y 2＝43b
2
3a ＋b
2 ①
y 1
，y 2
＝－3b 2
(a 2
－4)
3a 2
＋b
2
②
∵AF →＝2F 2
B →
∴－y 1
＝2y 2
，代入①②得???
??
－y 2＝－43b
2
3a 2＋b
2 ③
－2y 2
2
＝－3b 2
(a 2
－4)
3a 2
＋b
2
④
③2
④得12＝48b 4
(3a 2＋b 2)2·3a 2
＋b 2
3b 2(a 2－4)＝16b 2
(3a 2＋b 2)(a －4) ⑤ 又a 2
＝b 2
＋4 ⑥
由⑤⑥解得a 2
＝9 b 2
＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1
27. 已知双曲线C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e =
虚轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线
C 的左顶点
D ,求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标.
【答案】（1）2214x y -=（2）10,03??- ???
试题解析：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,由已知得5
,22,c b a =
=又2
2
2
a b c +=,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2
214
x y -=.
（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立22
14
y kx m x y =+??
?-=??,得()()222148410k x mkx m ---+=,有
()()()2222122
2122641614108014410
14m k k m mk
x x k m x x k ?
??=+-+>??+=
?-+?=>-?
,()()()22
2
2
121212122
414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线
C 的左顶点()2,0
D -,1AD BD k k ∴=-,即
()()2
2212121212222
12414161,240,4022141414m y y m k mk
y y x x x x x x k k k -+-=-∴++++=∴+++=++---,
22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103
k
m =
.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103k m =
时,l 的方程为103y k x ??=+ ???,直线过定点10,03??
- ???
,经
检验符合已知条件,所以直线l 过定点,定点坐标为10,03??
-
???
. 28. 已知椭圆x 2
2＋y 2
＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
椭圆与双曲线综合练习题(培优专题练习)
椭圆与双曲线综合练习题 1.已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为( ) A ． B ． － C ． D ． － 2. 若点P 为共焦点的椭圆1C 和双曲线2C 的一个交点,1F 、2F 分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为1e ，双曲线离心率为2e ，若021=?PF PF , ） A.4 B. 3 C. 2 D. 1 4.已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ． (0，] B ． (0，] C ． [，1) D ． [，1) 5.已知为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0) 的右焦点为F ，椭圆C 与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B (0,2)，且·＝4＋4，则椭圆C 的方程为( )A ．＋＝1 B ．＋＝1 C ．＋＝1 D ．＋＝1 7.过椭圆C ：＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若 ＝λ1，＝λ2，则λ1＋λ2等于( )A ． 10 B ． 5 C ． －5 D ． －10 8. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0 B ．3x ＋5y ＝0 C ．5x ±4y ＝0 D ．4x ±3y ＝0 9.设定点F 1(0，－3)、F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋(a >0)，则点P 的轨迹是( ) A ． 椭圆 B ． 线段 C ． 不存在 D ． 椭圆或线段 10.已知F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆上的点，I 是△F 1PF 2内切圆的圆心，直线PI 交x 轴于点M ，则|PI |∶|IM |的值为( ) A ． B ． C ． D ． 11.已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个
双曲线练习题含答案
双曲线及其标准方程习题 一、 单选题(每道小题 4分 共 56分 ) 1. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 距离之差│|PA|?|PB|│=2a(a ?0)；命题乙； P 点轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的 [ ] A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2. 3. 4. 5. 如果方程x 2 sin ??y 2cos ?=1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么角?的终边在 [ ] A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 6. 7. 若a ·b ?0，则ax 2 ?ay 2 =b 所表示的曲线是 [ ] A ．双曲线且焦点在x 轴上 B ．双曲线且焦点在y 轴上 C ．双曲线且焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上 D ．椭圆 8. 9. 10. 11. 12. 13. 已知ab ?0，方程y=?2x ?b 和bx 2 ?ay 2 =ab 表示的曲线只可能是图中的 [ ] 14. 二、 填空题(每道小题 4分 共 8分 ) 1. 2. 双曲线的标准方程及其简单的几何性质 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ， 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆双曲线典型例题整理
椭圆典型题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝ 2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 2．已知椭圆的两个焦点为 F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
五、求椭圆的离心率问题。 例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 例已知椭圆 19 8 2 2 y k x 的离心率2 1e ，求k 的值． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。 2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2 25 ＝1(a >5)，它的两焦点分别是 F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦 AB 过点F 1，求△ABF 2的周长． 3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2 4 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求 △PF 1F 2的面积．
椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分） 1. 椭圆22 1259 x y +=的焦距为。 （ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 8 2．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ） A ． 221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 22 1610x y -= 3．双曲线22 134 x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A C. 185 D 165 4.椭圆22 143 x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 4 5．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。 （ ） A ． 22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ? ∠=且 123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ） A ． 2 B. 2 C. 2 7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2 ＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2 ＝±4 B ．y 2 ＝±8x C ．y 2 ＝4x D ．y 2 ＝8x 8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线 l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 9．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2 ＝4x 上一动点P 到直线
高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解
【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、（2009湖北高考）已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3
椭圆和双曲线练习题及答案.docx
圆锥曲线测试题 一、选择题（共12题，每题5分） 2 2 1已知椭圆二11（a 5）的两个焦点为F I、F2 ,且∣F1F2∣=8 ,弦 a 25 AB过点F i ,则△ ABF2的周长为（） （A）10 （B）20 （C） 2 -41（D） 4 41 2 2 2椭圆丄丄J上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 100 36 到它的右焦点的距离是（） （A）15 （B）12 （C）10 （D） 8 2 2 3椭圆—y 1的焦点F1、F2 ,P为椭圆上的一点，已知PF^ PF2， 25 9 则厶F1PF2的面积为（） （A）9 （B）12 （C）10 （D）8 4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（） （A）X2-y2=2 （B）y2-x2=2 （C）X2- y2= 4 或y2 _ X2= 4 （D）X2 -y2 = 2或y2 -X2 = 2 2 2 5双曲线--y 1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P 16 9 点到左准线的距离为（） （A） 6 （B）8 （C）10 （D）12 6过双曲线X2—y2 =8的右焦点F2有一条弦PQ ∣PQ∣=7,F 1是左焦点，那么△ F1PQ的周长为（） （A）28 （B）14-8、2 （C）14 8 2 （D）8 2 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2, ?F1MF2 =120 , 则双曲线的离心率为（） （A）3（B）兰（C）H （D）三 2 3 3 2
8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为,2 ,焦点到相应准线的距离为1 ,则该双曲线的离心率为（）
(A) — ( B) 2 ( C) 2 ( D) 2 2 2 2 2 9如果椭圆2L L "的弦被点(4 , 2)平分，则这条弦所在的直 36 9 线方程是( ) (A ) X — 2y =O ( B ) X 2y — 4 =0 ( C ) 2x 3y - 12 =0 ( D ) x 2y — 8 = 0 那么点P 到y 轴的距离是（ ） π :(0,2)， π (0,—] 4 2 3 y 2 =1 a 0,b 0的右焦点为F ,过F 且斜率为 (A) (B)竽 (C) 2」6 (D) 2 3 1 1 中心在原点，焦点在 y 轴的椭圆方程是 2 2 X Sin l " y cos ： -1 ， 则C 的离心率为（ )w.w.w.k.s.5.u.c.o. m A 、6 B 、 7 C 、5 D 、 5 5 8 9 5 二 _ 填空题（20 ) ■3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 10 2 如果双曲线- 4 2 y 2 =1上一点P 到双曲线右焦点的距离是 2, A. π (0,—) 4 B D. [J) 4 2 12 已知双曲线 (Z,F ) 则 (
椭圆和双曲线综合
椭圆和双曲线综合练习卷 1. 其中）的离心率分别为 ，则（ ） A ． B ． C ． D ．与1大小不确定 【答案】 B. 2. 的左焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂 线，垂足为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【答案】C 设上，直线 ，由，因为在双曲线上，所以，化简得 C ． 3. 已知，若圆与双曲线（ ） A B C D 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当时，圆与双曲线 A ． 4. 为双曲线的渐近线位于第一象限上的一点，若点到该双曲线左焦点的距离为，则点到其右焦点的距离为（ ） 0>>n m 12e ,e 121e ,e >121e ,e <121e ,e =12e ,e B F F C H P 3FP FH =u u u r u u u r H FH 3FP FH =u u u r u u u r P 22 413c a =0,>b a 2 2 2 b y x =+a b ≥222b y x =+P P P
A． B C D． 【答案】A 由题意，知 ，，渐近线方程为 ，解得，所以点到其 A． 5. 设 点，它们在第一象限交于点，， 则双曲线的离心率 的取值为（ ） 【答案】B 因为， 即， B． 6. 的离心率为（） A B C． 2 D 【答案】A A. 7. 的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆切于菱形，则双曲线的离心率为（） A B C D 【答案】C 直线方程为，即，由题意 ，∵， C． 21 1 a=2 c= 1 a=P 2 1 F F、 M? = ∠90 2 1 MF F 2 C1e ? = ∠90 2 1 MF F222 1 2 a a c += 12 , A A 12 , B B 12 , F F 12 , A A 1122 F B F B 12 B F0 bx cy bc +-= 42 310 e e -+=1 e>
选修1_1_椭圆和双曲线测试题(含答案)
区一中椭圆、双曲线测试题 、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.） 1、下列说法中正确的是（） A、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B、“a”与“ a c b c ”不等价 2 2 2 2 C、“a2?b2=O,则a,b全为0 ”的逆否命题是若a, b全不为0,则a2 b-- 0 ” D、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 2、已知M （—2, 0）, N （2, 0）, |PM| —|PN|=4 ,则动点P 的轨迹是：（） A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 3、已知椭圆 2 2 —1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 25 16 3 ,则P到另一焦点距离为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4、双曲线: 2 2 y 1 x 1 的渐近线方程和离心率分别是 1 厂 3匕心3 D. 5、已知椭圆的中心在原点,焦点在X轴上，且长轴长为12 , 离心率为-,则椭圆的方程 3 2 2 A x y “A. + =1 2 B.Z 36 2 + L=1 20 2 x C. + 2 32 2 2 x y “ D. + =1 32 36
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.） 11 .椭圆x 2 +4y 2 =4的离心率为 ______________ 12 .双曲线的两焦点分别为 F 1（￡,0）, F 2（3,0）,若a=2,则b= _________ 2 2 2 2 13 .对于椭圆 — —=1和双曲线 —=1有下列命题: 16 9 7 9 ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点 ; ③双曲线与椭圆共焦点； ④椭圆与双曲线有两个顶点相同 其中正确命题的序号是 _______________ . 2 2 k 3是方程— L 3 —k k —1 =1表示双曲线的（）条件。 A.充分但不必要 B 充要 C.必要但不充分 D.既不充分也不必要 2 2 7、椭圆x - my =1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ 1 B.- 2 x 2 y 2 & 如图：已知椭圆—+ ；= 1(a >b >0)的焦点分别为 F 1、F ?, b = C . 2 4,离心率为 3 .过F 1的直线交椭圆于 A 、B 两点，则厶ABF 2的周长 5 A . 10 B . 12 C . 16 D . 20 F 1PF 2的面积是（ X 2 v y ) =1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PR PF 2=0,则 A.1 c.、.3 D.2 2 2 10 .双曲线一2 2 a b （a 0 , b 0）的左、右焦点分别是 F , F 2 ,过F 1作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于 M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 （） A . .6 .3 C. .. 2
椭圆和双曲线综合
椭圆和双曲线综合练习卷 1. 设椭圆122 22=+n y m x ， 双曲线122 22=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则（ ） A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】B m n m e 2 21-= ， m n m e 2 22+= ，所以1144 2 4421<-=-=m n m n m e e ，故选B. 2. 已知双曲线:C 22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂 线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为（ ） A ． D 【答案】C 设H 在渐近线b y x a =-上，直线FH 方程为()a y x c b =+，由()b y x a a y x c b ?=-????=+??，得 2 a x c ab y c ?=-??? ?=?? ，即2(,)a ab H c c -，由3FP FH =，得233(2,)a ab P c c c -+，因为P 在双曲线上，所以 2222222 (23)91c a a a c c --=，化简得22 413c a = ，2c e a ==．故选C ． 3. 已知0,>b a ，若圆2 2 2 b y x =+与双曲线122 22=-b y a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围 是（ ） A ．),2[+∞ B ．]2,1( C ．)3,1( D ．)2,2( 【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当a b ≥，即 1≥a b 时，圆222b y x =+与双曲线
椭圆与双曲线的经典结论
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相对应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
椭圆和双曲线练习题及答案
圆锥曲线测试题 一、选择题（ 共12题，每题5分 ） 1已知椭圆1252 22=+y a x )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦 AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） （A ）10 （B ）20 （C ）241（D ）414 2 椭圆 136 1002 2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）8 3椭圆19 252 2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥， 则△21PF F 的面积为（ ） （A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）8 4以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ） （A ）222=-y x （B ）222=-x y （C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y 5 双曲线19 162 2=-y x 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 6过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（ ） （A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）28 7双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2， ?=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（ ） （A ） 3（B ） 2 6（C ） 3 6（D ） 3 3 8在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2 1，则该双曲线的离心率为( )
椭圆和双曲线练习题及答案解析
第二章 圆锥曲线与方程 一、选择题 1．设P 是椭圆x 225＋y 2 16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D. 2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边 上，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．6 C ．4 3 D ．12 解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3. 3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的． 这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件． 综上，甲是乙的必要不充分条件． 4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6 ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，－2) C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D ．(－6，－2)∪(3，＋∞) 解析：选D 由a 2 ＞a ＋6＞0，得????? a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以??? a ＜－2或a ＞3，a ＞－6， ，所以a ＞3或－6＜a ＜－2. 5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 2 48＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得 a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 2 12 ＝1.
双曲线练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双 曲线方程为（ B ） A ．x 2 ﹣y 2 =1 B ．x 2 ﹣y 2 =2 C ．x 2 ﹣y 2 = D ．x 2﹣y 2 = 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2 2 a x －22 b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1， ） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直 线l 的距离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x +=的左焦点为圆心、半径为 165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54 B ．53 C ． 43 D ．65 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 221(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐13 ，则m 等于( D ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,3
椭圆、双曲线测试题(含答案)
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.1 2 C ．2 D ．4 A [由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝1 4 .] 2．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 2 4＝1 B.x 24－y 2 ＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2 ＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y 2＝±x ，所以双 曲线的标准方程可以为x 2 －y 24＝1? ?? ??或y 24－x 2 ＝1，舍去. 法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±1 2x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x .故选A. 【答案】 A 3．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54
C.43 D.53 【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝4 3， ∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2 ，∴c 2－a 2a 2＝169， 即e 2 －1＝169，∴e 2 ＝259，∴e ＝53. 【答案】 D 4．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|P A |＋|PB |是定值”，命题乙是“点 P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 B [点P 在线段AB 上时|PA |＋|PB |是定值，但点P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.] 5．已知动圆E 与圆A ：(x ＋4)2 ＋y 2 ＝2外切，与圆B ：(x －4)2 ＋y 2 ＝2内切，则动圆圆心E 的轨迹方程是( ) A ．x 22－y 214＝1(x ≥2). B. x 22－y 2 14＝1(x ≤-2). C ．x 22－y 214＝1 D. y 214－x 2 2＝1(x ≤-2). 【解析】x 22－y 2 14＝1(x ≥2). 6.设椭圆x 2m 2＋y 2 m 2－1 ＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1， 则椭圆的离心率为( ) A.22 B.12 C.2－12 D.3 4 B [2a ＝3＋1＝4.∴a ＝2， 又∵c ＝m 2－(m 2－1)＝1， ∴离心率e ＝c a ＝1 2 .] 7．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2 ＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
椭圆和双曲线练习题及复习资料解析
第二章圆锥曲线与方程 一、选择题 1 .设P是椭圆+= 1上的点，若F l ,F2是椭圆的两个焦点，则1| + 2|等于（） A. 4 B . 5 C . 8 D. 10 解析：选D根据椭圆的定义知，1| + 2| = 2a= 2X 5= 10，故选D. 2. 已知△的顶点B, C在椭圆+ y2= 1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长是（） A. 2 B . 6 C . 4 D . 12 解析：选C由于△的周长与焦点有关，设另一焦点为F,利用椭圆的定义， + = 2,+= 2,便可求得△的周长为 4. 3. 命题甲：动点P到两定点A, B的距离之和+ = 2a（a>0,常数）；命题乙： P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的（） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既 不充分又不必要条件 解析：选B利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆，则+= 2a（a>0,常数），故甲是乙的必要条件. 反过来，若+= 2a（a>0,常数）是不能推出P点轨迹是椭圆的. 这是因为：仅当2a>时，P点轨迹才是椭圆；而当2a=时，P点轨迹是线段； 当2a v时，P点无轨迹，故甲不是乙的充分条件. 综上，甲是乙的必要不充分条件. 4 .如果方程+= 1表示焦点在x轴上的椭圆，贝V实数a的取值范围是（ ）
A. （3 ,+^）B . （—8,—2） C . （—8,—2）U （3 , +^）D .（- 6,—2）U （3 , +8） 解析：选D由a2>a+ 6>0，得错误！所以错误！，所以a>3或—6v a v — 2. 5.已知P为椭圆C上一点，F1, F2为椭圆的焦点，且1F2I = 2,若1|与2|的 等差中项为1F2I，则椭圆C的标准方程为() + = 1 +=1或+=1 +=1 +=1或+=1 解析：选B 由已知2c =冋=2,得c =. 由2a= 1| + 2| = 2店2| = 4,得a = 2. b2= a2- c2= 9. 故椭圆C的标准方程是+= 1或+= 1. 6．椭圆以两条坐标轴为对称轴, 一个顶点是(0,13) ,另一个顶点是(-10,0) , 则焦点坐标为( ) A．(±13,0) B．(0,±10) C ．(0,±13) D．(0 ,±) 解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a= 13, b= 10,则c= = ,故焦点坐标为(0，±)． 7.已知椭圆C:+= 1(a>b>0)的左、右焦点为F1, F2,离心率为，过F2 的直线I交C 于A, B两点.若△ 1B的周长为4,则C的方程为() 2 +=1 +y2=1 += 1 +=1 解析：选 A 由椭圆的性质知, 1| +2|=2a, 1| +2| =2a, 又1B的周长=1| + 2| + 1| + 2| = 4,. a=. 又e=,. c = 1. .b2= a2-c2= 2，.椭圆的方程为+= 1. 8．已知椭圆+= 1 与椭圆+= 1 有相同的长轴,椭圆+= 1 的短轴长与椭圆 += 1 的短轴长相等,则( ) 2 2 2 2
椭圆双曲线抛物线综合测试题
椭圆、双曲线、抛物线综合测试题 一 选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1设双曲线22 12 y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ). D 2椭圆22 1167 x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为（ ） A 32 B 16 C 8 D 4 3 两个正数a 、b 的等差中项是5 2 ，，则椭圆22221x y a b +=的离 心率为（ ） A 4设1F 、2F 是双曲线2 2 124 y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 31||PF =42||PF ， 则12PF F ?的面积为（ ） A B 5 P 是双曲线22 916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和 22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 6已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则 ||||PA PM +的最小值为（ ）
1 2 1 2 7 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双 曲线的离心率为（ ） D 2 9抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（ ） A 35,24?? ??? B (1,1) C 39,24 ?? ??? D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b c a +的取值范围（ ） A (1,)+∞ B )+∞ C D 11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（ ） 12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（ ） A 12 a B 12 p C 112 2a p + D 12a －12 p 二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题 B C D A
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结 （一）椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a
（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 3.双曲线的性质 （1）焦点在x轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越 准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点) （3）焦点在y轴上的双曲线 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 实半轴的长虚半轴的长焦距