椭圆和双曲线综合

椭圆和双曲线综合练习卷1. 设椭圆12222=+ny m x ，双曲线12222=-n y m x ，（其中0>>n m ）的离心率分别为12e ,e ，则（ ） A ．121e ,e > B ．121e ,e < C ．121e ,e = D ．12e ,e 与1大小不确定 【答案】Bm n m e 221-=，mn m e 222+=，所以114424421<-=-=m n m n m e e ，故选B.2. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且3FP FH =，则双曲线的离心率为（ ）A．D【答案】C 设H 在渐近线b y x a =-上，直线FH 方程为()a y x c b =+，由()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab H c c -，由3FP FH =，得233(2,)a ab P c c c -+，因为P 在双曲线上，所以2222222(23)91c a a a c c--=，化简得22413c a =，2c e a ==．故选C ． 3. 已知0,>b a ，若圆222b y x =+与双曲线12222=-by a x 有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,1(C ．)3,1(D ．)2,2(【答案】A 由圆及双曲线的对称性可知，当a b ≥，即1≥ab时，圆222b y x =+与双曲线12222=-b y a x有公共点，则离心率c e a ==≥A ． 4. P 为双曲线1322=-y x 的渐近线位于第一象限上的一点，若点P 到该双曲线左焦点的距离为32，则点P 到其右焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．1 【答案】A 由题意，知1a =，b =2c =，渐近线方程为y =，所以不妨令()(0)P a a >，则有222(2))a ++=，解得1a =，所以P ，所以点P 到其2=，故选A ．5. 设21F F 、分别为椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，︒=∠9021MF F ，若椭圆的离心率3=4e ，则双曲线2C 的离心率1e 的取值为（ ）A.92B.2C.32D.54【答案】B 由椭圆与双曲线的定理，可知121212,2MF MF a MF MF a +=-=，所以11MF a a =+，21MF a a =-，因为︒=∠9021MF F ，所以222124MF MF c +=，即22212a a c +=，即22111()()2ee +=，因为34a =，所以12e =B ．6.若圆22((1)3x y +-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C ．2 D【答案】A由题意得||23a c a c b e c a =⇒=⇒=⇒==，选A.7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F ，若以12,A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率为（ ）A．3D【答案】C 直线12B F 方程为1x yc b +=，即0bx cy bc +-=a =，变形为42310e e -+=，∵1e >，∴2e =，e =．故选C ． 8. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，且点P 的横坐标为2，则1PF Q ∆的周长为（ ）A．．3 C．．3【答案】D 易知2(2,0)F ，所以PQ x ⊥轴，a e ===，222233PF QF e a ==-=⨯=，又12233PF PF a =+=+=，所以1ΔPF Q周长为2(333+=． 9. 若点F 1、F 2分别为椭圆C :22143x y +=的左、右焦点,点P 为椭圆C 上的动点,则△PF 1F 2的重心G的轨迹方程为（ ）A ．22103627x y (y )+=≠ B ．224109x y (y )+=≠ C ．2243109x y (y )+=≠ D ．224103y x (y )+=≠ 【答案】C10. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．无数条 【答案】B ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有2312y -=，∴2y =±，∴直线AB 的长度是4， 综上可知有三条直线满足|AB|=4，故选B ．11. 在区间[]1,5和[]2,6内分别取一个数，记为a 和b ，则方程22221()x y a b a b -=<表示离心率小于）A ．12 B ．1532 C ．1732 D ．3132【答案】B 因为方程22221()x y a b a b-=<2,0,2a b b a a b <∴>∴>>>.它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程22221()x y a b a b -=<S P S =阴影距形1144423315224432⨯-⨯⨯-⨯⨯==⨯,故选B.12. 已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，则221F P F F ⋅的值为（ ）A ．3B ．2C ．3-D ．2-【答案】B 由双曲线方程2213y x -=得1,2a c ==，由双曲线定义得212PF PF -=，因为2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，所以由正弦定理得122PF PF =，可解得124,2PF PF ==，由知124F F =，根据余弦定理可知211cos 4PF F ∠=，22112211cos 4224F P F F PF PF PF F ⋅=∠=⨯⨯=，故选B. 13. 已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB •=，则MA BA•的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ．3【答案】C 设1122(,),(,)A x y B x y ，则11221212(1,),(1,),(,)MA x y MB x y BA x x y y =-=-=--，由题意有1212(1)(1)0MA MB x x y y •=--+=，所以21121121112112(1)()()(1)(1)MA BA x x x y y y x x x x y y y •=--+-=---+-[]22221111212111111(1)(1)(1)114x x y x x y y x x x x x =-+---++-=-+--+221111334222(),[2,2]4433x x x x =-+=-+∈- 所以，当2x =-时，MA BA •有最大值9，当43x =时，MA BA •有最小值23，故选C. 14. 椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]--,那么直线2,1PA斜率的取值范围是（）1A．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B15. 已知21,FF分别是双曲线12222=-byax的左、右焦点,过1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于BA,两点,若2ABF∆是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（）A．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+221,1 B．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞+,221 C．()21,1+ D．()+∞+,21答案：C16. 过双曲线22115yx-=的右支上一点P，分别向圆()221:44C x y++=和圆()222:41C x y-+=作切线，切点分别为,M N，则22PM PN-的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【答案】B【解析】如图所示，根据切线，可有22221241PM PN PO PO-=--+()()()121212323PO PO PO PO PO PO=+--=+-，12128PO PO OO+≥=，所以22PM PN-最小值为15.17. 过点(1,1)P作直线与双曲线2212yx-=交于A，B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A ．存在一条,且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条,方程为()210x y ±+=D ．不存在答案：D18. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 【答案】[2，＋∞)19. 已知双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率为 ．【答案】【解析】设11||4||=4m AF BF =，则2222222||||||2||||cos6013BF AF AB AF AB m =+-=，所以212,24,a BF BF m c m e =-=-===20. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，,A B 是圆()2224x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为______________．【答案】34+ 【解析】由双曲线定义得2222,22AF a c BF c a=+=-，因为12//F A F B，所以2112cos cos F F A F F B∠=-∠，再利用余弦定理得22222244(22)4(22)424422(22)c c a c c c a c c c c c a +-++--=-⨯⨯⨯⨯-，化简得22310,1e e e e --=>⇒=21. 已知双曲线2213y x -=的左右焦点分别为12F 、F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为(23)-，，则1||||PQ PF +的最小值为__________.【答案】7【解析】由双曲线定义可知2||||21+=PF PF ，故1||||PQ PF +2||||21++=PF PQ ，可知当2,,F P Q 三点共线时，1||||PQ PF +最小，且最小值为7252||2=+=+QF .22. 如图，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该双曲线离心率e 的取值范围为 ．【答案】2,31⎡⎤⎣⎦【解析】设1F 是左焦点，由对称性得1AF BF =，设1AF BF =x =，AF y =，则2x y a -=，又OA OB OF c ===，因为AF BF ⊥，2222(2)4x y c c +==，又22()(2)x y a -=，则222()xy c a =-．又2ABFOAF S S ∆∆=，2112(sin 2)22xy c α=⨯，∴222sin 2c a c α-=，22211sin 2c e a α==-，再由ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得221)]e∈，即1]e∈．, 12623. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为54的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 _______ 【答案】②③【解析】①中需要对k 的取值范围加以限定；②中有公式可知两个曲线的焦点分别是(34,0)；③中方程的两个根分别是2和12；④中直线的方程应该是165x ；故答案为②③. 24. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若022≥+•，则该椭圆离心率的取值范围为 【答案】]13,0(-25. 过点(1,1)M 作一直线与椭圆22194x y +=相交于A ．B 两点，若M 点恰好为弦AB 的中点，则AB所在直线的方程为 ． 【答案】013-94=+y x【解析】设),(),,(2221y x B x x A ，分别代入椭圆22194x y +=的方程中，可得：,1492121=+y x ①,1492222=+yx ②，由①-②可得，4)((9))((21212121）y y y y x x x x -+-=-+，因为点M 是弦AB的中点，∴2,22121=+=+y y x x ，∴942121-=--x x y y =k ，又因为直线过点M （1,1），所以直线AB 的方程为)1941--=-x y （，即013-94=+y x .26. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. （1）求椭圆C 的焦距；（2）如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程． 解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0)∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为y ＝3(x －c ) 即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c2＝3c ＝23 ∴c ＝2 ∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝43b23a ＋b2 ①y 1，y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2②∵AF →＝2F 2B →∴－y 1＝2y 2，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b23a 2＋b2 ③－2y 22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2④③2④得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2(3a 2＋b 2)(a －4) ⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝127. 已知双曲线C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e =虚轴长为2. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ,求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标.【答案】（1）2214x y -=（2）10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭试题解析：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>,由已知得5,22,c b a ==又222a b c +=,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()()222148410k x mkx m ---+=,有()()()2222122212264161410801441014m k k m mkx x k m x x k ⎧⎪∆=+-+>⎪⎪+=<⎨-⎪⎪-+⎪=>-⎩,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,1AD BD k k ∴=-,即()()2221212121222212414161,240,4022141414m y y m k mky y x x x x x x k k k -+-=-∴++++=∴+++=++---,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103km =.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103k m =时,l 的方程为103y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭,经检验符合已知条件,所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫-⎪⎝⎭. 28. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12 解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.29. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为(,0)F c -,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y截得的线段的长为c ，334=FM（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】；(II) 22132x y += ；(III) 22,,⎛⎛-∞ ⎝. 【解析】(I) 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k = (II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M的坐标为c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t =>解得312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =，得m ∈ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =，得23,3m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝综上，直线OP 的斜率的取值范围是23223,,333⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝ 30. 已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （1）求椭圆E 的离心率；（2）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（I ）32；（II ）221123x y +=．【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程． 试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc，学优高考网则原点O 到直线的距离22bc bcd ab c ==+， 由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率32c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (1).精品 依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10. 易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 由124x x ，得28(21)4,14kk k 解得12k .从而21282x x b . 于是12|AB |||x x =-== 由|AB |10，得22)10，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。