2.1曲线与方程PPT课件
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§2.1 曲线与方程
建系--设点----限制条件--代入坐标--化简证明
以上步骤用一句话概括就是:建设现(限)代化. ．．． ． ．． ． ．
典型例题
例4.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线 y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 解；设AB的中点M的坐标为（x，y）， y=x2+3 又设A（x1，y1），则
典型例题
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.y源自.M( x, y )
B
(0 F., 2 )
0
l
x
练习
1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距 离相等,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y) 建立坐标系 ∵点 M 与 x 轴的距离为 y , 设点的坐标
10 8
x +6 x = 1 2 y = y1 2
x1 = 2x - 6 ∴ y1 = 2y
6
A
4
点A（x1，y1）在曲线y=x2+3上，则 y1=x1
2+3
2
M
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整 理 ,得 AB的 中 点 的 轨 迹 方 程 为 y = 2 x - 3 +
√ √ 2.写出适合条件 P 的几何点集: √ 3.用坐标表示条件 ,列出方程 √ 4.化简方程 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
P (M ) f ( x, y ) 0
P M P ( M )
; ;
2014年人教A版选修2-1课件 2.1 曲线与方程
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.1.1 曲线与方程
2.1.2 求曲线的方程
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1. 什么是曲线的方程和方程的曲线? 曲线 的方程应满足什么条件?
2. 怎样确定坐标平面上的某点在不在给定的 曲线上?
问题1. 图中直线 l1 的方程是不是 y=|x|? 方程 x+y=1 (x>0) 是不是直线 l2 的方程? (1) l1 的方程不是 y=|x|. 因为方程的解有些不在 直线 l1 上, 如: 点 (-1, 1), (-2, 2), …. (2) 方程 x+y=1 (x>0) 表示
y
l 1 -1 o -1
C
1
x
(2) 圆 C 上任一点的坐标 都是方程 (x-1)2+y2=1 的解, 反之, 方程 (x-1)2+y2=1 的任一解为坐标的点都在
圆 C 上. 所以方程 (x-1)2+y2=1 表示的曲线是圆 C.
一般地, 在直角坐标系中, 如果某曲线 C (看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个 二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程 的曲线.
练习(补充)
1. 证明圆心在坐标原点, 半径等于 5 的圆的方 程是 x2+y2=25, 并判断点 M1(3, -4)、M2( - 2 5 , 2) 是 否在这个圆上.
2. 求方程 y=ax2+bx+c 的曲线经过原点的充要条 件.
选修2-1课件2.1.1曲线与方程
R
M
O Q
x
图2.5 3
证明 1 如图 2 . 5 3 , 设 M x0 , y0 是轨迹上的任意一点.因为点 M 与 x 轴的距离为 | y0 |, 与y轴的距离为 | x0 |, 所以 | x0 | | y0 | k .
即x0 , y0 是方程 xy 的解.
2 设点M 1的坐标 x1 , y1
又如, 以a, b 为圆心、r 为半径的圆的方程是
y
x a 2 y b2 r 2
x a y b r 2 .这 就是说, 如果M x0 , y0 是
2 2
Mx 0 , y0
x
圆上的点, 那么它到圆心 O 的距离一定等于半径, 即
积为常数 k k 0 的点的轨迹方程 .
2 2 2 2
y
x a 2 y b2 r 2
r 的解, 即 x0 a
Mx 0 , y0
x
y0 b 2 r 2 , 也就是 x0 a 2 y0 b 2
O
图2.5 2
r , 即以这个解为坐标的点到点 a, b 的 距离为r , 它一定在以a, b 为圆心r为半径 的圆上 圆 2.5 2 .
2 2
图2.5 2
x0 a y0 b r , 2 2 也就是 x0 a y0 b r 2 , 这说明它的坐 2 2 2 标 x0 , y0 是方程 x a y b r 的解 ;
反过来, 如果 x0 , y0 是 方程 x a y b
2 .1. 1 曲线与方程
前面我们研究了直线、圆、圆锥 曲线的方程 , 讨论了这些曲线( 包 括直线)和相应的方程的关系下面 . 进一步研究一般曲线( 包括直线 ) 和方程的关系.
课件3：2.1.1曲线与方程的概念
曲线与方程
1．曲线的方程与方程的曲线的定义
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0 之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程 F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
以上两点说明了圆上的点与方程x02+y02=r2的解之间有 一一对应关系.
我们知道，圆可以看成是一个动点M的运动轨迹，于 是在坐标平面上，当圆上一个动点M沿着该圆圆周运 动时，点M的坐标（x，y）随之点M的运动而变化， 点M运动的轨迹可以用方程x02+y02=r2来表达.
学习新知
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运 动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程.
【答案】B 【解析】因为点在曲线上等价于点的坐标满足曲线方 程，因此把点的坐标代入方程逐一验证即可.
课堂训练 （3）已知两圆x2＋y2－2x－3＝0和x2＋y2＋6y－1＝0， 求它们的公共弦所在的直线方程．
解：设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－2x－3＋λ(x2＋y2＋6y－1)＝0，
当λ＝－1时，方程为x＋3y＋1＝0.该方程表示两圆公 共弦所在的直线方程．
3．用集合的特征性质描述曲线 如果曲线C的方程是F(x，y)＝0，则M(x，y)∈C⇔ F(x，y)＝0. 因此，方程F(x，y)＝0可以作为描述曲线C的特征性 质．曲线C用集合的特征性质可描述为C＝{M(x， y)|F(x，y)＝0}．
例题解析
例 已知两圆 C1：x2+y2+6x-16=0, C2：x2+y2-4x-5=0,
曲线与方程(两课时精品)
平面解析几何研究的主要问题是：
研
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2.1.2 求曲线的方程
一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合 条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 简记：符合条件的都在曲线上 即：“数由形定”
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) 0 的解.
x
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲 线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点 的横坐标与纵坐标之间的关系.
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用 待定系数法或直接法求解；求未知类型 的曲线方程，有代入法、参数法、定义 法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
2.1.1 曲线与方程
问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？
思考： 如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分
线l的方程是x-y=0？
y
x-y=0
2 M（x,y) -2 -1 O -2 1 2 x
答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。
.M
B
( x, y )
(0, F. 2)
0
l
x
练习： 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y
研
1.求曲线的方程; 2.通过方程研究曲线的性质.
2.1.2 求曲线的方程
一、直接法求曲线方程
例 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合 条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。 简记：符合条件的都在曲线上 即：“数由形定”
2.方程的曲线与曲线的方程的关系: 点 P ( x0 , y0 ) 在方程的曲线 C 上点 P( x0 , y0 ) 的坐标是曲线的方程 f ( x, y ) 0 的解.
x
课堂小结
1.轨迹与轨迹方程是两个不同的概 念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲 线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点 的横坐标与纵坐标之间的关系.
课堂小结
2.求已知类型的曲线方程，一般用 待定系数法或直接法求解；求未知类型 的曲线方程，有代入法、参数法、定义 法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
2.1.1 曲线与方程
问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？
思考： 如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分
线l的方程是x-y=0？
y
x-y=0
2 M（x,y) -2 -1 O -2 1 2 x
答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。
.M
B
( x, y )
(0, F. 2)
0
l
x
练习： 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y
曲线与方程课件
圆上点的坐标与方程的解建立了一一对应关系.
二、疑难点拨： 3.“曲线与方程”定义的理解
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元 方程 f x, y =0 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫曲线的方程，这条曲线叫做方程 的曲线.
例2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（k>0) 的点的轨迹方程是xy= k． 请思考：证明该问题的理论依据是什么？
“曲线与方程” 的定义
证明已知曲线的方程的步骤是什么？
第一步，设M (x0 , y0)是曲线C上任一点，证明(x0 , y0)是 f(x , y)=0的解； 第二步，设M1(x1, y1)是f(x , y)=0的任意一个解，证明点 M1 (x1 , y1)在曲线C上.
§2.1.1 曲线与方程
河师大附中 宋超
一、问题反馈：
1.对数学中曲线的含义把握不准确； 2.不理解“曲线与方程”这个概念的构建过程； 3.对定义“曲线与方程”理解不到位.
二、疑难点拨： 1.曲线的含义
课本中，出现了“曲线（包含直线）”， 直线是曲线吗？ 曲线：点的集合或适合某种条件的点的集合.
三、考一考：
例1 判断下列结论的正误，并说明理由. （1）过点A（3,0）且垂直于x 轴的直线的 方程为x=3； （√）
（2）到 x 轴距离为5的点的轨迹方程为y=5； （×）
（3）到两坐标轴距离乘积等于10的点的轨迹 方程为xy=10.（×） （4）过点A（2,0）平行于y轴的直线l的方程 为|x|＝2. （×）
四、当堂检测：
1.已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，记曲线C上的 点的坐标构成的集合为C ，方程f(x，y)＝0 的 解构成的集合为F，则集合C与F的关系为： _____________ . C=F
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
( x c)
2
2Hale Waihona Puke 2y2 2a
2
( x c) y
2
2
2
cx a a ( x c) y
2
2 2 2 2 2 2
2
(c a ) x a y a (c a )
2 2
(4) 4 x 3 y 1
2 2
x2 y2 1 9 16
x y (5) 2 2 1(m 0) m m 1
2
2
请求出下列双曲线的 a、b、c和它们的焦点坐标。
x2 y 2 (1) 1 3 2
a 3, b 2, c 5 F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
（1）a=3,b=4，焦点在x轴上；
解： 焦点在x轴上.
x2 y 2 可设所求双曲线方程为 2 2 1 a b
由题意得
a=3,b=4
x2 y 2 所求双曲线方程为 1 9 16
(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程： a 2 5, 经过点A(2, 5), 焦点在y轴上；
解： 焦点在y轴上.
可设所求双曲线方程为
a 2 5 由题意得： 25 4 2 2 1 b a
所求双曲线方程为
2
y2 x2 2 1 2 a b
解得 b 2 16
y x 1 20 16
2
（3）若a=6，c=10，焦点在坐标轴上。
解：
a 6, c 10 b c a 64
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
2.1.1--曲线和方程课件
x y= k是的解，则x1y1= k,
即|x1| |y1|= k, 而|x1|，Iy 1l 正是点M1 到纵轴、横 轴的距离，因此点M1到这两条直线 的距离的积是常数 k，点M1是曲线 上的点．
由(1)(2)可知，xy＝ k是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
y
也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
5
·M 2
0
5x
·M 1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
பைடு நூலகம்
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
得出关系：
（1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是方程
x2+y2=r2 的解;
（2）以方程 x2+y2=r2的解为坐标（x0,y0）的点
M都 在圆上.
得出定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
曲 线 上 任 意 一 点 到 定 圆 圆 心 的 距 离 一 定 等 于 定 长
(xa)2(yb)2r2
条件
得出关系：
方程
y
(x-a)2+(y-b)2=r2 （1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是
方程 (xa)2(yb)2r2 的解
即|x1| |y1|= k, 而|x1|，Iy 1l 正是点M1 到纵轴、横 轴的距离，因此点M1到这两条直线 的距离的积是常数 k，点M1是曲线 上的点．
由(1)(2)可知，xy＝ k是与两条坐标轴的距离的
积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
归纳:
证明已知曲线的方程的方法和步骤
y
也就是xo2 +yo2 = 25. 即 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解. (2)设 (x0,y0) 是方程x2 +y2 = 25的解，那么
5
·M 2
0
5x
·M 1
x02 +y02 = 25
两边开方取算术根，得
x02 y02 5,
பைடு நூலகம்
即点M (x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M (x0,y0)是这个圆 上的一点.
得出关系：
（1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是方程
x2+y2=r2 的解;
（2）以方程 x2+y2=r2的解为坐标（x0,y0）的点
M都 在圆上.
得出定义
给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足
（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
那么这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程
曲 线 上 任 意 一 点 到 定 圆 圆 心 的 距 离 一 定 等 于 定 长
(xa)2(yb)2r2
条件
得出关系：
方程
y
(x-a)2+(y-b)2=r2 （1）曲线圆上点M的坐标（x0,y0）都是
方程 (xa)2(yb)2r2 的解
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由(1),(2)可知， xyk是与两条坐标轴。 的 的积为常k(k数0)的点的轨迹方程。
2020年10月2日
9
归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
2020年10月2日
13
练习4:设圆M的方程为(x3)2(y2)22,直线l
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 m2xn2y40的曲线经过
点 A (1,2)B ,(2,1),则 m =_____, n =______.
2020年10月2日
4
4
5
5
14
课外练习:
1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
离乘积为1的点集其方程为y=
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴ 2020年10月2日
⑵
⑶
11
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
2020年10月2日
6
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
2020年10月2日
3
思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
2020年10月2日
4
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
2020年10月2日
7
例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2020年10月2日
1
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-y__=_0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
2020年10月2日
8
(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解 即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的 是积 常数k, 点M1是曲线上的点。
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
2020年10月2日
15
2.1.2求曲线的方程 （1）
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
2020年10月2日
12
练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方2020程年10月的2日曲线—反映的是数量关系所表示的图形5 .
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
为什么?
2020年10月2日
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思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
l y
x-y=0 含有关系：
0 x （1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
2020年10月2日
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练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距
2020年10月2日
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归纳: 证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步，设 M (x0,y0)是曲线C上任一点， 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；
第二步，设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解，证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.
2020年10月2日
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练习4:设圆M的方程为(x3)2(y2)22,直线l
的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
A.点P在直线上，但不在圆上 B.点P在圆上，但不在直线上； C.点P既在圆上，也在直线上 D.点P既不在圆上，也不在直线上
练习5:已知方程 m2xn2y40的曲线经过
点 A (1,2)B ,(2,1),则 m =_____, n =______.
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4
4
5
5
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课外练习:
1“. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) =0 的解”
是“方程 f (x, y) =0 是曲线 C 的方程”的（C ）条
件.
(A)充分非必要
(B)必要非充分
(C)充要
离乘积为1的点集其方程为y=
1
1
-1 0
x 1
x
-2 -1 0 1 2
x
-2 -1 0 1 2
⑴ 2020年10月2日
⑵
⑶
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练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
2020年10月2日
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例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都
在 l上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
2020年10月2日
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思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:
(xa)2(yb)2r2
2020年10月2日
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定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
解:(1)不正确，不具备(2)完备性，应为x=3,
(2)不正确,不具备(1)纯粹性，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0).
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例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.
证明： (1)如图，设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点，
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
2020年10月2日
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复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程
为_____y___k_x___b
2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的
直线方程是___x__-y__=_0______
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
因为点 M 与 x 轴的距离为 y 0 , 与 y 轴的距离为 x 0 , 所以 x 0 • y 0 k ,即 ( x 0 , y 0 ) 是方程 xy k 的解。
y
M
o
x
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(2)设M 点 1的坐 (x1,标 y1)是方 xy程 k的解 即 x1y1k,即 x1•y1k
而x1, y1正是点M1到纵轴、横轴的距离， 因此点M1到两条直线的距离的 是积 常数k, 点M1是曲线上的点。
(D)既非充分也非必要
2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(4, 3) ， B(2, 1) ，
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
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2.1.2求曲线的方程 （1）
1X O
1X
-1 -1
B
C
D
①表示 B ②表示 C ③表示 D
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练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程
f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D)
A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
y
f(x,y)=0
说明:
0
x
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方2020程年10月的2日曲线—反映的是数量关系所表示的图形5 .
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
（纯粹性）.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.
（完备性）.
由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)
为___(_x___a_)_2___( _y__b__)2___r_2__.
为什么?
2020年10月2日
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思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线 l 点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
x=y（或x- y=0）方程
l y
x-y=0 含有关系：
0 x （1） l上点的坐标都是方程x-y=0的解
2020年10月2日
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练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗？为什么？
(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折
线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是
(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程
为x+ y =0;
不是
(3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴，y轴的距