高中数学选修2-1优质课件：§2.1 曲线与方程

梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出 发的两种说法.曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关 系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线 上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适 合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对 (x，y)建立了 一一对应 关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程 的性质可间接地研究曲线的性质.
思考 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是 曲线C的方程？试举例说明. 答案 不能. 还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是否都在曲线上. 例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2 ＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.
(3)求曲线的方程的步骤
有序实数对(x，y )
P＝{M|p(M)}
p(M)
f(x，y) ＝0
f(x，y) ＝0 方程的解
[思考辨析 判断正误] 如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则 (1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.( × ) (2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.( × ) (3)坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上.( √ ) (4)坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上.( × )
解答
反思与感悟 判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的 定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断.
跟踪训练2 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值 范围. 解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)， ∴a2＋a2＋2a＋k＝0， ∴k＝－2a2－2a＝－2a＋122＋12， ∴k≤12， ∴k 的取值范围是－∞，12.
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 曲线与方程
学习目标
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系. 2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念. 3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法. 4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 曲线的方程和方程的曲线的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨 迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上点的坐标 都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线 上的点， 那么，这个方程叫做 曲线的方程 ；这条曲线叫做方程的曲线 .
知识点二 坐标法思想及求曲线方程的步骤
解答
(2)若点 Mm2 ，－m在上述方程表示的曲线上，求 m 的值. 解 ∵点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， ∴m2 2＋(－m－1)2＝10，解得 m＝2 或 m＝－158.
解答
引申探究 本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围. 解 结合点与圆的位置关系，得a2＋(2－1)2＞10，即a2＞9， 解得a＜－3或a＞3， 故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
√D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
解析 命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”为假命题， 则命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是真命题.故选D.
解析 答案
(2)“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的
方程是f(x，y)＝0”的
A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由曲线C的方程是f(x，y)＝0，得以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.
解析 答案
反思与感悟 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说 “点不比解多”称为纯粹性. (2) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 曲 线 上 ， 即 直 观 地 说 “ 解 不 比 点 多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线， 方程是曲线的方程.
跟踪训练1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； 解 过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解， 但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上. 因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程. (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； 解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5， 但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5. 因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
解答
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系. 解 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0； 反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的 平分线上. 因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
解答
类型二 曲线与方程的应用 例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在上述方程表示的曲线上； 解 ∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型探究
类型一 曲线的方程与方程的曲线解读
例1 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)＝0 的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是 A.坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)＝0 C.坐标满足f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上