小学奥数,平方数的计算和应用
小学奥数的七大模块
奥数的七大模块包括：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)本文介绍了小学奥数的七大模块，包括计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题。
模块一：计算模块这个模块包括速算与巧算、分数小数四则混合运算及繁分数运算、循环小数化分数与混合运算、等差及等比数列、计算公式综合、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳、比较与估算、定义新运算和解方程。
模块二：数论模块这个模块包括质数与合数、因数与倍数、数的整除特征及整除性质、位值原理、余数的性质、同余问题、中国剩余定理（逐级满足法）、完全平方数、奇偶分析、不定方程、进制问题和最值问题。
模块三：几何模块这个模块包括直线型和曲线型两部分。
直线型包括长度与角度、格点与割补、三角形等积变换与一半模型、勾股定理与弦图和五大模型。
曲线型包括圆与扇形的周长与面积和图形旋转扫过的面积问题。
此外，还包括立体几何，包括立体图形的面积与体积、平面图形旋转成的立体图形问题、平面展开图和液体浸物问题。
模块四：行程模块这个模块包括简单相遇与追及问题、环形跑道问题、流水行船问题、火车过桥问题、电梯问题、发车间隔问题、接送问题、时钟问题、多人相遇与追及问题、多次相遇追及问题和方程与比例法解行程问题。
模块五：应用题模块这个模块包括列方程解应用题、分数、百分数应用题、比例应用题、工程问题、浓度问题、经济问题和牛吃草问题。
模块六：计数模块这个模块包括枚举法之分类枚举、标数法、树形图法、分类枚举之整体法、对应法、排除法、加乘原理、排列组合和容斥原理。
小学奥数七大模块详解模块一：从简单情况入手在解决问题时，我们可以从简单情况入手，逐步深入，找到规律，从而解决更复杂的问题。
模块二：对应与转化思想对应与转化思想是一种常用的解决问题的方法，通过将问题转化为另一种形式，或者与另一个问题进行对应，从而得出答案。
模块三：从反面与从特殊情况入手思想有时候，我们可以通过考虑问题的反面或特殊情况来解决问题。
这种思想可以帮助我们发现问题的本质，从而找到解决问题的方法。
完全平方数知识讲解
奥数：完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……，请问这个多位数共有（）位数字。
分析与解答：1-3的平方只有一位数，共3个数字；4-9的平方有两位数字，共2×6=12个数字；10-31的平方有三位数字，共有3×22=66个数字；32-50的平方有四位数字，共有4×19=76个数字；合计：3+12+66+76=157个数字。
2、46305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是（）。
分析与解答：46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。
3、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄之积是1512，而爷爷，父亲，孙子三人的年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是（）岁。
分析与解答：1512=3×3×3×2×2×2×7要使1521乘一个数的积是完全平方数，那么这个数最小是：3×2×7=42。
所以父亲的年龄是42岁。
4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是（）。
分析与解答：我们设这个数原来为10a+b，那么现在是10b+a，它们的和为11×（a+b）是一个完全平方数，所以a+b必等于11，那么这个和数就为11×11=121。
5、已知n/2是完全平方数，n/3是立方数，则n的最小值为（）。
分析与解答：根据n/2是完全平方数，我们知道n里面有奇数个质因数2，而联系n/3是立方数，所以我们知道n里至少有3个质因数2；同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3，那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。
6、已知一个自然数的平方的十位数是8，这个完全平方数的个位数字是（）。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數．性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）數．3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
小学奥数25完全平方数
2.7 完整平方数2.7.1 有关观点完整平方即用一个整数乘以自己比如 1*1 ， 2*2,3*3 等等，依此类推。
若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完整平方数。
完整平方数是非负数。
2.7.2 性质推论比如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529 察看这些完整平方数，能够获取对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。
下边我们来研究完整平方数的一些常用性质：性质 1：末位数只好是0,1,4,5,6,9。
此为完整平方数的必需不充足条件，且定义为“一个数假如是另一个整数的完整平方，那么我们就称这个数为完整平方数”，0 为整数，故0 是完整平方数性质 2：奇数的平方的个位数字必定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字必定是偶数。
证明奇数必为以下五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得(10a+1) 2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3) 2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5) 2=100a2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5(10a+7) 2=100a2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9(10a+9) 2=100a2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1综上各样情况可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质 3：假如完整平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字必定是6；反之，假如完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字必定是奇数。
证明已知 m2=10k+6 ，证明 k 为奇数。
由于 k 的个位数为6，所以 m 的个位数为 4 或于是可设m=10n+4 或 10n+6。
6，则 10k+6=(10n+4) 2=100+(8n+1)x10+6或 10k+6=(10n+6) 2=100+(12n+3)x10+6即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3∴ k 为奇数。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
完全平方数奥数题目
完全平方数奥数题目摘要：一、完全平方数的定义和性质1.完全平方数的定义2.完全平方数的性质二、完全平方数的应用1.求解完全平方数2.完全平方数与勾股定理3.完全平方数与概率论三、完全平方数的奥数题目1.判断一个数是否为完全平方数2.求一个数的平方根3.求两个完全平方数的和正文：完全平方数是一个数学概念，它指的是一个数可以表示为某个整数的平方。
例如，4、9、16 等都是完全平方数，因为它们可以表示为2^2、3^2、4^2 的形式。
完全平方数具有一些有趣的性质，例如，如果一个数是完全平方数，那么它的因数一定是成对出现的。
在数学中，完全平方数有着广泛的应用。
例如，在求解完全平方数时，我们可以使用公式：如果一个数的平方根是整数，那么这个数就是完全平方数。
此外，完全平方数还与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，如果一个数是完全平方数，那么它一定可以表示为两个整数的平方和。
在概率论中，完全平方数也有着重要的应用。
例如，假设有一个袋子，里面有若干个红球和白球，我们想要取出一个红球。
如果我们随机地从袋子中取出一个球，那么取出红球的概率就等于红球的个数除以球的总数。
如果我们想要计算这个概率的平方，那么我们就需要计算所有可能的取球方式的概率，这些概率可以表示为完全平方数。
在奥数比赛中，完全平方数也是一个常见的考点。
例如，可能会给出一个数，要求我们判断它是否为完全平方数。
或者，可能会给出两个数，要求我们求它们的平方和。
对于这类题目，我们需要熟悉完全平方数的性质，并且能够灵活运用它们来解决问题。
总的来说，完全平方数是一个有趣的数学概念，它在数学和概率论中都有着广泛的应用。
五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
第八讲完全平方数模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9；性质2：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；例1．（1）写出12、22、32、……、202的得数，观察这些得数的个位，并总结一下完全平方数的个位有什（2）根据刚才发现的规律，判断20737是平方数吗？为什么？（3）进一步判断1000是平方数吗？1004000呢？解：（1）如果完全平方数末位是0，那么它从个位开始，连续的0的个数一定是偶数个。
例2．（1）10001到11000之间存在哪些数的平方？写出这些数；（2）非零自然数的平方按大小排列成14916253649……，则第92个位置的数字是。
解：（1）1002=10000，1042=10816，1052=11025，所以10001到11000之间存在101、102、103、104的平方。
（2）1、4、9、16、25、36、49、64、81共有15个数字，100、121、……、直到312=961，一共有22×3=66个数字，前面共有66+15=81个数字，从322=1024开始，每个平方数有4个数字，32、33、34、35，它们的平方都有4个数字，81+11=92，所以第92个位置上是342=1156的第三个数字5.模块二、偶指奇因性质3：自然数N为完全平方数⇔自然数N因数的个数为奇数；性质4：自然数N为完全平方数⇔自然数N的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。
特别地，因数个数为3的自然数是质数的平方。
例3．240乘一个非零自然数a，或者除以一个非零自然数b，结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是；b的最小值是。
解：240=24×3×5，乘a是一个完全平方数，a的最小值是3×5=15，同样240÷15也是一个完全平方数，b的最小值是15.例4．（1）从1到100这100个自然数中，有奇数个因数的自然数有；（2）从1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有；解：（1）1到100有奇数个因数的有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共10个；（2）1到100这100个自然数中，有且仅有3个因数的自然数有4、9、25、49，共4个。
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1.⽼师在⿊板上将从开始的计数连续地写下去：写好后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了段，如果前两段的和分别是和，那么，⽼师擦去的两个奇数之和是（）。
A.B.C.D.
2.⼀本书，如果每天读⻚，那么天读不完，天⼜有余；如果每天读⻚，那么天读不完，天⼜有余；如果每天读⻚，恰可⽤天读完（是⾃然数）。
这本书的⻚数是。
3.把正整数排成下列数阵：
第⾏第列的数是。
4.把⼀个两位数的个位数字与其⼗位数字交换后得到⼀个新数，它与原来的数加起来恰好是某个⾃然数的平⽅，这个平⽅数是。
5.设是⼀个平⽅数，如果和都是质数，就称为型平⽅数，例如，就是⼀个型平⽅数。
那么⼩于的最⼤型平⽅数是。
6.在下列等式中，相同字⺟代表相同的数，不同字⺟代表不同的数。
已知都是⼤于的整数，且，，那么（ ）
7.古希腊数学家们将⼀些⾃然数按照以下⽅式与正⽅形联系起来：
11,3,5,7,9,11⋯⋯39611001154156158160
50567034n n n 2121q q −2q +2q p 9p 1000p a ,b ,c ,d 0a ×a +b ×b
=40c ×c +d ×d =25a +b +c +d =
并将这些数称为正⽅形数。
年，法国数学家拉格朗⽇证明：任何⼀个⾃然数都可以表⽰为最多个正⽅形数的和。
⽐如，等。
请将表⽰为最多个正⽅形数的和的所有可能情形，有（
）种。
8.请计算：。
9.已知四位数满⾜下⾯的性质：、、都是完全平⽅数（完全平⽅数 是指能表⽰为某个整数平⽅的数，⽐如，，则我们就称、为完全平⽅数） 。
所有满⾜这
个性质的四位数之和为。
10.三位数是⼀个完全平⽅数，它每⼀位上的数字和也恰好是⼀个完全平⽅数，这样的三位数共有
个。
11.定义，则。
12.把既不是平⽅数也不是⽴⽅数的正整数（除外）按从⼩到⼤的顺序排列，得到，，，，，，，其中第个数是。
13.把⾃然数中的平⽅数去掉后得到数列，，，，，，，，，其中第项是。
14.边⻓为的正⽅形的⾯积恰好等于边⻓为和边⻓为的两个正⽅形的⾯积的和，若和都是⾃然数，则。
15.算式的计算结果是。
177042=1+17=1+1+1+48042+26+210+214+2⋯+50=
2ABCD AB BC CD 4=2281=9481n a ∗b
=a b [(5∗3)∗2+5∗(3∗2)]÷5=
602356710⋯10002356781011⋯⋯201120a b a b a +b
=3+34+35+36+37+38+393
16.⾃然数最多可以表⽰成
个连续奇数的和。
17.甲、⼄两⼈合买了个篮球,每个篮球元。
付钱时,甲先⼄后,元,元地轮流付钱,当最后要付的钱不⾜元时,轮到⼄付,付完全款后,为了使两⼈所付的钱数同样多,则⼄应给甲
元。
18.今年是年，不是完全平⽅数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平⽅数。
例如。
已知⽤数字、、、各⼀个还能组成另⼀个四位完全平⽅
数，那么这个新的四位完全平⽅数是。
19.边⻓为的正⽅形的⾯积恰好等于边⻓为和边⻓为的两个正⽅形的⾯积的和，若和都是⾃然数，则。
20.五位数是⼀个完全平⽅数，那么。
21.计算：（ ）。
22.正⽅形的边⻓是，若正⽅形、的边⻓都是⾃然数，且、的⾯积和等于的⾯积，则、的边⻓的和是。
23.⼗个不同奇数的平⽅之和的最⼩值与这个最⼩值被除的余数之差是（ ）。
(注：相同的两个⾃然数的乘积叫做这个⾃然数的平⽅，如，，
，类推）
24.把整数，依次平⽅，写成⼀个多位数：，这个多位数的第位数字是。
25.有⼀些⾃然数(除外)既是平⽅数，⼜是⽴⽅数(注：平⽅数可以写成两个相同的⾃然数的乘积，⽴⽅数可以写成三个相同的⾃然数数的乘积)。
如：，。
那么以内的⾃然数中，这样的数有
个。
2015n n 101010201420141024
=322201420a b a b a +b
=15AB 9A +B =
4+9+16+25+36+49+64+81+100+121=A 10B C B C A B C 41×1
=122×2=223×3=321,2,3,4,⋯149162536⋯36101
=1×1=1×1×164=8×8=4×4×41000
26.正⽅形、、、的边⻓依次是（，都是⾃然数），若它们的⾯积满⾜
，则。
27.观察⼀组式，，，，根
据以上规律，请你写出第组的式⼦：。
28.⼀个⻓⽅体的六个⾯的⾯积之积为，则该⻓⽅体的体积为。
29.题中告诉连续平⽅数求和公式求：。
30.如图，将⼀个正⽅形硬纸⽚的四个⻆分别剪去⼀个等腰直⻆三⻆形，最后剩下⼀个⻓⽅形。
正⽅形边⻓和三⻆形直⻆边⻓都是整数，若剪去部分的总⾯积为平⽅厘⽶，则⻓⽅形的⾯积是
平⽅厘⽶。
31.瞿⽼师把分别写有到的⼗张卡⽚分给个⼩朋友，每⼈领到张，剩下的四张卡⽚分别是、、、，三⼈按照某种顺序各组成⼀个两位数。
⼩曾向瞿⽼师要了⼀张卡⽚放在他所组成的两位数前⾯，组成了⼀个平⽅数。
⼩张⼜要了⼀张卡⽚，插在两位数中间，也组成了⼀个平⽅数，⼩戴问⽼师要了剩下的两张卡⽚，按照某种顺序插在两位数后⾯，也组成了⼀个平⽅数，问⼩戴原来组成的两位数是。
32.有这样的正整数，使得均为完全平⽅数、均为完全平⽅数。
则所有符合要求的正整数。
33.在到的⾃然数中，既不是平⽅数也不是⽴⽅数的⾃然数有多少个？
A B C D 15,b ,10,d b d S =A S +B S +C S D b +d =3+24=2525+212=21327+224=22529+240=2412⋯7146411×99+2×98+3×97+⋯⋯+50×50=
4009322015n 8n −718n −35n
=11000
(1)(2)(1)(2)(3)(4)
(5)34.下式中“⾹港”、“中国”均代表⼀个两位⾃然数，那么⾹港和中国分别为多少，使⾹港中国成⽴？
35.解答题
两个相同的数相乘的积是，这个数是多少？
在这⾃然数中，个位上的数字是的平⽅数有多少？
36.两个相同的数相乘所得的积，我们称它为平⽅数，如
像等数都是平⽅数。
如果两个相同的数
相乘，积是，那么这个数是多少呢？
37.哪个数的平⽅等于呢？⼤家⼀定会认为是。
然⽽事实上，的平⽅也等于。
于是，和就都叫做的平⽅根。
更⼀般地，所有正实数都有⼀正⼀负两个平⽅根，其中正平⽅根⼜叫做算术平⽅根。
我们把求解算术平⽅根的过程叫做开⽅。
更进⼀步，我们有开⽅符号来表⽰这⼀过程：
表⽰平⽅以后等于的⾮负数，即的算术平⽅根。
从⽽我们有
，
．
，。
根据以上材料回答下列问题：
判断下列各题对错（对的答√，错的答×）1.，那么只能等于。
2.。
3.。
4.，。
是
的算术平⽅根。
已知，则。
38.某五位数，各个数位上的数字各不相同 ，百位上的数字的倍等于⼗位上的数字与千位上的数字的平⽅和，也等于个位上的数字与万位上的数字的平⽅和，满⾜条件的五位数最⼩是多少？
()2
+1997=()2+19492251∼5000500051×1=1,2×2=4,3×3=9,4×4=16⋅⋅⋅1,4,9,16⋅⋅⋅230442−242−24x x x =93=4121×8=18=
8×18=14412=
80=
16×5×
16=54×
=545a =225a 5×a =
b ab =20123
×
×⋯×
33332012x >0=
25x 25x 4936=
×1275=
52()=2x −12
5x −3x =
17
(1)(2)(3)
(4)39.将⼀个位数的前位数和后位数各当成⼀个位数，如果这两个位数之和的平⽅正好等于这个位数，则称这个位数为卡布列克()怪数，例如，，所以
是⼀个卡布列克怪数。
请问在四位数中有哪些卡布列克怪数？
40.计算：2n n n n n 2n 2n Kabulek (30+25)
=2
30253025(1+22+23+2⋯++19)−(2+224+2⋯++18)22.016×128+20.16×76+201×53 1.12
4x +1−()3x −1=()2x +3{3x +4y =32
4x +3y =31。