第九章磁场

习题九 电磁场与电磁感应基本要求掌握磁场的物理性质。

磁感应强度的定义，掌握运动电荷产生的磁场性质。

掌握电流元产生的磁场性质；能运用毕奥-萨伐尔定律计算某些载流导线所产生的磁场的磁感应强度。

掌握安培环路定理及其物理意义，能运用该定理计算磁感应强度。

掌握洛仑兹力的性质，了解运动电荷在匀强磁场中的运动情况，了解霍尔效应、霍尔电势差的产生及其应用掌握载流导线在磁场中的受力情况；学会安培力公式的应用。

了解载流线圈再磁场中所受力矩的情况，掌握磁矩的定义及其物理意义。

掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律的内容，利用该定律计算感应电动势。

理解自感现象；L 的物理意义。

了解电磁波的性质。

[9-1] 在公式v B f qvB f 、、中，θsin =所对应的矢量哪些总是正交？哪些矢量可取任意角度？答： f 与B 、v 始终正交，B 与v 可取任意角度。

[9-2] 2根无限长直导线互相平行地放置在真空中，其中通过相同方向的电流I 1=I 2=10A 。

试求P 点的磁感应强度。

已知P 到I 1和I 2的距离都为0.5m 。

已知 a 1 = a 2 = a = 0.5 m I 1 = I 2 = I = 10A 求：B解： I 1在P 点产生的磁感应强度B 1为11012a I B πμ=I 2在P 点产生的磁感应强度B 2为22022a I B πμ=P 点的总磁感应强度B 为TaIa I a I B B B 627202220211022211065.5)5.0210104(2)2(2)2()2(--⨯=⨯⨯⨯⨯==+=+=πππμπμπμ[9-3] 将载有电流I 的无限长直导线折成直角xOy ，求直角顶点P 的磁 感应强度。

分析： 将无限长载流直导线xoy 看作两条载流导线xo 和oy 组成，P 点的磁场即为这两条载流导线各自磁场在P 点的叠加。

根据毕奥 —沙伐尔定律20sin d 4d r l I B θπμ=， 求两段的磁感应强度。

因为P 点在xo 的的延长线上，所以0sin ,0==θθ，故B = 0 。

xo 对P 点的磁感应强度无贡献。

因此，P 点的磁感应强度即为oy 在该点的磁场。

解： 载流导线oy 对P 点来说，正好是半无限长载流直导线，所以它在P 点的磁感应强度是a Ia I B B oy πμπμ422100===[9-4] 如图所示电路中，无限长直导线中的电流强度为I ，求通过与导线 同平面的矩形面积 的磁通量。

解： 以水平向右为x 轴正向建立坐标系，选x 轴上一小段d x ，d x 距I为x ，这时，在d x 这一小宽度上，可近似地认为I 所产生的B 大小是均匀的，根据无限长直导线周围的磁感应强度的公式，有xI B πμ20=在d x 宽度上穿过小矩形的磁通量为ab l I a b lI xx Il x l x I xBl B b a b a ln 2)ln (ln 2d 2d 2d dS d 0000m m πμπμπμπμ=-===Φ==Φ⎰⎰ [9-5] 载流线圈半径R=1cm ，电流I=14A ，求轴线上距圆心10cm 处和圆心处的磁感应强度。

已知 R = 1 cm I = 14 A 求： a = 0和 a = 10 cm 处 B 解： a = 0处42701079.81012141042---⨯=⨯⨯⨯⨯==πμR IB T a = 10 cm 处731227301079.8)101(214)101(1042----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ππππμa SI B T[9-6] 如图所示，有一无限长直导线在一处弯折成1/4圆周的圆弧，与弧两两连接的直线互相垂直，其延长线相交于圆心，若圆弧半径为R ，导线中电流 为I ，求圆心的磁感应强度。

分析：将无限长载流直导线xoo ′y 看作三条载流导线yo 、oo ′和o ′x组成，圆心的磁场即为这三条载流导线各自磁场在该点的叠加。

根据20sin d 4d rl I B θπμ=求三段的磁感应强度 因为圆心在yo 和o ′x 的延长线上，所以0sin ,0==θθ，故B = 0 。

yo 和o ′x 对圆心的磁感应强度无贡献。

因此圆心的磁感应强度即为oo ′在该点的磁场。

解： 载流导线oo ′对圆心来说，正好是1/4圆形载流导线，所以它在圆心的磁感应强度是R IR I B B 82410000μμ==='[9-7] 有一电量为4⨯10-9C 的电荷，以速度v 1沿x 轴正方向运动时，有一匀强磁场对它的作用力F 1沿z 轴负方向。

但当电荷以大小为2⨯10-4m ·s -1的速度v 2沿z 轴正方向运动时，磁场对它的作用力F 2=4⨯10-5N ，方向沿x 轴，磁感应强度大小和方向如何？ 已知 q = 4×10-9 C v 2 = 2×104 m/sf 2 = 4×10-5 N求： B 、 方向如何解： 建立xyz 三维坐标系，当电荷以速度v 1沿x 轴正方向运动时，力F 1沿z 轴负方向。

根据右手螺旋定则，可判定磁场的方向应在xy 面上。

当电荷以速度v 2沿z 轴正方向运动时，作用力F 2沿x 轴方向。

由此判定磁场的方向应在yz 面上。

综合上述两种情况，磁场的方向应在y 轴方向，结合右手定则可最终判定磁场的方向应在y 轴负方向。

由θsin qvB f =得5.090sin 102104104sin 049522=⨯⨯⨯⨯⨯==--θqv f B T [9-8] 一电子在匀强磁场中做圆周运动，频率为12=νMHz ，半径为r=0.035m ，已知电子电量为e=1.6⨯10-19C ，质量为m=9.1⨯10-31kg ，求磁场的磁感应强度及电子动能。

已知 ν = 12 MHz r = 0.035me =1.6×10-19C m =9.1×10-31 kg,求： B 、 E解： 由νπ12==qB m T 得 4196311029.4106.11012101.914.322---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==e m B νπ T 由 mqBr v qB mvR ==得J1017.3101.9)035.01029.4106.1(21)(21211831241922----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===mqBr mv E[9-9] 有一动能为2000eV 的电子，在B=0.1T 的匀强磁场中运动，它的v 与B 成80°角，求电子做螺旋运动的周期、半径及螺距。

已知 E = 2000ev =2000×1.6×10-19 J m = 9.1×10-31 KgB = 0.1 T e = 1.6×10-19 C求： T 、 r 、 h解： 1019311057.31.0106.1101.914.322---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==qB m T π s mEv mv E 2212==3193119105.11.0106.1101.9106.1200022/2----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====qBEmqB mE m qB mv r m 010311980cos 1057.3101.9/106.120002cos /2cos ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅=---Tm E T v h θθ=1.64×10-3 m[9-10] 有一电子在B=2.02⨯10-3T 的匀强磁场中沿半径R=20cm 的螺旋线运动，螺距h=50cm ，已知电子的比荷e/m=1.76⨯1011C ·kg -1，求这电子的回旋频率及速度。

已知 B =2.02×10-3 T r = 20 cm = 0.2 mh = 50 cm =0.5m e/m = 1.76×1011 C/Kg 求： ν、 v解： 17311107.514.321002.21076.122--⨯=⨯⨯⨯⨯===s B m e m eB ππν电子运动的速度v 为作圆周运动的速度与进动的速度v 2的矢量和由qBmv R =可得m/s101.72.01002.21076.173111⨯=⨯⨯⨯⨯===-rB mem erB v 由T v h 2=得m/s 1085.2107.55.0/772⨯=⨯⨯===νh T h v7272722211065.7)1085.2()101.7(⨯=⨯+⨯=+=v v v m/s[9-11] 一无限长载流直导线与另一载流直导线AB 互相垂直，电流强度分别为I 1和I 2，AB 长为l ，A 端和无限长导线相距为a ，求AB 所受的作用力。

解：以水平向右的方向为x 轴正向建立坐标系由 θsin d d ⋅=l IB F其中xI B πμθ290100== )1ln(2]ln )[ln(2d 2d 2d d 210210la a 2101022al I I a l a I I x x I I F x xI I l B I F +=-+====⎰+πμπμπμπμ[9-12] 如图所示，矩形载流线圈处于匀强磁场中，磁通量为0.2Wb ，磁场方向与x 轴正方向一致。

如线圈能绕y 轴转动，求维持在图示位置所需的力矩。

已知 2.0=Φ Wb l 1 = 8 cm l 2 = 6 cm030=α I = 10 A 求：各边f 、M解：由图分析 αs i nBS =Φ αs i n S B Φ=线圈两垂直边与 B 垂直，090=θ6710830sin 1081062.01020221=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---IBl F N46.3231066730cos 202=⨯⨯⨯=⋅=-l F M N ﹒m[9-13] 如图所示，一置于匀强磁场中的正三角形线圈ABC ，磁场方向与线圈平面平行，且平行于BC 边。

设I=10A ，B=1T ，正三角形的边长l=0.1m ，求线圈所受的力矩。

已知 已知 I =10A B =1T L = 0.1m 求：M解： 线圈三边所受的力可由公式（9-2）求得⎰=Ll IB F θsin dBC 边受力： 因 θ = 0 F = 0 AB 边受力： θ = 120°θθθsin d sin sin d IBL l IB l IB F LL===⎰⎰方向垂直纸面向里 AC 边受力： θ = 120°θθθsin d sin sin d IBL l IB l IB F LL===⎰⎰方向垂直纸面向外AB 边和AC 边受力大小相等，方向相反，但力的作用线不在一条直线上，它们形成了一对力偶。

力臂是L/2，所以磁场作用在线圈上的力矩是N.m103.42/120sin 1.01102/sin 2/sin 2022-⨯=⨯⨯⨯==⋅=θθIBL L IBL M[9-14] 在玻尔氢原子模型中，电子绕核做圆周运动，已知：圆周半径R=5.3⨯10-11m ，电子速度v=7×106m ·s -1。