北师大版九年级数学下册试题第一章《三角函数》单元测试题
初中数学试卷
灿若寒星整理制作
九年级下第一章《三角函数》单元测试题
姓名______________成绩____________ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．cos30°= （）
A．
3
2
B.
3
3
C.
1
2
D.3
2．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=
5
12
，那么sinB的值的等于（）
A、
5
13
B、
12
13
C、
5
12
D、
12
5
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75º，若AC＝6米，则树高BC为（）
A．6sin75º米 B．
6
cos75
米 C．
6
tan75
米 D．6tan75º
米
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）
A．3
5
B．
4
5
C．
4
3
D．
5
4
5．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是
A
B C
A．5
4
B．
5
3
C．
4
5
D．
3
5
6．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）
A.12
B.22
C.32
D.33 7．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，AD=3，cosB=3/5，则AC 等于（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
8．在△ABC 中，若|sinA-12
|+（33-tanB ）2=0，则∠C 的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
9．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是310cm ，则皮球的直径是（ ）
A 、35
B 、15
C 、10
D 、38
10．如图（1），点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s,设P ，Q 出
发ts 时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图（2）则下列正确的
是（ ）
A ．AE=6cm ；
B ．sin ∠EBC=5
4 A
B
C D 60
C ．当0＜t ≤10时，25
2t y D ．当t=12时，△BPQ 是等腰三角形
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
11．计算：2sin60°= ．
12．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ，若AD ＝10，AB ＝6，则tan ∠EDF 的值是 ．
13．如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tanα=
32
，则t 的值是 ．
14． 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C . 则A′C 长度的最小值是 .
三．解答题（共54分）
15．（8分）计算：8-4sin45°+20)3
1()3(--+-π
16．（8分）计算：()201132sin 6042π-⎛⎫---++︒+- ⎪⎝⎭．
17．（12分）（2015秋•南郑县校级月考）如图所示，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？
18．（13分）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）
（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；
（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．
19．（13分）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度．。
北师大版九年级数学下册第一章1锐角三角函数12正弦和余弦练习题
北师大版九年级数学下第一章1 锐角三角函数 1.2正弦和余弦练习题（含答案）一、选择题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是( ) A ．sinA ＝ACABB ．sinA ＝BC ABC ．sinA ＝ACBCD ．sinA ＝BCAC2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sinA 等于链接听P2例1归纳总结( )图1A.35B.45C.34D.433．如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为( )图2A ．4B ．2 5C.181313D.1213134．如图3，A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )图3A.CD ACB.BC ABC.BD BCD.AD AC5．如图4，梯子与地面的夹角为∠α，则下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的叙述正确的是( )图4A ．sinα的值越小，梯子越陡B ．cosα的值越小，梯子越陡C ．tanα的值越小，梯子越陡D ．梯子的倾斜程度与∠α的三角函数值无关6．如图5，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( )图5A.43B.34C.35D.457．如果等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦值是( ) A.513 B.1213C.1013D.512二、填空题8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则cosB ＝________．9．如图6，点A(t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sinα＝23，则t 的值为________．图610．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝12，则sinB ＝________.11．已知正方形ABCD 的边长为2，P 是直线CD 上的一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 的值是____________． 12．如图7，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝23，那么线段AB 的长是________．图7三、解答题13．如图8，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝45，求∠BAD 的正弦值和余弦值及AC 的长度.链接听P2例2归纳总结图814．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点N 的坐标为(20，0)，点M 在第一象限内，且OM ＝10，sin ∠MON ＝35.求：(1)点M 的坐标； (2)cos ∠MNO 的值．图915．如图10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E.已知AC ＝15，cosA ＝35.(1)求线段CD 的长； (2)求sin ∠DBE 的值．图1016．如图11，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边． (1)求sinA ，cosB. (2)求tanA ，tanB.(3)观察(1)(2)中的计算结果，你发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系？ (4)应用：①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝23，则cosB ＝________；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2，则tanB ＝________．图11附加题如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5.(1)求sin2A＋cos2A的值；(2)比较sinA和cosB的大小；(3)想一想，对于任意直角三角形中的锐角，是否都有与上述两小题相同的结果？若有，请说明理由．图12参考答案1．[解析] B 如图所示，sin A ＝BCAB.故选B.2．[解析] A 在Rt △ABC 中， ∵AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6， ∴sin A ＝BC AB ＝610＝35.故选A.3．[解析] A 由余弦的定义可得cos B ＝BC AB ＝23.又∵AB ＝6，∴BC ＝4.故选A.4．[解析] D cos α＝BD BC ＝BC AB ＝CDAC.故选D.5．[解析] B sin α的值越小，∠α越小，梯子越平缓； cos α的值越小，∠α越大，梯子越陡；tan α的值越小，∠α越小，梯子越平缓，所以B 正确． 故选B.6．[解析] D 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠ADC ＝90°， ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝32＋42＝5， ∴sin ∠BAC ＝CD AC ＝45.故选D.7．[解析] A 等腰三角形的腰长为12×(36－10)＝13(cm)，所以易得底角的余弦值是513.8．[答案]5139．[答案] 2 5[解析] 如图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， ∴sin α＝ABOA .∵sin α＝23，∴AB OA ＝23.∵A (t ，4)，∴AB ＝4，∴OA ＝6，∴t ＝2 5.10．[答案] 2 5511．[答案]2 55或2 131312．[答案] 2 513．解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠BAD ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠CAD . ∵cos B ＝45，∴cos ∠CAD ＝AD AC ＝45.又∵AD ＝4，∴AC ＝5， ∴CD ＝AC 2－AD 2＝3， ∴sin ∠BAD ＝sin C ＝AD AC ＝45，cos ∠BAD ＝cos C ＝CD AC ＝35.14．解：(1)如图，过点M 作MP ⊥ON ，垂足为P .在Rt △MOP 中，由sin ∠MON ＝35，OM ＝10，得MP 10＝35，∴MP ＝6.由勾股定理，得OP ＝102－62＝8， ∴点M 的坐标是(8，6)．(2)由(1)知MP ＝6，PN ＝20－8＝12， ∴MN ＝62＋122＝6 5， ∴cos ∠MNO ＝PN MN ＝126 5＝2 55.15．解：(1)因为AC ＝15，cos A ＝35，∠ACB ＝90°，所以AC AB ＝35，所以AB ＝25.又因为D 是AB 的中点，所以CD ＝252.(2)由D 是AB 的中点，得CD ＝BD ＝252，所以∠ECB ＝∠ABC ，所以sin ∠ECB ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝35. 又BC ＝AB 2－AC 2＝20，所以BE ＝BC ·sin ∠ECB ＝12. 由勾股定理得CE ＝16， 所以DE ＝16－252＝72，所以sin ∠DBE ＝DE BD ＝72×225＝725.16．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝a c ，cos B ＝BC AB ＝ac .(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°， ∴tan A ＝BC AC ＝a b ，tan B ＝AC BC ＝ba.(3)在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则sin A ＝cos B ，tan A ·tan B ＝1. (4)①23 ②12附加题解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝122＋52＝13， ∴sin A ＝BC AB ＝513，cos A ＝AC AB ＝1213，cos B ＝BC AB ＝513.(1)∵sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫5132＝25169， cos 2A ＝⎝⎛⎭⎫12132＝144169， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝25169＋144169＝1.(2)sin A ＝cos B .(3)由这个特例的解答过程可猜想，对于任意直角三角形中的锐角，都有与上述两小题相同的结果，即：对于任意直角三角形中的锐角A ，都有sin 2A ＋cos 2A ＝1；在Rt △ABC 中，若∠C 为直角，则必有sin A ＝cos B .理由如下：设在任意Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫BC AB 2，cos 2A ＝⎝⎛⎭⎫AC AB 2，BC 2＋AC 2＝AB 2， ∴sin 2A ＋cos 2A ＝⎝⎛⎭⎫BC AB 2＋⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.∵sin A ＝BC AB ，cos B ＝BCAB ，∴sin A ＝cos B .。
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)测试卷 含答案)
第一单元《直角三角形的边角关系》测试卷一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分）1．如图，在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是（ ）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．tan45°的值等于（ ）A ．2BC ．-1D ．13．如图，∠α的顶点为O ，一边在x 轴的正半轴上，另一边上有一点P （3，4），则sin α＝（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知中，，CD 是AB 上的高，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5．Rt ABC 中，∠C=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系式错误的是（ ）A ．b=c·cosB B ．b=a·tan BC ．a=c·sin AD ．a=c·cos B6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据淄博市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知，冬至时淄博市的正午日光入射角约为°，则立柱高约为（ ）O AB 43344535ABC ∆90C ∠=︒CD BD sin A cos A tan A cot AAC BC a ABC ∠26.5ACA ．B ．C ．D．7．已知在中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝12，则∠B 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D．8．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠，则∠2的度数为（ ）A ．120°B．135°C ．145°D ．150°9．如图，在中，，于，下列结论错误的有（ ）个①图中有两对相似三角形；②；③；④若，，则.A ．0B ．lC ．2D ．310．如图，在菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折，sin 26.5a ︒cos 26.5a ︒tan 26.5a ︒tan 26.5a︒Rt ABC 1213513512125Rt ABC ∆90BCA ∠=︒CD AB ⊥D sin AD B AC =BC AC AB CD ⋅=⋅BC =8AD =4CD =ABCD 45B ∠= AE BC ABE ∆AE得到，若，则菱形的边长为（ ）AB ．C ．D11．如图，在□ABC D 中，AB=6，∠B=75°，将△ABC 沿AC 边折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于E ，∠B′AE=45°，则点A 到B ′C 的距离为（）A ．B ．CD 12．如图，平面直角坐标系中，，，将绕顶点顺时针旋转一定角度到处，此时线段与的交点为的中点，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，把三角形纸片折叠，使的对应点在上，点的对应点在上，折痕分别为，，若，，，则的长为（ ）AB E '∆1C B '=-21()0,2A ()B AOB O COD △CD BO E BO D )3-2⎫-⎪⎭ABC C E AB B D BC AD FG 30CAB ∠=︒135C ∠=︒DF =EFABC．3D．14．如图，某天然气公司的主输气管道从市的北偏东方向直线延伸，测绘员在处测得要安装天然气的小区在市的北偏东方向，测绘员由处沿主输气管道步行1000米到达点处，测得小区位于点的北偏西方向，试在主输气管道上寻找支管道连接点，使点到该小区铺设的管道最短，此时铺设的管道的最短距离约是（）．）A．366米B．650米C．634米D．700米二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．在方格纸中的位置如图所示，则的值是________．16．某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是_________．17．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝_____．18．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF ＝3，则tan＝_____．3+A60︒AM A30°AC M C75︒NN1.414≈ 1.732≈α∠tanα43B'C'AC'B AC''∠三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．计算：.20．如图，在△ABC 中（1）作图，作BC 边的垂直平分线分别交于AC ，BC 于点D ，E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）条件下，连接BD ，若BD ＝9，BC ＝12，求∠C的余弦值．22sin 454cos 30︒-︒)0tan 603tan 45--︒+︒21．如图，中，，的平分线交于D ，交的延长线于点E ，交于点F ．（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°ABCAB AC =B ÐAC //AE BC BD AF AB ⊥BE 40BAC ∠=︒AFE ∠2AD DC ==AF探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）23．某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图2)．工作时如图3，动臂BC 会绕点B 转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图4)．(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．(2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?（考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）1.7324．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt △ABC 中，如果∠C=90°，∠=30°，BC ═a=1，，AB=c=2，那么==2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着==的关系．这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在R △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，AB=C ，请判断此时“==”的关系是否成立？答： （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC ，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，请判断此时“ ==”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C 作CD ⊥AB 于D ，过点A 作AH ⊥BC ，再结合定义或其它方法证明）．sin a A sin b Bsin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Csin a A sin b B sin c C25．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C 在B的正北方，A在C的南偏东60°方向且在B的北偏东30°方向．A地每年产奶3万吨；B 地有奶牛9000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20%，三河牛的头数占35%，其他情况反映在图(2)，图(3)中．（1）通过计算补全图(3)；（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？26．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．（1）如图1，若点E 为线段BC 的中点，延长AB '交CD 于点M ，求证：AM ＝FM ；（2）如图2，若点B '恰好落在对角线AC上，求的值；（3）若＝，求∠DAB '的正弦值．BE CE BE CE 32答案一、选择题1．B ．2．D ．3．C ．4．D ．5．A ．6．C.7．B.8．B9．B ．10．C ．11．C ．12．B ．13．A ．14．A二、填空题15．16．17．.18．三、解答题19．原式.20．解：（1）如图所示，直线DE 即为所求；（2）∵DE 是BC 的垂直平分线，∴EC＝BC ＝6，BD ＝CD ＝9，∴cos ∠C ＝＝＝．21．（1）；（2）25127514224=⨯131-+⨯3131=--+=12EC DC 6923125AFE ∠=︒AF =【解析】（1）∵，，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．（2）∵，∴，又，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵，∴，在中，22．根据题意可知：OC ⊥AC ，∠OBC=73.14°，∠OAC=30.97°，AB=4m ，∴AC=AB+BC=4+BC ，AB AC =40BAC ∠=︒18040702ABC ︒︒︒-∠==BD ABC ∠170352ABD DBC ︒︒∠=∠=⨯=AF AB ⊥90BAF ∠=︒9035125AFE BAF ABD ∠=∠+∠=︒+︒=︒//AE BC E DBC ∠=∠ADE CDB ∠=∠AD CD=ADE CDB ≌AE CB =,E DBC ABD DBC∠=∠∠=∠E ABD ∠=∠AB AE =AB CB AC ==ABC 60ABC ∠=︒30ABD ∠=︒2AD DC ==4AB =Rt ABF tan 304AF AB ︒=⋅==∴在Rt △OBC 中，BC=，在Rt △OAC 中，OC=AC •tan ∠OAC ≈(4+BC)×0.6，∴OC=0.6(4+)，解得OC ≈2.9（m ）．答：该设备的安装高度OC 约为2.9m ．23．（1）如图2-1，过点C 作于点G.，，，，，，所以动臂BC 与AB 的夹角为为.（2）如图2-2，过点C 作于点P ，过点B 作于点Q 交CG 于点N.在中，（米）.在中，（米）.（米）.tan OBC 3.3OC OC ∠≈⨯ 3.3OC CG AM ⊥AB AM ⊥ DE AM ⊥////AB DECG ∴180110DCG CDE ︒︒∴∠=-∠=30BCG BCD DCG ︒∴∠=∠-∠=180150ABC BCG ︒︒∴∠=-∠=ABC ∠150︒CP DF ⊥BQ DF ⊥Rt CPD cos 700.51DP CD ︒=⨯=Rt BCN sin 60 1.04CN BC ︒=⨯≈ 2.35DE DP PQ QE DP CN AB ∴=++=++≈如图4，过点D 作于点H ，过点C 作点K.在中，（米）.（米）（米）.所以斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了约0.8米.24．（1）∵=c ， =c ， =c ，∴“==”成立，故答案为成立．（2）作CD ⊥AB 于D ．∵在Rt △ADC 和Rt △BDC 中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=，sinB=，∴=，=，∴=，同理，作AH ⊥BC 于H ，可证=，DH AM ⊥CK DH ⊥Rt KD C sin 50 1.16DK CD ︒=⨯≈3.16DH DK KH ∴=+≈0.8DH DE ∴-≈sin a A sin b B sin c C sin a A sin b B sin c Cb CD aCD sin a A ab CD sin b B ab CD sin a A sin b Bsin b B sin c C∴==．25．解：（1）由图3可知黑白花牛2000头，占20%，则C 地养牛的总头数是：2000÷20%=10000所以三河牛的头数为：10000-2000-4500=3500条形高度在3500左右（2）C 地每种牛所占比例为：三河牛3500÷10000=35%，草原红牛4500÷10000=45%C 地每头牛的年平均产奶量为：6×20%+4×35%+3×45%=3.95（吨）而B 地每头牛的年平均产奶量为3吨；所以C 地每头牛的年平均产奶量比B 地的高；（3）由题意：C 地每年产奶量为10000×3.95＝3.95万吨，B 地每年产奶量为9000×3＝2.7万吨，A 地每年产奶量为3万吨．由题意，∠CBA ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，∵BC ＝100（千米），∴AB ＝100×sin60°≈86.6（千米），∴AC ＝100×sin30°＝50（千米），如果在B 地建厂，则每年需运费W 1＝86.6×3×1＋100×3.95×1＝654.8（万元）如果在C 地建厂，则每年需运费W 2＝50×3×1＋100×2.7×1＝420（万元）而654.8＞420．答：从节省运费的角度考虑，应在C 地建设工厂．sin a A sin b B sin c C26．（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠F ＝∠BAF ，由折叠可知：∠BAF ＝∠MAF ，∴∠F ＝∠MAF ，∴AM ＝FM ．（2）解：由（1）可知△ACF 是等腰三角形，AC ＝CF ，在Rt △ABC 中，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC＝10，∴CF ＝AC ＝10，∵AB ∥CF ，∴△ABE ∽△FCE ，∴；（3）①当点E 在线段BC 上时，如图3，AB '的延长线交CD 于点M ，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即∴CF ＝4，由（1）可知AM ＝FM ．设DM ＝x ，则MC ＝6﹣x ，则AM ＝FM ＝10﹣x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（10﹣x ）2＝82+x 2，解得：x ＝，=63105BE AB CE CF ===32AB BE CF CE ==632CF =95则AM ＝10﹣x ＝10﹣＝，∴sin ∠DAB '＝＝．②当点E 在BC 的延长线上时，如图4，由AB ∥CF 可得：△ABE ∽△FCE ，∴，即，∴CF ＝4，则DF ＝6﹣4＝2，设DM ＝x ，则AM ＝FM ＝2+x ，在Rt △ADM 中，AM 2＝AD 2+DM 2，即（2+x ）2＝82+x 2，解得：x ＝15，则AM ＝2+x ＝17，∴sin ∠DAB '＝．综上所述：当时，∠DAB '的正弦值为或。
第一章 直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章直角三角形的边角关系数学九年级下册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.75°2、中，，，，则的值是（）A. B. C. D.3、若规定sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，则sin15°=（）A. B. C. D.4、Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=2，则sinA=（）A. B. C. D.5、如果，那么锐角∠A的度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（）A. B. C. D.7、如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC的顶点都是网格中的格点，则sin∠BAC的值（）A. B. C. D.8、如图，一块含30°角的直角三角板，它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A.5cmB.6cmC. cmD. cm9、如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为α，在D处测得最高点A的仰角为β，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为h（m），则CD之间的距离为（）A.h•（tanα+tanβ）mB.C.D.10、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A.1B.2C.3D.11、如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（）A.0B.C.D.12、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A. B. C. D.13、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C 在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB= ，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．若点A和点D在同一个反比例函数的图像上，则OB的长是A.2B.3C.D.14、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝4，则∠ACB的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°15、已知∠BAC=90°，半径为r的圆O与两条直角边AB，AC都相切，设AB=a（a＞r），BE与圆O相切于点E．现给出下列命题：①当∠ABE=60°时，BE= ；②当∠ABE=90°时，BE=r；则下列判断正确的是（）A.命题①是真命题，命题②是假命题B.命题①②都是真命题C.命题①是假命题，命题②是真命题D.命题①②都是假命题二、填空题(共10题，共计30分)16、已知，则＝________.17、如图，已知∠ABD=∠C=90°，AD=8，AC=BC，∠DAB=30°则BC= ________.18、定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5 三角函数的应用 同步练习卷(含答案)
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习卷一、选择题1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A.10海里/小时B.30海里/小时C.20海里/小时D.30海里/小时4.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里5.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα=2.5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm6.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米27.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米8.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.二、填空题11.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计）12.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为__________米．13.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．14.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．15.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）16.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .三、解答题17.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）18.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？19.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．20.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.D7.C；8.C；9.C；10.A11.答案为：137．12.答案为：160．13.答案为：．14.答案为：。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》单元检测卷带答案
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》单元检测卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.如图,下列说法:①B在A的东北方向上,A在B的西南方向;②C在A的东偏北15°方向上;③C 在B的东偏南60°方向上;④B在C的北偏西30°方向上.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.42.如图,从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD 为150米,且点A、D、B在同一直线上,那么建筑物A、B间的距离为()A.150√3米B.180√3米C.200√3米D.220√3米的山坡上植树,要想保证水平株距为5 m,则相邻两株树植树地点的高度差应3.小明要在坡度为35为m.4.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6米,下底长为10米,高为2√3米,那么此拦水坝斜坡的坡度为√3,坡角为.【能力巩固】5.在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到距离A点1000 m的C地去,先沿北偏东70°方向到达B地,然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C,此时小霞在营地A的()A.北偏东20°方向上B.北偏东30°方向上C.北偏东40°方向上D.北偏西30°方向上6.如图,自建筑物AB的顶部A测量铁塔CD的高度,若测得塔顶C的仰角为α,塔底D的俯角为β,建筑物与铁塔的距离BD=m(测量仪器的高度忽略不计),则铁塔的高度可表示为()A.mtan(α+β)B.m(tan α+tan β)C.mtanα+tanβD.m·tan(α+β)7.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45)()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米8.小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为∠EAB=60°,∠EAC=30°,且D,B,C在同一水平线上.已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米.参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)【素养拓展】9.如图,小山顶上有一电视塔,在山脚C处测得塔顶A、塔底B的仰角分别为45°和30°,若塔高AB=40 m,则山高BD≈m.(精确到1 m)10.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图,BC∥AD,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=60°.为防夏季因暴雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A不动,从坡顶B沿BC削进到E处,问BE至少是多少米?(结果保留根号)参考答案【基础达标】1.D2.C3.34.√360°【能力巩固】5.C6.B7.A8.解:∵∠EAB=60°,∠EAC=30°,∴∠CAD=60°,∠BAD=30°∴CD=AD·tan∠CAD=√3AD,BD=AD·tan∠BAD=√3AD3∴BC=CD-BD=2√3AD=30米3∴AD=15√3≈25.98米.∴无人机飞行的高度AD为25.98米.【素养拓展】9.5510.解:如图,作BG⊥AD于点G,作EF⊥AD于点F,连接AE,则在Rt△ABG中,∠BAD=60°,AB=40 所以就有BG=AB·sin 60°=20√3,AG=AB·cos 60°=20同理,在Rt△AEF中,∠EAD=45°则AF=EF=BG=20√3所以BE=FG=AF-AG=20(√3-1)米.。
北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的计算》课时练习题(含答案)
北师大版九年级数学下册第一章《3.三角函数的计算》课时练习题（含答案）一、单选题1．cos30︒的值等于（ ）A ．22B ．32C ．1D ．3 2．计算8|2|cos 45+-⨯︒的结果，正确的是（ ）A ．2B ．32C ．223+D ．222+ 3．在△ABC 中，∠A 和∠C 都是锐角，且3sin 2A =，tan 3C =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为( )A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 5．如图，矩形ABCD 中，E 为DC 的中点，AD ：AB ＝3：2，CP ：BP ＝1：2，连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ；②2BF ＝PB •EF ；③PF •EF ＝22AD ；④EF •EP ＝4AO •PO ．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④6．下列各式中不成立的是（ ）A ．22sin 60sin 301︒+︒=B ．tan 45tan30︒>︒C ．tan45sin45>︒︒D ．sin30cos301︒+︒=7．在ABC ∆中，A ∠、B ∠都小于60︒，且()3sin 2A B +=，则C ∠的大小是（ ） A ．120︒ B ．90︒ C ．60︒ D ．30︒8．已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒二、填空题9．计算：|28-|﹣2sin30°﹣(π﹣3)0=____．10．计算：(4−π)0−∣−3∣+2cos45°=______________．11．计算：tan60°﹣cos30°=_____．12．计算：220(1)2cos 602(2022)π++--︒﹣﹣的值是______． 13．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，2,120AB DAB =∠=︒．如图，建立平面直角坐标系xOy ，使得边AB 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，则点C 的坐标是_________．三、解答题14．计算：(1)24sin 602cos452tan45︒︒-︒ ；(2)()10112cos301252π-⎛⎫-︒--- ⎪⎝⎭ ．15．计算：(1)22cos302sin60cos45︒-︒︒()101tan45 3.144cos453π-⎛⎫︒---︒+- ⎪⎝⎭16．（1）计算：()3π12 1.572-⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：2221111202220221x x xx x x++-⎛⎫÷-+⎪---⎝⎭，其中cos60x=︒．17．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试题
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试题一、选择题(本大题共6小题，每题4分，共24分；在每题列出的四个选项中，只要一项契合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，那么∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，那么AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，假设边长都扩展为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩展为原来的5倍C ．都增加为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴区分交于A (0，2)，B 两点，那么tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的正面表示图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既温馨又结实，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果准确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分)7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，那么tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，那么菱形ABCD的周长是________．图1－Z －410．某校研讨性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，每层楼的高度为3米，那么旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，那么△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分)12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°. 13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，教员看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决议在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度停止修正，修正后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保管根号)；(2)假设方案修正前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修正后，假定坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)〝谐和号〞高铁列车的小桌板收起时可近似看作与空中垂直，展开小桌板使桌面坚持水平，其表示图如图1－Z －8所示．衔接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是逐一对应的，依据上述角的邻对的定义，解以下效果：(1)can30°＝________；(2)如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.应选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，那么sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.应选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变．5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .依据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，那么直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.那么点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.那么tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.应选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.应选B.6．[解析] C 衔接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．应选C.7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，那么tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，那么sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，那么AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米． 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)， 即旗杆AB 的高度为9米．11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种状况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8； (2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24. 12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)依据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和标题中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5， ∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延伸EC 至点M ，延伸AD 至点N ，衔接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长． 解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米． 延伸EC 至点M ，延伸AD 至点N ，衔接MN .∵方案修正前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ， 即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延伸CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，那么OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm. 在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75， 解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，那么BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24， 解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。
北师大版九年级下数学第一单元直角三角形的边角关系测试试题(含答案)
九年级数学第一单元测试题 一、选择题(每小题3分，共30分)1．cos 60°的值等于( A ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B 的值为( B )A.43B.34C.35D.453．如图，在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m )，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为( A )A.45B.54C.35D.534．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，则cos A2的值是( A )A.45B.35C.34D.545．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于( C ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°6．点M (－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( B ) A.⎝⎛⎭⎫32，12 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，327．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，下边各组边的比不能表示sin B 的是( B )A.CD BC B.BD BC C.AD AC D.ACAB8．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm9．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB 的长为( B )A ．43米B ．65米C ．125米D ．24米10．如图，要在宽为22米的九洲大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长为2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( D )A.()11－22米B.()113－22米C.()11－23米D.()113－4米二、填空题(每小题4分，共16分)11．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，那么AB ＝__9__．12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15.则△ABC 的周长是__36__．13．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是________．14．如图，从一个建筑物的A 处测得对面楼BC 的顶部B 的仰角为32°，底部C 的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD 为31 m ，则楼BC 的高度约为__50__m ．(结果取整数，参考数据：sin 32°≈0.5，cos 32°≈0.8，tan 32°≈0.6)三、解答题(共54分) 15．(8分)计算：(1)2sin 30°＋cos 60°－tan 60°·tan 30°＋cos 245°； (2)16＋⎝⎛⎭⎫－12－1＋(3－5)0－3cos 30°. 解：(1)原式＝2×12＋12－3×33＋⎝⎛⎭⎫222＝1.(2)4＋(－2)＋1－3×32＝3－32＝32. 16．(9分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，∠C ＝90°. (1)已知c ＝83，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ； (2)已知a ＝36，∠A ＝30°，求∠B ，b ，c . 解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， b ＝a tan A ＝36tan 30°＝3633＝9 2.17．(9分)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设过点C 作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于点D ，经测量，∠ABD ＝135°，BD ＝800米，求在直线l 上距离点D 多远的C 处开挖？(2≈1.414，精确到1米)解：∵CD ⊥AC ， CD 2＋BC 2＝BD 2， BD ＝800米，∴CD ＝400 2≈566(米)，即在直线l 上距离点D 约566米的C 处开挖．18．(9分)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问：小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin 20°≈0.34, cos 20°≈0.94, tan 20°≈0.36)解：在Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴5.64米在5.3～5.7米范围内，故符合要求．19．(9分)如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．(结果保留小数点后两位，参考数据：sin 22°≈0.374 6, cos 22°≈0.927 2, tan 22°≈0.404 0)解：由图可知∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°，∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°.m)．20．(10分)为了安全，请勿超速．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时．为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：没超速．理由如下：14．6米/秒＜1623米/秒，故此车没有超速．B卷(50分)一、填空题(每小题5分，共20分)21．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为__2__．错误!第22题图)22．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB, cos A＝35，BE＝2，则tan∠DBE的值是__2__．23．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，将Rt△ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕为BE，这样可以求出22.5°的正切值是．第23题图第24题图24．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°.如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上的N处，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB是__a__米．二、解答题(共30分)25．(10分)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个码头，A在B的正东方向．一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A，B两个码头间的距离．(结果都保留根号)解：如答图，过点P作PM⊥AB于点M，则∠PMB＝∠PMA＝90°.∵∠PBM＝90°－45°＝45°，∠PAM＝90°－60°＝30°，AP＝20海里，即小船到B码头的距离是102海里，A，B两个码头间的距离是(10＋103)海里．26．(10分)广安市政府对城市建设进行了整改．如图所示，已知斜坡AB长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC.现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两个小题结果都保留根号)(1)若修建的斜坡BE的坡比为3∶1，求休闲平台DE的长度；(2)一座建筑物GH距离点A33米(即AG＝33米)，小亮在点D测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？解：(1)∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，∴BF＝DF＝30(米)．∵BE的坡比为3∶1，∴∠BEF＝60°.∵tan∠BEF＝BFEF＝3，∴EF＝BF3＝303＝103(米)．∴DE＝DF－EF＝(30－103)米，即休闲平台DE的长为(30－103)米．(2)如答图，过点D作DP⊥AC于点P，则四边形GPDM为矩形．∵D为AB的中点，∴AD＝12AB＝302米，∴AP＝DP＝GM＝30米，∴MD＝GP＝33＋30＝63(米)．∵tan∠HDM＝HMMD，即HM63＝33，∴HM＝6333＝213(米)．∴GH＝GM＋HM＝(30＋213)(米)，即建筑物GH高为(30＋213)(米)．27．(10分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C.利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin 30°sin 45°＝6×1222＝3 2.问题解决：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？解：(1)△A1A2B2是等边三角形．证明：如图，由题意，得A2B2＝102海里，∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°.又∵∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，∴在△A1B2B1中，由正弦定理得B1B2sin 45°＝A1B2sin 60°，∴B1B2＝A1B2sin 60°·sin 45°＝2033海里，∴乙船的速度大小为2033÷2060＝203(海里/小时)，。
北师大版九年级数学下册第一章训练题1.5 三角函数的应用
5. 三角函数的应用1．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km.从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )A ．4 km B.()2＋2 km C ．2 2 km D.()4－2 km2. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是___ _ (结果保留根号)3．如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)4．为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港，某日在观测点A 处发现在其北偏西36.9°的C 处有一艘渔船正在作业，同时监测到在渔船的正西B 处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D 处进行躲避．已知避风港D 在观测点A 的正北方向，台风中心B 在观测点A 的北偏西67.5°的方向，渔船C 与观测点A 相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？(参考数据：sin 36.9°≈0.6，tan 36.9°≈0.75，sin 67.5°≈0.92，tan 67.5°≈2.4)5．如图，小明从点A 处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B ，sin α＝513，然后又沿着坡度为i ＝1∶4的斜坡向上走了1千米到点C.问小明从点A 到点C 上升的高度CD 是多少千米？(结果保留根号)参考答案【知识管理】 1．2.仰角 俯角 【归类探究】【例1】 从B 处到达C 岛需要1小时．【例2】 (1)两建筑物底部之间的水平距离BD 的长度为60 m ．(2)建筑物CD 的高度为(60－203) m .【当堂测评】 1．C 2.16 【分层作业】1．B 2.(9＋33) 3.渔船从B 点开始行驶3－34小时离观测点A 距离最近．4．解：由题意可知∠BAD ＝67.5°，∠CAD ＝36.9°，AC ＝350海里．在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠DAC ＝36.9°，AC ＝350海里，∴CD ＝AC •sin ∠DAC ≈350×0.6＝210(海里)，AD ＝AC 2－CD 2≈280(海里)．∴渔船到达避风港D 处所用时间：210÷18＝1123(小时)．在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝67.5°，∴BD ＝AD •tan ∠BAD ≈280×2.4＝672(海里)，∴BC ＝BD －CD ≈672－210＝462(海里)．设强台风移动到渔船C 后面200海里时所需时间为x 小时．根据题意得(40－18)x ＝462－200，解得x ＝111011.∵1123＜111011，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．5．解：如答图所示，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E .由题意得AB ＝0.65千米，BC ＝1千米，∴sin α＝513＝BF AB ＝BF 0.65，∴BF ＝0.65×513＝0.25(千米)．∵斜坡BC 的坡度为1∶4，∴CE ∶BE ＝1∶4.设CE ＝x 千米，则BE ＝4x 千米．由勾股定理得x 2＋(4x )2＝12，解得x ＝1717，∴CD ＝CE ＋DE ＝CE ＋BF ＝14＋1717(千米)．即小明从点A 到点C 上升的高度CD 是⎝⎛⎭⎫14＋1717千米．。
北师大版九年级数学下册试题第一章《三角函数》单元测试题.docx
初中数学试卷鼎尚图文**整理制作九年级下第一章《三角函数》单元测试题姓名______________成绩____________ 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．cos30°= （）A ．32B.33C.12D.32．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=512，那么sinB的值的等于（）A 、513B、1213C、512D、1253．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α=75º，若AC＝6米，则树高BC为（）A．6sin75º米 B．6cos75米 C．6tan75米 D．6tan75º米4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）A．35B．45C．43D．545．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinB的值是AB CA．54B．53C．45D．356．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）A.12B.22C.32D.33 7．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，AD=3，cosB=3/5，则AC 等于（ ）A 、4B 、5C 、6D 、78．在△ABC 中，若|sinA-12|+（33-tanB ）2=0，则∠C 的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°9．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是310cm ，则皮球的直径是（ ）A 、35B 、15C 、10D 、3810．如图（1），点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s,设P ，Q 出发ts 时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系的图象如图（2）则下列正确的是（ ）A ．AE=6cm ；B ．sin ∠EBC=54 ABC D 60C ．当0＜t ≤10时，252t y D ．当t=12时，△BPQ 是等腰三角形二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）11．计算：2sin60°= ．12．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ，若AD ＝10，AB ＝6，则tan ∠EDF 的值是 ．13．如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=32，则t 的值是 ．14． 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C . 则A′C 长度的最小值是 .三．解答题（共54分）15．（8分）计算：8-4sin45°+20)31()3(--+-π16．（8分）计算：()201132sin 6042π-⎛⎫---++︒+- ⎪⎝⎭．17．（12分）（2015秋•南郑县校级月考）如图所示，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？18．（13分）测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．19．（13分）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．（1）求点B到AC的距离；（2）求线段CD的长度．。