利息理论第三章 收益率
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金融学基础-3章--利率与收益率
13
2．吉布逊谜团的解释
MS↑后 流动性效应 收入效应 价格效应 通胀预期效应 R↓ R↑ R↑ R↑
（1）收入效应 MS↑—经济扩张—国民收入和财富↑—货币需求Md↑—R↑ （2）价格效应 MS↑—物价水平P↑—对名义Md↑—R↑ （3）通胀预期效应 MS↑—人们预期未来价格↑—预期通胀↑—Md↑—R↑
30天国库券 均值 标准差 Max Min 3.81 3.27 14.86 -0.06 20年期国债 5.58 9.27 39.74 -7.19 SP500种股 票组合 8.17 19.66 46.59 -47.07 CPI 3.2 4.52 18.13 -10.28
38
五．利率的种类
（一）年率、月率、日利率
14
3．利率变动的最终效果
MS↑后 流动性效应 收入效应 价格效应 通胀预期效应 R↓ R↑ R↑ R↑
取决于流动性效应与后三种效应的常预期效应取决于人们调整的快慢。
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影响利率的因素
任何种类的贷款或固定收益证券的利率 高低取决于多种因素，其中最重要的3个：
abc公 司券价 Dc 1 Pt2 Pc1 Pc2 Sc Dc 2 利率i ic1 ic2 St 利率i Pt1 政府债 券价格 Dt 1 it2 it1 Dt 2
违约风险对利率的影响
21
表例：违约风险对利率的影响
下表列示违约风险程度不同的＄债券的利率：
国债
1-10年 10年以上 1-10年 高质量 中等质量 高质量 中等质量
34
二．利率的平均化
金融市场 激烈竞争
同类资产 利率趋同
35
三．（预期）收益率的决定因素
1．资本品预期生产率或资本品收益率
如煤矿、大坝、电站、工厂、机器、存货、研发投资所形 成的无形资本等。其生产率或资本的预期收益率高低取决 于技术状况、自然资源禀赋、劳动力禀赋、对资本品所生 产的商品及劳务的Ｓ和Ｄ。
利息理论第三章课后答案
利息理论第三章课后答案《金融数学》课后习题参考答案第三章 收益率1、某现金流为：元，元，元，元，求该现金流的收益率。
解：由题意得：2、某投资者第一年末投资7000元，第二年末投资1000元，而在第一、三年末分别收回4000元和5500元，计算利率为0.09及0.1时的现金流现值，并计算该现金流的内部收益率。
解：由题意得：当时， 当时，令3、某项贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12%，若第一年后还款400元，第5年后还款800元，余下部分在第7年后还清，计算最后一次还款额。
解：由题意得：4、甲获得100000元保险金，若他用这笔保险金购买10年期期末付年金，每年可得15380元，若购买20年期期末付年金，则每年可得10720元，这两种年金基于相同的利率，计算。
3000o o =11000o =12000I =24000I =2001122()()()0O I O I v O I v -+-+-=23000100040000v v --=4133v i ⇒=⇒=23(0)[(47) 5.5]1000V v v v =--+⨯0.09i =(0)75.05V =0.1i =(0)57.85V =-(0)00.8350.198V v i =⇒=⇒=40.121(10.88854i v +=+⇒=571000400800657.86v pv p =++⇒=i i解：由题意得： 5、某投资基金按积累，，在时刻0基金中有10万元，在时刻1基金中有11万元，一年中只有2次现金流，第一次在时刻0.25时投入15000元，第二次在时刻0.75时收回2万元，计算k 。
解：由题意得：6、某投资业务中，直接投资的利率为8%，投资所得利息的再投资利率为4%，某人为在第10年末获得本息和1万元，采取每年末投资相等的一笔款项，共10年，求证每年投资的款项为：。
证明：7.某投资人每年初在银行存款1000元，共5年，存款利率为5%，存款所得利息的再投资利率为4%，证明：V （11）=1250（。
第三章利息与利率《金融学概论》PPT课件
二、利率种类
1、存款利率与贷款利率
贷款利率－存款利率＝存贷利差
1996年以来我国一年期存贷款利差的变动情况 单位：%
时间
存款利率
贷款利率
利差
调整前
10.98
12.06
1.08
1996.5.1
9.18
10.98
1.80
1996.8.23
7.47
10.08
2.61
1997.10.23
5.67
8.64
2.93
第三章利息与利息率
第一节利息与利息率概述
一、利息与利息率的概念 利息是借款者为取得货币资金的使用 权而支付给贷款者的一定代价,或者 说是货币所有者因暂时让渡货币资 金使用权而从借款者手中获得的一 定报酬。
利息率
利息率简称利率,是指一定时期内利息额与借 贷本金之间的比率。用公式表示为:
利率＝ 利息额 100％ 借贷资本金额
贷款利率的下限管理与存款利率的上限管理。
2012 年6月8日和7月6日，中国人民银 行两次调整金融机构存贷款利率浮动区 间。允许金融机构存款利率上浮，浮动 区间的上限由基准利率调整为基准利率 的1.1倍。放宽金融机构贷款利率浮动 区间，6月8日，贷款利率浮动区间下限 由基准利率的0.9倍调整为0.8倍；7月6 日，贷款利率下限继续调整为0.7倍。
固定利率是指在借贷期内不随借贷 供求状况而变动的利率。适用于短 期借贷。实行固定利率对于借贷双 方准确计算成本与收益十分方便， 同时也锁定了融资成本或风险。它 是一种较为传统的计息方式。
浮动利率是一种在借贷期内可定期调整的利 率。根据借贷双方的协定，由一方在规定的 时间依据市场利率进行调整，每3个月或6个 月调整一次。
货币金融学——第3章利息与利息率
设A 为本金 Sn=A(1+r); Sr=A(1+i） A(1+r)=A(1+i）(1+p) r=(1+i)(1+p)-1
再导出： i=[(1+r)/（1+p)]-1
约瑟夫•马西提出了这一学说，他认为贷款人 贷出的是货币或资本的使用价值，即生产利润的 能力，“人们为了使用他们所借的东西而作为利 息支付的，是所借的东西能够生产的利润的一部 分。”贷款人因此得到的利息直接来源于利润， 并且是利润的一部分。马克思认为这是一个伟大 的发现。返回
剩余价值说：
亚当•斯密认为利息具有双重来源：其一。 当借贷的资本用于生产时，利息来源于利润；其 二，当借贷的资本用于消费时，利息来源于别人 的收入，如地租等。利息由于一般说来代表剩余 价值，始终只是从利润中派生的形式。返回
P＝C / r
例：一笔贷款一年的利息收有50元，市场年平均利率5%，那么 可以知道本金为50÷0.05=1000元
★收益资本化在经济生活中被广泛地应用.
▲ 例1: 土地价格=土地年收益/年利率，是地租的资本化 ▲ 例2: 人力资本价格=年薪/年利率，是工资的资本化 ▲ 例3: 股票价格=股票收益/市场利率，是股息的资本化
二、利息的本质
1. 西方古典经济学派的利息理论
1）利息报酬说（威廉•配第和约翰•洛克
2）资本租金论（达德利•诺思）
3）利息源于利润说（约瑟夫•马西）
4）利息剩余价值说（亚当•斯密）
2. 近代西方学者的利息理论 3. 马克思的利息理论
节欲论（纳骚•西尼尔） 边际生产力说（约翰•克拉克
人性不耐说节（欧欲文论•费雪）
例1：某土地年地租为1800元，年利率1.8%，该土 地价格为多少？
再导出： i=[(1+r)/（1+p)]-1
约瑟夫•马西提出了这一学说，他认为贷款人 贷出的是货币或资本的使用价值，即生产利润的 能力，“人们为了使用他们所借的东西而作为利 息支付的，是所借的东西能够生产的利润的一部 分。”贷款人因此得到的利息直接来源于利润， 并且是利润的一部分。马克思认为这是一个伟大 的发现。返回
剩余价值说：
亚当•斯密认为利息具有双重来源：其一。 当借贷的资本用于生产时，利息来源于利润；其 二，当借贷的资本用于消费时，利息来源于别人 的收入，如地租等。利息由于一般说来代表剩余 价值，始终只是从利润中派生的形式。返回
P＝C / r
例：一笔贷款一年的利息收有50元，市场年平均利率5%，那么 可以知道本金为50÷0.05=1000元
★收益资本化在经济生活中被广泛地应用.
▲ 例1: 土地价格=土地年收益/年利率，是地租的资本化 ▲ 例2: 人力资本价格=年薪/年利率，是工资的资本化 ▲ 例3: 股票价格=股票收益/市场利率，是股息的资本化
二、利息的本质
1. 西方古典经济学派的利息理论
1）利息报酬说（威廉•配第和约翰•洛克
2）资本租金论（达德利•诺思）
3）利息源于利润说（约瑟夫•马西）
4）利息剩余价值说（亚当•斯密）
2. 近代西方学者的利息理论 3. 马克思的利息理论
节欲论（纳骚•西尼尔） 边际生产力说（约翰•克拉克
人性不耐说节（欧欲文论•费雪）
例1：某土地年地租为1800元，年利率1.8%，该土 地价格为多少？
货币金融学——第3章利息与利息率
偿还金额=本金+利息 利息=本金×利息率
（1） （2）
将上式整理得:
i是指利息率
偿还金额=本金×（1+i） （4）
张力的朋友应该支付的金额为 1060元 = 1000元× 1.06 将（4）式改写为
P1 = P0 ( 1+i )
P0 是现在的价值；P1 是将来的价值；
1000
1060
现在如果张力的朋友不是借一年，而是借二年， 并且两年后才向张力还款。在这个例子中，复利 开始起作用。
案例3-1 （课堂分析讨论）
某企业有一项工程需10年建成。有甲、乙 两个投资方案。甲方案第一年年初需投入 5000万元，以后9年每年年初在追加投资500 万元，共需投资9500万元；乙方案是每一年 年初平均投入1000万元，共需投资1亿元。从 投资总额上看，甲方案少于乙方案；但从资 金占压时间看，乙方案似较甲方案好一些， 不过也说不太准：第一年的投入甲方案虽明 显大于乙方案，第二年以后每年的投入，乙 方案又大于甲方案。应该做出怎样的决策呢？
式中（l＋i）n称为一次支付终值系数。
三、现值(贴现)及其应用
现值1000元
终值1060元
贴现：未来取得货币的现值
例题1：某电影女明星签约参加一部电影的拍
摄，
公司同意现在付给她600万元，或也可以在5
年后付
给她750万元作为酬劳，它会选择哪一个方案
呢？
我们把（5）式变动一下。
P0＝ Pn /( 1+ i )n
甲方案
年份 每年年初 投资额 值
1 1000
5000
2 909.0
500
3 826.45
500
4 751.31
第3章收益率01ppt课件
1 isnj
(3 .2 )
பைடு நூலகம்
在标准年金中，各次付款产生的利息的再投资收益率均为j，付款的本金之和随时间推移逐年增加，每期所产生
的利息也就逐年增加。时刻n的积累本息和为：
ni(Is)n 1jnigsnijn
(3.3)
若i=j，则上式化简为 s n
。
i
【例题3.4】某贷款原计划每半年归还50，加上以年利率4%（每半年计息一次）及未偿还贷款余额条件下计算 的每半年应还的利息，共10年。后来这些还款以年利率5%（每半年计息一次）进行再投资，10年末一次性归还。 则此贷款的年投资收益率为（ ）。
【例题3.7】某投资人在一年中不同的四个时点各投资100元，如表3-2所示。 表3-2 各时刻投资额及基金积累额
时间点 各时刻基金积累额
各时刻投资额
0
1
2
3
100
245
375.5
389.6
100
100
100
4 533.56
100
投资额加权收益率和时间加权收益率分别为（ ）。 A．11.20%；38.10% B．12.2%；37.10% C．13.2%；36.10% D．14.20%；35.10% E．15.2%；34.10% 【答案】A 【解析】（1）计算投资额加权收益率。 已知A=100，B=533.56，C=400，I=533.56－100－400=33.56，所以：
§3.2 收益率的应用
1．基金收益率
A：期初基金的资本量；
B：期末基金的本息和；
I：投资期内基金所获得的收入；
Ct：t时刻投入基金或从基金中赎回的资金量，0≤t≤1；
C：在此期间注入或赎回的资金之和，即C Ct；
利息理论第三章课后答案
《金融数学》课后习题参考答案第三章 收益率1、某现金流为：元，元，元，元，求该现金流的收益率。
解：由题意得：2、某投资者第一年末投资7000元，第二年末投资1000元，而在第一、三年末分别收回4000元和5500元，计算利率为及时的现金流现值，并计算该现金流的内部收益率。
解：由题意得：当时，当时，令3、某项贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12%，若第一年后还款400元，第5年后还款800元，余下部分在第7年后还清，计算最后一次还款额。
解：由题意得：4、甲获得100000元保险金，若他用这笔保险金购买10年期期末付年金，每年可得15380元，若购买20年期期末付年金，则每年可得10720元，这两种年金基于相同的利率，计算。
解：由题意得： 08688.010720153802010=⇒=i a a i i5、某投资基金按积累，，在时刻0基金中有10万元，在时刻1基金中有11万元，一年中只有2次现金流，第一次在时刻时投入15000元，第二次在时刻时收回2万元，计算k。
解：由题意得：6、某投资业务中，直接投资的利率为8%，投资所得利息的再投资利率为4%，某人为在第10年末获得本息和1万元，采取每年末投资相等的一笔款项，共10年，求证每年投资的款项为：。
证明：7.某投资人每年初在银行存款1000元，共5年，存款利率为5%，存款所得利息的再投资利率为4%，证明：V（11）=1250（。
V(11)=1000[5(1++(Is)8.甲年初投资2000元，年利率为 17%，每年末收回利息，各年收回的利息按某一利率又投资出去，至第10 年末，共得投资本息和元。
乙每年末投资150元，年利率14%，共20年，每年收回的利息按甲的再投资利率投资。
计算乙在第20年末的投资本息和。
9.某投资基金年初有投资2万元，年收益率为12%，3月末又投入资金5000元，9月末赎回资金8000元，假设1-t it=(1-t)i 计算年末基金的资金量。
[经济学]第3章 利息与利息率_OK
![[经济学]第3章 利息与利息率_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/1152544369dc5022abea009e.png)
应付利息=10,000×181×(1.89%÷360)+650000×(0.72%÷360)
=108.03 元
2021/8/27
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你刚刚中了500万的彩票，在以后10年内该彩票每年支付50万，你真的赢得了500万吗？
(3)货币的时间价值——金融学三大分析支柱之一
定义：一定量的货币在不同时间的定点具有不同的经济价值。
2021/8/27
8
一、利率的概念
利率：是利息率的简称，指借贷期内所形成的利息额 与所贷资金额的比率。即用百分比表示的一定时期内利息
额与本金的比率。
利息率= 利息额/借贷资金额 × 100%
计息周期
年利率=12*月利率=360*日利率
日利率 1 *月利率 1 * 年利率
30
360
2021/8/27
2021/8/27
21
折现率（到期收益率）的认识
到期收益率是指来自于某种信用工具的收入的现值 总和与其今天的价值相等时的利率水平。
投资者用P元投资于某种信用工具，ｎ年后可一次 得到S元的总收入，那么折现率ｉ将由下面的公式决定：
S= P（1+i）n
S (1 i)n
P
i n s p 1
2021/8/27
答案：
原定存期选择公式“利息=本金×年（月）数×年（月） 利率”；逾期部分按活期储蓄存款计息，利息计算如下：
应付利息=10000×6×(1.89%÷12)+65天×10000×(0.72%÷360)
=107.5 元
原定存期选择公式“利息=本金×实际天数×日利率”；
逾期部分按活期储蓄存款计息，利息计算如下：
2021/8/27
18
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3.1.2 收益率:是否唯一
例3-5 一家存贷合作社宣布同时提供存贷业务，存贷款利率由 双方面议，对同一个客户，存、贷利率相等，合作社还公布其 所成交的每一笔业务的收益率。现有某人在一年后需用有2万 元资金，于是想到这家存贷合作社贷款。该人现有1万元，并 计划在2年后将所需还款一次还清。在向合作社说明了来意和 还款计划后，合作社惊奇地发现，除非存贷利率为0，否则无 论如何都无法公布该笔业务的收益率，为什么？
n (1+ isn j ) vk =1
(3-4) (3-5)
k= n 1 isn j 1 容易验证，k 介于 j 和 i 之间。
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3.1.3 再投资收益率
考虑标准年金中，各次付款产生的利息的再投资利率为 j.
本金偿还： 利息流： 时间： 投资支出： 0 1 1 2 1 i 2i 3 1 … … … (n-4)i n-3 1 (n-3)i n-2 1 (n-2)i n-1 1 n (n-1)i n 1
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3.1.2 收益率:是否唯一
对照着收益率的定义，容易发现可能存在如下的问题： 收益率可能不存在！ 对于同一个投资项目，可能同时存在多个收益率，即收益 率可能不唯一！ 例3-4 某两人达成如下的一项协议：甲先借9950元给乙，两年 后再给乙15000元；作为回报，一年后乙支付24500元给甲。求 该项协议中，甲（从而也是乙）的收益率。
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3.2
收益率的运用
3-2-1 币值加权收益率
假设
投资者在期初投资 A 元购买基金，或期初投资者基金帐户 的余额为A；
在期末投资者基金帐户的余额为B，或投资者在期末可收 回的投资回报为B； 用I表示这一期内总的投资(基金投资)自增利息量； 用Ct表示t时追加的净投资金额，0<t<1；Ct可以为负值， 负的Ct表示在t时有净的资金撤出； 用C 表示在此期间追加的净投资资金的总和，即C=ΣCt； 用i记年度收益率。
第三章
收益率
3.1 收益率 3.2 收益率的运用
3-1-1 现金流分析
现金流出：O0 O1 O2 … On-1 On
现金流入 时间
I0 0
I1 1
I2 2
…
I n-1 n-1
In n
…
图(3-1) 投资记录时间图
令Ct Ot I t , 表示时刻t的投资支出，则Ct 表示t时刻的净现金流出。 如果从投资人投资回收的角度： 令Rt I t Ot , 则Rt 表示时刻t的净现金流入。
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3.1.2 收益率的定义：几个知识点
例3-3 利用计算机计算表3-1中的现金流收益率。
年份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 投入 收回 净现金流Rt vt Rt*vt 10000 -10000 1.0000 -10000.0000 5000 -5000 0.8853 -4426.3932 1000 -1000 0.7837 -783.7183 1000 -1000 0.6938 -693.8091 1000 -1000 0.6142 -614.2143 1000 -1000 0.5438 -543.7508 1000 8000 7000 0.4814 3369.5971 1000 9000 8000 0.4261 3409.1799 1000 10000 9000 0.3773 3395.3334 1000 11000 10000 0.3340 3339.7957 12000 12000 0.2957 3547.9798 23000 50000 27000 0.0001 i= 0.1296
T=0时：
T=1时： 则i=?
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3.1.2 收益率唯一存在的充分条件
若在整个投资期间，如果净现金流的方向只改变一次，那 么该项目的收益率唯一存在。具体地说，对于一项[0,n]上 的项目，如果存在一个时刻 t* ，使在 t* 之后的净现金流方 向是一致的， t* 之前的净现金流向也是一致的，且这两个 现金流方向相反，则收益率必然是唯一存在的。用符号表 示就是：存在 0<t*<n ，使当 0<t<t* 时， Rt<0 ，而当 t*<t<n 时，Rt>0。 若在整个投资期间，在投资项目结束前，投资项目的余额 总为正，则如果存在收益率，那么收益率一定是唯一的。
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3-2-1 基金收益率
例3-11 某财险公司去年业务现金流如下，假设年初承保， 年末业务全部到期，没有未决赔款（单位：万元）。
年初资产：10000 保费收入：1000 投资毛收入：530 赔款支出：420
投资费用：20
其他支出：180
根据以上信息计算公司的收益率。
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3-2-2 时间加权收益率
每 股 1.5 基 金 价 1 格 0.5
0
0 0.5 1
图(3-4) 基金的价格走势图
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时间加权方法计算收益率同样是基于投资者的投资记录，其做法可以被描述为： 首先，根据投资者的现金流动情况，将整个投资期划分为若干个小期，以每个有现 金流动的时刻为划分点，然后根据投资记录，确定每个小期上的投资收益率，因为 相对于每个小期来讲，期间没有任何的存取，所以适用一次借贷的模型，因此各小 期上的小期积累因子即为相应期末的余额除以期初用于本小期积累的余额，所有这 些小期的积累因子的乘积减掉1即为时间加权收益率。
2 4 4X =1 1 X 2
显然，如果 X<1，则有两个收益率存在，如果 X>1， 则不存在收益率，因此，只有当 X=1 时，有一个收益率， 而该收益率正好又为 0。
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3.1.2 收益率:是否唯一
例3-6 某甲向乙借款1000元，年利率为10%，转手贷给丙， 年利率为15%，期限都为一年。计算甲的收益率。 解： 从甲的现金流看：
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3.1.2 收益率:是否唯一
解：根据题意，甲的净流入现金流为： R0=-9950，R1=24500，R2=-15,000 于是由 å Rt vt =0
t=0v-15000v2=0 即， 9950(1+i) 2-24500(1+i)+15000=0 解得：i=32.17%或 14.06%
图(3-3) 年金投资产生的现金流
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3.1.3 再投资收益率
积累值为 n+ i( Is)n1 j (3-6)
投资者的净回报现金流，R1=R2=…=Rn-1=-1， Rn=n-1+ i( Is)n1 j ，收益率 k 满足：
n [n+ i( Is)n1 j ] vk = an k 或
本金返还： 利息流： 时间 投资支出： 0 1 1 i i 2 3 i … … i i n-2 i n-1
1 i n
图(3-2)单位投资产生的现金流
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3.1.3 再投资收益率
积累值 1+ isn j (3-3)
该投资人的净回报现金流为 R0=-1，Rn=1+ isn j ， 因此，投资收益率 k 满足：
Rt 现金流是从投资方或者贷出方的角度进行分析的；Ct 现金流是从投资项目或者借入方的角度进行分析的。 即从Rt 或者Ct 的角度考虑，计算的收益率是相等的。 对贷出方而言，收益率越高越好。对借入方而言，收益 率越低越好。 实务中，i可以为正、可以为零可以为负。其负值区间 为：[-1，0)。 对于不同的投资项目，只能在相等的投资期间进行收益 率的比较。
10
总计
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12000
50000
12000
27000
案例说明
令： V 0 vt Rt
t 0 n
通过现金流折现对现金流进行分析的方法，叫做现金流折现分析。 如果确定了折现利率i, 通过上式，即能计算投资的净现值。 上例中，如果i=0.08,计算表中的现金流现值。
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3.1.3 再投资收益率
通常，我们未考虑投资回报的再投资问题，假定再投资收 益率与原投资收益率相等。现实中并非如此。 如每年付息的债券； 股息分配
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3.1.3 再投资收益率
考虑在0时刻的投资1，投资期限n年，每年获得利息i, 每年付息后利息需要再投资，投资利率为j.
3-1-2 收益率的定义
使得项目的净现值为0的利率i为相应投资项目的收益率。
V 0 v t Rt =0
t 0
n
也称内部收益率。
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收益率：例3.2
例3-2 求利率为何值时，第2年支付2000元、第4年支付 3000元得现值和为4000元。
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3.1.2 收益率的定义：几个知识点
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案例说明
某人第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。 以后每一年初投资1000元。总共投资10次。从第七年 后，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第 八年初收回9000元。。。第11年初收回12000元。
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案例说明
表(3-1) 原始记录表(单位：万元) 年份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 投入 10000 5000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 23000 8000 9000 10000 11000 收回 净现金流Rt -10000 -5000 -1000 -1000 -1000 -1000 7000 8000 9000 10000
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3-2-1 基金收益率
用 1/2 来取代所有的 t i≈I/(A+C/2) =2I/(A+B-I) 用 k 取代 t I I i≈ ≈ A Ct (1 t ) A (1 k ) Ct
3.1.2 收益率:是否唯一
例3-5 一家存贷合作社宣布同时提供存贷业务，存贷款利率由 双方面议，对同一个客户，存、贷利率相等，合作社还公布其 所成交的每一笔业务的收益率。现有某人在一年后需用有2万 元资金，于是想到这家存贷合作社贷款。该人现有1万元，并 计划在2年后将所需还款一次还清。在向合作社说明了来意和 还款计划后，合作社惊奇地发现，除非存贷利率为0，否则无 论如何都无法公布该笔业务的收益率，为什么？
n (1+ isn j ) vk =1
(3-4) (3-5)
k= n 1 isn j 1 容易验证，k 介于 j 和 i 之间。
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3.1.3 再投资收益率
考虑标准年金中，各次付款产生的利息的再投资利率为 j.
本金偿还： 利息流： 时间： 投资支出： 0 1 1 2 1 i 2i 3 1 … … … (n-4)i n-3 1 (n-3)i n-2 1 (n-2)i n-1 1 n (n-1)i n 1
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3.1.2 收益率:是否唯一
对照着收益率的定义，容易发现可能存在如下的问题： 收益率可能不存在！ 对于同一个投资项目，可能同时存在多个收益率，即收益 率可能不唯一！ 例3-4 某两人达成如下的一项协议：甲先借9950元给乙，两年 后再给乙15000元；作为回报，一年后乙支付24500元给甲。求 该项协议中，甲（从而也是乙）的收益率。
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3.2
收益率的运用
3-2-1 币值加权收益率
假设
投资者在期初投资 A 元购买基金，或期初投资者基金帐户 的余额为A；
在期末投资者基金帐户的余额为B，或投资者在期末可收 回的投资回报为B； 用I表示这一期内总的投资(基金投资)自增利息量； 用Ct表示t时追加的净投资金额，0<t<1；Ct可以为负值， 负的Ct表示在t时有净的资金撤出； 用C 表示在此期间追加的净投资资金的总和，即C=ΣCt； 用i记年度收益率。
第三章
收益率
3.1 收益率 3.2 收益率的运用
3-1-1 现金流分析
现金流出：O0 O1 O2 … On-1 On
现金流入 时间
I0 0
I1 1
I2 2
…
I n-1 n-1
In n
…
图(3-1) 投资记录时间图
令Ct Ot I t , 表示时刻t的投资支出，则Ct 表示t时刻的净现金流出。 如果从投资人投资回收的角度： 令Rt I t Ot , 则Rt 表示时刻t的净现金流入。
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3.1.2 收益率的定义：几个知识点
例3-3 利用计算机计算表3-1中的现金流收益率。
年份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 投入 收回 净现金流Rt vt Rt*vt 10000 -10000 1.0000 -10000.0000 5000 -5000 0.8853 -4426.3932 1000 -1000 0.7837 -783.7183 1000 -1000 0.6938 -693.8091 1000 -1000 0.6142 -614.2143 1000 -1000 0.5438 -543.7508 1000 8000 7000 0.4814 3369.5971 1000 9000 8000 0.4261 3409.1799 1000 10000 9000 0.3773 3395.3334 1000 11000 10000 0.3340 3339.7957 12000 12000 0.2957 3547.9798 23000 50000 27000 0.0001 i= 0.1296
T=0时：
T=1时： 则i=?
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3.1.2 收益率唯一存在的充分条件
若在整个投资期间，如果净现金流的方向只改变一次，那 么该项目的收益率唯一存在。具体地说，对于一项[0,n]上 的项目，如果存在一个时刻 t* ，使在 t* 之后的净现金流方 向是一致的， t* 之前的净现金流向也是一致的，且这两个 现金流方向相反，则收益率必然是唯一存在的。用符号表 示就是：存在 0<t*<n ，使当 0<t<t* 时， Rt<0 ，而当 t*<t<n 时，Rt>0。 若在整个投资期间，在投资项目结束前，投资项目的余额 总为正，则如果存在收益率，那么收益率一定是唯一的。
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3-2-1 基金收益率
例3-11 某财险公司去年业务现金流如下，假设年初承保， 年末业务全部到期，没有未决赔款（单位：万元）。
年初资产：10000 保费收入：1000 投资毛收入：530 赔款支出：420
投资费用：20
其他支出：180
根据以上信息计算公司的收益率。
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3-2-2 时间加权收益率
每 股 1.5 基 金 价 1 格 0.5
0
0 0.5 1
图(3-4) 基金的价格走势图
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时间加权方法计算收益率同样是基于投资者的投资记录，其做法可以被描述为： 首先，根据投资者的现金流动情况，将整个投资期划分为若干个小期，以每个有现 金流动的时刻为划分点，然后根据投资记录，确定每个小期上的投资收益率，因为 相对于每个小期来讲，期间没有任何的存取，所以适用一次借贷的模型，因此各小 期上的小期积累因子即为相应期末的余额除以期初用于本小期积累的余额，所有这 些小期的积累因子的乘积减掉1即为时间加权收益率。
2 4 4X =1 1 X 2
显然，如果 X<1，则有两个收益率存在，如果 X>1， 则不存在收益率，因此，只有当 X=1 时，有一个收益率， 而该收益率正好又为 0。
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3.1.2 收益率:是否唯一
例3-6 某甲向乙借款1000元，年利率为10%，转手贷给丙， 年利率为15%，期限都为一年。计算甲的收益率。 解： 从甲的现金流看：
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3.1.2 收益率:是否唯一
解：根据题意，甲的净流入现金流为： R0=-9950，R1=24500，R2=-15,000 于是由 å Rt vt =0
t=0v-15000v2=0 即， 9950(1+i) 2-24500(1+i)+15000=0 解得：i=32.17%或 14.06%
图(3-3) 年金投资产生的现金流
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3.1.3 再投资收益率
积累值为 n+ i( Is)n1 j (3-6)
投资者的净回报现金流，R1=R2=…=Rn-1=-1， Rn=n-1+ i( Is)n1 j ，收益率 k 满足：
n [n+ i( Is)n1 j ] vk = an k 或
本金返还： 利息流： 时间 投资支出： 0 1 1 i i 2 3 i … … i i n-2 i n-1
1 i n
图(3-2)单位投资产生的现金流
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3.1.3 再投资收益率
积累值 1+ isn j (3-3)
该投资人的净回报现金流为 R0=-1，Rn=1+ isn j ， 因此，投资收益率 k 满足：
Rt 现金流是从投资方或者贷出方的角度进行分析的；Ct 现金流是从投资项目或者借入方的角度进行分析的。 即从Rt 或者Ct 的角度考虑，计算的收益率是相等的。 对贷出方而言，收益率越高越好。对借入方而言，收益 率越低越好。 实务中，i可以为正、可以为零可以为负。其负值区间 为：[-1，0)。 对于不同的投资项目，只能在相等的投资期间进行收益 率的比较。
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总计
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12000
50000
12000
27000
案例说明
令： V 0 vt Rt
t 0 n
通过现金流折现对现金流进行分析的方法，叫做现金流折现分析。 如果确定了折现利率i, 通过上式，即能计算投资的净现值。 上例中，如果i=0.08,计算表中的现金流现值。
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3.1.3 再投资收益率
通常，我们未考虑投资回报的再投资问题，假定再投资收 益率与原投资收益率相等。现实中并非如此。 如每年付息的债券； 股息分配
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3.1.3 再投资收益率
考虑在0时刻的投资1，投资期限n年，每年获得利息i, 每年付息后利息需要再投资，投资利率为j.
3-1-2 收益率的定义
使得项目的净现值为0的利率i为相应投资项目的收益率。
V 0 v t Rt =0
t 0
n
也称内部收益率。
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收益率：例3.2
例3-2 求利率为何值时，第2年支付2000元、第4年支付 3000元得现值和为4000元。
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3.1.2 收益率的定义：几个知识点
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案例说明
某人第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。 以后每一年初投资1000元。总共投资10次。从第七年 后，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第 八年初收回9000元。。。第11年初收回12000元。
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案例说明
表(3-1) 原始记录表(单位：万元) 年份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 投入 10000 5000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 23000 8000 9000 10000 11000 收回 净现金流Rt -10000 -5000 -1000 -1000 -1000 -1000 7000 8000 9000 10000
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3-2-1 基金收益率
用 1/2 来取代所有的 t i≈I/(A+C/2) =2I/(A+B-I) 用 k 取代 t I I i≈ ≈ A Ct (1 t ) A (1 k ) Ct