初中数学实数(二次根式)重难点题型梳理归纳

实数章末重难点题型汇编【考点1 无理数的概念】【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：（135,2等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如13π等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 【例1】（2019春•博兴县期中）在3.14、√12、227、−√5、√273、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】解：3.14、227、√273、0.2020020002是有理数，√12、−√5、2π是无理数，无理数的个数是3，故选：C ．【变式1-1】（2018春•新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】①无限不循环小数都是无理数，故①错误；②无理数都是无限不循环小数，故②正确；③﹣2是4的平方根，故③正确；④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；故选：B ．【变式1-2】（2018秋•东台市期中）下列实数中，√12、√93、−17、π2、﹣3.14、√0.1、√−273、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】解：√12=2√3，√0.1=√1010，√−273=−3，则无理数有：√12、√93、π2、√0.1、0.3232232223…，共5个．故选：D ．【变式1-3】（2019秋•安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）−√(−5)2、√36、17、0、﹣π、√113、3.1415、√15、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个故选：C ．【考点2 无理数的估算】【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算. 【例2】（2018春•巫山县期中）估计√13+12的值在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间【答案】解：∵3＜√13＜4，∴4＜√13+1＜5，∴√13+12的值在2到3之间．故选：B ． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√13的取值范是解题关键． 【变式2-1】（2019春•北流市期中）设n 为正整数，且n ＜√83＜n +1，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】解：∵√81＜√83＜√100，∴9＜√83＜10，又∵n 为正整数，∴n ＝9．故选：D ．【变式2-2】（2019春•嘉陵区）已知a ，b 分别是6−√13的整数部分和小数部分，则2a ﹣b 的值是（ ）A ．√13−2B ．2−√13C ．√13D ．9−√13【答案】解：∵3＜√13＜4，∴6−√13的整数部分是2，即a ＝2，6−√13的小数部分是6−√13−2＝4−√13，即b ＝4−√13，∴2a ﹣b ＝4﹣4+√13=√13；故选：C ． 【变式2-3】（2019春•郯城县期中）若a 是√10−1的整数部分，b 是5+√5的小数部分，则a （√5−b ）的值为（ ） A ．6B ．4C ．9D ．3√5【答案】解：∵2＜√10−1＜3，∴a ＝2，又∵7＜5+√5＜8，∴5+√5的整数部分为7∴b ＝5+√5−7=√5−2； ∴a （√5−b ）＝2×（√5−√5+2）＝4．故选：B ．【考点3 实数的大小比较】【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.【例3】（2019秋•河北期中）已知a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b【答案】解：∵a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，∴1a=√7−√5=√7+√52， 1b=√5−√3=√5+√32，1c =3−√7=3+√72，∵√7＞√3，∴1a ＞1b ， ∵3＞√5，∴1a＜1c，∴1c＞1a＞1b，∴b ＞a ＞c ．故选：B ．【变式3-1】（2019春•洪山区期中）比较实数：2、√5、√73的大小，正确的是（ ）A ．√73＜2＜√5 B ．2＜√73＜√5 C ．√5＜√73＜2D ．2＜√5＜√73【答案】解：∵2=√4＜√5，∴2＜√5，∵√73＜√83=2，∴√73＜2，∴√73＜2＜√5．故选：A ．【变式3-2】（2019春•淮北期中）比较√3−1与√32的大小，结果是（ ） A ．前者大 B ．后者大C ．一样大D ．无法确定【答案】解：∵√3−1−√32=√32−1＜√42−1＝1﹣1＝0，∴√3−1−√32＜0，∴√3−1＜√32，∴比较√3−1与√32的大小，结果是后者大．故选：B ．【变式3-3】（2019秋•乐山校级期中）已知a =√2−1，b =√6−2，c =2√2−√6，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．.b ＜a ＜cD ．.c ＜a ＜b【答案】解：∵a ﹣c =√2−1﹣（2√2−√6）=√6−（1+√2）≈2.449﹣2.414＞0，∴a ＞c ；∵a ﹣b =√2−1﹣（√6−2）=√2+1−√6≈2.414﹣2.449＜0， ∴a ＜b ，∴c ＜a ＜b ．故选：D ．【考点4 二次根式相关概念】【方法点拨】（1a a ≥0)的式子叫做二次根式。

（2）最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。

【例4】（2018春•禹州市期中）下列各式：√10，√2a ，√b 2−1，√x 2+y 2，√−3，√4，√m 2+1中，一定是二次根式的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个【答案】解：√10，√2a ，√b 2−1，√x 2+y 2，√−3，√4，√m 2+1中，一定是二次根式的是：√10，√x 2+y 2，√4，√m 2+1共4个．故选：B ．【变式4-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①√9−x 2；②√(a +b)(a −b)；③√a 2−2a +1；④√1x ；⑤√0.75中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④【答案】解：2−2a +1=√(a −1)2=|a ﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；④√1x =√x x⋅x =√xx ，被开方数含有分母，不是最简二次根式；⑤√0.75=√34=√32，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；因此只有①②符合最简二次根式的条件．故选：A ．【变式4-2】（2019春•泰兴市期中）如果√12与最简二次根式√7−2a 是同类二次根式，那么a 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】解：√12=2√3．由题意，得7﹣2a ＝3，解得a ＝2，故选：D ． 【变式4-3】（2019春•定州市期中）与√a 3b 不是同类二次根式的是（ ） A ．√ab2B ．√b aC ．√abD ．√b a3【答案】解：√a 3b =|a|√abA 、√ab 2=√2ab2与|a|√ab 被开方数不同，不是同类二次根式；B 、√b a =√ab|a|与|a|√ab 被开方数相同，是同类二次根式； C 、√ab=√abab与|a|√ab 被开方数相同，是同类二次根式； D 、√b a 3=√ab a 2与|a|√ab 被开方数相同，是同类二次根式．故选：A ． 【考点5 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0. 【例5】（2018秋•东营区校级期中）二次根式√2−xx+3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】解：∵二次根式√2−xx+3在实数范围内有意义，∴2﹣x ≥0，且x +3≠0，解得：x ≤2且x ≠﹣3． 故答案为：x ≤2且x ≠﹣3．【变式5-1】（2019春•杭锦后旗期中）已知y =√x −1+√1−x +3，则x ﹣y ＝ ． 【答案】解：∵y =√x −1+√1−x +3，∴{x −1≥01−x ≥0解得：x ＝1∴y ＝3∴x ﹣y ＝﹣2故答案为：﹣2【变式5-2】（2019春•黄石期中）已知实数a 满足|2006﹣a |+√a −2007=a ，则a ﹣20062＝ ． 【答案】解：根据题意得，a ﹣2007≥0，解得a ≥2007，∴原式可化为：a ﹣2006+√a −2007=a ， 即√a −2007=2006，两边平方得，a ﹣2007＝20062，∴a ﹣20062＝2007．故答案为：2007．【变式5-3】（2018春•荔湾区校级期中）已知a =2√b 2−4+√4−b2b−2+3b ，则a +b 的立方根是 ．【答案】解：由题意，得b 2＝4且b ﹣2≠0．所以b ＝﹣2，所以a ＝﹣6．所以a +b ＝﹣8．所以√−83=−2．故答案是：﹣2．【考点6 二次根式的性质与化简】【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键：①2(a a = (a ≥0)； 2a a = (a ≥0)； 2a a = (a取全体实数)。

【例6】（2019春•昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：(a −1)√11−a = ． 【答案】解：原式＝﹣（1﹣a ）√11−a=−√(1−a)2•√11−a=−√(1−a)2⋅11−a=−√1−a ．故答案是：−√1−a ．【变式6-1】（2018春•宜兴市期中）已知xy ＞0，则化简代数式x √−yx 2的结果是 ． 【答案】解：∵xy ＞0，且√−y x 2有意义，∴x ＜0，y ＜0，∴x √−yx 2=x •√−y −x=−√−y ． 故答案为：−√−y ．【变式6-2】（2018春•肥城市期中）若√4x 2−4x +1=1﹣2x ，则x 的取值范围是 ． 【答案】解：已知等式变形得：√(2x −1)2=|2x ﹣1|＝1﹣2x ，∴2x ﹣1≤0，解得：x ≤12．故答案为：x ≤12．【变式6-3】（2018秋•杞县期中）实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图，化简：√a 2+|a +b|+√(c −a)2−|b −c|= ．【答案】解：由题得，c ＞0＞b ＞a ，∴√a 2+|a +b|+√(c −a)2−|b −c|＝﹣a ﹣a ﹣b +c ﹣a +b ﹣c ＝﹣3a ．故答案为﹣3a ．【考点7 实数的运算】【例7】（2019春•老河口市期中）计算：（1）(−√2)2×√(−2)2+√(−4)33×(−12)2−√273（2）|√2−√3|+|1−√2|+√3(√3−1√3) 【答案】解：（1）原式=2×2+(−4)×14−3＝4﹣1﹣3＝0； （2）原式=√3−√2+√2−1+3−1=√3+1．【变式7-1】（2019春•费县期中）（1）计算：（1）(−2)2×√14+|√−83|+√2×(−1)2019（2）解方程：3（x ﹣2）2＝27【答案】解：（1）原式＝4×12+2+−√2＝4−√2；（2）3（x ﹣2）2＝27 （x ﹣2）2＝9，则x ﹣2＝±3，解得：x ＝﹣1或5．【变式7-2】（2019春•阆中市期中）计算 （1）√4−√273−|√−83|+√183−√(−2)2； （2）√3(1√3√3)−|√2−2|． 【答案】解：（1）原式＝2﹣3﹣2+12−2＝﹣412； （2）原式＝1﹣3﹣（2−√2）＝﹣4+√2． 【变式7-3】（2019春•泰山区期中）计算：（1）√32−√20+√50−√80（2）√313÷√116×√225（3）23√9x +7√x 2−3x √1x−32√18x （4）(√2−√3)2(5+2√6)． 【答案】解：（1）原式＝4√2−2√5+5√2−4√5＝9√2−6√5； （2）原式=√103×67×125=4√217； （3）原式＝2√x +7√2x2−3√x −9√2x2=−√x −√2x ；（4）原式＝（2+3﹣2√6）（5+2√6）＝25﹣24＝1． 【考点8 平方根与立方根的性质应用】【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。