极大值和极小值的概念
极大值与极小值
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0
1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
极值的定义
极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。
高数函数的极值与最大最小值课件
(不是极值点情形)
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
例 y=|x|
极小值点x=0
但x=0是y=|x|的不可导点.
驻点和不可导点统称为可疑极值点
01
03
02
04
05
06
求极值的步骤:
以及不可导点；
(4) 求出各极值点的函数值, 就得函数 f (x)的全部极值.
01
例
02
解
*
用开始移动,
例7. 设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 作
解: 克服摩擦的水平分力
正压力
即
令
则问题转化为求
的最大值问题 .
为多少时才可使力
设摩擦系数
问力与水平面夹角的大 Nhomakorabea最小?*
令
解得
而
因而 F 取最小值 .
解:
即
令
则问题转化为求
的最大值问题 .
清楚(视角 最大) ?
当 在 上单调时,
最值必在端点处达到.
若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .
(小)
对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大值点或最小值点 .
(小)
在闭区间[0,3]上的
解
例
求函数
最大值与最小值.
先求出驻点与不可导点
如,
在x=0处分别属于上述三种情况.
3) 判别
例2. 求函数
的极值 .
解: 1) 求导数
2) 求驻点
令
得驻点
因
故 为极小值 ;
又
故需用第一判别法判别.
*
定理4 (判别法的推广)
三次函数的极大值和极小值
三次函数的极大值和极小值三次函数是指函数的最高次项是三次的多项式函数。
在三次函数中，极大值和极小值是指函数在某个区间上的最大值和最小值。
这些极值点对于函数的图像和性质具有重要意义，可以帮助我们更好地了解函数的变化规律和特点。
我们来看极大值点。
在三次函数中，极大值点通常对应着函数曲线的局部最高点。
要找到一个三次函数的极大值点，我们可以通过求导来进行判断。
对于一个三次函数f(x)，我们可以将其求导得到f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解x1，x2，x3。
这些解就是函数的驻点，也就是可能的极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数来判断这些驻点是否为极大值点。
当f''(x1) < 0，f''(x2) < 0，f''(x3) < 0时，这些驻点就是函数的极大值点。
在图像上，这些点对应着函数曲线的局部最高点。
接下来，我们来看极小值点。
在三次函数中，极小值点通常对应着函数曲线的局部最低点。
同样地，要找到一个三次函数的极小值点，我们可以通过求导来进行判断。
对于一个三次函数f(x)，我们可以将其求导得到f'(x)，然后令f'(x)=0，求出方程的解x1，x2，x3。
这些解就是函数的驻点，也就是可能的极值点。
接下来，我们可以通过二阶导数来判断这些驻点是否为极小值点。
当f''(x1) > 0，f''(x2) > 0，f''(x3) > 0时，这些驻点就是函数的极小值点。
在图像上，这些点对应着函数曲线的局部最低点。
在实际问题中，极大值和极小值点的应用非常广泛。
例如，在经济学中，三次函数可以用来描述市场供求关系，极大值和极小值点则可以帮助我们确定市场的最大供给量和最低需求量。
在物理学中，三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，极大值和极小值点则可以帮助我们确定物体的最高高度和最低速度。
极大值、极小值、最大值、最小值之间的数学关系
极大值、极小值、最大值、最小值之间的数学关系极大值、极小值、最大值和最小值是在数学中常常出现的概念，它们之间存在一定的关系。
为了更好地理解它们之间的关系，我们先来了解一下它们的定义和性质。
首先，我们来看一下极大值和极小值的定义。
在函数的定义域上，如果存在一个点，使得这个点的函数值比它邻近的其他点的函数值都大，则称该点为函数的极大值点，这个函数值称为函数的极大值。
同理，如果存在一个点，使得这个点的函数值比它邻近的其他点的函数值都小，则称该点为函数的极小值点，这个函数值称为函数的极小值。
接下来，我们来看一下最大值和最小值的定义。
在函数的定义域上，如果对于任意的点，该点的函数值都不大于此函数值，则称这个函数值为函数的最大值。
同理，如果对于任意的点，该点的函数值都不小于此函数值，则称这个函数值为函数的最小值。
简而言之，极大值和极小值是局部性质，指的是函数在某些点附近的最大值和最小值；而最大值和最小值是全局性质，指的是函数在整个定义域上的最大值和最小值。
接下来，我们来讨论它们之间的关系。
首先，最大值和最小值一定是极大值和极小值，因为最大值和最小值是全局性质，所以它们一定也是局部性质。
也就是说，如果一个函数有最大值或最小值，那么它一定存在极大值或极小值。
反过来，极大值和极小值不一定是最大值和最小值。
这是因为极大值和极小值只是局部性质，它们只在某个点附近成立，并不能保证在整个定义域上都成立。
因此，一个函数具有极大值或极小值，并不能保证它一定具有最大值或最小值。
举个例子来说明这个关系。
考虑函数f(x) = x^3，在定义域上，这个函数没有最大值和最小值。
但是，它具有一个极小值点x=0，即f(0)=0。
这个点附近的函数值比它邻近的其他点的函数值都小，所以它是一个极小值点。
但是，由于在整个定义域上，函数的函数值可以无限接近正无穷大或负无穷大，所以它并没有最小值和最大值。
总结来说，最大值和最小值是全局性质，它们一定是极大值和极小值，但极大值和极小值不一定是最大值和最小值。
函数的极大值、极小值
【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤【重点与难点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤【学法提示】讲练结合【课前预习】用导数法求下列函数的单调区间.(1) 2()2f x x x =-- (2)311433y x x =-+1.极大值：2.极小值：3.极大值与极小值统称为极值取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()f x(2)求方程/()f x =0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，若左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值【能力交流】例1求y =31x 3－4x +31的极值【课堂小结】【课堂巩固】1．求下列函数的极值.(1)y =x 2－7x +6(2)y =x 3－27x2.求ln ,(0,2)y x x x =-∈的极值【学后反思】。
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
高中数学极值
高中数学极值摘要：一、引言二、高中数学极值的概念1.极大值和极小值2.最值问题三、求解高中数学极值的方法1.利用导数求解极值2.利用二次函数的性质求解极值3.利用图形法求解极值四、高中数学极值在实际生活中的应用1.物理学中的应用2.经济学中的应用五、高中数学极值在考试中的重要性六、结论正文：一、引言在高中数学的学习过程中，极值是一个重要的概念，同时也是解决许多实际问题的关键。
本文将对高中数学极值的概念、求解方法以及在实际生活中的应用进行详细的阐述。
二、高中数学极值的概念1.极大值和极小值在高中数学中，极大值是指函数在某个区间内取得的最大值，而极小值则是指函数在某个区间内取得的最小值。
极大值和极小值反映了函数在某一点处的局部最值。
2.最值问题最值问题是指在给定的函数中，求解函数的最大值或最小值。
最值问题通常需要利用导数等方法进行求解。
三、求解高中数学极值的方法1.利用导数求解极值导数是求解极值的关键工具。
当函数的导数等于零时，可以判断函数在该点处取得极值。
通过求解导数方程，可以确定极值点，进而求解极大值和极小值。
2.利用二次函数的性质求解极值对于二次函数，可以根据其顶点公式直接求解极值。
同时，二次函数的性质还可以帮助我们判断函数的开口方向以及极值类型。
3.利用图形法求解极值图形法是一种直观的求解极值的方法。
通过观察函数的图形，可以大致判断极值点的位置，并结合其他方法进行求解。
四、高中数学极值在实际生活中的应用1.物理学中的应用在物理学中，极值问题经常出现。
例如，在求解质点的速度、加速度等问题时，需要利用极值概念求解最大速度、最小加速度等。
2.经济学中的应用在经济学中，极值问题也具有重要意义。
例如，在求解成本、收益等问题时，需要利用极值概念寻找最大利润、最小成本等。
五、高中数学极值在考试中的重要性极值问题在高中数学考试中经常出现，且往往具有一定的难度。
因此，掌握极值的概念、求解方法以及实际应用，对于提高数学成绩具有重要意义。
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极大值和极小值的概念
《极大值和极小值的概念》
在数学中，极大值和极小值是描述函数特性的重要概念。
它们帮助我们了解函数的局部最大和最小值，以及它们在数学建模和最优化问题中的应用。
通过研究函数的极值，我们可以得到函数在特定区间上的最大或最小值，从而更好地理解函数的性质。
首先，我们来定义什么是极大值和极小值。
对于一个函数 f(x)，如果存在一个实数 c，使得当x 接近 c 时，函数值 f(x) 都小于或等于 f(c)，则称 f(c) 是函数在 c 处的极大值。
类似地，如果存在一个实数 d，当 x 接近 d 时，函数值 f(x) 都大于或等于 f(d)，则称 f(d) 是函数在 d 处的极小值。
当函数存在极大值或极小值时，我们可以通过一些方法来找到它们。
其中最常用的方法是求函数的导数。
对于函数 f(x) 在区间上的极值点，我们可以找到它所对应的导数值为零的点。
这些点被称为驻点。
然后，我们通过求解导数为零的方程来找到这些驻点，并进一步判断它们是极大值还是极小值。
除了导数的方法外，我们还可以使用图形方法。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地看到函数在各个点的变化趋势。
极大值和极小值通常在图像的局部高峰和低谷处出现。
通过观察这些高峰和低谷，我们可以大致估计出函数的极值点。
极大值和极小值的概念在实际生活中有着重要的应用。
它们可以帮助我们解决各种问题，比如经济学中的最优定价问题、物理学中的最优路径问题等。
通过寻找函数的极大值和极小值，我们可以确定函数取得最优解的位置，从而优化我们的决策和行动。
总结而言，极大值和极小值是数学中描述函数特性的重要概念。
它们通过函数在某点的性质，帮助我们理解函数的局部最大和最小值。
使用导数和图形方法，我们可以找到函数的极值点，并应用它们来解决实际生活中的最优化问题。
这些概念的应用广泛，为我们提供了更好的数学建模和决策分析工具。