2020-2021学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题 (含答案解析)
北京市西城区2020 — 2021学年度第一学期期末试卷高二数学试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ． ．6 D ．8 2．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b <5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A. 1-B. 1C.1 或1-D. 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列 9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ） A.6m ≥ B. 32m ≥C. 6m ≤D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为__________. 12. 不等式01xx <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； 当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）. 16. 若1239,,,,x x x x 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R . （Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ，离心率为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=.2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值； （Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.（Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”；DAB CPE（Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-，求p 的所有可能值.北京市西城区2020 — 2021学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B 10. C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.8 12. {01}x x << 13. 1,1-（答案不唯一） 14.2 15.23100n n ++；10 16. 3；21 注：13、15、16题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 为公比为2的等比数列，所以23114a a q a ==，418a a =，5116a a =， ………………3分 依题意得 4352(4)a a a +=+， ………………5分 即1112(84)416a a a +=+， ………………6分 整理得148a =， 解得12a =.………………7分所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. ………………8分 （Ⅱ）依题意 111nn q S a q-=⋅-， ………………10分11222212n n +-=⋅=--. ………………11分所以12262n +-=，整理得1264n +=， ………………12分 解得 5.n =所以n 的值是5. ………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()(1)f a f >得221a a a +>+，整理得2210a a -->， ………………2分 解得1{|2a a <-或1}a >. ………………4分（Ⅱ）()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，则min ()4f x ≥-， ………………6分所以244a -≥-， ………………7分整理得2160a -≤，解得{|44}a a -≤≤. ………………8分 （Ⅲ）解20x ax +=，得120,x x a ==-，①当0a ->时，即0a <时,0x <或 x a >-； ………………10分 ②当0a -<时，即0a >时,x a <-或 0x >； ………………12分 ③当0a -=时，即0a =时,0x ≠ . ………………13分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|0x x <或}x a >-；当0a >时，不等式的解集为{|x x a <-或0}x >；当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠.19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意 1c =，c a =………………2分解得a =1b ， ………………4分 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）设点00(,)B x y ，因为点B 在椭圆上，所以220012x y +=…①， ………………7分因为90AFB ∠=，所以1FA FB k k ⋅=-，得0011yx =-…②， ………………8分由①②消去0y 得，200340x x -=，解得00x=（舍），04 3x=，………………10分代入方程②得01 3y=，所以41(,)33B，………………11分所以||BF=，又||AF=………………12分所以AFB∆的面积111=||||2233AFBS AF BF∆⨯⨯=⨯. ………………13分20. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AD⊥平面PAB，//BC AD，所以BC⊥平面PAB. ………………1分又因为AE⊂平面PAB，所以AE BC⊥. ………………2分在PAB∆中，PA AB=，E是PB的中点，所以AE PB⊥. ………………3分又因为BC PB B=，所以AE⊥平面PBC. ………………4分（Ⅱ）解：因为AD⊥平面PAB，所以AD AB⊥，AD PA⊥. ………………5分又因为PA AB⊥，所以如图建立空间直角坐标系A xyz-.则(0,0,0)A，(0,2,0)B，(0,2,)C m，(1,1,0)E，(2,0,0)P，(0,0,3)D，(0,2,)AC m=，(1,1,0)AE =. ………6分设平面AEC的法向量为(,,)x y z=n.则0,0,ACAE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn………………7分即20,0.y mzx y+=⎧⎨+=⎩令1x=，则1y=-，2zm=，于是2(1,1,)m=-n. ………………8分因为AD⊥平面PAB，所以AD PB⊥. 又PB AE⊥，所以PB⊥平面AED.又因为(2,2,0)PB=-，所以取平面AED的法向量为(1,1,0)=-m. ………………9分所以cos,||||⋅〈〉==⋅n mn mn m………………10分=21m=.又因为0m>，所以1m=. ………………11分（Ⅲ）结论：不存在.理由如下：证明：设(0,0,)F t(03)t≤≤.当2m=时，(0,2,2)C.(2,0,)PF t=-，(1,1,2)CE=--. ………………12分由PF CE⊥知，0PF CE⋅=，220t--=，1t=-.这与03t≤≤矛盾. ………13分所以，在线段AD上不存在点F，使得PF CE⊥. ………………14分21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以132p+=，解得4p=，………2分所以28y x=，………………3分所以准线方程为2x=-. ………………4分（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)y k x=+(0)k≠，1122(,),(,)A x yB x y.联立得28,(1),y xy k x⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y得2222(28)0k x k x k+-+=. ………………5分由224(28)40k k∆=-->，解得k<.所以k<且0k≠.由韦达定理得212282kx xk-+=，121x x=. ………………7分方法一：直线BF的方程为22(2)2yy xx=--，又1Dx=-，所以2232Dyyx-=-，所以223(1,)2yDx---，………………8分因为//DE AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等. ………………9分又(4,3)E k--，所以221133232ykx yx-+-=--. ………………10分整理得121222y ykx x=+--，即1212(1)(1)22k x k xkx x++=+--，………………11分化简得121211122x xx x++=+--，121212122()412()4x x x xx x x x-+-=-++，即12+7x x=. ………………12分所以2282=7k k-，整理得289k =， ………………13分解得k =经检验，k =.所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 方法二：因为//DE AF ，所以||||||||BA BF BE BD =，所以21222241x x x x x --=++. ………………10分 整理得1212()8x x x x ++=，即2282=7k k-， ………………12分 整理得289k =. ………………13分解得k =k =. 所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 22.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为数列{}n a 为等差数列，所以 对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，有 11i i j j a a a a d +--=-=， ………………2分 所以 11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}n a 为“和谐数列”. ………………4分 （Ⅱ）证明：因为数列{}n a 为“和谐数列”，所以 当1i =,4j =时，只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2314a a a a +=+，即2143a a a a -=-. ………………6分 当1i =，5,6,7,8,9j =时，也只能11i j i j a a a a +-+=+成立，11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2415a a a a +=+，2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,即 21546576a a a a a a a a -=-=-=-=，所以 21435465a a a a a a a a -=-=-=-=. ………………7分令21a a d -=，则数列{}n a 满足1(4)n n a a d n --=≥.所以，数列{}n a 从第3项起为等差数列. ………………8分 （Ⅲ）解：①若1p =，则11p a a ==，与10a =矛盾，不合题意.②若2p =，则10a =，22a =，但1222a a +=≠-，不合题意. ………………9分 ③若3p =，则10a =，33a =，由1233a a a ++=-，得26a =-， 此时数列{}n a 为：0,6,3,3,9,---，符合题意. ………………10分④若4p ≥，设21a a d -=，则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-.所以，(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++=即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=.因为 10p -≠，所以(3)0p d p p d ++--=. ………………11分所以 4p =不合题意.所以 228882444p p d p p p -+===+---. ………………12分 因为p 为整数，所以84p -为整数，所以5,6,8,12p =. 综上所述，p 的所有可能值为3,5,6,8,12. ………………13分。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-优质版
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物 线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.正（主）视图俯视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.ABCDPEAB CPM17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥EABCD平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥. 因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分ABCDPE O因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 5AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B--为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分 由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-=， ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
ab
2m(1)
2(2)
bac
列,其和为6，所以
，由（3）（4）得3c6,c2
，所以
b
22(2)
a
2cbd(3)
4bd(3)
bcd6(4)
ab
2m(1)
b2
4
d
2
42，
dm
a
(2)
即
，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得
2
2
4d(3)
b
1
33
d
52
整理得m
.
2
22
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
8．D
【分析】
f(x)f(x)x
,，由此判断出正确选项.
求得x
,
【详解】
31，
，所以xfx
31.732
fx
x1.73212.7322
由于
，所以
313124
31,2,31.而3131234，
即三个数为
，所
f(x)f(x)x
,不是等差数列,也不是等比数列
nn1
Snn4
n平均费用为
2100n23100.
2
100
100
100
Sn
n
n
32n
323
,n10
时，等号成立，也即
，当且仅当n
n
n
n
n10时，该渔船年平均花费最低.
10
(2).
故答案为：(1).
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理(扫描版)(new)
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北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷+答案+听力材料
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷+答案+听力材料北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷高一英语2021.1本试卷共13页，共140分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷(共75分)I. 听力理解（共三节，22.5分）第一节: (共4小题; 每小题1.5分，共6分)听下面四段对话，每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
每段对话你将听一遍。
1. What does the man think the weather will be like in the afternoon?A. Cloudy.B. Rainy.C. Sunny.2. Where does the conversation probably take place?A. In a restaurant.B. In a cinema.C. In a supermarket.3. Why did the man leave his previous job?A. To study further.B. To get experience.C. To find a new job.4. Why does the woman make the phone call?A. To book a service.B. To ask about a delivery.C. To arrange a meeting.第二节:（共6小题；每小题1.5分，共9分）听下面三段对话，每段对话后有两道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
每段对话你将听两遍。
听第5段材料，回答第5至第6小题。
5. What is the woman?A. A bus driver.B. A college student.C. A shop assistant.6. How much will the woman save with a discount?A. 50 dollars.B. 30 dollars.C. 20 dollars.听第6段材料，回答第7至第8小题。
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年北京市西城区高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a +=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为( ) A ．B C ．6 D ．8【答案】A【解析】利用222a b c =+，求得a 的值. 【详解】由于222a b c =+，所以22428,a a =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.2．已知数列{}na 满足12a =,12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ,则3a =( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】利用递推关系式，依次求得23,a a 的值. 【详解】依题意213224,26a a a a =+==+=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求项的值，属于基础题.3．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为( ) A ．1x ∀≥,21x ≤ B ．1x ∃<,21x > C ．1x ∀<,21x > D ．1x ∃≥,21x >【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A 选项不正确，C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，属于基础题. 4．已知,a b ∈R ,若a b <,则( ) A ．2a b < B ．2ab b < C ．22a b < D ．33a b <【答案】D【解析】利用特殊值排除错误选项，然后证明正确选项成立. 【详解】对于A 选项，若a b <，如21-<-，但是()122-⨯=-，即2a b =，所以A 选项错误.对于B 选项，若a b <，如21-<-，但是()()()2211-⋅->-，即2ab b >，所以B 选项错误. 对于C选项，若a b <，如21-<-，但是()()2221->-，即22a b >，所以C 选项错误.对于D 选项，若a b <，则0a b -<，则()()3322a b a b a ab b -=-++()2213024a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以33a b <.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题. 5．已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=,且//a b ,那么||b =( ) A ．B ．6C ．9D ．18【答案】A【解析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，由此求得,x y ，从而求得||b .【详解】 由于//a b ，所以3121x y==-，解得6,3x y =-=-，所以()3,6,3b =--，所以(23b =+==故选：A 【点睛】本小题主要考查空间向量平行求参数，考查空间向量模的计算，属于基础题.6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.7．已知向量(1,,2)a x =,(0,1,2)b =,(1,0,0)c =,若,,a b c 共面,则x 等于( ) A ．1- B ．1C ．1或1-D ．1或0【答案】B【解析】根据,,a b c 列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出x 的值. 【详解】由于,,a b c 共面，所以存在,λμ，使得a b c λμ=+，即()()()()1,,20,,2,0,0,,2x λλμμλλ=+=，所以1,,22x μλλ===，所以1x =.故选：B 【点睛】本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.8．德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数()[]f x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,比如[]=3π. 根据以上定义,当1x 时,数列()x f x -,()f x ,x ( )A ．是等差数列,也是等比数列B ．是等差数列,不是等比数列C ．是等比数列,不是等差数列D ．不是等差数列,也不是等比数列 【答案】D【解析】求得()x f x -,()f x ,x ，由此判断出正确选项. 【详解】1.732≈，所以()[][][]1.73212.7322f x x ==+==，所以()1x f x -=1,1.而114+=≠，)1124=≠，所以数列()x f x -,()f x ,x 不是等差数列,也不是等比数列故选：D 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.9．设有四个数的数列{}n a ,该数列前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6. 则实数m 的取值范围为( ) A ．6m ≥ B ．32m ≥C ．6m ≤D ．2m ≥【答案】B【解析】设出这4个数，根据已知条件列方程组，由此求得m 表达式，进而求得m 的取值范围. 【详解】设{}n a 的前4项为a b c d ,,,，由于数列{}n a 的前3项成等比数列,其和为m ,后3项成等差数列,其和为6，所以2(1)(2)2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩，由（3）（4）得36,2c c ==，所以22(1)2(2)4(3)a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩即22(1)(2)24(3)a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得()()24422d d m -+-+=，整理得()21335222m d =-+≥. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10．曲线33:1C x y +=.给出下列结论: ①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1; ③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中,所有正确结论的序号是( ) A ．①② B ．② C ．②③ D ．③【答案】C【解析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误. ②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y 和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题11．设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为__________. 【答案】8【解析】根据椭圆的定义，求得P 到右焦点的距离. 【详解】依题意5a =，而P 到该椭圆左焦点的距离为2,则P 到右焦点的距离为5228⨯-=. 故答案为：8 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.12．不等式01xx <-的解集为________【答案】(0,1)【解析】因为01xx <-，所以(1)0(0,1)x x x -<⇒∈，即不等式01xx <-的解集为()0,1.13．能说明“若a b >,则11a b <”为假命题的一组a ､b 值是a =______,b =________.【答案】1 1-(答案不唯一)【解析】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数即可满足题意. 【详解】不等式两边取倒数，不等号改变方向为假命题，只需a 为正数且b 为负数，所以可取1,1a b ==-，此时11a b >. 故答案为：(1). 1 (2). 1-(答案不唯一)【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(c,0)F，则其离心率的值是________． 【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a =±即0bx ay ±=,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当n =______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用). 【答案】23100n n ++ 10【解析】用渔船的费用，加上每年捕捞的费用，求得n 年总花费，总花费除以n 后，利用基本不等式求得当n 为何值时，平均花费最低. 【详解】每年的费用是首项为4，公差为2的等差数列，所以总费用()()214210031002n n S n n n n -=⨯+⨯+=++.平均费用为()1003323S n n n n =++≥=，当且仅当100,10n n n ==时，等号成立，也即10n =时，该渔船年平均花费最低. 故答案为：(1). 23100n n ++(2). 10【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和，考查数列在实际生活中的应用，考查数列最值的求法，属于基础题. 16．若1239,,,,x x x x表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作; (2)灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ,要求灯i x 的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x 关闭最少需要_____次操作;如果除灯6x 外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作. 【答案】3 21【解析】（1）利用列举法求得把灯4x 关闭最少需要的操作次数.（2）先用列举法求得关闭前4个灯最少需要的操作次数，然后乘以2再加上1，得到使所有灯都开着最少需要的操作次数.【详解】（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯4x关闭最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下1011,0011,0010，共3次.（2）①关闭前4个灯最少需要的操作如下，设1为开灯，0为关灯：初始状态1111，操作如下：1011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,0000，共10次.②此时前6盏灯的状态如下：000010，操作1次，变为000011，打开6x.③将步骤①倒过来做一遍，打开前4个灯，共10次操作.综上所述，如果除灯6x外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要21次操作故答案为：(1). 3 (2). 21【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.三、解答题17．已知等比数列{}n a的公比为2,且3a,44a+,5a成等差数列. (Ⅰ)求{}n a的通项公式;(Ⅱ)设{}n a的前n项和为n S,且62S=,求n的值.n【答案】(Ⅰ) 2na=. (Ⅱ) n的值是5.n【解析】（I）利用等差中项的性质列方程，并转成1,a q的形式，解方程求得1a的值，进而求得数列{}n a的通项公式.（II ）根据等比数列前n 项和公式求得n S ，令62n S =解方程，求得n 的值. 【详解】(Ⅰ)因为{}n a 为公比为2的等比数列, 所以23114a a q a ==,418a a =,5116a a =, 依题意得4352(4)a a a +=+,即1112(84)416a a a +=+, 整理得148a =, 解得12a =.所以数列{}na 的通项公式为2n n a =.(Ⅱ)依题意111nn q S a q-=⋅-,11222212n n +-=⋅=--.所以12262n +-=,整理得1264n +=, 解得 5.n = 所以n 的值是5. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的计算，考查等比数列前n 项和的求法，考查等差中项的性质，考查方程的思想，属于基础题.18．已知函数2()f x x ax =+,a R ∈. (Ⅰ)若()(1)f a f >,求a 的取值范围;(Ⅱ)若()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,求a 的取值范围; (Ⅲ)求关于x 的不等式()0f x >的解集. 【答案】(Ⅰ)1{|2a a <-或1}a >. (Ⅱ) {|44}a a -≤≤. (Ⅲ)见解析【解析】（I ）由()(1)f a f >列不等式，解一元二次不等式求得a 的取值范围.（II ）将不等式()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立转化为min ()4f x ≥-，结合二次函数的性质列一元二次不等式，解不等式求得a 的取值范围.（III ）对a 分成0,0,0a a a <>=三种情况，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得不等式()0f x >的解集. 【详解】 (Ⅰ)由()(1)f a f >得221a a a +>+,整理得2210a a -->, 解得1{|2a a <-或1}a >.(Ⅱ)()4f x ≥-对x R ∀∈恒成立,则min ()4f x ≥-,所以244a -≥-,整理得2160a -≤, 解得{|44}a a -≤≤. (Ⅲ)解20x ax,得120,x x a ==-,①当0a ->时,即0a <时,0x <或 x a >-; ②当0a -<时,即0a >时,x a <-或0x >;③当0a -=时,即0a =时,0x ≠ .综上,当0a <时,不等式的解集为{|0x x <或}x a >-;当0a >时,不等式的解集为{|x x a <-或0}x >;当0a =时,不等式的解集为{|0}x x ≠.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于19．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ,离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设点A 为椭圆C 的上顶点,点B 在椭圆上且位于第一象限,且90AFB ∠=,求AFB ∆的面积. 【答案】(Ⅰ)2212x y += (Ⅱ) 13【解析】（I ）根据焦点坐标、离心率以及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程.（II ）利用椭圆方程和90AFB ∠=，求得B 点的坐标，由此求得AFB ∆的面积. 【详解】(Ⅰ)依题意 1c =,c a =, 222a b c =+解得a =1b ,所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(Ⅱ)设点00(,)B x y ,因为点B 在椭圆上,所以220012x y +=…①, 因为90AFB ∠=,所以1FA FB k k ⋅=-,得0011yx =-…②,由①②消去0y 得,200340x x -=,解得00x =(舍),043x =, 代入方程②得013y =,所以41(,)33B ,所以||BF =又||AF =所以AFB ∆的面积111=||||2233AFB S AF BF ∆⨯⨯=⨯本小题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆内的三角形面积问题，属于基础题.20．如图,四棱锥P ABCD -中,AD ⊥平面ABP ,//BC AD ,90PAB ∠=.2PA AB ==,3AD =,BC m =,E 是PB 的中点.(Ⅰ)证明:AE ⊥平面PBC ; (Ⅱ)若二面角C AE D --的余弦值是33,求m 的值;(Ⅲ)若2m =,在线段AD 上是否存在一点F ,使得PF ⊥CE . 若存在,确定F 点的位置;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)1m =. (Ⅲ)不存在，见解析【解析】（I ）通过证明,AE BC AE PB ⊥⊥，证得AE ⊥平面PBC . （II ）建立空间直角坐标系，利用二面角C AE D --的余弦值列方程，解方程求得m 的值.（III ）设出F 点的坐标，利用0PF CE ⋅=列方程，推出矛盾，由此判断满足条件的F 点不存在. 【详解】(Ⅰ)证明:因为 AD ⊥平面PAB ,//BC AD , 所以BC ⊥平面PAB .又因为 AE ⊂平面PAB ,所以 AE BC⊥. 在PAB ∆中,PA AB =,E是PB 的中点, 所以AE PB ⊥.又因为BCPB B =,所以 AE ⊥平面PBC .(Ⅱ)解:因为 AD ⊥平面PAB , 所以AD AB ⊥,AD PA ⊥. 又因为PA AB ⊥,所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,2,)C m ,(1,1,0)E ,(2,0,0)P ,(0,0,3)D ,(0,2,)AC m =,(1,1,0)AE =.设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =. 则 0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩令1x =,则1y =-,2z m =,于是2(1,1,)n m =-.因为AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥, 所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =-,所以 取平面AED 的法向量为1,)0(1,m =-. 所以 3cos ,3n m n m n m⋅〈〉==⋅,=解得21m =.又因为0m >,所以1m =. (Ⅲ)结论:不存在.理由如下: 证明:设(0,0,)F t (03)t ≤≤. 当2m =时,(0,2,2)C .(2,0,)PF t =-,(1,1,2)CE =--.由PF CE ⊥知,0PF CE ⋅=,220t --=,1t =-.这与03t ≤≤矛盾. 所以,在线段AD 上不存在点F ,使得PF CE ⊥. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查根据二面角的余弦值求参数，考查存在性问题的求解，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>,抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ,交直线4x =-于点E ,直线BF 交直线1x =-于点D .是否存在这样的直线l ,使得//DE AF ? 若不存在,请说明理由;若存在,求出直线l 的方程.【答案】(Ⅰ)28y x =，2x =-. (Ⅱ)存在，1)3y x =+或1)y x =+. 【解析】（I ）根据抛物线的定义求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（II ）设出直线l 的方程(1)y k x =+(0)k ≠，联立直线的方程和抛物线的方程，消去y 后根据判别式大于零求得k 的取值范围，写出韦达定理.结合//DE AF 得到直线DE 与直线AF 的斜率相等（或者转化为||||||||BA BF BE BD =），由此列方程，解方程求得k 的值，也即求得直线l 的方程. 【详解】(Ⅰ)因为横坐标为1的点到焦点的距离为3,所以132p+=,解得4p =, 所以28y x =所以准线方程为2x =-.(Ⅱ)显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为(1)y k x =+(0)k ≠,1122(,),(,)A x y B x y .联立得28,(1),y x y k x ⎧=⎨=+⎩消去y 得2222(28)0k x k x k +-+=.由224(28)40k k ∆=-->,解得k <<.所以k <<且0k ≠.由韦达定理得212282k x x k -+=,121=x x .方法一:直线BF 的方程为22(2)2y y x x =--, 又1D x =-,所以2232D y y x -=-,所以223(1,)2y D x ---,因为//DE AF ,所以直线DE 与直线AF 的斜率相等又(4,3)E k --,所以221133232y k x yx -+-=--.整理得121222y y k x x =+--,即1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--,化简得121211122x x x x ++=+--,121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++,即12+7x x =.所以2282=7k k -,整理得289k =,解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+方法二: 因为//DE AF ,所以||||||||BA BF BE BD =,所以21222241x x x x x --=++.整理得1212()8x x x x ++=,即2282=7k k -,整理得289k =.解得k =经检验,k =±符合题意.所以存在这样的直线l ,直线l的方程为1)y x =+或1)y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 22．若无穷数列123,,,a a a 满足:对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.(Ⅰ)求证:若数列{}na 为等差数列,则{}na 为“和谐数列”;(Ⅱ)求证:若数列{}na 为“和谐数列”,则数列{}na 从第3项起为等差数列;(Ⅲ)若{}na 是各项均为整数的“和谐数列”,满足10a =,且存在*∈p N 使得p a p =，123p a a a a p ++++=-,求p 的所有可能值.【答案】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析(Ⅲ)3,5,6,8,12.【解析】（I ）利用等差数列的定义，证得等差数列{}na 为“和谐数列”.（II ）利用等差数列的定义，通过证明1(4)nn a a d n --=≥，证得数列{}na 从第3项起为等差数列.（III ）对1,2,3p =依次进行验证，当4p ≥时，结合（II ）的结论和等差数列前n 项和公式进行列式，求得p 的可能取值. 【详解】(Ⅰ)证明:因为数列{}n a 为等差数列, 所以对任意两个正整数,i j (3)j i -≥,有 11i i j j a a a a d +--=-=,所以11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}na 为“和谐数列”.(Ⅱ)证明:因为数列{}n a 为“和谐数列”, 所以 当1i =,4j =时,只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以2314a a a a +=+,即2143a a a a -=-.当1i =,5,6,7,8,9j =时,也只能11i j i j a a a a +-+=+成立,11i j i j a a a a -++=+不成立. 所以 2415a a a a +=+,2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,即21546576aa a a a a a a -=-=-=-=,第 21 页 共 21 页 所以21435465a a a a a a a a -=-=-=-=. 令21a a d -=,则数列{}n a 满足1(4)n n aa d n --=≥. 所以,数列{}n a 从第3项起为等差数列.(Ⅲ)解:①若1p =,则11p aa ==,与10a =矛盾,不合题意. ②若2p =,则10a =,22a =,但1222a a +=≠-,不合题意③若3p =,则10a =,33a =,由1233a a a ++=-,得26a =-, 此时数列{}n a 为:0,6,3,3,9,---,符合题意.④若4p ≥,设21a a d -=,则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-.所以,(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++= 即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=. 因为10p -≠,所以(3)0p d p p d ++--=.所以4p =不合题意. 所以228882444p p d p p p -+===+---.因为p 为整数,所以84p -为整数,所以5,6,8,12p =. 综上所述,p 的所有可能值为3,5,6,8,12.【点睛】本小题主要考查新定义数列的概念的理解和运用，考查等差数列的定义，考查等差数列前n 项和公式，考查分析、思考与解决问题的能力，属于难题.。
2020-2021学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i2．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（）A．4B．5C．6D．73．椭圆的焦点坐标为（）A．（5，0），（﹣5，0）B．（3，0），（﹣3，0）C．（0，5），（0，﹣5）D．（0，3），（0，﹣3）4．已知直线l1：ax﹣y﹣1＝0，l2：ax+（a+2）y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a＝（）A．﹣1或1B．0或1C．﹣1或2D．﹣3或25．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l．下列结论中正确的是（）A．若直线m⊥平面α，则m∥βB．若平面γ⊥平面α，则γ∥βC．若直线m⊥直线l，则m⊥βD．若平面γ⊥直线l，则γ⊥β6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．24B．18C．12D．67．已知双曲线的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．4或16B．7或13C．7或16D．4或138．在正三棱锥P﹣ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．已知圆O1的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，圆O2的方程为x2+（y﹣b+1）2＝1，其中a，b∈R．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切10．点M在直线l：x＝2上，若椭圆上存在两点A，B，使得△MAB是等腰三角形，则称椭圆C具有性质P．下列结论中正确的是（）A．对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质PB．直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质PC．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质PD．对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P二、填空题（共6小题）.11．已知复数z＝i•（1+i），则|z|＝．12．若双曲线的焦距为，则b＝；C的渐近线方程为．13．设（x﹣2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4＝．14．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），D （0，0，1），则直线AD与BC所成角的大小是．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF 是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点．若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是；最大值是．三、解答题（共6小题）.17．生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名．现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛．（Ⅰ）如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法？（Ⅱ）如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法？18．已知圆C过原点O和点A（1，3），圆心在直线y＝1上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1，D，E，F分别是BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面ADE．20．如图，设点A，B在x轴上，且关于原点O对称．点P满足tan∠PAB＝2，tan∠PBA＝，且△PAB的面积为20．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设M（x0，y0）是C上一点，且﹣1＜x0＜3，求y0的取值范围．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P﹣BE﹣C的余弦值为．（Ⅰ）求PD的长；（Ⅱ）求点C到平面PEB的距离．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），A1（﹣a，0），A2（a，0），且|A2F|＝3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交椭圆C于点M，N．记△A1MN和△A2MN的面积分别为S1和S2．当S2﹣S1＝时，求直线MN的方程．参考答案一、选择题（共10小题）.1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i解：由复数的几何意义可知，复数z对应的点的坐标是（2，1），则z＝2+i，故＝2﹣i．故选：A．2．在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n＝（）A．4B．5C．6D．7解：在（a+b）n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式共有7项，∴n＝6，故选：C．3．椭圆的焦点坐标为（）A．（5，0），（﹣5，0）B．（3，0），（﹣3，0）C．（0，5），（0，﹣5）D．（0，3），（0，﹣3）解：椭圆，可得c＝＝3，所以椭圆的焦点坐标（3，0），（﹣3，0）．故选：B．4．已知直线l1：ax﹣y﹣1＝0，l2：ax+（a+2）y+1＝0．若l1⊥l2，则实数a＝（）A．﹣1或1B．0或1C．﹣1或2D．﹣3或2【分析】直接利用两条直线垂直，列出关于a的方程，求解即可．解：因为l1⊥l2，所以a•a+（﹣1）×（a+2）＝0，解得a＝﹣1或2．故选：C．5．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l．下列结论中正确的是（）A．若直线m⊥平面α，则m∥βB．若平面γ⊥平面α，则γ∥βC．若直线m⊥直线l，则m⊥βD．若平面γ⊥直线l，则γ⊥β【分析】由线面的位置关系可判断A；由面面的位置关系可判断B；由线面的位置关系和面面垂直的性质可判断C；由面面垂直的判定定理可判断D．解：平面α⊥平面β，α∩β＝l，若直线m⊥平面α，则m∥β或m⊂β，故A错误；平面α⊥平面β，若平面γ⊥平面α，则γ∥β或γ与β相交，故B错误；平面α⊥平面β，α∩β＝l，若m⊥l，则m⊂β或m⊥β，故C错误；平面α⊥平面β，α∩β＝l，若平面γ⊥直线l，又l⊂β，由面面垂直的判定定理可得γ⊥β，故D正确．故选：D．6．将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．24B．18C．12D．6【分析】分2步进行分析：①在4张电影票中，选出连号的2张，分给三人中的一人，②将剩下的2张电影票分给其他2人，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在4张电影票中，选出连号的2张，分给三人中的一人，有3×3＝9种分法，②将剩下的2张电影票分给其他2人，有A22＝2种分法，则有9×2＝18种不同的分法，故选：B．7．已知双曲线的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（）A．4或16B．7或13C．7或16D．4或13【分析】利用双曲线的离心率求解a，结合双曲线的定义求解即可．解：双曲线的两个焦点是F1，F2，点P在双曲线C上．若C的离心率为，可得，解得a＝3，c＝5，|PF1|＝10，则|PF2|＝±2a+10，所以|PF2|＝4或16．故选：A．8．在正三棱锥P﹣ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由题意画出图形，取底面三角形的中心，可得直线PA与平面ABC所成角，求解三角形得答案．解：如图，取底面正三角形ABC的中心O，连接PO，则PO⊥底面ABC，∠PAO为直线PA与平面ABC所成角．连接AO并延长，角BC于D，可得AD＝，∴AO＝AD＝，在Rt△POA中，有cos，即∠PAO＝30°．∴直线PA与平面ABC所成角的大小为30°．故选：A．9．已知圆O1的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，圆O2的方程为x2+（y﹣b+1）2＝1，其中a，b∈R．那么这两个圆的位置关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切【分析】利用圆的方程求出圆心和半径，然后利用圆心距之间的距离和两圆半径的关系，结合两圆的位置关系的判断方法进行分析即可．解：根据题意，圆O1的圆心O1（a，b），半径r＝2，圆O2的圆心O2（0，b﹣1），半径R＝1，所以r+R＝3，r﹣R＝1，因为O1O2＝，所以O1O2≥r﹣R，故两圆不可能是内含．故选：C．10．点M在直线l：x＝2上，若椭圆上存在两点A，B，使得△MAB是等腰三角形，则称椭圆C具有性质P．下列结论中正确的是（）A．对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质PB．直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质PC．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质PD．对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P【分析】设出直线AB的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB的中点N的坐标，进而可以求出直线l2的方程，从而可以求出点M的坐标，根据性质P的定义即可判断求解．解：由题意可知直线AB所在直线斜率不为0，设直线AB的方程为：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去x整理可得：（1+4m2）y2+8mny+4n2﹣4＝0，则y，若|MA|＝|MB|，则M是线段AB的中垂线l2与x＝2的交点，而AB的中点坐标为（），x，所以N（），又AB的中垂线l2的斜率为k＝﹣m，所以l2的方程为：y﹣，即y＝﹣mx+，当x＝2时，y＝，所以M（2，），故当m，n取不同值时，M的纵坐标也不同，但不是无穷，若|AB|＝|MB|或|AB|＝|MA|时，|AB|最长为4，此时M点有两种，故ABD错误，故选：C．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
北京西城区高二上册数学(理科)期末试卷及答案
北京西城区20 -20 学年度第一学期学业测试高二数学（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在直角坐标系xOy 中，在y 轴上截距为1-且倾斜角为34π的直线方程为( ) A ．10x y ++=B ．10x y +-=C ．10x y -+=D ．10x y --=2．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ，且ab ，那么实数x y +等于( )A ．3B ．3-C ．9D ．9-3．已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，则球的表面积是( ) A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π4．若椭圆221(0)4x y m m+=>的离心率为12，则实数m 等于( )A ．3B ．1或3C ．3或163D ．1或1635．已知直线a 和两个平面,αβ，给出下列两个命题： 命题p ：若a α，a β⊥，则αβ⊥； 命题q ：若aα，aβ，则αβ；那么下列判断正确的是( ) A ．p 为假B ．q ⌝为假C ．p q ∧为真D ．p q ∨为真6．设R ,x y ∈，则“40x y +-<”是“0x <且0y <”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分必要条件7．设点12,F F 为双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，P 为C 为一点，若△12PF F 的面积为6，则12PF PF ⋅的值是( ) A ．3±B ．3C ．9±D ．98．已知矩形ABCD ，1AB =，BC x =，将△ABD 沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则( )A ．(0,2)x ∀∈，都存在某个位置，使得AB CD ⊥ B ．(0,2)x ∀∈，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥C ．1x ∀>，都存在某个位置，使得AB CD ⊥ D ．1x ∀>，都不存在某个位置，使得AB CD ⊥二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题“2R,0x x ∀∈>”的否定是_____________________.10．设R ,a b ∈，若直线0ax y b +-=与直线310x y -+=垂直，则实数a =_______．11．抛物线24x y =的焦点坐标是__________.12．下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的表面积是__________.第12题图 第13题图13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，设11,2AD AA AB ===，则11||CC BD =-__________，11CC CA ⋅=__________.14．在直角坐标系xOy 中，设P 为两动圆222222(2)(2),(2)(1)y x y r x r r +++=+-=> 的一个交点，记动点P 的轨迹为C ．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称；③设点(,)P x y ，则有|||2|y x <．其中，所有正确的结论序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出相应的文字说明，证明过程或者演算步骤． 15．（本小题13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，设12AA =．M ，N 分别是11C D ，1CC 的中点． （1）求异面直线1A N 与MC 所成角的其余弦值； （2）设P 为线段AD 上任意一点，求证：MC PN ⊥．D 1 C 1B 1A 1N MP DCAD 1C 1B 1A 1DC BA正视图左视图俯视图已知圆C 经过点A （1，3），B （5，1），且圆心C 在直线10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；（2）设直线l 经过点（0，3），且l 与圆C 相切，求直线l 的方程． 17．（本小题13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M 为AB 的中点． （1）求证：1BC 平面1MA C ；（2）求直线1BC 与平面11AA B B 所成角的大小．18．（本小题13分）已知椭圆1C ：2214x y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率．（1）求椭圆2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过O 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，且l 与2C 相交于C ，D 两点．若||2||CD AB =，求直线l 的方程．C 1B 1A 1MC BA如图，在三棱锥P ABC -中，底面△AB C 为等边三角形，90APC ∠=︒，24AC PA ==，且平面P AC ⊥平面AB C ．（1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求二面角B AP C --的余弦值；（3）判断在线段AC 上是否存在点Q ，使得△PQB 为直角三角形？若存在，找出所有符合要求的点Q ，并求AQ QC的值；若不存在，说明理由．20．（本小题14分）已知动圆P （圆心为点P ）过定点A （1，0），且与直线1x =-相切，记动点P 的轨迹为C ． （1）求轨迹C 的方程；（2）设过点P 的直线l 与曲线C 相切，且与直线1x =-相交于点Q ．试研究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．PCBA标准答案：1－8：ADBC DBDC 9．2R,0x x ∃∈≤ 10．3 11．（0，1） 12．10π13 14．②③15．（1 （2）提示，若用综合法，证MC ⊥面PNA16．（1）22(6(5)25)y x +--= （2）0x =或815450x y +-=17．（1）略 （2）30︒18．（1）221164y x +=——注，离心率相同的圆锥曲线是相似的，可速解（2）0x y -=或0x y +=，提示，A ，O ，B 为CD 四等分点19．（1）4（2 （3）存在；31,1AQ QC = 20．（1）24y x =（2）存在（即为焦点A 点）；M （1，0）——注，这是抛物线切线性质，在P 点的切线与准线相交于Q ，则90QAP ∠=︒。
2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案
2024北京西城高二（上）期末数 学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程； （2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率； （2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。
2019-2020年北京市西城区高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)-精华版
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角 的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的 侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物正（主）视图俯视图线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.ABCDPE AB CPM17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=.(Ⅰ)当直线l l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面B D F ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；11. 3；12.14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解 (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.ABCDPE O因为BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --.……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为. ……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n. ……………8分 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t 时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。
北京市西城区2020年高二《数学》上学期期末试题与参考答案
北京市西城区2020年高二《数学》上学期期末试题与参考答案一､选择题本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 已知椭圆的一个焦点为,则的值为A. B. C. D. 答案：A解：由于，所以.2. 已知数列满足,,则A. B. C. D. 答案：B解：依题意.3. 已知命题p ：∃x ＜1，x 2≤1，则￢p 为（ ）A. ∀x≥1，x 2≤1B. ∃x ＜1，x 2＞1C. ∀x ＜1，x 2＞1D. ∃x≥1，x 2＞1答案：C解：命题p ：∃x ＜1，x 2≤1，则￢p ：∀x ＜1，x 2＞1；4. 已知,若,则222:1(0)4x y C a a+=>(2,0)a68222a b c =+22428,a a =+=={}n a 12a =12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N 3a =5678213224,26a a a a =+==+=,a b R ∈a b <A. B. C. D. 答案：D解：对于A 选项，若，如，但是，即，所以A 选项错误.对于B 选项，若，如，但是，即，所以B 选项错误.对于C 选项，若，如，但是，即，所以C 选项错误.对于D 选项，若，则，则，所以.5. 已知向量，且，那么（ ）A. B. C. D. 答案：A解：根据题意，向量，2，，，，，且，则设，即，，，2，，则有，则，，则，，，故6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面，内则“直线a 和直线b 相交”是“平面和平面相交”的 A. 充分不必要条件2a b <2ab b <22a b <33a b <a b <21-<-()122-⨯=-2a b =a b <21-<-()()()2211-⋅->-2ab b >a b <21-<-()()2221->-22a b >a b <0a b -<()()3322a b a b a ab b -=-++()2213024a b a b b ⎡⎤⎛⎫=-++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦33a b <(1,2,1),(3,,)a b x y =-= //a b||b = 6918(1a =- 1)(3b = x )y //a b b ka =(3x )(1y k =-1)3k =-6x =-3y =-(3b = 6-3)-||b ==αβ.αβ()B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：A解：当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立.7. 已知向量,,,若共面,则等于A.B. C. 或 D. 或答案：B解：由于共面，所以存在，使得，即，所以，所以.8. 德国著名数学家高斯,享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时,定义了一个函数,其中表示不超过的最大整数,比如. 根据以上定义,当时,数列,,A. 是等差数列,也是等比数列B. 是等差数列,不是等比数列C. 是等比数列,不是等差数列D. 不是等差数列,也不是等比数列(1,,2)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =,,a b c x 1-111-10,,a b c ,λμa b c λμ=+()()()()1,,20,,2,0,0,,2x λλμμλλ=+=1,,22x μλλ===1x =()[]f x x =[]x x []=3π1x +()x f x -()f x x答案：D解：，所以，所以，即三个.，，所以数列,,不是等差数列,也不是等比数列9. 设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m 的取值范围为A. B. C. D. 答案：B解：设的前项为，由于数列的前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为，所以，由（3）（4）得，所以即，先将（2）代入（1），然后将（3）代入（1）得，整理得.1.732≈()[][][]1.7321 2.7322f x x ==+==()1x f x -=1,1-+114+-=≠)1124+-=≠()x f x -()f x x {}n a 3366m ≥32m ≥6m ≤2m ≥{}n a 4a b c d ,,,{}n a 3362(1)(2)2(3)6(4)a b c m b ac c b d b c d ++=⎧⎪=⎪⎨=+⎪⎪++=⎩36,2c c ==22(1)2(2)4(3)a b m b a b d ++=⎧⎪=⎨⎪=+⎩22(1)(2)24(3)a b m b a b d ++=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩()()24422d d m -+-+=()21335222m d =-+≥10. 曲线.给出下列结论:①曲线关于原点对称;②曲线上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线只经过个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A. ①② B. ②C. ②③ D. ③答案：C解：①，将代入曲线，得，与原方程不相等，所以曲线不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线，由于，所以，所以对于任意一个，只有唯一确定的和它对应.函数是单调递减函数.当时，有唯一确定的；当时，有唯一确定的.所以曲线过点，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于.当时，，所以.当时，，所以.当时，，且，所以.综上所述，曲线上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线过点，这是两个整点.由可得，当且时，若为整数，必定不是某个整数的三次方根，所以曲线只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.33:1C x y +=C C C 2(),x y --33:1C x y +=331x y +=-C 33:1C x y +=331y x =-y =xy y =0x =1y =1x =0y =C ()()0,1,1,010x <1y>221x y +>>1x >0y<221x y +>>01x <<01y <<()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<221x y +>>C C ()()0,1,1,0331x y +=()331x y -=-0x ≠1x ≠x 31x -C二､填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分.11. 设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为__________.答案：解：依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.故答案为：12. 不等式的解集为________答案：解：因为所以，即不等式的解集为.13. 能说明“若a ﹥b ，则”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.答案：（答案不唯一）解：分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．P 221259x y +=P 2P 85a =P 2P 5228⨯-=801xx <-(0,1)01xx <-，(1)0(0,1)x x x -<⇒∈01xx <-()0,111a b <1 ,1-11a b =>=-1111a b =<=-1,1-14. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的，则其离心率的值是________．答案：2解：因为双曲线的焦点到渐近线即所以，因此15. 某渔业公司今年初用万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加万元.若该渔船预计使用年,其总花费(含购买费用)为________ 万元;当______时,该渔船年平均花费最低(含购买费用).答案： ①.②. 解：每年的费用是首项为，公差为的等差数列，所以总费用.平均费用为，当且仅当时，等号成立，也即时，该渔船年平均花费最低.16. 若 表示从左到右依次排列的9盏灯,现制定开灯与关灯的规则如下:(1)对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作;(2)灯在任何情况下都可以进行一次操作;对任意的,要求灯的左边有且只有灯是开灯状态时才可以对灯进行一次操作.如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要_____次操作;如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要_____次操作.xOy 22221(0,0)x y a b a b-=>>(c,0)F (c,0)F ,b y x a=±0bx ay ±=,bcb c=b =22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==10042n n =23100n n ++1042()()214210031002n n S n n n n -=⨯+⨯+=++()1003323S n n n n =++≥=100,10n n n==10n =1239,,,,x x x x 1x {|29}i x x ∈∈≤≤N i x 1i x -i x 4x 6x答案：①. 3 ②. 21解：（1）如果所有灯都处于开灯状态,那么要把灯关闭最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下，共次.（2）①关闭前个灯最少需要的操作如下，设为开灯，0为关灯：初始状态，操作如下：，共次.②此时前盏灯的状态如下：，操作次，变为，打开.③将步骤①倒过来做一遍，打开前个灯，共次操作.综上所述，如果除灯外,其余8盏灯都处于开灯状态,那么要使所有灯都开着最少需要次操作三､解答题本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列的公比为,且,,成等差数列.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设的前项和为,且,求的值.答案：(Ⅰ) . (Ⅱ) 的值是.解：(Ⅰ)因为为公比为的等比数列,所以,,,依题意得 , 即,4x 111111011,0011,001034111111011,0011,0010,1010,1110,0110,0100,1100,1000,000010600001010000116x 4106x 21{}n a 23a 44a +5a {}n a {}n a n n S 62n S =n 2nn a =n 5{}n a 223114a a q a ==418a a =5116a a =4352(4)a a a +=+1112(84)416a a a +=+整理得, 解得.所以数列的通项公式为.(Ⅱ)依题意 ,.所以,整理得,解得所以的值是.18. 已知函数,.(Ⅰ)若,求的取值范围;(Ⅱ)若对恒成立,求的取值范围;(Ⅲ)求关于的不等式的解集.答案：(Ⅰ) 或. (Ⅱ) . (Ⅲ)见解析解：(Ⅰ)由得,整理得, 解得或.(Ⅱ)对恒成立,则,所以, 整理得,解得.(Ⅲ)解,得,148a =12a ={}n a 2nn a =111nn q S a q-=⋅-11222212n n +-=⋅=--12262n +-=1264n +=5.n =n 52()f x x ax =+a R ∈()(1)f a f >a ()4f x ≥-x ∀∈R a x ()0f x >1{|2a a <-1}a >{|44}a a -≤≤()(1)f a f >221a a a +>+2210a a -->1{|2a a <-1}a >()4f x ≥-x ∀∈R min ()4f x ≥-244a -≥-2160a -≤{|44}a a -≤≤20x ax +=120,x x a ==-①当时,即时,或 ; ②当时,即时,或 ; ③当时,即时, .综上,当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为或;当时,不等式的解集为.19. 已知椭圆的右焦点为,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点为椭圆的上顶点,点在椭圆上且位于第一象限,且,求的面积.答案：(Ⅰ) (Ⅱ) 解：(Ⅰ)依题意 ,, 解得,,所以椭圆的方程为.(Ⅱ)设点,因为点在椭圆上,所以…①,因为,所以,得…②,由①②消去得,,解得(舍),, 代入方程②得,所以, 0a ->a<00x <x a >-0a -<0a >x a <-0x >0a -=0a =0x ≠a<0{|0x x <}x a >-0a >{|x x a <-0}x >0a ={|0}x x ≠2222:1x y C a b +=(0)a b >>(1,0)F C A C B 90AFB ∠= AFB ∆2212x y +=131c =c a =222a b c =+a =1b ==C 2212x y +=00(,)B x y B 220012x y +=90AFB ∠=1FA FB k k ⋅=-011yx =-0y 200340x x -=00x =043x =013y =41(,)33B所以又所以的面积20. 如图,四棱锥中,平面,, .,,,是的中点.(Ⅰ)证明:⊥平面;(Ⅱ)若二面角,求的值;(Ⅲ)若,在线段上是否存在一点,使得⊥. 若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.答案：(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在，见解析解：(Ⅰ)证明:因为 平面,,所以 平面.又因为 平面,所以 . 在中,,是的中点,所以 .||BF =||AF =AFB ∆111=||||223AFB S AF BF ∆⨯⨯==P ABCD -AD ⊥ABP //BC AD 90PAB ∠=o 2PA AB ==3AD =BC m =E PB AE PBC C AE D --m 2m =AD F PF CE F 1m =AD ⊥PAB //BC AD BC ⊥PAB AE ⊂PAB AE BC ⊥PAB ∆PA AB =E PB AE PB ⊥又因为 ,所以 平面.(Ⅱ)解:因为 平面,所以,.又因 ,所以 如图建立空间直角坐标系.则,,,,,,,.设平面的法向量为.则即 令,则,,于是.因平面,所以. 又,所以平面.BC PB B = ⊥AE PBC AD ⊥PAB AD AB ⊥AD PA ⊥为PA AB ⊥A xyz-(0,0,0)A (0,2,0)B (0,2,)C m (1,1,0)E (2,0,0)P (0,0,3)D (0,2,)AC m = (1,1,0)AE = AEC (,,)n x y z = 0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩1x =1y =-2z m =2(1,1,n m =- 为AD ⊥PAB AD PB ⊥PB AE ⊥PB ⊥AED又因为,所以取平面的法向量为.所以,解得.又因为,所以.(Ⅲ)结论:不存在.理由如下:证明:设.当时,.,.由知,,,.这与矛盾.所以,在线段上不存在点,使得.21. 已知抛物线，拋物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）过的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线于点E，直线BF交直线于点D，是否存在这样的直线l，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．答案：（1）抛物线C的方程为，准线方程为；（2）存在直线或(2,2,0)PB=-AED1,)0(1,m=-cos,n mn mn m⋅〈〉==⋅=21m=m>1m=(0,0,)F t(03)t≤≤2m=(0,2,2)C(2,0,)PF t=-(1,1,2)CE=--PF CE⊥0PF CE⋅=220t--=1t=-03t≤≤AD F PF CE⊥()2:20C y px p=>()1,0-4x=-=1x-//DE AF28y x=2x=-1)y x=+．解：（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以，即准线方程为.（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.联立得，消去得.由,解得. 所以且.由韦达定理得,.直线的方程为,又,所以,所以,因为,所以直线与直线的斜率相等又,所以.整理得,即,化简得,,即. 所以,整理得,解得经检验,.所以存在这样的直线,直线的方程为或．1)y x =+13132p+=4p =28y x =2x =-l l (1)y k x =+(0)k ≠1122(,),(,)A x y B x y 28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩y 2222(28)0k x k x k +-+=224(28)40k k ∆=-->k <<k <<0k ≠212282k x x k -+=121=x x BF 22(2)2y y x x =--1D x =-2232D y y x -=-223(1,)2yD x ---//DE AF DE AF (4,3)E k --221133232y k x y x -+-=--121222y y k x x =+--1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--121211122x x x x ++=+--121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++12+7x x =2282=7k k -289k =k =k =l l 1)y x =+1)y x =+22. 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得，,求p 的所有可能值.答案：(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 见解析 (Ⅲ) .解：(Ⅰ)证明:因为数列为等差数列,所以对任意两个正整数,有 , 所以 .所以 数列为“和谐数列”.(Ⅱ)证明:因为数列为“和谐数列”,所以 当,时,只能成立, 不成立.所以 ,即. 当,时,也只能成立,不成立.所以 ,,,即,所以. 令,则数列满足.123,,,a a a ,i j (3)j i -≥11i j i j a a a a -++=+11i j i j a a a a +-+=+{}n a {}n a {}n a {}n a 3{}n a 10a =*∈p N p a p =123p a a a a p ++++=- 3,5,6,8,12{}n a ,i j (3)j i -≥11i i j j a a a a d +--=-=11i j i j a a a a +-+=+{}n a {}n a 1i =4j =11i j i j a a a a +-+=+11i j i j a a a a -++=+2314a a a a +=+2143a a a a -=-1i =5,6,7,8,9j =L 11i j i j a a a a +-+=+11i j i j a a a a -++=+2415a a a a +=+2516a a a a +=+2617a a a a +=+L 21546576a a a a a a a a -=-=-=-= 21435465a a a a a a a a -=-=-=-= 21a a d -={}n a 1(4)n n a a d n --=≥所以,数列从第3项起为等差数列.(Ⅲ)解:①若,则,与矛盾,不合题意. ②若,则,,但,不合题意③若,则,,由,得, 此时数列为:,符合题意.④若,设,则.所以即 .因为,所以.所以不合题意.所以.因为p 为整数,所以为整数,所以.综上所述,p 的所有可能值为.{}n a 1p =11p a a ==10a =2p =10a =22a =1222a a +=≠-3p =10a =33a =1233a a a ++=-26a =-{}n a 0,6,3,3,9,--- 4p ≥21a a d -=12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p-+++=++--+--++-+=- ,(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++=[()(3)](1)02p d p p d p ++---=10p -≠(3)0p d p p d ++--=4p =228882444p p d p p p -+===+---84p -5,6,8,12p =3,5,6,8,12。