第六章树与二叉树6赫夫曼树及其应用
数据结构-第6章 树和二叉树---4. 树和森林(V1)
6.4.1 树的存储结构
R AB C D EG F
R⋀
A
⋀D
⋀B
⋀E ⋀
C⋀
⋀G
⋀F ⋀
6.4.2 树、森林和二叉树的转换
1. 树转换为二叉树 将树转换成二叉树在“孩子兄弟表示法”中已 给出，其详细步骤是： ⑴ 加线。在树的所有相邻兄弟结点之间加一 条连线。 ⑵ 去连线。除最左的第一个子结点外，父结点 与所有其它子结点的连线都去掉。 ⑶ 旋转。将树以根结点为轴心，顺时针旋转 450，使之层次分明。
B C
D
A E
L HK
M
技巧：无左孩子 者即为叶子结点
6.4.3 树和森林的遍历
1. 树的遍历 由树结构的定义可知，树的遍历有二种方法。 ⑴ 先序遍历：先访问根结点，然后依次先序 遍历完每棵子树等。价于对应二叉树的先序遍历
⑵ 后序遍历：先依次后序遍历完每棵子树，然 后访问根结点。等价于对应二叉树的中序遍历
0 R -1 1A 0 2B 0 3C 0
}Ptree ; R
4D 1 5E 1
AB C
6F 3
7G 6
DE
F
8H 6
9I 6
G H I 10~MAX_Size-1 ... ...
6.4.1 树的存储结构
2. 孩子表示法
每个结点的孩子结点构成一个单链表，即有n 个结点就有n个孩子链表；
n个孩子的数据和n个孩子链表的头指针组成一 个顺序表； 结点结构定义： 顺序表定义：
typedef struct PTNode { ElemType data ;
6.6 赫夫曼树及其应用++
6.6 赫夫曼树及其应用赫夫曼(Huffman)树，又称最优树，是一类带权路径长度最短的树，有着广泛的应用。
本节先讨论最优二叉树。
6.6.1 最优二叉树(赫夫曼树)首先给出路径和路径长度的概念。
从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径，路径上的分支数目称做路径长度。
树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和。
6.2.1节中定义的完全二叉树就是这种路径长度最短的二叉树。
若将上述概念推广到一般情况，考虑带权的结点。
结点的带权路径长度为从该结点到树根之间的路径长度与结点上权的乘积。
树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和，通常记作WPL ＝∑=nk k k l w 1。
(注：W K 为第K 个叶子结点的权，L K 为第K 个叶子结点到根结点的路径长度。
所谓带权路径长度就是结点的权与该结点路径长度的乘积。
)假设有n 个权值{w 1，w 2，…，w n }，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权为w i ，则其中带权路径长度WPL 最小的二叉树称做最优二叉树或赫夫曼树。
例如，图6.22中的3棵二叉树，都有4个叶子结点a 、b 、c 、d ，分别带权7、5、2、4，它们的带权路径长度分别为(a)WPL ＝7×2+5×2+2×2+4×2＝36(b)WPL ＝7×3+5×3+2×1+4×2＝46(c)WPL ＝7×1+5×2+2×3+4×3＝35其中以(c)树的为最小。
可以验证，它恰为赫夫曼树，即其带权路径长度在所有带权为7、5、2、4的4个叶子结点的二叉树中居最小。
(将权比较大的叶子结点尽量靠近根结点！)在解某些判定问题时，利用赫夫曼树可以得到最佳判定算法。
例如，要编制一个将百分制转换成五级分制的程序。
显然，此程序很简单，只要利用条件语句便可完成。
树和二叉树——精选推荐
第6章 树和二叉树内容概要：本章主要介绍树，二叉树，最优二叉树的相关概念和操作，存储结构和相应的操作，并在综合应用设计中，给出了对应算法的C 语言实现。
教学目标1．理解各种树和森林与二叉树的相应操作。
2．熟练掌握二叉树的各种遍历算法，并能灵活运用遍历算法实现二叉树的其他操作。
3．熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。
4．掌握哈夫曼编码的方法。
5．通过综合应用设计，掌握各种算法的C 语言实现过程。
基本知识点：树和二叉树的定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码重点：二叉树的性质、二叉树的遍历及其应用，构造哈夫曼树。
难点：编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法。
本章知识体系结构：课时安排：6个课时树的定义 树树的性质 树的逻辑表示法 树形表示法 树的存储结构 双亲存储结构 文氏表示法凹入表示法 括号表示法 孩子存储结构 孩子双亲存储结构二叉树二叉树的定义 二叉树的性质二叉树的逻辑表示法（采用树的逻辑表示法）二叉树的存储结构二叉树的顺序存储结构先序遍历 中序遍历 后序遍历二叉树的遍历 二叉树的链式存储结构（二叉链） 由先序序列和中序序列构造二叉树 由中序序列和后序序列构造二叉树二叉树的构造 二叉树的线索化 哈夫曼树二叉树和树之间的差别 二叉树与树、森林之间的转换二叉树和树课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握树、二叉树的基本概念和术语，二叉树的性质教学重点二叉树的定义、二叉树的性质、链式存储结构教学难点二叉树的性质、链式存储二叉树的基本操作组织教学一、树的定义二、树的基本概念三、二叉树的定义、性质四、二叉树的顺序存储结构和链式存储结构五、小结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握二叉树遍历的三种方法及二叉树的基本操作教学重点二叉树的遍历算法教学难点中序与后序遍历的非递归算法组织教学一、复习二叉树的定义二、遍历二叉树的三种方法三、递归法遍历二叉树四、二叉树的基本操作五、总结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标理解树与森林的转换，掌握哈夫曼树教学重点哈夫曼树教学难点树与森林的转换组织教学一、导入二、树与森林三、哈夫曼树四、小结作业习题6课堂情况及课后分析前面几章讨论的数据结构都属于线性结构，线性结构的特点是逻辑结构简单，易于进行查找、插入和删除等操作，可用于描述客观世界中具有单一前驱和后继的数据关系。
DS06_树和二叉树04_赫夫曼树及其应用
weightparent lchild rchild
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5× 29 7× 8× 14 × 23 × 3× 11 × 8× 15 × 19 × 29 42 58 100 0(9) 0(14) 0(10) 0(10) 0(12) 0(13) 0(9) 0(11) 0(11) 0(12) 0(13) 0(14) 0(15) 0(15) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 8 5 6 2 13 0 0 0 0 0 0 0 0 7 4 9 10 11 12 14
为此引入前缀编码的概念
2）前缀编码
对某一字符集进行丌等长编码，如果字符集中任一字符的编码都丌
是其他字符编码的前缀，这种编码叫做前缀编码。
如何设计前缀编码？
二进制前缀编码的求解
0 a
0 c 0 b 1 d 1 1
假设有一棵如左图所示的二叉树，四个 叶结点分别表示A、B、C、D四个字符，且 约定左分支表示字符‘0’，右分支表示字 符‘1’，则可以从根结点到叶子结点的路 径上以分支字符组成的字符串作为该叶子结 点的编码。可以证明，如此得到的必为二进 制前缀编码。
因为，每个字符结点都是叶结点，它们丌可能在根结点到其它字符结 点的路径上，所以一个字符的编码丌可能是另一个字符编码的前缀， 从而保证了译码的非二义性。
如何得到电文总长最短的二进制前缀编码呢？
3）赫夫曼编码
假定每种字符在电文中出现的次数为wi，编码长度为li，则n种字符 的电文总长
w l
k 1
70—79 0.4
80—89 0.3 70≤a<80
《数据结构——C语言描述》第6章：树
先根遍历: -+a*b–cd/ef 中根遍历: a+b*c–d–e/f 后根遍历: abcd-*+ef/-
typedef struct Node { datatype data; struct Node *Lchild; struct Node *Rchild; } BTnode,*Btree;
满二叉树：一棵深度为k且有2k-1个结 点的二叉树称为满二叉树。 完全二叉树：深度为k，有n个结点的 二叉树当且仅当其每一个结点都与深度 为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一 对应时，称为完全二叉树。
1 2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1 3 5 7
树的度：树中最大的结点的度数即为 树的度。图6.1中的树的度为3。 结点的层次(level)：从根结点算起， 根为第一层，它的孩子为第二层……。 若某结点在第l层，则其孩子结点就在 第l+1层。图6.1中，结点A的层次为1， 结点M的层次为4。 树的高度(depth)：树中结点的最大层 次数。图6.1中的树的高度为4。 森林(forest)：m(m≥0)棵互不相交的 树的集合。
教程和练习题 二叉树的概念及操作 树和森林 哈夫曼树及其应用 第6章 树和二叉树数据结构
例如:
A
B
C
D
E
F
GH I J
K
L
M
A( B(E, F(K, L)), C(G), D(H, I, J(M)) )
树根
T1
T2
T3
树的抽象数据类型的定义
ADT Tree{
数据对象 D：D是具有相同特性的数据元素的集合。
M
(从根到结点的)路径：
B
A C
D
由从根到该结点 E F G H I J
所经分支和结点构成 K L
M
结点的层次: 根结点定义为第１层， 根的儿子定义为第２层， 以此类推，记作Ｌ（ｖ）
树的深度： 树中叶子结点所在的最大层次
堂兄弟: 双亲在同一层上的结点
有向树：
(１) 有确定的根；
有序(２树) 树：根和子树根之间为有向关系。
A
B
C
D
E F GH I J
KL
M
树例与特征
描述层次结构，是一种一对多的逻辑关系
社会的组织结构 家族的族谱 计算机中的目录组织
2020/8/20
12
6.1 树的类型定义
6.1 树的逻辑结构及其操作
1.树（Tree) 是一个非空的有限元素的集合， 元素之间具有如下 E F GH I
J
A(B(E,F),C,D(G(J),H,I))
广义表
A B
E F C D G J H I
凹入表示
19
树的概念
结点：一个数据元素及若干指向其子树的分支； 结点的度：结点拥有的子树的数目。 树的度：树内各结点的度的最大值； 叶子（终端结点）：度为0的结点； 分支结点（非终端结点）：度不为0的结点；除根
第6章(树和二叉树)
^ ^
^
C
^ ^
E
D
G
24/106
在n个结点的 三叉链表 中，有n+2个 空指针域
^ ^
G
F
^
^
用链表表示的二叉树中也会存在许多空链域。例如在含有n个 结点的二叉链表中，共有2n个链域，实际用n-1链域（仅有n-1 个分支），还有n+1个空链域。 可以利用这些空链域存储其它有用信息，从而得到另一种链式 存储结构——线索链表。
B＝n1+2n2
因此，N＝B＋1＝n1＋2n2＋1
（6-2)
由式（6-1）和（6-2）得到：
n0+n1+n2=n1+2n2+1
可得 n0＝n2＋1
性质3： 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的 结点数为n2，则n0＝n2＋1。
11/106
下面介绍两种特殊形态的二叉树： 满二叉树和完全二叉树。
假设此二叉树的深度为k，则根据性质2及完全二叉树的定义得：
2k-1-1＜n≤2k-1 或 2k-1≤n＜2k
取对数得到: k-1≤ log2n ＜ k ，又因为k是整数，所以有： k＝ log2n ＋1
14/106
性质5： 如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序 编号（从第1层到第log2n +1层，每层从左到右)，则对任 一结点i（1≤i≤n)，有： （1）如果i=1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1， 则其双亲是结点i/2 。 （2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其 左孩子是结点2i。 （3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子是 结点2i＋1。
数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树
6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二 叉树（Binary Tree）： （1）每个结点的度都不大于2； （2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一 个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相 等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍 历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不 是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则 返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）： 树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。
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bad
pass
一. 概念
路径
6.5 赫夫曼树及其应用
从树中一个结点到另一个结点之间的分 支构成这两个结点间的路径；
路径长度 路径的分支数目称为路径长度；
树的路径长度
从树根到树中其余每个 结点的路径长度之和。
2 1A1
B
C
2
DE
6.5 赫夫曼树及其应用
一. 概念
结点的权 根据需要给结点所赋的值；
9
5
4 52 3
重复第3步
14
9
5
4 52 3
练习：构造以W=（5，4，7，2，5）为权的赫夫曼 树。
547 2 5
23
10
13
6 245 7 5
5 56
7
24
6
10
245 5 7
13
6
7
24
10 55
说明
最优二叉树的左右子树可以互换； 结点权值差别很大时，构成如图所示形状； 所有结点权值一样时，构成完全二叉树形状；
WPL=7+10+6+12=35
6.5 赫夫曼树及其应用
一. 概念
最优二叉树(Huffman树)
即假设有n个权值(w1 ,w2 , … , wn )，构造有一棵n个 叶子结点的二叉树，每个叶
子结点带权值wi 。则带权路 径长度WPL最小的二叉树称
为最优二叉树，又称为赫夫
曼树。
a7 b5 c 2 d4
else if(a<70) score=“pass”; else if(a<80) score=“general”; else if(a<90) score=“good”; else score=“excellent”;
a<60
Y
N
分数 0~59 60~69 70~79 80~89 90~100 比例 0.05 0.15 0.40 0.30 0.10
结点的带权路径长度
从根到该结点的路径长
度与该结点权值的乘积；
2
61 A 1 3
B
C
2
DE
5
2
6.5 赫夫曼树及其应用
一. 概念
树的带权 路径长度
树中所有叶子结点的带权路径 长度之和。记作:
n
WPL= wk lk k =1
其中， Wk代表第k个叶子的权值；
lk代表从根结点到第k个叶子的
路径长度。
2
a7 b5 c 2 d4
55 55
说明
最优二叉树结点数为叶子数的2倍减1。
证明： 由二叉树性质3得： n0=n2+1 故最优二叉树结点数=n0+n2=n0+n0-1=2n0-1
6.5 赫夫曼树及其应用
赫夫曼树的存储
weight parent lchild rchild
权值 双亲 左孩子 右孩子
typedef struct { int weight; int parent, lchild, rchild;
}HTNode, *HuffmanTree;
//动态分配数组存储赫夫曼树
赫夫曼树的构造算法
void HuffmanTree(HuffmanTree &HT, int * w, int n){ //w存放n个字符的权值，构造赫夫曼树HT if (n<=1) return; m=2* n-1; //m为赫夫曼树总结点数 HT=(HuffmanTree)malloc((m+1) * sizeof(HTNode)); for (p=HT+1, i=1; i<=n; ++i, ++p, ++w) * p={ * w, 0, 0, 0}; for (; i<=m; ++i, ++p) * p={ 0, 0, 0, 0}; for (i=n+1; i<=m; ++i) { //建赫夫曼树 //在HT[1..i-1] 选择parent为0且weight最小的两个结点，其
2．选取与合并：在F中选取两棵根结点权值最小的树作 为左、右子树，构造一棵新的二叉树，且置新二叉树 根的权值为左、右子树根结点权值之和；
3．删除与加入：从F中删除这两棵树，并将新树加入F； 4．重复 2、3，直到F中只含一棵树为止。这棵树就是所
求的赫夫曼树。
6.5 赫夫曼树及其应用
举例：W＝{2，4，5，3} 赫夫曼树的构造过程
序号分别为s1和s2。 Select(HT, i-1, s1, s2); HT[s1]. parent =i; HT[s2].parent=i; HT[i].lchild=s1; HT[i].rchild=s2; HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;} }
6.5 赫夫曼树及其应用
一. 概念
最优二叉树的特点
1. 权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值 越小的叶子结点越远离根结点。
2. 只有度为0（叶子结点） 和度为2（分支结点）的 结点，不存在度为1的结 点。
a7 b5
2
c
d4
6.5 赫夫曼树及其应用
二.最优二叉树的构造
赫夫曼算法步骤：
1．初始化：根据给定的n个权值 ，构造n棵二叉树集合 F，其中每棵二叉树中只有一个带权为wi的根结点， 其左右子树均为空；
61 A 1 3
B
C
2
DE
5
2
6.5 赫夫曼树及其应用
一. 概念
树的带权路径长度
例：有3棵二叉树，都有4个叶子结点a、b、c、d，且带 相
同权值7、5、2、4，3棵树的带权路径长度分别为：
7
a
5
b
c
2
d4
WPL=14+10+4+8=36
2
c
4
d a7 b5
WPL=8+21+15+2=46
a7 b5 c 2 d4
数据结构
第六章 树和二叉树
6.1 树的定义和基本术语 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.5 赫夫曼树及其应用
6.5 赫夫曼树及其应用
编制一个将学生的百分制成绩转换成五分制 成绩的程序。其中若成绩低于60分，记为“bad”;
成绩介于60和69之间，记为“pass”;成绩介于70和79之间 的，记为“general”;成绩介于80和89之间的，记为 “good”;成绩高于90分的，记为“excellent”。 if (a<60) score=“bad”;
第1步：初始化
24 5 3
第2步：选取与合并 第3步：删除与加入
5 23 45 5
23
6.5 赫夫曼树及其应用
举例：W＝{2，4，5，3} 赫夫曼树的构造过程
重复第2步
45 5
23 9
重复第3步
45
9
5
4 52 3
6.5 赫夫曼树及其应用
举例：W＝{2，4，5，3} 赫夫曼树的构造过程
重复第2步
bad
a<70
Y
N
pass
a<80
Y
10000(1×0.05+2×0.15+3×0.4+4×0.4) =31500
N
general a<90
Y
N
good excellent
10000(2×0.4+2×0.3+2×0.1+3×0.2)
=22000
Y
a<60
Y
a<80
Y
N
a<70
N
a<90
Y
N
general good excellent