23.3.3.相似三角形的性质
第23章23.3.3.相似三角形的性质
【规范解答】(1)∵AE∶EB＝1∶2， ∴AE∶AB＝1∶3. ∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB 綊 CD.∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3， △AEF∽△CDF. ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝1∶3. (2)∵△AEF∽△CDF，∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9. ∵S△AEF＝6cm2，∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)． 【方法归纳】在以平行四边形为背景的图形中，要利用平行四边形的对边平 行，得出角的相等关系，寻找证明三角形相似的条件.
(1)证明：∵四边形 EFGH 是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE ＝∠C， ∴△AEH∽△ABC.
(2)求这个正方形的边长与面积．
解：如图，设 AD 与 EH 交于点 M. ∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形 EFDM 是矩形，∴EF＝DM， 设正方形 EFGH 的边长为 x，∵△AEH∽△ABC，∴EBHC＝AAMD，∴4x0＝303－0 x， ∴x＝1720，∴正方形 EFGH 的边长为1720cm，面积为1444900cm2.
3，则△ABC 与△DCA 的面积之比为( C )
A．2∶3
B．2∶5
C．4∶9
D． 2∶ 3
6．如图，在△ABC 中，EF∥BC，EABE＝12，S 梯形 BCFE＝8，则 S△ABCD．13
7．如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，D、E 分别是 AC、BC 的中点， 则下面四个结论：①△CDE∽△CAB；②DE∥AB；③DE＝1；④△CDE 的 面积与△CAB 的面积之比为 1∶4.其中正确的有( D )
AB2＋BC2＝ 82＋62＝10cm，BH＝ABA·CBC＝81×06＝254(cm)，∴1y0＝2542－4 y， 5
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》优秀教学案例
3.问题情境：设计具有启发性的问题，引导学生运用已有的知识去解决问题，培养学生解决问题的能力。
（二）问题导向
1.设计层次化的问题：从简单到复杂，从具体到抽象，引导学生逐步深入探究相似三角形的性质。
2.结合实例，讲解相似三角形的性质在实际问题中的应用，让学生体会数学的实用性。
3.运用几何画板等软件，动态展示相似三角形的性质，增强学生对知识的理解。
（三）学生小组讨论
1.布置具有探究性的问题，让学生分组讨论、交流。
2.引导学生运用相似三角形的性质解决问题，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
3.教师巡回指导，解答学生在讨论过程中遇到的问题。
本节课的主要内容是学习相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等等。这些性质的学习，不仅需要学生掌握理论知识，更需要学生通过实践操作，去发现、去验证这些性质。因此，在教学过程中，我将以学生的主体性为出发点，注重学生的实践操作，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，去探索相似三角形的性质，从而提高他们的数学素养和解决问题的能力。
六、教学反思
在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量和学生的数学素养。同时，关注学生的个体差异，给予每个学生更多的关心和指导，使他们在数学学习过程中获得成功。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：结合实际生活中的例子，如建筑设计、地图绘制等，创设与相似三角形相关的情境，激发学生的学习兴趣。
四、教学评价
1.过程性评价：关注学生在学习过程中的表现，如思考问题、解决问题等，评价学生的学习态度和能力。
华师大版九年级数学上 23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
23.3.3《相似三角形的性质》教学设计海口市三江中学文秋茹课标要求了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方．教学目标知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力．情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识．教学重点相似三角形性质定理的理解与运用．教学难点探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题．教学流程一、复习旧知：1、相似三角形有何特征？2、判定三角形相似的主要方法有那些？3、什么叫做相似多边形的相似比？二、情境引入有一块三角形的空地，现在为响应绿化工程的号召，开辟一块面积为120平方米的四边形ABCD的绿化地，经测量DE∥BC，BC=6米，CD=4米，你能求出去掉的三角形部分的面积吗？引出课题：要解决这个问题，我们必须在学习相似三角形的判定的基础上进一步研究相似三角形的性质三、探究归纳回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？相似三角形的对应角相等，对应边成比例．问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少．图1图2问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴==''''AD ABk A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比．问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．21212ABC A B C BC ADS BC ADk k k S B C A D B C A D ∆'''∆⋅==⋅=⋅=''''''''⋅结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 四、应用提高例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边 BC 上的高是6，面积为125，求△DEF 的边 EF 上的高和面积．解：在△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，1.2DE DF AB AC ∴== ∵∠A ＝∠D ，∴△DEF ∽△ABC ，△DEF 与△ABC 的相似比为1.2∵△ABC 的边 BC 上的高是6，面积为125， ∴△DEF 的边 EF 上的高为163,2⨯= 面积为211253 5.2⨯=（） 应用： 1．判断（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ ）（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍．（ ）2．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′相似，AD 、BE 是的△ABC 高，A ′D ′、B ′E ′是的△A ′B ′C ′高，求证.AD BEA DB E =''''3．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原来的2cm变成了6cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？五、体验收获说一说你的收获．相似三角形的性质：1．对应角相等，对应边成比例（对应边的比等于相似比）2．对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比3．对应周长比等于相似比4．对应面积比等于相似比的平方六、拓展提升1．两个相似三角形的周长之比是2:3，它们的面积之差是60cm2那么它们的面积之和是多少？2．如图，这是比例尺为1:1000的一块三角形草坪的图形，则草坪的实际面积是多少？3cm2cm3．如图，△ABC 的面积为100，周长为80，AB＝20，点D 是AB 上一点，BD＝12，过点D 作DE∥BC，交AC于点E．（1）求△ADE 的周长和面积；（2）过点E 作EF∥AB，EF 交BC 于点F，求△EFC 和四边形DBFE 的面积．七、课内检测1．用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1cm变成5cm，那么看到的图案面积是原来的（）A．5倍B．15倍C．25倍D．30倍2．两个等腰直角三角形的斜边比为1:2，则它们的周长比为（）A．1:1 B．1:2 C．1:4 D．1:23．两个相似三角形最长边分别是20cm和16cm，它们的周长之和为90cm，则较大三角形的周长为（）A．40cm B．50 cm C．60 cm D．70 cm4．两个相似三角的对应高分别为6cm和4cm，则这两个三角形的周长比为_____，面积比为_____．5．已知两个相似三角形面积之比为9:25，其中一个周长为36，则另一个的周长为_______．八、布置作业教材72页练习第1、2题．附：板书设计§ 27.2.2 相似三角形的性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例二：相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比三：相似三角形周长比等于相似比推广：相似三角形对应线段的比等于相例题板演区学生板演区。
华东师大版数学九年级上册23.3.3相似三角形的性质优秀教学案例
3.培养学生运用几何画图和逻辑推理等方法，自主发现和证明相似三角形的性质，提高他们的探究能力。
4.通过对例题的讲解和练习，帮助学生巩固和应用相似三角形的性质，提高他们的实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发他们的学习动力。
4.教师对学生的学习过程和成果进行总结性评价，给予肯定和鼓励，提高他们的学习动力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实际问题情境，引发学生对相似三角形性质的思考，激发他们的学习兴趣。
例如，展示一幅地图，询问学生如何计算两个城市之间的实际距离，引导学生思考相似三角形的性质在实际问题中的应用。
2.利用多媒体课件，展示相似三角形的实例，让学生直观地感受相似三角形的性质。
例如，让学生设计自己的相似三角形问题情境，并解决相应的问题。
五、案例亮点
1.实际问题情境的创设：通过展示地图和实际距离的问题，引发学生对相似三角形性质的思考，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高他们运用数学知识解决实际问题的意识。
2.设计具有挑战性的问题，激发学生的思维，培养他们解决问题的能力。
3.引导学生运用相似三角形的性质，解决实际问题，提高他们的应用能力。
4.通过问题引导，使学生深入理解相似三角形性质的内在联系和应用价值。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作探究，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
2.分配适当的任务，引导小组成员共同探讨相似三角形性质的问题。
2.通过几何画图软件，展示相似三角形的实例，让学生直观地感受相似三角形的性质。
3.创设问题情境，引导学生发现和提出相似三角形性质的问题，激发他们的探究欲望。
初中数学知识归纳相似三角形的性质
初中数学知识归纳相似三角形的性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何学和应用数学中都具有广泛的应用。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在本文中，我们将归纳相似三角形的性质，全面了解相似三角形的特点和应用。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
具体表达为：若ΔABC∽ΔA'B'C'，则有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角相等，即∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例，即AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。
3. 相似三角形的边比例性质：在相似三角形中，各边之间的比值相等。
例如，若ΔABC∽ΔA'B'C'，则有AB/BC = A'B'/B'C' = AC/BC =A'C'/B'C'。
三、相似三角形的判定1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
即若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。
2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，则这两个三角形相似。
即若∠A=∠A'，AB/A'B' = AC/A'C'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。
3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。
即若AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。
23.3.3 相似三角形的性质(5) 华东师大版数学九年级上册教案
23.3.3相似三角形的性质一、学情分析本班学生已经建立了学习小组，经历了很多合作学习的过程，所以学生参与有关性质探究活动的热情应该比较高，但是基于本班学生平常学习的状况，部分学生的逻辑推理能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力还有待提高，期待在小组学习中，通过互助学习解决这部分同学的困惑。
二、教案1、教材分析本节教学内容是本章的重要内容之一。
本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。
从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。
另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是研究圆中线段关系的有效工具。
2、教学目标1．经历“直观感觉――尝试猜想――合情推理――知识应用”的活动过程，探索相似三角形的性质，并会用相似三角形的性质解决相应的数学问题。
2．通过运用相似三角形的性质解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
3．在探究中，开发、培养学生的逻辑推理能力，进一步发展学生的探究意识。
3、重点难点重点：探索并掌握相似三角形的性质，并进行简单运用难点：探索相似三角形性质的过程。
4、授课类型：新授课5、学法指导运用观察猜想、合作探究、总结归纳等方法来解决问题6、教学课时：1课时7、教学过程（详案）个人智慧展示一、知识引入相似三角形有何性质？想一想：在三角形中，除了边，角，还有哪些量？思考: 如果两个三角形相似，那么以上这些量之间有什么关系呢？设计意图：本环节采用开门见山，以旧知识引入本节课的当分猜想：当两三角形相似时，相应高、中线、角平分线的比与相似比有什么关系？设计意图：引导学生对全等三角形的对应边和对应线段的比的分析，通过分析发现规律，并由此猜想相似三角形的相应，相似比满足吗？相似三角形面积的比等于相似比的平方设计意图：对相似三角形面积之比的证明既需要运用三角形面积公式，又需要运用相似三角形对应高之比与对应边之比等于相似比的结论，使新旧知识有机地结合在一起，增强了学，分别等于多少？设计意图：提升运用的给出，作为课后思考，鼓励学生整合所学习的知识，也体现了分层教学，照顾学有余力的同学。
23.3.3相似三角形的性质
求BC、AC、AˊBˊ、AˊCˊ的长。
15 A C
A`
B
B`
72
C`
例1、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE， AC=2DF，∠A=∠D，ΔABC的周长是24， 面积是48，求ΔDEF的周长和面积。
A
D
B
C E
F
相信自己
1.如图,在△ABC中,D是AB的中点， DE∥ BC，则:
相似比
2 2
4
1 3
1 3
100 100
10000
．．． ．．． ．．．
周长比 面积比
1 9
基础练习
3、判断题： （1）如果把一个三角形各边同时扩大为原来的5 倍，那么它的周长也扩大为原来的5倍。 （√）
（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍， 那么它的三边也扩大为原来的9倍。 （×）
4、如图，△ABC∽△AˊBˊCˊ ，它们的周长分别
A N B E H C
(３)你能求出矩形FGHN 的面积y的最大值吗？
F D G
小结： 相似三角形的性质:
（1）相似三角形对应边成比例，对应角相等。 中线
高线 （2）相似三角形对应的 比等于相似比. 角平分线 周长 （3）相似 三角形 面积的比等于相似比的平方.
｛
AB BC CA k ∴ A`B` B`C ` C `A`
lABC ∴ lA`B `C `
AB k A`B` BC k B`C ` CA k C `A` AB BA CA kA`B`kB`C `kC`A` k A`B` B`C `C `A` A`B` B`C `C `A`
相似三角形的性质(2011.10六中)
周长比等于相似比。 问题 3：相似三角形的面积比等于多 少？ 结论：
面积的比等于相似比的平方。 例 1 如图，一块铁皮呈锐角三角形， 知 识 应 用 它的边 BC＝80 ㎝，高 AD＝60 ㎝。要 把它加工成矩形零件，使矩形的长、 宽之比为 2：1，并且矩形长的一边位 于边 BC 上， 另两个顶点分别在 AB、 AC 上，求这个矩形零件的长与宽。 解：如图，矩形 PQRS 为加工成的矩 形零件，边 SR 在 BC 上，顶点 P、Q 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 交 PQ 于点 E.设 PS 为ｘ㎝，则 PQ 为 2xcm.
重 点 难 点 学习过程 教 学
探索得出相似三角形的性质。 利用相似三角形的性质解决简单的问题。
教学内容 环 节 1、 相似三角形的判定方法有哪些？ 复习回 2、 相似三角形有哪些性质？ 顾 3、 三角形中的主要线段有哪些？ 问题 1：相似三角形对应线段的比。 两个三角形相似，除了对应边成 问题探 究，形 成新知 比例，对应角相等之外，还可以得到
/ /
师生行为
设计意图
根据学生的回答整理 证明：∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B＝∠B′ 用类比的 方法得出 相似三角 形的性质， 培养学生 的推理能 力。
思考：△ABD 与△A′B′D′相似 吗？若相似，它们的相似比是多少？
又∵∠BDA＝∠B′D′A′ ＝90°
2、 思考： 把上图中的高改为中线、 角平分线， 那么它们的对应中线的比、 对应角平分线的比等于多少？ 问题探 结论： 定理 1 相似三角形对 应高的比、对应中线的比和对应角平 分线的比都等于相似比。
3
教 学 教学内容 环 节 A ∵ E PQ∥BC 师生行为 设计意图
∴ △APQ∽△ABC P Q
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2021/3/9
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当堂训练
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的 角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。
解：∵ △ABC∽△DEF ∴ BC∶EF＝BG∶EH
A
G
6∶4＝4.8∶EH EH＝3.2(cm) 答：EH的长为3.2cm。
C'
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
2021/3/9
14
伟大的成绩和辛勤劳动是成正比例的，有
一分劳动就有一分收获，日月累，从少到
多，奇迹就可以创造出来。——鲁迅
2021/3/9
2021/3/9
10
已知△ABC∽△A´B´C´，且相似比为k，AD、A´D´分
别是△ABC、△ A´B´C´ 对应边BC、B´C´上的高，求证：
S ABC k 2
S ABC
A
证明：∵△ABC∽△ A´B´C´
B
∴ ADk, BCk
A' D
AD BC
C
∴ SABC
1 AD•BC 2
B' k2
2021/3/9
8
已知△ABC∽△ABC ，且相似比为k。
求证：△ABC、ABAC B周C长的比等于k
证明：∵ △AABBC∽BCCAk AB△ BC CA
∴
∴ ABBC CAk ABBCCA
即△ABC、△AB的C周长比等于相似比
结论：相似三角形对应角的周长
的比等于相似比.
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9
问题5:两个相似三角形的面积与 相似比之间有什么关系呢？
其中AD、 AD分别为 BC、 BC边上的,高 AD等于什？ 么
AD
图18.3
结论：相似三角形对应 高的比等于相似比. 图18.3.9
2021/3/9
5
问题2 : 如图,ABC∽ ABC,相似比k为,
其中AD、AD分别为 BC、BC边上的中, 线
则AD_k__._ A
AD
A'
B
D
B' C
D' C'
结论：相似三角形对应中线
的比等于相似比.
2021/3/9
6
问题3 : 如图 ,ABC∽ ABC,相似比k为 ,
其中 BE、BE分别为 ABC、ABC的角平分 ,
k 则BE_____. _ BE
A
E
A′ E′
B
C B′
C′
结论：相似三角形对应角的 角平分线的比等于相似比.
2021/3/9
7
问题4：两个相似三角形的周长 比会等于相似比吗？
SABC 1 AD•BC
D'
C'
2
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
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11
小结：本节课你有哪些收获？
1、相似三角形对应边成_比__例_,对应角_相__等___. 2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于__相__似_比___. 3、相似三角形周长的比等于__相__似__比__，
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B
C
D
H
E
F
13
2.如图，△ABC∽△A´B´C´，它们的周长分别是60
厘米和72厘米，且AB=15厘米，B´C´=24厘米。求：BC、
AC、A´B´、A´C´。
A
A'
解：因为△ABC~△A'B'C'
△ABC~△A'B'C
B
所以 AB = BC= 60
C B'
A'B B'C' 72
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角___________ ②相似三角形的对应边___________
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3
情境引入 新课导入
一个三角形中三类重要线段： 高、中线、角平分线
如果两个三角形相似，那么这些对应 线段有什么关系呢？
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4
问题1:如图,AB∽C ABC,相似比k为 ,
15
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
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16
第23章
23.3.3相似三角形的性质
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1
复习回顾
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形 ,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①平行得相似； ②两个角对应相等； ③两边对应成比例, 夹角相等； ④三边对应成比例.
2021/3/9
2
（3）相似三角形有何性质？ A´