陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试 数学(含解析)

陕西省西安电子科技大学附中2019-2020年高一上学期期中考试

数学

一、选择题（每小题4分,共48分）

1.已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，集合{}0,1,3,5,8A =，集合{}2,4,5,6,8B =，则

()()U U C A C B ?=（ ）

A. {}5,8

B. {}7,9

C. {}0,1,3

D. {}2,4,6

【答案】B 【解析】 试题分析：

{}2,4,6,7,9U

A =,{}0,1,3,7,9U

B =,所以()(){}7,9U U A B ?=，故选B.

考点：集合的运算.

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2.已知{1,2,3,4}A =，{}1,2B a a =+，若{4}A B ?=，则a =（ ） A. 3 B. 2

C. 3或2

D. 3或1

【答案】A 【解析】

【详解】由题，{}1,2,3,4A =，{}1,2B a a =+，且{}4A B ?=， 当14,3,26a a a +=== ，符合题意；

当24,2,13a a a ==+= ，此时{}34A B ?=，

，不符合题意.故 3.a = 故选A. 3.函数lg(1)

()1

x f x x +=-的定义域是（ ）

A. (1,)-+∞

B. [1,)-+∞

C. (1,1)(1,)-+∞

D. [1,1)(1,)-?+∞

【答案】C

【解析】

试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以10

{10

x x +>-≠，解得(1,1)(1,)x ∈-?+∞.

考点：定义域.

4.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()2

1

f x x x

=+

,则()1f -= ( ) A. -2 B. 0 C. 1

D. 2

【答案】A 【解析】

因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 5.已知集合A ＝{x |x 2

－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A. A ∩B ＝

B. A ∪B ＝R

C. B ?A

D. A ?B

【答案】B 【解析】

【详解】依题意{}

|02A x x x =或， 又因为B ＝{x |5x 5， 由数轴可知A ∪B ＝R ，故选B. 【此处有视频，请去附件查看】

6.设1,0

1,()0,0,()0,1,0

x x f x x g x x x >???

===??

??-

为有理数为为无理数,则f(g(π))的值为( ) A. 1 B. 0

C. -1

D. π

【答案】B 【解析】 【详解】

()0g π=，

(())(0)0f g f π∴==,

故选B.

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7.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 ( ) A. 1y x =+ B. y x x =

C. 1y x

=

D. 3

y x =-

【答案】B 【解析】 【分析】

根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可. 【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且是单调递增函数； C.奇函数但在定义域上不是增函数；D. 奇函数，单调递减函数； 故选B

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考查了推理能力．

8.已知函数f （x ）＝2,0

{1,0

x x x x >+≤，若f （a ）＋f （1）＝0，则实数a 的值等于（ ）

A. －3

B. 1

C. 3

D. －1

【答案】A 【解析】 【分析】

先求得f （1）=2，再由f （a ）=-2，即有a +1=-2，从而可得结果．

【详解】由函数f （x ）＝2,0

{1,0

x x x x >+≤,可得f (1)=2，

且x >0时,f (x )>1，

则f (a )+f (1)=0,即f (a )=?2， 则a ?0,可得a +1=-2， 解得a =-3. 故选：A.

【点睛】对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 9.已知 1.22a =，0.8

1

()2

b -=，52log 2

c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）

A. c b a <<

B. c a b <<

C. b a c <<

D. b c a <<

【答案】A 【解析】

【详解】试题分析：因为0.8

0.81()

22

b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，

552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.

考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.

【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列. 【此处有视频，请去附件查看】

10.已知函数()()2,2

11,2

2x a x x f x x ?-≥?

=???-

?, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a

的取值范围为( ) A. (－∞，2) B. 13,8?

?-∞ ??

? C. (－∞，2]

D. 13,28??

????

【答案】B 【解析】

【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220

{1(2)2()12

a a -<-?≤-,解出13

8

a ≤,选

B.

考点：分段函数的单调性.

【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有

()()

1212

0f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,

故在分界点2x =处,有2

1(2)2()12

a -?≤-,解出13

8

a ≤

. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =

处的情况.

11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足

212

(log )(log )2(1)f a f a f +≤, 则a 的取值范围是（ ）

A. [1,2]

B. 10,2

?? ??

?

C. 1,22

??????

D. (0,2]

【答案】C 【解析】

试题分析：函数

是定义在上的偶函数，∴

，等价为

），即

．∵函数

是定义在上的偶

函数，且在区间单调递增，∴

）等价为

．即

，

∴

，解得

,故选项为C ．

考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.

【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：

，即

，结合单调性得：将不等式进行等价转化

即可得到结论.

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12.若不等式2

(1)log a x x -<（0a >且1a ≠）在()1,2x ∈内恒成立,则实数a 的取值范围为（ ）

A. (]1,2

B. 22??

?

???

C. (2

D.

)

2，

【答案】A 【解析】 【分析】

函数2

(1)y x =-在()1,2的图象在log a

y x =的图象的下方,结合函数的图象,可求得a 的取值范围.

【详解】由题意,函数2

(1)y x =-在()1,2的图象在log a

y x =的图象的下方,

若01a <<,则log 0a x <在()1,2上恒成立,显然不符合题意,故1a >. 作出函数的图象,如下图,

则()2

log 221a ≥-,解得12a <≤. 故选:A.

【点睛】本题考查函数图象性质的应用,考查了不等式恒成立问题,数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.

二、填空题（每小题4分,共16分）

13.函数(

)

2

12

log 32y x x =-+的单调递增区间为__________．

【答案】(),1-∞ 【解析】 【分析】

先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调递增区间. 【详解】由2320x x -+>解得1x <或2x >，由于

12

log y x =在其定义域上递减，而232y x x =-+在

1x <时递减，故

()2

12

log 32y x x =-+的单调递增区间为(),1-∞. 【点睛】本小题主要考查复合函数单调区间的求法，考查对数函数定义域的求法，属于基础题. 14.若2510a b ==，则11

a b

+=________. 【答案】1 【解析】 【分析】

将指数式化为对数式，再取倒数相加即得． 【详解】∵2a ＝5b ＝10，

∴a ＝log 2 10，b ＝log 5 10，

∴

1a =lg 2，1

b =lg 5 ∴11

a b

+=lg 2+lg 5＝lg （2×5）＝1， 故答案为1．

【点睛】本题考查了对数的运算性质．属基础题．

15.已知函数f(x)＝()14214x

x f x x ???≥? ?????+

，，

，则f(2＋log 23)＝________．

【答案】

124

【解析】

由3<2＋log 23<4，得3＋log 23>4，所以f(2＋log 23)＝f(3＋log 23)＝2233

24

1112224

log log +???? ? ???

??

＝＝

16.集合{

}

||21|x

M x m =-=有4个子集,则m 的取值范围为________. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】

由集合M 有4个子集,可得M 有2个元素,即函数|1|2x

y =-与y m =的图象有2个交点,结合函数图象,

可求出m 的取值范围.

【详解】因为集合M 有4个子集,所以集合M 有2个元素, 故函数|1|2x

y =-与y m =的图象有2个交点,

作出函数|1|2x

y =-的图象,如下图,

0x ≥时,[)|21|0,x y =-∈+∞,0x <时,()|21|0,1x

y =-∈.

故01m <<时,函数|1|2x

y =-与y m =的图象有2个交点.

故答案为:()0,1.

【点睛】本题考查集合的元素个数与子集个数的关系,考查了函数的图象交点问题,利用数形结合的方法是解决本题的关键,属于中档题.

三、解答题（17、18题10分,19、20、21题12分.） 17.（1）计算：1

12

3

07272(lg 5)964-????++ ? ?

????

；

（2）计算：8315

1g 1g lg12.5log 9log 428

-+-? 【答案】（1）4 ；（2）1

3

.

【解析】 【分析】

（1）结合指数幂的运算法则,可求出答案; （2）结合对数的运算法则,可求出答案. 【详解】（1）1

12

3

07272(lg 5)964-????++ ? ?

????

11

2

33

123495-?????? ??????

??

=??++ ??54

133

=

++4=. （2）

83151g 1g lg12.5log 9log 428-+-?()23182521g log 32l 2og 2523????

=??-? ? ?????2341g10log l 33g 2

o ?=-41

133

=-

=-. 【点睛】本题考查了指数幂与对数式的运算,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 18.设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；

（2）求()f x 在区间30,2??????

上的最大值．

【答案】（1）2a =，定义域()1,3-；

（2）2 【解析】 【分析】

（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2??

????

上的单调性,进而可求得函数的最大值.

【

详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-,

则10

30x x +>??->?

,解得13x ,

故()f x 的定义域为()1,3-.

（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2

,3????-???

,

由函数2

log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2??

????

上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2

??????

上单调递减.

故()f x 在区间30,2??

????

上的最大值为()21log 42f ==.

【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.

19.已知二次函数()2

23f x x ax =++.

（1）若()f x 在[]1,1-上单调,求a 的取值范围； （2）求()f x 在[]1,1-上最小值．

【答案】（1）4a ≤-或4a ≥;（2）当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当

44a -<<时,()min

2

38

f x a =-

【解析】 【分析】

（1）结合二次函数的性质,讨论对称轴与区间[]1,1-的关系,可求得函数()f x 的单调性; （2）先讨论()f x 的单调性,进而可求得()f x 在[]1,1-上最小值. 【详解】（1）二次函数()2

23f x x ax =++的对称轴为4

a

x =-

,开口向上, 若()f x 在[]1,1-上单调递减,则14

a

-≥,即4a ≤-; 若()f x 在[]1,1-上单调递增,则14

a

-

≤-,即4a ≥. 即()f x 在[]1,1-上单调,则a 的取值范围是4a ≤-或4a ≥.

（2）由（1）知,若4a ≤-,()f x 在[]1,1-上单调递减,则()()min 15f x f a ==+;若4a ≥,()f x 在[]

1,1-上单调递增,则()()min 15f x f a =-=-;若114

a

-<-<,即44a -<<,则

()2

2min

3344428f x f a a a a a ????

--+-+=- ??== ???? ?????

.

故当4a ≤-时,()min 5f x a =+;当4a ≥时,()min 5f x a =-;当44a -<<时,()min

2

38

f x a =-.

【点睛】本题考查了二次函数的单调性与最值,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,属于基础题.

20.已知函数()f x =222,0

0,0,0x x x x x mx x ?-+>?

=??+

是奇函数.

（1）求实数m

值；

（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2m =；（2）13a

【解析】 【分析】

（1）利用奇函数的定义，由0x >时的解析式得0x <时，()()f x f x =--对应的解析式，即求出实数m

的值；（2）由（1）知函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以121a -<-≤，得实数的取值范围. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，

22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---+-=+，所以2m =.

（2）由()f x =222,0

0,0,0x x x x x mx x ?-+>?

=??+

，知()f x 在区间[1,1]-上单调递增，所以121a -<-≤，

解得13a

.

【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求解析式及研究分段函数的单调性，属于基础题.

21.已知二次函数()()2

10f x ax bx a =++>,若()10f -=,且对任意实数x 均有()0f x ≥成立．

（1）求()f x 的表达式；

（2）当[]2,2x ∈-时,令()()g x f x kx =-,若()0g x ≤恒成立,求k 的

取值范围．

【答案】（1）()2

21f x x x =++；（2）不存在

【解析】 【分析】

（1）对任意实数x 均有()0f x ≥成立,且0a >,可得240b a ?=-=,再结合()10f -=,可求出,a b 的值,即可求得()f x 的表达式;

（2）先求出()g x 的表达式,再由()0g x ≤在[]2,2x ∈-恒成立,可得()()2020g g ?-≤??≤??

,即可求出答案.

【详解】（1）由题意,()101a b f -+==-,

因为210ax bx ++≥恒成立,且0a >,所以240b a ?=-=, 联立2

10

40a b b a -+=??

-=?

,解得1,2a b ==. 故()2

21f x x x =++. （2）由题意,()()221g

x x k x =+-+,

因为[]2,2x ∈-时,()0g x ≤恒成立,所以()()()()()2

2

222210222210

g k g k ?-=---+≤??=+-+≤??,即12

92k k ?≤-????≥??

,显然无解,故k 不存在.

【点睛】本题考查了二次函数的解析式,考查了二次函数的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.