陕西省西安市高一上学期期末数学试卷
陕西省西安市高一上学期数学期末考试试卷
陕西省西安市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·武汉模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（）A . 6B . 8C . 9D . 113. （2分） (2019高一上·集宁期中) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 =7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A . 身高一定是145.83cmB . 身高在145.83cm以上C . 身高在145.83cm以下D . 身高在145.83cm左右5. （2分） (2019高一下·重庆期中) 如果 ,那么下列不等式成立的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·滨州期末) 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件A表示“2名学生全不是男生”，事件B表示“2名学生全是男生”，事件C表示“2名学生中至少有一名是男生”，则下列结论中正确的是（）A . A与B对立B . A与C对立C . B与C互斥D . 任何两个事件均不互斥7. （2分）下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高一上·宾县月考) 已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二下·邱县期末) 如图中的程序框图表示求三个实数中最大数的算法，那么在空白的判断框中，应该填入（）A .B .C .D .10. （2分）用系统抽样要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出的号码是（）A . 10B . 11C . 12D . 1311. （2分） (2018高二上·长安期末) 现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算机给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据统计该运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A . 0.852B . 0.8192C . 0.8D . 0.7512. （2分） (2019高一上·蕉岭月考) 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·石嘴山模拟) 如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14. （1分） (2019高一上·大庆月考) 计算： ________.15. （1分） (2016高二上·上海期中) 在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意的实数x成立，则a的取值范围是________．16. （1分）由正整数组成的一组数据x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于，则这组数据为________．（从小到大排列）三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知函数f（x）=kx2+kx+2（k∈R）．（1）若k=﹣1，解不等式f（x）≤0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数k的取值范围．18. （5分）某公司为确定2017年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销售收益y（单位：万元）的影响，2016年在若干地区各投入4万元的宣传费，并将各地的销售收益的数据作了初步处理，得到下面的频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度，并估计对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得一组数据如表所示：宣传费x（单位：万元）32154销售收益y（单位：万元）23275表中的数据显示，y与x之间存在线性相关关系，求y关于x的回归直线方程；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当宣传费投入为10万元时，销售收益大约为多少万元？附： = ， = ﹣．19. （5分） (2016高一上·金华期中) 设函数f（x）=log2（4x）•log2（2x）的定义域为．（Ⅰ）若t=log2x，求t的取值范围；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求取得最值时对应的x的值．20. （10分） (2017高二下·成都开学考) 从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．21. （10分） (2016高一下·石门期末) 集合A={x|1≤x≤5}，B={x|2≤x≤6}，（1）若x∈A，y∈B且均为整数，求x＞y的概率．（2）若x∈A，y∈B且均为实数，求x＞y的概率．22. （15分）已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，b∈R）．（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）≥0对x＞0恒成立，求a的取值范围；（3）若a+b≥﹣2且f（x）在（0，+∞）上存在零点，求b的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
陕西省西安市2022-2023学年高一上学期数学期末联考试卷(含答案)
陕西省西安市 2022-2023 学年高一上学期数期末联考试卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一
二
三
四
总分
评分
一、单选题
1．已知集合 ꄸ { ， ， ， ， ， ， }， ꄸ {
，
}，则 ꄸ（ ）
A．{ ， ， }
B．{ ， }
C．{ ， ， }
2．“ ”是“
ꄸꀀ ꀀ
ꄸ
，定义域为{ ㌳ }，
，所以 ( )不是奇函数，B 不符合题意；
பைடு நூலகம்
( )ꄸ ( ꀀ )ꀀ ꄸ ꀀ ꀀ ꄸ
ꀀ ，定义域为{ ㌳ }，
又 ( )ꀀ ( )ꄸ
ꀀꀀ
ꀀ ꄸ ，所以 ( )是奇函数，D 符合题意.
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断出为奇函数的函数。
8．【答案】B
A．该命题是全称量词命题 C．该命题是真命题
B．该命题是存在量词命题 D．该命题是假命题
10．已知函数 ( ) ꄸ sin(
)，则（ ）
A． ( )的最小正周期为
B． ( )的单调递增区间为
ꀀ ྛ ， ꀀ ྛ 蠸(ྛ )
C． ( )的单调递减区间为 ꀀ ྛ ， ꀀ ྛ 蠸(ྛ )
D． ( )在( ， )上的值域为( ， 蠸
D． ．
2
( )ꄸ ① ( )的最小值为
；② ( )的一次项系数为
． ；③ ( ) ꄸ ；④ ( ) ꄸ (
ꀀ )．
16．设函数 ( ) ꄸ sin( ꀀ )( 蠸 )在( ， )上恰有两个零点，且 ( )的图象在( ， )上恰有两个最高
点，则 的取值范围是
2023届陕西省西安高中高一上数学期末含解析
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】由偶函数的对称性，将 转化为 ，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为 ，结合 利用二次函数的性质即可求解.
【详解】解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α ），
由 λ μ 得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1， ）
⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
⇒λ ，
∴6λ+μ＝6（ ） 2（sinα+cosα）＝2 sin（ ）
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
， ，
或 或 ，解得 或 ，综上 ，
故选：
5、A
【解析】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，
值域为[m，+∞），
∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，
使得f（s）＝f（t），且s≠t，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），
陕西省西安高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则 （ ） {}1,0,1,2,3A =-{}12B x x =-<<A B = A ． B ． {}1,0-{}1,0,1-C ． D ．{}0,1{}0,1,2【答案】C【分析】利用交集的定义可求得集合.A B ⋂【详解】因为集合，，则. {}1,0,1,2,3A =-{}12B x x =-<<{}0,1A B = 故选：C.2．若（ ）cos()7πα-=26cos()sin (77ππαα+--A ．B ．C ．D 【答案】A【解析】用已知角表示所求角，再根据诱导公式以及同角三角函数关系求解即可. 【详解】 226cos()sin ()=cos[()]sin ()7777ππππααπαα+------ 2=cos()[1cos ()]77ππαα-----22=[1]3-=故选：A【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 3．函数的图象可能是（ ）()()2tan 11f x x x x =⋅-<<A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】结合函数的奇偶性和特殊点的处的函数值的符号可得正确的选项. 【详解】因为，故， ()()2tan 11f x x x x =⋅-<<()()()()2tan f x x x f x -=-⋅-=故为偶函数，故排除AC. ()f x 而，故排除D ， ()12tan10f =>故选：B.4．若命题“时，”是假命题，则m 的取值范围（ ） [1,4]x ∀∈-2x m >A ． B ． C ． D ．16m ≥m 1≥0m ≥1m <【答案】C【分析】由否命题为真命题可得，求的最小值即可.2min ()x m ≤2y x =【详解】因为命题“时，”是假命题， [1,4]x ∀∈-2x m >所以命题“时，”是真命题，[1,4]x ∃∈-2x m ≤即有，2min ()x m ≤易知当，有最小值0, 0x =2y x =所以. 0m ≥故选：C5．已知正数满足，则的最大值为（ ） ,a b 494a b +=ab A ．B ．C ．D ．19161312【答案】A【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】正数满足，,a b 494a b +=由基本不等式得：， 494a b +=≥19ab ≤当且仅当，即时，等号成立，的最大值为。
陕西省西安市高一上学期期末考试数学试题
一．选择题（共9小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2} 2．若，求：＝（ ）A．B．C．D．3．函数f（x）＝2x•tan x（﹣1≤x≤1）的图象大致是（ ）A．B．C．D．4．若命题“∀x∈[﹣1，4]时，x2＞m”是假命题，则m的取值范围（ ）A．m≥16B．m≥1C．m≥0D．m＜15．已知正数a，b满足4a+9b＝4，则ab的最大值为（ ）A．B．C．D．6．已知tanθ＝﹣2，则＝（ ）A．B．C．D．7．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若＝3，则＝（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．已知函数f （x ）=，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f （b ）＝f2sin 01lg 1x x xx π≤≤⎧⎨>⎩（c ），则a+b+c 的取值范围是（ ） A ．[2，11]B ．（2，101）C ．（1，11）D ．（1，100）二．多选题（共4小题）（多选）9．如果幂函数f （x ）＝，下列说法正确的有21(22)m m m x m N --*+-∈，（ ） A ．m ＝1 B ．f （x ）是偶函数 C ．f （-2）<f （3）D ．f （x ）的值域为（0，+∞）（多选）10．下列命题为假命题的是（ ） A ．﹣420°是第四象限角B ．与﹣135°角终边相同的最小正角是45°C ．若α是第三象限角，则不在第二象限D ．已知点P （﹣1，1）是角θ终边上一点，则（多选）11．下列结论中错误的有（ ）A ．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +m ＝0”为假命题，则实数m 的取值范围是[4，+∞）B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a ＞c ”C ．“a ＞1”是“”的充分不必要条件D ．当x ∈R 时，的最小值为（多选）12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2．已知函数，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上是增函数C．g（x）是偶函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}三．填空题（共4小题）13．函数的定义域是 ．14．若x＞0时，指数函数y＝（m2﹣3）x的值总大于1，则实数m的取值范围是 ．15．已知lg2＝a，10b＝3，用a、b表示log475＝ ．16．设二次函数f（x）＝mx2﹣2x+n（m，n∈R），若函数f（x）的值域为[0，+∞），且f （1）≤2，则+的取值范围为 ．四．解答题（共5小题）17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．18．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最小值及取得最小值时的x的取值集合．19．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：℃）随时间t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足f（t）＝A sin（ωt﹣）+b（A＞0，ω＞0）关系．（1）求y＝f（t）的表达式；（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．20．已知函数f（x）＝4x+a•2x+3，a∈R（1）当a＝﹣4时，且x∈[0，2]，求函数f（x）的值域；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝{0，1}．故选：C．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．若，求：＝（ ）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系即可得，注意（+α）+（﹣α）＝π．【解答】解：sin2（α﹣）＝sin2（﹣α）＝1﹣cos2（﹣α）＝1﹣＝，cos[π﹣（﹣α）]＝﹣cos（﹣α）＝﹣，则）＝﹣﹣＝﹣．故选：A．【点评】本题考查诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．3．函数f（x）＝2x•tan x（﹣1≤x≤1）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在（0，1）上的符号，排除D，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝2x•tan x（﹣1＜x＜1），有f（﹣x）＝2x•tan x＝f（x），为偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，x＞0，tan x＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：B．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．4．若命题“∀x∈[﹣1，4]时，x2＞m”是假命题，则m的取值范围（ ）A．m≥16B．m≥1C．m≥0D．m＜1【分析】由否命题为真命题，可得（x2）min≤m，求y＝x2的最小值即可．【解答】解：∵命题“∀x∈[﹣1，4]时，x2＞m”是假命题，∴命题“∃x∈[﹣1，4]时，x2≤m”是真命题，∴（x2）min≤m，∵x＝0时，y＝x2有最小值0，∴m≥0．故选：C．【点评】本题考查命题真假判断及应用、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知正数a，b满足4a+9b＝4，则ab的最大值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用基本不等式进行求解．【解答】解：正数a，b满足4a+9b＝4，由基本不等式得：，解得：，当且仅当4a＝9b，即时，等号成立，ab的最大值为．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．6．已知tanθ＝﹣2，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】化简后利用弦化切可求得所求代数式的值．【解答】解：＝＝＝＝﹣．故选：A ．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属于基础题．7．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图是会徽的几何图形．设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 面积为S 1，扇形BOC 面积为S 2，若＝3，则＝（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【分析】由弧长比可得|OA |＝3|OB |，结合扇形面积公式得答案． 【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，所以．故选：D ． 8．已知函数f （x ）=，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）＝f （b ）＝f2sin 01lg 1x x xx π≤≤⎧⎨>⎩（c ），则a+b+c 的取值范围是（ ） A ．[2，11]B ．（2，101）C ．（1，11）D ．（1，100）二．多选题（共4小题）（多选）9．如果幂函数f （x ）＝，下列说法正确的有21(22)m m m x m N --*+-∈，（ ） A ．m ＝1 B ．f （x ）是偶函数 C ．f （-2）<f （3）D ．f （x ）的值域为（0，+∞） 故选：ABD ．（多选）11．下列命题为假命题的是（ ） A ．﹣420°是第四象限角B ．与﹣135°角终边相同的最小正角是45°C ．若α是第三象限角，则不在第二象限D ．已知点P （﹣1，1）是角θ终边上一点，则【分析】对于A ，先将﹣420°写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，再由此角的终边位置和象限角的定义进行判断； 对于B ，利用终边相同的角的定义即可判断； 对于C ，由题意可求k π+π＜＜k π+π，k ∈Z ，分类讨论即可求解；对于D ，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：对于A ，﹣420°＝﹣60°﹣360°，则﹣420°角与﹣60°角的终边相同，即是第四象限角，故正确；对于B ，﹣135°＝﹣360°+225°，与﹣135°角终边相同的最小正角是225°，故错误；对于C ，若角α是第三象限角，即2k π+π＜α＜2k π+，k ∈Z ，所以k π+π＜＜k π+π，k ∈Z ，当k ＝3n ，n ∈Z 时，为第一象限角，当k＝3n+1，n∈Z时，为第三象限角，当k＝3n+2，n∈Z时，为第四象限角，所以不在第二象限，故正确，对于D，因为p（﹣1，1）是角θ终边上的一点，所以cosθ＝＝﹣，故错误．故选：BD．【点评】本题考查终边相同的角的定义，一般的方法是先将所给的角写成360°的整数倍加上一个0°到360°范围的角，则已知角与此角的终边相同，考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．（多选）12．下列结论中错误的有（ ）A．若命题“∃x∈R，x2+4x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围是[4，+∞）B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．“a＞1”是“”的充分不必要条件D．当x∈R时，的最小值为【分析】转化为∀x∈R，x2+4x+m≠0，计算Δ＝16﹣4m＜0，能判断A；根据不等式的性质判断B；求出的等价条件为a＞1或a＜0，即可判断C；利用特值法判断D．【解答】解：对于A，等价于∀x∈R，x2+4x+m≠0为真命题，∴Δ＝42﹣4m＜0，解得m＞4，故A错误；对于B，∵ab2＞cb2，∴，∴a＞c，∵a＞c，∴当b＝0时，ab2＝cb2，故B错误；对于C，，∴等价于，∴a（a﹣1）＞0，∴a＞1或a＜0，∴“a＞1“是“a＞1或a＜0”的充分不必要条件，故C正确；对于D，当x＝﹣1时，x+＝﹣1﹣2＝﹣3＜2，故D错误．故选：ABD．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（多选）13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2．已知函数，则关于函数g（x）＝[f（x）]的叙述中正确的是（ ）A．f（x）是奇函数B．f（x）在R上是增函数C．g（x）是偶函数D．g（x）的值域是{﹣1，0}【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，其定义域为R，f（x）+f（﹣x）＝﹣+﹣＝+﹣1＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，A正确；对于B，＝1﹣﹣＝﹣，其定义域为R，函数y＝2x在R上为增函数，则f（x）在R上是增函数，B正确；对于C，g（1）＝[f（1）]＝[]＝0，g（﹣1）＝[f（﹣1）]＝[﹣]＝﹣1，则g（x）不是偶函数，C错误；对于D，f（x）＝﹣，而2x＞0，1+2x＞1，则有0＜＜1，必有﹣＜f（x）＜，则函数g（x）＝[f（x）]，其值域为{﹣1，0}，D正确；故选：ABD．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是理解“高斯函数”的定义，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．函数的定义域是 ．14．若x ＞0时，指数函数y ＝（m 2﹣3）x 的值总大于1，则实数m 的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ．【分析】根据指数函数a ＞1时，函数单调递增，可得m 2﹣3＞1，求解即可．【解答】解：若x ＞0时，指数函数y ＝（m 2﹣3）x 的值总大于1，则m 2﹣3＞1，解得m ＜﹣2或m ＞2．则实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【点评】本题考查指数函数性质的应用，属于基础题．15．已知lg 2＝a ，10b ＝3，用a 、b 表示log 475＝ ． 222a b a-+16．设二次函数f （x ）＝mx 2﹣2x +n （m ，n ∈R ），若函数f （x ）的值域为[0，+∞），且f （1）≤2，则+的取值范围为 [1，13] ．【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式的性质求出代数式的取值范围即可．【解答】解：二次函数f （x ）＝mx 2﹣2x +n （m ，n ∈R ），若函数f （x ）的值域为[0，+∞），则Δ＝4﹣4mn ＝0，解得：mn ，且m ＞0，又f （1）＝m ﹣2+n ≤2，n ＝，则m +≤4， ∴+＝+＝＝＝m 2+﹣1，而由m +≤4，m ＞0，得2≤m 2+≤14，故m 2+﹣1的取值范围是[1，13]，即+的取值范围是[1，13]，故答案为：[1，13]．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是中档题．四．解答题（共5小题）17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）＝0，当x＞0时，f（x）＝x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2﹣1）＞﹣2．【分析】（1）设x＜0，可得﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x），再由函数f（x）是偶函数求出x＜0时的解析式，则答案可求；（2）由f（4）＝，f（x）是偶函数，不等式f（x2﹣1）＞﹣2可化为f（|x2﹣1|）＞f（4）．利用函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，可得|x2﹣1|＜4，求解绝对值的不等式可得原不等式的解集．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）．∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x）．∴函数f（x）的解析式为f（x）＝；（2）f（4）＝，f（x）是偶函数，∴不等式f（x2﹣1）＞﹣2f（|x2﹣1|）＞f（4）．又∵函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴|x2﹣1|＜4，解得﹣＜x＜，即不等式的解集为（﹣，）．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了利用函数的单调性求解不等式，体现了数学转化思想方法，是中档题．18．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）将函数y＝f（x）图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最小值及取得最小值时的x的取值集合．【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解增区间即可．（2）通过三角函数图象变换，求解函数的解析式，然后求解函数的最小值，以及x的取值集合．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝＝sin（2x﹣）+．，k∈Z．可得x∈[k，kπ]，k∈Z．所以函数的增区间为：[k，kπ]，k∈Z．（2）将函数y＝f（x）图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移个单位得到函数g（x）的图象，可得函数g（x）＝sin（x﹣），函数的最小值为：﹣1，此时x＝2kπ﹣，所以g（x）取得最小值时的x的取值集合{x|x＝2kπ﹣，k∈Z}．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央t（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足f（t）＝A sin（ωt﹣）+b（A＞0，ω＞0）关系．（1）求y＝f（t）的表达式；（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．【分析】（1）根据三角函数的图象性质即可求解；（2）解三角不等式即可得解．【解答】解：（1）由图可知A＝＝8，且b＝＝4，又，∴周期T＝24，∴ω＝，又根据五点法可得，∴φ＝，∴f（t）＝8sin（t﹣）+4，（0≤t≤24）；（2）令f（t）＝8sin（t﹣）+4＜0，∴sin（t﹣）＜，∴，（k∈Z），∴22+24k＜t＜30+24k，（k∈Z），又0≤t≤24，∴0≤t＜6或22＜t≤24，∴该商场的中央空调在一天内开启的时长为8小时．【点评】本题考查三角函数的图象性质，三角不等式的求解，属中档题．20．已知函数f（x）＝4x+a•2x+3，a∈R（1）当a＝﹣4时，且x∈[0，f（x）的值域；（2）若f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）把a＝﹣4代入函数解析式，换元后利用配方法求函数f（x）的值域；（2）令t＝2x，由x的范围得到t的范围，则问题转化为t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最值即可．【解答】解：（1）当a＝﹣4时，令t＝2x，由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y＝t2﹣4t+3＝（t﹣2）2﹣1当t＝2时，y min＝﹣1；当t＝4时，y max＝3．∴函数f（x）的值域为[﹣1，3]；（2）设t＝2x，则t＞1，f（x）＞0在（0，+∞）对任意的实数x恒成立等价于t2+at+3＞0在t∈（1，+∞）上恒成立，∴a＞﹣（t+）在（1，+∞）上恒成立，∴a＞[﹣（t+）]max，设g（t）＝﹣（t+），t＞1，函数g（t）在（1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减∴g（t）max＝g（）＝﹣2，∴a＞﹣2，a的取值范围为（﹣2，+∞）【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，考查了数学转化思想方法，是中档题．。
陕西省西安市重点高中高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．（ ）． sin110cos 40cos 70sin 40︒⋅︒-︒⋅︒=A ．BC ．D ．1212-【答案】A【分析】先通过诱导公式化简，然后再通过和差公式即可得到答案.【详解】sin110cos 40cos 70sin 40︒⋅︒-︒⋅︒=()sin 18070cos 40cos 70sin 40︒-︒⋅︒-︒⋅︒ =sin70cos 40cos 70sin 40︒⋅︒-︒⋅︒()1=sin 7040sin 302︒-︒=︒=故选：A 2．与函数的图象不相交的一条直线是（ ）tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．2x π=2y π=8x π=8y π=【答案】C 【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果.()242x k k Z πππ+=+∈k 【详解】由，得，令，得． ()242x k k Z πππ+=+∈()82k x k Z ππ=+∈0k =8x π=所以，函数的图象的一条渐近线为直线，tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8x π=即直线与函数的图象不相交． 8x π=tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：C ．【点睛】本题考查正切型函数图象渐近线方程的求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知，，则“关于的不等式有解”是“”的（ ） ,,a b c R ∈0a ≠x 20ax bx c ++>240b ac ->A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：若关于的不等式有解，x 20ax bx c ++>当时，关于的不等式一定有解，此时无法确定判别式是否大于零， 0a >x 20ax bx c ++>当时，则，a<0240b ac ->则关于的不等式有解不能推出， x 20ax bx c ++>240b ac ->若，240b ac ->当时，关于的不等式一定有解，0a >x 20ax bx c ++>当时，关于的不等式有解，a<0x 20ax bx c ++>所以能推出关于的不等式有解，240b ac ->x 20ax bx c ++>所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件. x 20ax bx c ++>240b ac ->故选：B.4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是π(,)2ππA ． B ．C ．D ．2|sin |y x =cos y x =sin 2y x =|cos |y x =【答案】A【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为2sin y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭cos y x =2π，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为sin2y x =π,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭cos y x =π，在区间上为增函数，不适合.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选A5．若，则的最小值为（ ）3a >-26133a a a +++A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】对变形后，利用基本不等式进行求解最小值.26133a a a +++【详解】因为，所以， 3a >-430,03a a +>>+由基本不等式得， ()()2234613434333a a a a a a a ++++==++≥=+++当且仅当，即时，等号成立， 433a a +=+1a =-故的最小值为4.26133a a a +++故选：B6．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．()πsin 06y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．(]0,31,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]2,3(]0,2【答案】D【分析】求出函数的增区间，令，得，由函数在区间()πsin 06y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭0k =π2π,33x ωω-≤≤上单调递增，可得，从而可得结果. π0,3⎛⎫⎪⎝⎭2π3ω≥π3【详解】由可得，即的增区πππ2π2π,Z 262k x k k ω-+≤-≤+∈π2π2π2π,Z 33k k x k ωωωω-+≤≤+∈()f x 间，当时，增区间为 0k =π2π,33x ωω-≤≤因为函数在区间上单调递增，()πsin 06y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以，即 2π3ω≥π32ω≤又，所以的取值范围是. 0ω>ω(]0,2故选：D7．设当时，函数取得最大值，则 x θ=()2sin cos f x x x =-cos θ=A B C ． D ．【答案】D【分析】先化简已知得，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时)x ϕ-的值.cos θ【详解】由题得, sin cos sin cos cos sin )x x x x x ϕϕϕ-=⋅-⋅-其中 cos ϕϕ==当，即时，函数取到最大值. sin()1x ϕ-=2()x 222x k k z k ππϕππϕ-=+∈=++即所以=2,cos cos(2)sin 22k k ππθπϕθπϕϕ++∴=++=-=故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内()f x x ()()110f x f x ++-=任意，，当时，恒有；则称函数为“DM 函数”.若“DM 1x 2x 12x x ≠()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()f x 函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）()()2sin cos 0f f αα-+>αA ．B ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题设知是上的增函数且，进而将不等式转化为()y f x =R ()() 11f x f x +=--，结合单调性及正切函数的性质求锐角的范围.()() 2sin 2cos f f αα->-()f x α【详解】由，知：函数是上的增函数， ()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦()y f x =R 由，即， ()()110f x f x ++-=()() 11f x f x +=--由题设：，()()2sin cos f f αα->-∴，即有， ()()()()() cos 11cos 11cos f f f ααα-=---=+-()() 2sin 2cos f f αα->-∴，即， 2sin 2cos αα->-sin cos αα<∵为锐角﹐则，αcos 0α>∴，则的取值范围是.0tan 1α<<α0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】关键点点睛：根据已知条件确定的单调性，由已知函数的关系将不等式转化，并结()f x 合函数单调性、正切函数的性质求参数范围.二、多选题9．以下四个选项表述正确的有（ ） A ． B ． C ． D ．0∈∅{}0∅⊆{}{},,a b b a ⊆{}0∅∈【答案】BC【解析】利用元素集合的关系判断得错误，正确. ,A D ,B C 【详解】，所以该选项错误； ,A 0∉∅空集是任何集合的子集，所以该选项正确； ,B 由子集的定义得，所以该选项正确；,C {}{},,a b b a ⊆是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选项错误. ,D ∅{0}∈故选：BC10．已知为第一象限角，下述正确的是（ ） θA ． B ．为第一或第三象限角02πθ<<2θC ．D ． sin tan θθ<()1cos sin 2θ>【答案】BCD【分析】根据为第一象限角，可得，即可判断A ，求出的范围，从而θ22,Z 2k k k ππθπ<<+∈2θ可判断B ，结合商数关系即可判断C ，根据余弦函数的性质即可判断D. 【详解】解：因为为第一象限角，所以，故A 错误；θ22,Z 2k k k ππθπ<<+∈，,Z 24k k k θπππ<<+∈当时，，为第一象限角，0k =024θπ<<当时，，为第三象限角， 1k =524θππ<<所以为第一或第三象限角，故B 正确；2θ，所以，故C 正确； 0sin 1,0cos 1θθ<<<<sin tan sin cos θθθθ=>，故D 正确. ()1cos sin cos1cos32πθ>>=故选：BCD.11．下列结论不正确的有（ ）．A ．函数()()01f x x =-()()1,11,-+∞ B ．函数，的图象与y 轴有且只有一个交点 ()y f x =[]1,1x ∈-C ．若且，，则 ,,a b c ∈R 0a b >>0c >a c ab c b+>+D ．若且，则 ,αβ∈R αβ=tan tan αβ=【答案】AB【分析】对于A ，直接求解定义域即可；对于B ，利用函数的定义进行判断；对于CD ，直接取反例即可【详解】对于A ，由，解得且，()()01f x x =-1010x x -≠⎧⎨+≥⎩1x ≥-1x ≠所以函数的定义域为，故A 正确；()f x ()()1,11,-+∞ 对于B ，因为函数的定义域为，故函数在处一定有意义，根据函数定义，自变()y f x =[]1,1-0x =量与因变量直接存在一对一或多对一的对应关系，不存在一对多的对应关系，所以函数图像与轴y 有且只有一个交点，故B 正确；对于C ，满足，，则，得不到，故C 错2,1,1a b c ===0a b >>0c >3,22a c a b c b+==+a c ab c b +>+误；对于D, 若，则不存在，故D 错误 π2αβ==tan ,tan αβ故选：AB12．已知函数的图象如图所示，则（ ）()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭A ．点为函数图象的一个对称中心 7,06π⎛⎫⎪⎝⎭()f x B ．函数在上单调递减()f x ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数的图象与轴的交点为()f x y 0,⎛ ⎝D ．若函数为偶函数，则 ()f x θ+5,Z 12k k πθπ=+∈【答案】AC【分析】根据图像求出函数解析式，在运用整体代入法逐项分析即可求解. 【详解】由图像可知，函数 的周期 ， ()f x 524,2126T T ππππω⎛⎫=⨯-===⎪⎝⎭， ， ，()()sin 2f x x ϕ∴=+()22Z 6k k πϕπ⨯+=∈,23ππϕϕ<∴=-；()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ， ，正确； 77sin 2sin 20663f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，当，其中 ，错误； 25,22333x x πππππ<<<-<5332ππ>对于C ，令 ，，正确； 0x =()0sin 3f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭对于D ， 是偶函数，则有 ，错()sin 223f x x πθθ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭()52,Z 32122k k k ππππθπθ-+=+=+∈误； 故选：AC.三、填空题13．幂函数在单调递减，则实数a 的取值范围是__________．()22a af x x -=()0,∞+【答案】()0,2【分析】根据幂函数的性质，列式求解. 【详解】因为幂函数在上单调递减，()22aaf x x -=()0,∞+所以，得. 220a a -<02a <<故答案为：()0,214．__________. ()cos 401︒︒=【答案】1【详解】， ()()2cos 6010cos401cos40cos40cos10︒-︒︒︒==︒⨯︒.2cos502sin40sin80cos10cos40cos401cos10cos10cos10cos10︒︒︒︒=︒⨯=︒⨯===︒︒︒︒故答案为1点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.15．函数____________()f x =【答案】. 27[2,2]()36k k k Z ππππ++∈【分析】先求函数定义域所满足的不等式，再结合单调递减区间，即可求出结果. sin y x =【详解】()f x =，sin()0,22()66x k x k k Z πππππ-≥∴≤-≤+∈所以()f x =，22()26k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得， 2722()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x =. 27[2,2]()36k k k Z ππππ++∈故答案为: 27[2,2]()36k k k Z ππππ++∈【点睛】本题考查函数的单调性，但要注意定义域，属于基础题.16．若是方程的两根，，则tan ,tan αβ2420x x --=θαβ=+()()32cos cos 211sin sin 52ππθθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭___________. 【答案】10-【分析】由韦达理及正切两角和得到，再根据诱导公式化简即可求解.4tan 3θ=【详解】由题知，， tan +tan =4tan tan =2αβαβ-，而， θαβ=+所以，tan +tan 4tan tan()1t 3an tan αβθβααβ=+==-所以.()()342cos cos 22cos sin 2tan 2310411cos sin 1tan 1sin sin 532ππθθθθθπθθθθπθ⎛⎫++-+ ⎪--+⎝⎭====--+-⎛⎫--+-⎪⎝⎭故答案为：10-17．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.2AB =【答案】2π-【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可. 【详解】解：过作于，A AD BC ⊥D是等边三角形，ABC A ， 2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ︒∠=∠=∠=，AD BC ⊥，，1BD CD ∴==AD ==11222ABC S BC AD ∴=⋅=⨯=A 扇形BAC 的面积，260π22π3603S ⨯==莱洛三角形的面积为：∴23223ππ⨯-=-故答案为：.2π-18．已知为R 上的奇函数，且当时，，记，在()f x 0x >()lg f x x =()()sin cos g x x f x x =+⋅()g x 区间的零点有__________个．π,π2⎛-⎫⎪⎝⎭【答案】4【详解】由为R 上的奇函数，可得，()f x ()()f x f x =--所以， ()()()()()()sin cos sin cos g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-又的定义域为R ，所以函数为奇函数. ()g x ()g x 假设，即，时， cos 0x =2x k π=+πZ k ∈，()πsin cos sin πcos π02x f x x k k ⎛⎫+⋅=+=≠ ⎪⎝⎭所以当，时，，2x k π=+πZ k ∈()0g x ≠当，时，， ππ2x k ≠+Z k ∈()()sin cos 0tan x f x x x f x +⋅=⇔=-当时，令，，则大于0的零点为，的交点，0x >1tan y x =2lg y x =-()g x 1tan y x =2lg y x =-由图可知，函数在区间和各有1个零点，()g x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭因为函数为奇函数，所以函数在区间的零点有1个，()g x ()g x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭又，()()0sin 00cos 00g f =+⋅=所以函数在区间的零点个数为4个.π,π2⎛-⎫⎪⎝⎭故答案为：4.四、解答题19．设函数，．()22sin cos f x x x x =-x ∈R (1)求的最小正周期； ()f x (2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上的单调递()f x π6()g x ()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦增区间． 【答案】(1) π(2) ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期； ()f x (2)根据图像平移求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.()g x【详解】（1），()22sin cos sin22sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期； 2ππ2T ==（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，()y f x =6π()y g x =则，()ππ2sin 22sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ππ2ππ,2,3432x x ⎡⎤⎡⎤∈-⇒∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则当即时，单调递增，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ∴在上的单调递增区间为：()g x ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．已知，，且．1cos 7α=()13cos 14αβ-=π02βα<<<(1)求的值；cos 2α(2)求．β【答案】(1) 4749-(2)π3【分析】（1）利用二倍角公式即可求解；（2）先根据题意求出，再根据求解即可.sin ,αsin()αβ-cos cos[()]βααβ=--【详解】（1）∵， 1cos 7α=∴ 2147cos 22cos 1214949αα=-=⨯-=-（2）∵，，∴ 1cos 7α=π02α<<sin α==∵，∴， π02βα<<<π02αβ<-<又∵，∴ 13cos()14αβ-=sin()αβ-==， cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-12==所以. π3β=21．设函数. ()()22log 2log 16x f x x =⋅(1)解方程；()60f x +=(2)设不等式的解集为，求函数的值域.23224+-≤x x x M ()()f x x M ∈【答案】(1)或2x =4x =(2) 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简，由解得可得答案； ()f x ()222log 3log 4=--x x ()60f x +=2log x （2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转M ()()222log 3log 4=--f x x x 2log t x =化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案. ()234=--g t t t t 【详解】（1）()()()()()222222log 2log log log 161log log 4=+⋅-=+⋅-f x x x x x ， ()222log 3log 4x x =--由得，解得或， ()60f x +=()222log 3log 20x x -+=2log 1x =2log 2x =所以或.2x =4x =所以方程的解是或；()60f x +=2x =4x =（2）由得，即，解得，，23224+-≤x x x 26422+-≤x x x 264+≤-x x x 14x ≤≤{}|14M x x =≤≤，()()()()2222222log 2log log log 16log 3log 4=+⋅-=--f x x x x x 令，所以，2log t x =02t ≤≤则为开口向上对称轴为的抛物线， ()223253424⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭g t t t t 32t =因为，所以， 02t ≤≤()2544g t -≤≤-所以函数的值域为. ()()f x x M ∈25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦22．设（，）是奇函数. 12()2x x m f x n+-+=+0m >0n >(1)求m 与n 的值；(2)如果对任意，不等式恒成立，求实数a 的取值范x ∈R ()22cos (4sin 7)0f a x f x ++>围.【答案】(1)12m n ==，(2)1522a ≤<【分析】（1）根据奇函数的表达式对定义域内所有自变量成立即可求解； ()()f x f x -=-（2）利用奇函数的变换和分离常数法确定的单调性，再利用参变分离即可求解.()f x 【详解】（1）因为是奇函数，()f x 所以， ()()f x f x -=-即对定义域内任意实数x 成立. 112222x x x x m m n n--++-+-+=-++化简整理得，这是关于x 的恒等式，2(2)2(24)2x x m n mn -⋅+-⋅(2)0m n +-=所以 20,240m n mn -=⎧⎨-=⎩所以或. 12m n =-⎧⎨=-⎩12m n =⎧⎨=⎩经检验符合题意. 12m n =⎧⎨=⎩（2）因为，且是奇函数 ()22cos (4sin 7)0f a x f x ++>()f x所以， ()22cos f a x +>(4sin 7)f x -4sin 7)f x =+因为在R 上单调递减， 12()1221x f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以，22cos a x +4sin 7x <+即对任意都成立，22cos 4sin 7a x x <--+R x ∈由于，其中， 2cos 4sin 7x x --+2(sin 2)2x =-+1sin 1x -≤≤所以，即最小值为32(sin 2)23x -+≥所以，23a <即，2120a -<解得，12-<<故，02<即. 1522a ≤<。
陕西省高一上学期期末数学试题(解析版)
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册．考试时间：120分钟 分值：150一、单选题1. “”是“”成立的（ ）,k k αβ=π+∈Z tan tan αβ=A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.【详解】当时，一定有，即必要性满足； tan tan αβ=,k k αβ=π+∈Z 当时，其正切值不存在，所以不满足充分性； 3,22ππαβ==所以“”是“”成立的必要不充分条件， ,k k αβ=π+∈Z tan tan αβ=故选：B.【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况. 2. 若，则下列不等式中，正确的是（ ） 110a b<<A. B. a b <22a b >C. D. a b ab +<11a b a b-<-【答案】C 【解析】【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】由，得，即，故A 错误； 110a b <<110,0,0a b a b abb a <<--=<0b a <<则，则，即，故B 错误； 0b a ->->()()22b a ->-22a b <则，，所以，故C 正确； 0a b +<0ab >a b ab +<则，所以，故D 错误； 11b a -<-11b a b a-<-故选：C3. 下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（ ）A.B. C. D.y =211x y x +=-121x y =-lg 10x y =【答案】D 【解析】【分析】求出各选项中函数的定义域与值域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为，值域为；y =[)1,+∞[)0,∞+对于B 选项，函数，定义域为，值域为； ()2132132111x x y x x x -++===+---{}1x x ≠{}2y y ≠对于C 选项，对于函数，有，可得，该函数的定义域为， 121xy =-210x -≠0x ≠{}0x x ≠当时，，则，此时， 0x <021x <<1210x -<-<1121x y =<--当时，，则，， 0x >21x >210x ->1021xy =>-故函数的值域为； 121x y =-()(),10,-∞-⋃+∞对于D 选项，函数的定义域为，值域也为. lg 10x y x ==()0,∞+()0,∞+故选：D.4. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（）()22xy xx R =-∈A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先研究函数的奇偶性，排除选项BD ，再通过计算确定答案. (0)10=>f 【详解】解：设，()222()2()22()xx xf x xR f x x x f x -=-∈∴-=-=-=，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项BD. ()f x y 当时，，所以排除C ，选择A. 0x =02(0)2010=-=>f 故选：A5. 已知点是第三象限的点，则的终边位于（ ） ()tan ,sin P θθθA. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数在各象限的符号即可求出．【详解】因为点是第三象限的点，所以，故的终边位于第四象限． ()tan ,sin P θθtan 0sin 0θθ<⎧⎨<⎩θ故选：D ．6. 已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a（ ） A. B.C.D.()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即()21f >可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立，()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C7. 设，，，则（ ）21log 3a =0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. B.C.D.c b a <<a b <a b c <<b a c <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】是增函数，2log y x = ， 221log log 103a ∴=<=是减函数，在上是增函数，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 0.5y x =(0,)+∞0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<故选：B8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范()2020sin ,01log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩,,a b c ()()()f a f b f c ==a b c ++围是（）A. B.C.D.()1,2020()1,2021()2,2021[2]2021,【答案】C 【解析】 【分析】在同一个坐标系内作出和y=m ,根据有三个交点，判断0<m <1，分析出的范围.()y f x =a b c ++【详解】如图示，由的图像关于对称，知，而由，得： sin x π12x =1a b +=()2020log 01c m m =<<，所以.12020c <<2a b c <++故选：C【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．二、多选题9. 下列各式中，值可取的是（ ） 1A. 22cos 15sin 15- B.2sin cos(3x x π-C.1sin cos cos sin 662ππ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x xD. tan10tan 35tan10tan 35++ 【答案】BD 【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式化简可判断A ；由两角和与差的正弦公式化简可判断BC ；. 由正切的两角和的展开公式化简可判断D. 【详解】，故A 错误；22cos 15sin 15cos30-==212sin cos 2sin cos sin cos 32⎛⎫π⎛⎫-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x11sin 22sin 2223π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭x x x 由得1sin 213π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭x 1sin 213π⎛⎫-≤-≤+ ⎪⎝⎭x 可得B 正确；.，故C 错误；11sin cos cos sin sin 066262πππ⎛⎫⎛⎫+-++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ， ()tan10tan 35tan10tan 35tan 451tan10tan 35tan10tan 351++=-+= 故D 正确. 故选：BD.10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则0,0a b >>2112a b ab+≤+B. 函数的最小值为2πsin ((0,))sin 2y x x x =-∈C. 函数的值域为，则实数m 的取值范围是 222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦R R D. 若函数，则在区间上单调递增. 27()f x x -=()f x (,0)-∞【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项利用差比较法判断；B 选项利用换元法以及函数的单调性进行判断；C 选项利用判别式进行判断；D 选项根据幂函数的单调性进行判断.【详解】A 选项，，，0a >0b >()()242211222a b aba b a b ab a b a b a b+-++-=-=+++，当且仅当时等号成立，所以，故A 选项正确.()()202a b a b -=≥+a b =2112a ba b+≤+B 选项，令，则， πsin ,0,2t x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈函数在区间上递增，没有最小值.所以B 选项错误. 2y t t=-()0,1C 选项，函数的值域为， 222023()log (1)f x mx m x m ⎡⎤=-++⎣⎦R 当时，，值域为，符合题意. 0m =()()2023log f x x =-R 当时，，所以的值域为，符合题意.0m ≠()()2222422142110m m m m m ∆=+-=-+=-≥()f x R 综上所述，实数的取值范围是，C 选项正确. m R D 选项，函数，定义域是，，27271)(f xxx-==={}|0x x ≠()()f x f x -===是偶函数，在上递减，所以在区间上单调递增，D 选项正确.()f x ()0,∞+(,0)-∞故选：ACD11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）()()23log 2f x x x =-A. 函数的单调递增区间是 B. 函数的值域是 ()f x [)1,+∞()f x R C. 函数的图象关于对称 D. 不等式的解集是()f x 1x =()1f x <()1,3-【答案】BC 【解析】【分析】根据对数函数相关的复合函数的单调性，值域，对称性，及解对数不等式，依次判断即可得出结果.【详解】对A ：令，解得或，故的定义域为， 220x x ->2x >0x <()f x ()(),02,I ∞∞=-⋃+∵在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 3log y u =22u x x =-(),0∞-()2,∞+故在上单调递减，在上单调递增，A 错误；()f x (),0∞-()2,∞+对B ：∵，即的值域，()222111x x x -=--≥-22y x x =-[)1,M =-+∞∵，故函数的值域是，B 正确；()0,M +∞⊆()f x R 对C ：∵，即， ()()()()()32232log 222log 2f x x x x x f x ⎡⎤-=---=⎣-=⎦()()2=f x f x -故函数的图象关于对称，C 正确；()f x 1x =对D ：，且在定义域内单调递增，()()233log 21log 3f x x x =-<=3log y x =可得，解得或， 2023x x <-<23x <<10x -<<故不等式的解集是，D 错误.()1f x <()()1,02,3- 故选：BC.12. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）()2|1|22x a f x x x +=+++R a ∈A. 函数图象为轴对称图形 ()f x B. 函数在单调递减()f x (),1-∞-C. 存在实数，使得有三个不同的解m ()f x m =D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式的解集为 ()5f x ≥(][),20,-∞-+∞ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性、方程的解、不等式的解等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】，()()212|1|22121x x x f x x a x a ++=+++=+++-，，()2121xf x x a -+=++-()()21211xf x x a f x --=++-=-+所以的图象关于直线对称，A 选项正确. ()f x =1x -由于函数在区间上递减，在区间上递减，()21y x =+(),1-∞-12x y +=(),1-∞-所以函数在单调递减，B 选项正确.()()21121x x x a f +=+++-(),1-∞-由上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上()f x =1x -()f x (),1-∞-()1,-+∞递增，所以不存在实数使得有三个不同的解，C 选项错误.m ()f x m =有上述分析可知：的图象关于直线对称，在区间上递减，在区间上()f x =1x -()f x (),1-∞-()1,-+∞递增，令，解得， ()()112121501215f a f a ⎧-=++-=⎪⎨=++-=⎪⎩3a =此时不等式的解集为，D 选项正确. ()5f x ≥(][),20,-∞-+∞ 故选：ABD三、填空题13. 已知命题p ：，若命题P 为假命题，则实数a 的取值范围是___．2R,0x x ax a ∃∈-+<【答案】[0，4] 【解析】【分析】命题P 为假命题，则为真命题，进而求出a 的范围.p ⌝【详解】根据题意，恒成立，所以.2R,0x x ax a ∀∈-+≥[]2Δ400,4a a a =-≤⇒∈故答案为：. []0,414. 已知函数的最小正周期为，则的值为___________. πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭π2a 【答案】 2±【解析】的值.a 【详解】解：函数的最小正周期为，所以. πtan (0)6y ax a ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭ππ2a =2a =±故答案为：.2±15. 已知，满足，，，，则αβπ04α<<π4π34β<<3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭()sin αβ-=______． 【答案】 5665-【解析】【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结,ππs o 4s 4in c αβ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭果.【详解】因为，则， π04α<<πππ442α<+<因为，则，π4π34β<<πππ24β<+<所以， 445πsin α⎛⎫+==⎪⎝⎭，5413πcos β⎛⎫+==- ⎪⎝⎭则 ()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππcos cos sin 444sin 4αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 453125651351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为: 5665-16. 定义为，中的最大值，函数的最小值为，如果函数{}max ,a b a b (){}1max 2,2x f x x -=-c 在R 上单调递减，则实数的取值范围为___________． ()()321,4,x m x x c g x m x c⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩m 【答案】 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据图象，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得()f x c ，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案． ()()321,14,1x m x x g x m x ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩()()210013214m m m m⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜m【详解】由题意，在同一坐标系下画出的图象，可知12,2x y y x -==-，且 ()12,12,1x x f x x x -⎧≥=⎨-<⎩(1)1c f ==则，因为为减函数， ()()321,1g 4,1x m x x x mx ⎧-+≥⎪=⎨⎪<⎩()g x 必有，()()210013214m m m m ⎧⎪-⎪⎨⎪⎪-+≤⎩＜＜＜解可得：，即m 的取值范围为； 104m ≤＜10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦四、解答题17. 计算下列各式的值．（1）．121log 20.1lg511log 2+--（2）．()sin501⋅+ 【答案】（1）2+（2）1【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则、对数恒等式及对数运算性质，化简求解；（2）利用同角关系式、辅助角公式得到，再利用诱导公式及二倍角公式，化简求解． 2sin40sin50cos10⋅【小问1详解】解：，121log 20.1lg511log 2+--，()1211log 22lg51212log lg2=+++，l lg5g 12++=；2=+【小问2详解】，()sin501⋅ ，sin501⎛=⋅+ ⎝ ，sin50=⋅， 2sin40sin50cos10=⋅， 2sin40cos40cos10=． sin80cos101cos10cos10===18. 已知，函数的一个零点为1. (),0,a b ∈+∞()2f x ax x b =-+（1）求的最小值； 41a a b++（2）解关于的不等式x ()0f x ≤【答案】（1）10（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据函数零点可得，又，结合基本不等式即可求得的最小1a b +=(),0,a b ∈+∞41a a b++值；（2）解含参一元二次不等式不等式，由方程的两根，，比较两根大小，即可()0f x =11x =21a x a-=求得不等式的解集.【小问1详解】 函数的一个零点为1，得即，又， ()2f x ax x b =-+()10f =1a b +=(),0,a b ∈+∞所以， ()414141411141610a b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++=+++=++++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为10； 4b a a b =23a =13b =41a a b++【小问2详解】由整理得，因为，方程的两根，()0f x ≤()()110x ax a ⎡⎤---≤⎣⎦(),0,a b ∈+∞()0f x =11x = 21a x a-=①当时，原不等式为，则其解集为； 12a =()210x -≤{}1②当时，则，所以不等式的解集为； 112a <<11a a -<1,1a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦③当时，则，原不等式的解集为. 102a <<11a a ->11,a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦19. 某同学用“五点法”作函数（，，）在某一个周期内的图象()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>2πϕ<时，列表并填入了部分数据，见下表： x ωϕ+0 2ππ 32π 2π x 12π712π()sin A x ωϕ+0 0 2-（1）根据上表数据，直接写出函数的解析式，并求函数的最小正周期和在上的单调()f x ()f x []0,2π递减区间.（2）求在区间上的最大值和最小值. ()f x 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1）答案见解析（22-【解析】【分析】（1）直接利用五点法的应用求出函数的关系式；（2）利用（1）的结论, 进一步利用函数的定义域求出函数的值域, 进一步求出最大值和最小值.【小问1详解】根据五点法的表格，所以 ()2sin 32f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以的最小正周期 ()f x 22T ππ==令， 3222232k x k πππππ+≤+≤+Z k ∈解之得 7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈又，所以或 []0,2x π∈71212x ππ≤≤13191212x ππ≤≤即在上的单调递减区间为， ()f x []0,2π7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】 由于 203x π-≤≤所以 233x πππ-+≤≤所以 1sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以 22sin 23x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当即时，函数的最小值为; 232x ππ+=-512x π=-()f x 2-当即233x ππ+=0x =20. 设．()2cos sin cos 1f x x x x =++（1）求使不等式成立的的取值集合； ()32f x ≥x （2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移个单位；最后向()f x 4π下平移个单位得到函数的图象．若不等式在上恒成立，求实数32()h x ()21cos 03h x x m +->0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭m 的取值范围．【答案】（1）；（2）． 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭13m ≤【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得，因此等价于()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()32f x ≥，利用正弦函数的性质可求不等式的解集. sin 204x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭（2）根据图象变换可得，从而原不等式可化为在，()h x x =2111cos cos 232x x m -++>0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭换元后利用二次函数的性质可求的取值范围.m【详解】解：. ()cos 2111133sin 21sin 2cos 222222242x f x x x x x π+⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭（1） ()32f x ≥332sin 204224x x ππ⎛⎫⎛⎫++≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3222488k x k k x k k Z ππππππππ⇔≤+≤+⇔-+≤≤+∈所以原不等式的解集为：. 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变,得()3242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；再向右平移个单位，得；最后向下平移个单位得到函数342y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4π32y x =+32， ()h x x =∴. ()222111111cos sin cos cos cos 323232h x x x x x x +=+=-++设，由可得：， cos t x =0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1t ∈则原不等式等价于：在上恒成立； 2111232t t m -++>()0,1设，，则在递增，在递减，所以， ()2111232g t t t =-++()0,1t ∈()g t 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()()113g t g >=所以． 13m ≤【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式()22sin sin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++将其化为的形式，再根据正弦函数的性质求与相关的不等式或方程的()()sin 2f x A x B ωϕ''=++()f x 求解问题．另外，含的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒cos x 成立问题.21. 在新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．此药品的年固定成本为200万元，每生产x 千件需另投入成本，当年产量不足60千件时，（万元），当()C x ()21102C x x x =+年产量不小于60千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元，在疫情期()6400511000C x x x=+-间，该公司生产的药品能全部售完．（1）写出利润（万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式；()L x （2）该公司决定将此药品所获利润的10%用来捐赠防疫物资，当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？ 【答案】（1）； ()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本，可得出年利润060x ≤<60x ≥=-()L x（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；x （2）利用二次函数的基本性质、基本不等式可求得函数的最大值及其对应的值，由此可得出结论.()L x x 【小问1详解】由题意可知，()()50200L x x C x =-+⎡⎤⎣⎦当时，， 060x ≤<()221110200402500220L x x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭=-当时，， 60x ≥()6400640050511000200800L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故有； ()2140200,0602,1000N 6400800,60x x x L x x x x x *⎧-+-≤<⎪⎪=∈⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当时，， 060x ≤<()()21406006002L x x =-⋅-+≤即时，，40x =max 600y =当时，有， 60x ≥()6400800800640L x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭=-+-=当且仅当时，,80x =max 640y =因为，所以时，，640600>80x =max 640y =答：当产量为80千件时所获利润最大为640万元，此时可捐64万元物资款.22. 已知，函数 a ∈R ()()22log f x x x a =++（1）若函数过点，求此时函数的解析式；()f x ()1,1()f x （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求0a >1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +a 的取值范围.【答案】（1）()()22log f x x x =+（2） 94a ≥【解析】【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式； ()1,1()()22log f x x x a =++a （2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小()()22log f x x x a =++[],1t t +值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出22t t a -++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案. 【小问1详解】解：因为函数过点，()f x ()1,1即，()()21log 21f a =+=解得，0a =故； ()()22log f x x x =+【小问2详解】因为是复合函数，设，， ()()22log f x x x a =++2()u x x x a =++()2log ()f x u x =，在区间单调递增，单调递增， 1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2()u x x x a ∴=++[],1t t +()2log ()f x u x =故函数在区间上单调递增，()f x [],1t t +， ()()()()2222min max ()log ,(1)log 32f x f t t t a f x f t t t a ∴==++=+=+++由题意对任意恒成立， (1)()1f t f t +-≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， ()()2222log 32log 1t t a t t a +++-++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， 2232222t t a t t a +++≤++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即对任意恒成立， 22t t a -++≤1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，，只需即可，2()2g t t t =-++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦max ()g t a ≤因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线， 2()2g t t t =-++12t =故在单调递减， 2()2g t t t =-++1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故， max 19()(24g t g ==故.94a ≥。
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{2},{1<<1}x M yy N x x ===-∣∣，则M N ⋂=（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．∅D ．(1,1)-【答案】B【分析】解出集合M ，根据集合交集的运算即可求解.【详解】{2}{>0}x M y y y y ===∣∣,{}01M N x x ⋂=<<.故选：B2．“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出sin 0θ<且tan 0θ<时θ所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】因为sin 0θ<且tan 0θ<，由任意角的三角函数可知，θ为第四象限角，所以“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D.3．若tan 2θ=-，则sin 2θ=（）A ．25-B ．45-C ．25D ．45【答案】B【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的关系，222sin cos sin 2sin cos θθθθθ⋅=+，再进行“弦化切”即可代值求解.【详解】()()2222222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 1521θθθθθθθ⨯-⋅====-++-+.故选：B.4．已知命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R ；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B【分析】分别判断出命题p 和q 的真假，即可逐个选项进行判断.【详解】命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R 是特称命题，因π3sin +cos 2sin 42x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π32sin 144x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，无解，所以命题p 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥是全称命题，因0x ≥，所以||0e e 1x ≥=，所以命题q 是真命题.所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是假命题，p q ⌝∧是真命题，p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∨是假命题.故选：B5．已知0.13121log 2,log 5,()3a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】C【分析】利用中间值0和1进行比较即可.【详解】333log 1log 2log 3<<，所以01a <<，1122log 5log 1<，所以0b <，0.1011()()33->，所以1c >，所以c a b >>.故选：C.6．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A ．2p q+B ．(1)(1)12p q ++-C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-【答案】D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得(1)(1)1x p q =++-．【解析】函数模型的应用．7．已知正实数,x y 满足2212,xy x y =+-则x y +的最大值是（）A ．24B ．12C ．43D ．23【答案】C【分析】设x y t +=，则y t x =-，代入已知等式，化为关于x 的方程，由判别式非负，解得t 的最大值.【详解】设x y t +=，则y t x =-，因为2212xy x y =+-，所以22()()120x t x x t x +----=，即：2233120x tx t -+-=，所以222912(12)31440t t t ∆=--=-+≥，解得：4343t -≤≤，又因为x ，y 为正实数，所以043t <≤，所以x y +的最大值为43.故选：C.8．幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点(1,0),(0,1)A B 连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数,a b y x y x ==的图像三等分，即BM =MN =NA ,那么ab =（）A ．13B ．.2C ．1D ．12【答案】C【分析】求出M 、N 的坐标，分别带入函数解析式即可求得a 、b ，然后根据换底公式可得.【详解】因为M 、N 为线段AB 的三等分点，易得1221(,),,)3333M N （，分别带入,a b y x y x ==得1221(),()3333a b ==，解得123321log ,log 33a b ==，所以123321lglg2133log log 11233lg lg 33ab =⨯=⨯=.故选：C9．已知函数()22,01,04x x f x x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则关于x 的方程23()7()20f x f x -+=实数解的个数为（）A ．4B ．5C ．3D ．2【答案】A【分析】由23()7()20f x f x -+=解得()13f x =或2，再画出()f x ，2y =，13y =的图象数交点个数即可.【详解】因为23()7()20f x f x -+=，解之得()13f x =或2，当0x ≤时，()0f x ≥；当0x >时，()211111124442x f x x x x x x +⎛⎫==+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，所以()f x ，2y =，13y =的图象如图：由图可知使得()13f x =或()2f x =的点有4个.故选：A.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，则（）A ．11(sin )(cos )33f f <B ．33(sin )(cos )22f f >C ．(sin 2)(cos 2)f f >D ．(sin1)(cos1)f f <【答案】D【分析】根据题意，由条件可得()f x 的周期为2，然后结合偶函数的性质可得[]0,1x ∈时的解析式，再由其单调性即可得到结果.【详解】因为函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，则()()()()122f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦，所以()f x 的周期为2，且()f x 是偶函数，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，设[]0,1x ∈，则[]43,4x -∈，所以()()()44431f x f x f x x x =-=-=--=-，所以()f x 在[]0,1上单调递减，因为[]11sin ,cos 0,133∈，且11sin cos 33<，所以11(sin )(cos )33f f >，故A 错误；因为[]33sin ,cos 0,122∈，且33sin cos 22>，所以3(sin )(cos )322f f <，故B 错误；因为[]sin 20,1∈，πππcos 2cos 2sin 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且()f x 为偶函数，则()ππcos 2sin 2sin 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且[]πsin 20,12⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 2sin 22⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以(sin 2)(cos 2)f f <，故C 错误；因为[]sin1,cos10,1∈，且sin1cos1>，所以(sin1)(cos1)f f <，故D 正确；故选:D二、多选题11．下列函数中既是偶函数，又在()0,∞+上单调递减的是（）A ．2log y x =B ．2y x-=C ．1y x=D ．23y x=【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数2log y x =的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，A 不满足条件；对于B 选项，函数221y x x -==的定义域为{}0x x ≠，设()121f x x=，则()()()112211f x f x x x -===-，该函数为偶函数，且函数2y x -=在()0,∞+上为减函数，B 满足条件；对于C 选项，函数1y x=的定义域为{}0x x ≠，设()21f x x =，则()()2211f x f x x x-===-，该函数为偶函数，当0x >时，1y x=，则函数1y x =在()0,∞+上为减函数，C 满足条件；对于D 选项，函数2323y x x ==的定义域为R ，设()323f x x =，则()()()232333f x x x f x -=-==，该函数为偶函数，函数23y x =在()0,∞+上为增函数，D 不满足条件.故选：BC.12．若x y >，则（）A ．ln(1)0x y -+>B ．11x y<C ．33x y >D ．x y>【答案】AC【分析】利用指对数函数的单调性判断AC ；举例说明判断BD 作答.【详解】由x y >知，11x y -+>，则ln(1)0x y -+>，A 正确；取x 1,y 2==-满足x y >，此时11x y>，x y <，BD 错误；由x y >，得33x y >，C 正确.故选：AC13．函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B ．()y f x =在区间π[0,]2的最小值是32-；C ．直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴；D ．3(π)62f =【答案】BCD【分析】利用函数的对称中心得到π3ϕ=，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可求解.【详解】因为函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，所以π2π()sin()033f ϕ=+=，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则函数π()sin(2)3f x x =+，对于A ，因为5π(0,)12x ∈，所以ππ7π2(,)336x +∈，所以函数()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭先增后减，故选项A 错误；对于B ，因为π[0,]2x ∈，所以ππ4π2[,]323x +∈，当π4π233x +=时，函数取最小值32-，故选项B 正确；对于C ，函数π()sin(2)3f x x =+，因为5πππ()sin[2)]sin()11232f x =⨯+=-=-（-，所以直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴，故选项C 正确；对于D ，函数π()sin(2)3f x x =+，则函数πππ2π3()sin(2)sin 66332f =⨯+==，故选项D 正确；故选：BCD.14．设函数22,0;()log ,0.xx f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩函数()()=-g x f x k ，若()g x 有三个不同的零点123,,x x x ，且满足123x x x <<，则下列说法正确的有（）A ．321x x =B ．233x x +的取值范围是13[2∞+，）C ．1k >D ．233x x +的取值范围是[23∞+，）【答案】AB【分析】利用函数()f x 与y k =的图象可判断C ；直接解方程2log x k =求出23,x x 可判断A ；表示出233x x +，233x x +，换元后利用对勾函数的单调性求最小值，即可判断BD.【详解】因为()g x 有三个不同的零点，所以函数()f x 与y k =有三个交点，由图可知，1k ≥，故C 错误；令2log x k =2log x k =，即2log x k =±，解得232,2k kx x -==，显然321x x =，故A 正确；因为1k ≥，所以22k ≥，令2k t =，则2311323233()3k ky x x t t t t-=+=+⋅=+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在3[,)3+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min113(3)3(2)62x x +=+=，B 正确；令2k t =，则2333322k ky x x t t-=+=⋅+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在[3,)+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min 37(3)222x x +=+=，故D 错误.故选：AB三、填空题15．sin 660︒=______．【答案】32-【分析】直接由诱导公式化简为sin 60-︒，即可得出答案．【详解】3sin 660sin(236060)sin(60)sin 602︒=⨯︒-︒=-︒=-︒=-，故答案为：32-．16．已知函数()2f x 的定义域为1[,2]2，则函数()2f x 的定义域为______.【答案】[][]2,11,2-- 【分析】由1[,2]2x ∈，可知124x ≤≤，再解关于x 的不等式214x ≤≤即可.【详解】因为1[,2]2x ∈，即122x ≤≤，所以124x ≤≤，所以214x ≤≤，所以[][]2,11,2x ∈--⋃.故答案为：[][]2,11,2-- .17．已知关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为______.【答案】()2,1--【分析】构造函数22()2f x x kx k k =+++-，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式(2)0f <，解不等式即可求实数k 的取值范围．【详解】关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数22()2f x x kx k k =+++-，∵一根大于2，一根小于2，∴(2)0f <，∴24220k k k +++-<，解得2<<1x --.则k 的取值范围是()2,1--.故答案为：()2,1--.18．已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若()(),[1,1],00,f m f n m n m n m n+∈-+≠>+时，()222f x t at ≤--不等式对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】(][),33,∞∞--⋃+【分析】可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得()f x 在[1,1]-上单调递增，所以()f x 在[-1，1]上最大值是(1)1f =，问题可转化为2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，只需()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解不等式即可.【详解】因为()f x 为奇函数且m ，[1,1]n ∈-，0m n +≠，所以()()()()0()f m f n f m f n m n m n +--=>+--，所以()f x 在[1,1]-上单调递增，所以max ()(1)1f x f ==，又因为2()22f x t at ≤--对于所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，所以2max ()22f x t at ≤--对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2230t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，所以只需满足22(1)0230(1)0230g t t g t t -≥⎧+-≥⎧⇒⎨⎨≥-+-≥⎩⎩，解得3t £-或3t ≥．故答案为：(,3][3,)-∞-+∞ .四、解答题19．（1）已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点13(,)22P -，求cos tan(π)sin(π)cos(5π)αααα+⋅--的值.（2）计算：()321lg5lg8lg1000(lg 332)lg lg0.++++【答案】（1）2；（2）2【分析】（1）运用诱导公式化简及角α终边经过点(,)P x y ，则22cos x x y α=+公式代入计算即可.（2）运用对数运算公式计算即可.【详解】解析：（1）因为角α终边经过点13(,)22P -，所以221cos 2x x y α==-+，所以原式cos tan sin 12sin cos sin cos cos αααααααα=⋅=-=-=-.（2）()()231lg5lg8lg1000lg2lg lg0.33++++()()2lg53lg233lg2lg3lg31=++-+-()()23lg5lg23lg53lg213lg2lg5lg23lg51=⨯++-=++-()3lg23lg513lg2lg512=+-=+-=.20．已知函数()223f x x bx =-+，R b ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >对一切实数x 都成立，求b 的取值范围；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()f x 的最小值为1，求b 值.【答案】(1)33b -<<(2)32b =-或2b =.【分析】（1）将问题转化为()min 0f x >，由二次函数在对称轴处取得最值可得230b ->，解不等式即可.（2）分别讨论1b ≤-、2b ≥、12b -<<时二次函数()f x 在[]1,2-上的单调性进而得其最小值，结合已知条件解方程即可.【详解】（1）因为()2230f x x bx =-+>恒成立，所以()min 0f x >，当且仅当x b =时，()f x 取最小值为()222233f b b b b =-+=-，所以()0f b >，即：230b ->，解得33b -<<.故b 的取值范围为33b -<<.（2）因为()223f x x bx =-+是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为x b =，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴()()min 1421f x f b =-=+=，解得32b =-；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴()()min 2741f x f b ==-=，解得32b =（舍）；③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上单调递增，∴()()2min 31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）；综上，32b =-或2b =.21．已知函数()2π3cos cos 3cos 64f x x x x ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)πT =(2)最大值为14，最小值为12-.【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用可得1π()sin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的周期性可求最小正周期T .（2）通过64ππx -<<，求得3622πππx 3-<-<，再利用正弦函数的性质可求最值.【详解】（1）由已知，有()2133cos (sin cos )3cos 224f x x x x x =⋅+-+2133sin cos cos 224x x x =⋅-+()133sin21cos2444x x =-++131πsin2cos2sin(2)4423x x x =-=-.所以，()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）ππ[,]64x ∈-时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ236x -=，即π4x =时，()f x 取到最大值14，当ππ232x -=-，即π12x =-时，()f x 取到最小值12-.所以，函数()f x 在闭区间π[0,]2上的最大值为14，最小值为12-.22．已知函数(),0;2,0.x x a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩其中R a ∈.(1)若1a =-，解不等式()14f x ≥；(2)设0a >，()21log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】(1)352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭(2)65a ≥【分析】（1）分类讨论解分段函数不等式即可.（2）由对数型函数的单调性可得()g x 在[],2t t +单调递减，进而运用对数运算公式及对数型函数单调性将问题转化为求()22t a t t -≥+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即求()max22t t t ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦，运用换元法及对勾函数的单调性可求得结果.【详解】（1）1a =-时，()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩当0x ≥时，()114f x x =-≥，解得54x ≥或34x ≤，所以350,,44x ⎡⎤⎡⎫∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ；当0x <时，()124x f x =≥，2x ≥-，所以[)2,0x ∈-.综上，352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）因为0a >，[],2x t t ∈+，所以()2211log log g x f a x x ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],2t t +单调递减，所以()()()()22max min 112log log 12g x g x g t g t a a t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即：222111log 1log log 222a a a t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1122a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，所以()12222t a t t t t -≥-=++在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()max22t a t t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令320,2m t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()2222468t m m h m t t m m m m -===+---+，①当0m =时，()0h m =，②当30,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()186h m m m=+-，又因为86y m m =+-在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，所以8316566236m m +-≥+-=，所以()60,5h m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，max 6()5h m =.所以65a ≥.23．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“优美区间”．(1)写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；(2)求证：函数()64g x x=+不存在“优美区间”；(3)已知函数()()()221R,0a a x y h x a a a x +-==∈≠有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析(3)233【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；（2）若函数存在“优美区间”，可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减，从而可得()()g m n g n m=⎧⎨=⎩，联立可推出矛盾，即可证明结论；（3）函数()h x 有“优美区间”，结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，说明,m n 是方程222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得,m n 的关系，进而可求得n m -的最大值．【详解】（1）[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”，证明如下：212y x =在区间[0,2]上单调递增，又(0)0f =，(2)2f =，∴212y x =的值域为[0,2]，∴[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”．（2）设[,]m n 是函数()g x 的定义域的子集．由0x ≠，可得[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减．若[,]m n 是函数()g x 的“优美区间”，则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得，66n m m n-=-，则6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴=，则664m m+=，显然等式不成立，∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”．（3）()h x 的定义域为{|0}x x ≠，[,]m n 是函数()h x 的定义域的子集，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，而函数()()222111a a x y xh x a a x a a +-==+=-在[,]m n 上单调递增，若[,]m n 是函数()h x 的“优美区间”，则()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，∴,m n 是方程211a x a a x +-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根．210mn a=> ，∴,m n 同号，只需2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->，解得1a >或3a <-，211,a m n mn a a++== ，n m >，22222142114()413333a n m m n mn a a a a a +⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当3a =时，n m -取得最大值233．。
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陕西省西安市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高一上·太原期中) 若M∪{1}={1，2，3}，则M集合可以是（）
A . {1，2，3}
B . {1，3}
C . {1，2}
D . {1}
2. （2分）(2013·北京理) 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（）
A . ex+1
B . ex﹣1
C . e﹣x+1
D . e﹣x﹣1
3. （2分）已知a=20.3 ， b=， c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A . c＜b＜a
B . c＜a＜b
C . b＜a＜c
D . b＜c＜a
4. （2分） (2017高一上·焦作期末) 函数y=e|x|﹣x3的大致图象是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，
.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与
所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2016高一下·榆社期中) 设tanα、tanβ是方程x2+3 x+4=0的两根，且，
，则α+β的值为（）
A . -
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高一上·昆明期中) 设函数f（x）= ，若f（a）=1，则实数a的值为（）
A . ﹣1或0
B . 2或﹣1
C . 0或2
D . 2
8. （2分） (2016高一下·天水期末) 已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，则tan（α+ ）的值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（）
A . 10m
B . 20m
C . 20m
D . 40m
10. （2分）在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M，N分别为AB，BC的中点，点P为△ABC内部任一点，则取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2015高二下·赣州期中) 已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）(2017·舒城模拟) 已知θ∈[0，2π），当θ取遍全体实数时，直线xcosθ+ysinθ=4+ sin （θ+ ）所围成的图形的面积是（）
A . π
B . 4π
C . 9π
D . 16π
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2017高一上·白山期末) log2sin（﹣）=________．
14. （1分）设函数f（x）=|2x﹣1|，实数a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是________．
15. （2分） (2016高三上·平湖期中) 已知sinα= ，α∈（0，），则cos（π﹣α）=________，cos2α=________．
16. （1分）(2017·祁县模拟) 直线x=a分别与曲线y=2x+1，y=x+lnx交于A，B，则|AB|的最小值为________．
三、解答题 (共5题；共40分)
17. （5分） (2016高一上·普宁期中) 计算：
① ﹣（）﹣（π+e）0+（）；
②2lg5+lg4+ln ．
18. （10分） (2017高一下·景德镇期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．
（1）若∥ ，求| ﹣ |
（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．
19. （10分） (2016高一下·广州期中) 已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．
20. （5分）为振兴苏区发展，赣州市2016年计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造．据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数f（x）（万人）与日期x（日）的函数关系近似满足：，人均消费g（x）（元）与日期x（日）的函数关系近似满足：g（x）=60﹣|x﹣20|．（1）求该市旅游日收入p（x）（万元）与日期x（1≤x≤30，x∈N*）的函数关系式；
（2）当x取何值时，该市旅游日收入p（x）最大．
21. （10分） (2018高二下·台州期中) 已知函数，其中 .
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上的最大值为6，求实数的值.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共40分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
21-1、
21-2、。