圆的相似综合题

相似与圆综合题目练习2．(20１3•湛江）如图，已知ＡＢ是⊙O的直径，P为⊙O外一点,且OP∥BＣ,∠Ｐ=∠BAC.（1）求证:PA为⊙Ｏ的切线;(2）若ＯB=5，OP＝，求ＡC的长.3.（２0１3•营口）如图，点Ｃ是以AB为直径的⊙O上的一点,AＤ与过点Ｃ的切线互相垂直，垂足为点D．(1）求证:AC平分∠ＢAD；（2）若CＤ＝1，ＡC=，求⊙O的半径长．４．（2013•西宁）如图,⊙O是△AＢC的外接圆,BC为⊙O直径,作∠CAＤ=∠Ｂ，且点D在ＢC的延长线上，CE⊥AD 于点E.（1）求证：AＤ是⊙O的切线；（２)若⊙O的半径为８，ＣE=２，求CD的长．6．（2013•宁夏）在Rt△ABC中,∠ＡCB=90°，D是AＢ边上的一点,以BＤ为直径作⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｅ,连结DＥ并延长,与BC的延长线交于点F.且BＤ=ＢF．(1)求证：AC与⊙O相切．（2）若ＢC=6，ＡB＝1２,求⊙O的面积.7．(20１3•黄冈)如图，ＡＢ为⊙O的直径，C为⊙Ｏ上一点，AＤ和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且ＡＣ平分∠ＤAＢ．（1)求证:DＣ为⊙O的切线；（２）若⊙Ｏ的半径为3，AD=4，求AＣ的长．９．(20１3•朝阳)如图,直线AＢ与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB＝8,ＯB=10(１）求⊙Ｏ的半径．（2)点Ｅ在⊙O上，连接ＡE，ＡC,ＥC，并且AE＝AＣ，判断直线EC与AＢ有怎样的位置关系?并证明你的结论．（3）求弦EC的长.１１.(２０１3•巴中）如图,在平行四边形ABＣD中,过点Ａ作ＡE⊥ＢC,垂足为Ｅ,连接DE,Ｆ为线段ＤE上一点,且∠AFE=∠B（１）求证：△ADＦ∽△DEＣ；（2)若AB=8，ＡＤ=6,ＡF=4,求ＡE的长.12.（2012•岳阳)如图所示，在⊙O中,=，弦AB与弦AＣ交于点Ａ，弦ＣD与ＡＢ交于点F,连接BC．(1）求证:AＣ2=AB•AF；（2)若⊙Ｏ的半径长为2cm，∠B=６0°,求图中阴影部分面积.1４．(２0１2•陕西）如图,正三角形ABＣ的边长为3+．(1)如图①，正方形EＦPＮ的顶点E、Ｆ在边AＢ上，顶点N在边AＣ上，在正三角形ＡBC及其内部，以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形Ｅ′F′P′Ｎ′，且使正方形E′F′Ｐ′N′的面积最大（不要求写作法)；(2）求(1)中作出的正方形E′F′Ｐ′N′的边长;(3)如图②,在正三角形ＡBC中放入正方形ＤEMN和正方形ＥFPH，使得DE、EF在边AB上,点Ｐ、N分别在边CB、CＡ上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.15．(2012•河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在平行四边形ABCＤ中,点Ｅ是ＢC的中点,点Ｆ是线段AE上一点，BＦ的延长线交射线CD于点G.若＝3,求的值.(1）尝试探究在图1中,过点Ｅ作EＨ∥AＢ交BＧ于点H,则AB和EH的数量关系是＿____＿___，CＧ和EH的数量关系是_________，的值是____＿＿＿__ ．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下,若=m（m>0),则的值是____＿_＿__（用含有ｍ的代数式表示)，试写出解答过程．(3）拓展迁移如图3,梯形ABCD中,ＤC∥AＢ，点Ｅ是BC的延长线上的一点,AE和ＢD相交于点F.若＝a，=b,(ａ>0,ｂ>0) ，则的值是＿____＿＿__(用含a、ｂ的代数式表示)．ﻬ初中数学组卷一．解答题（共1５小题)2．(201３•湛江）如图，已知ＡB是⊙O的直径,Ｐ为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAＣ. （1)求证：PA为⊙O的切线；(２)若OB=5,OP=,求AＣ的长.考点: 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质.解答:(1）证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠AＣＢ=90°,∴∠BAC+∠B=90°.又∵OP∥ＢC，∴∠AOP=∠B,∴∠ＢAC+∠AOP=90°.∵∠P=∠ＢAＣ.∴∠P＋∠AOＰ=9０°，∴由三角形内角和定理知∠ＰAO=90°，即ＯA⊥AP．又∵ＯＡ是的⊙O的半径，∴ＰＡ为⊙O的切线;(２）解:由(１）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=５．又∵ＯP=，∴在直角△APO中,根据勾股定理知PA=＝,由(1)知,∠ＡCB＝∠PAＯ=９0°．∵∠BAC=∠P，∴△ABＣ∽△POA，∴=．∴=，解得ＡC＝8.即AＣ的长度为8．点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质,三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等,进而得到两个三角形相似，是解答（２)题的关键.３.（2013•营口)如图,点Ｃ是以AB为直径的⊙Ｏ上的一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D.（1）求证:AC平分∠BAD；(２）若CD=１，AC=,求⊙O的半径长.考点: 切线的性质;勾股定理；相似三角形的判定与性质.专题: 压轴题.分析：(1）连接OC．先由OA=ＯC，可得∠ACO＝∠CＡO,再由切线的性质得出OＣ⊥CD,根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥ＣO，由平行线的性质得∠DＡC＝∠ACO,等量代换后可得∠DAC=∠CＡO，即AＣ平分∠BAD；(2）解法一：如图2①,过点O作ＯＥ⊥AC于E．先在Rt△ADC中,由勾股定理求出ＡD=３,由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ＡＥO∽△AＤC,由相似三角形对应边成比例得到，求出AＯ=，即⊙O的半径为；解法二:如图2②,连接BＣ.先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3,再根据两角对应相等的两三角形相似证明△ABC∽△ACD,由相似三角形对应边成比例得到,求出AB=,则⊙O的半径为.解答：（1）证明:连接OC.∵OA=OＣ，∴∠AＣO=∠CＡO．∵CD切⊙Ｏ于Ｃ,∴OC⊥ＣＤ，又∵AD⊥ＣD,∴AD∥CＯ,∴∠ＤAC=∠ACO，∴∠DＡC＝∠ＣＡO，即ＡC平分∠ＢAＤ;(２）解法一:如图2①，过点O作ＯE⊥ＡC于E．在Rｔ△AＤC中,ＡD＝＝＝3，∵OE⊥AC,∴ＡＥ=AC=．∵∠CAO=∠ＤAＣ，∠AEO＝∠ADC=90°，∴△ＡEO∽△ADＣ,∴,即,∴AO＝,即⊙Ｏ的半径为．解法二：如图２②,连接BＣ.在Ｒt△ＡDC中，AD===3.∵AＢ是⊙O直径,∴∠ＡＣＢ=90°,∵∠ＣＡB=∠DAC，∠ＡCＢ=∠ADＣ=90°,∴△ＡBＣ∽△ACD，∴，∴AB=,∴=，即⊙O的半径为.点评:本题考查了等腰三角形、平行线的性质,勾股定理，垂径定理，切线的性质,相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．4．（2０13•西宁）如图，⊙O是△ＡBC的外接圆,ＢC为⊙O直径，作∠CAD=∠B,且点D在BC的延长线上,CE⊥AD 于点Ｅ．(1)求证：AＤ是⊙O的切线；(2)若⊙Ｏ的半径为８，CＥ＝2,求CD的长.考点：切线的判定；解分式方程;相似三角形的判定与性质．分析：(1）首先连接OA,由ＢC为⊙O直径，ＣＥ⊥AD,∠CＡD=∠B,易求得∠ＣＡD+∠ＯAＣ=90°,即∠OＡD=90°，则可证得AＤ是⊙Ｏ的切线；（2)易证得△CＥＤ∽△ＯAD,然后设CD=x，则OD=ｘ+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程:，继而求得答案．解答：(１）证明：连接OA，∵ＢC为⊙Ｏ的直径，∴∠BAC＝90°,∴∠B+∠ＡCＢ=90°，∵OA=OC，∴∠ＯAＣ=∠OＣA，∵∠ＣＡD=∠B,∴∠CAD+∠OＡC=90°，即∠OAD=90°，∴ＯA⊥AD,∵点A在圆上，∴AD是⊙O的切线;（2）解:∵CＥ⊥AD,∴∠CEＤ=∠ＯＡD=90°,∴CＥ∥ＯＡ，∴△CED∽△ＯAＤ,∴，CE=2，设CＤ=x,则OＤ=x+8,即,解得ｘ=，经检验x=是原分式方程的解，所以CＤ=．点评:此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.5.（２013•绍兴）在△AＢＣ中,∠CAＢ＝90°，ＡD⊥BＣ于点D，点Ｅ为AＢ的中点,ＥＣ与AD交于点Ｇ，点F在BC上．考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析:(1)根据同角的余角相等得出∠CAＤ=∠B，根据AC:AB=1:2及点E为AＢ的中点，得出ＡC=BE，再利用ＡAＳ证明△AＣD≌△BＥＦ,即可得出EF=ＣD;（２)作EH⊥AD于H，EＱ⊥BＣ于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠ＱEH=90°,则∠FEＱ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似证明△ＥFQ∽△EＧH,得出ＥF:EG=EQ:EH，然后在△BEＱ中，根据正弦函数的定义得出EQ=ＢE,在△AEＨ中,根据余弦函数的定义得出ＥH=ＡE,又BE=AE,进而求出EF:EG的值．解答:（１)证明：如图1，在△ABC中,∵∠CAB=90°，AＤ⊥BC于点D，∴∠CAＤ=∠B＝90°﹣∠ＡCB．∵AC:AB＝1：２,∴AB=２ＡC，∵点E为ＡＢ的中点，∴AB=2BE,∴ＡＣ＝BE.在△ACＤ与△BEF中,，∴△ACD≌△BEF,∴CD=EＦ,即EF=CＤ;（2)解:如图2，作EＨ⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥ＡＤ，EQ⊥BC,AD⊥ＢC,∴四边形EQDH是矩形，∴∠ＱＥＨ=90°,∴∠FEQ＝∠ＧEH=９0°﹣∠QEG,又∵∠ＥQF=∠ＥHG＝90°,∴△EFQ∽△ＥＧＨ,∴EF:EG=EQ：EH.∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B＝30°.在△ＢＥQ中,∵∠BQE＝90°,∴sin∠B==,∴ＥQ=ＢE.在△ＡEＨ中,∵∠AHE=90°，∠ＡEH＝∠B=30°，∴ｃos∠AＥH==,∴EH＝AE.∵点E为AＢ的中点,∴BE=ＡE，∴ＥF：EＧ＝EQ：EH＝BE：ＡE=1：.点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形.６.(２013•宁夏)在Rt△AＢC中,∠AＣB=90°，D是ＡB边上的一点,以BD为直径作⊙Ｏ交AC于点Ｅ，连结ＤE并延长,与BＣ的延长线交于点Ｆ．且BD=BF．(1)求证:AC与⊙O相切．(２）若BＣ＝6，ＡB=12，求⊙O的面积．考点: 切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析:（1）连接OE，求出∠OＤE=∠F=∠ＤEO，推出ＯE∥BC,得出ＯE⊥AC，根据切线的判定推出即可;(２)证△ＡEO∽△AＣB，得出关于ｒ的方程,求出r即可．解答：证明：（１)连接OＥ,∵OD=OＥ，∴∠ODE＝∠OＥD,∵BD=ＢF,∴∠ODE=∠F，∴∠OED=∠F,∴OE∥BF,∴∠ＡEO=∠ACＢ=90°,∴AC与⊙Ｏ相切；（2)解:由(1）知∠AEＯ=∠ACＢ，又∠A=∠A，∴△AOE∽△ＡＢC，∴,设⊙O的半径为r，则，解得：r＝4，∴⊙O的面积π×４2=１6π.点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力,用了方程思想.7．（2０1３•黄冈)如图，AB为⊙Ｏ的直径,C为⊙O上一点，AD和过Ｃ点的直线互相垂直，垂足为D,且ＡC平分∠DAＢ.（１）求证:ＤC为⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3,ＡD=4,求AC的长.考点：切线的判定;相似三角形的判定与性质.分析：(１）连接OＣ，由OA=OC可以得到∠OAC＝∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠ＤAC=∠OC Ａ，接着利用平行线的判定即可得到OＣ∥AD,然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CＤ与⊙O相切于C点;（2）连接BＣ,根据圆周角定理的推理得到∠ACB＝90°,又∠ＤＡC＝∠OAC,由此可以得到△ＡＤC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题．解答:(1)证明:连接ＯC∵OA=ＯC∴∠ＯＡＣ=∠OCA∵AC平分∠DAＢ∴∠DAC＝∠OAC∴∠ＤAC=∠OCA∴OC∥ＡD∵AD⊥ＣD∴ＯC⊥ＣD∴直线CＤ与⊙Ｏ相切于点C；(２）解：连接ＢC,则∠ＡＣB=９０°.∵∠ＤAC＝∠OAC，∠ADＣ=∠ACB=9０°,∴△ＡDC∽△ACB，∴,∴AC2=AD•AB，∵⊙O的半径为3，AＤ＝4,∴AB=6，∴AC=2.点评:此题主要考查了切线的性质与判定,解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题.点评：本题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,(１）求出三角形全等的条件∠１=∠E是解题的关键,（2)（ｉ)根据两次三角形相似求出AＰ=ＢF是解题的关键,（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．9．（201３•朝阳）如图，直线AB与⊙Ｏ相切于点A，直径DＣ的延长线交AB于点B,AＢ＝８,OB＝1０（１）求⊙O的半径．(2)点E在⊙O上，连接ＡE,AＣ，EＣ，并且ＡE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．(３）求弦EC的长.考点: 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析:(１)连接OA,交EC于F，根据切线性质得出∠OAB=9０°,根据勾股定理求出即可；（２）根据AE=AC推出弧ＡＥ＝弧AC,根据垂径定理求出ＯＡ⊥EC，根据平行线判定推出即可;(3)证△ＯＦＣ∽△OAB,求出ＦC,根据垂径定理得出EC＝2FC，代入求出即可．解答：(1)解:连接AＯ,交EC于F,∵AB切⊙O于A，∴OA⊥ＡB，∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，由勾股定理得:ＯA==＝6，答：⊙Ｏ的半径是6．（2）直线EＣ与AＢ的位置关系是EＣ∥AB．证明：∵ＡＥ=AC，∴弧AE=弧AC,∵OA过Ｏ,∴ＯA⊥EC,∵ＯA⊥ＡB，∴ＥＣ∥AＢ．（3)解：∵ＥC∥AB,∴△OFC∽△OAB，∴=，∴＝,∴FC=，∵OA⊥EC，ＯA过O,∴EＣ=2ＦＣ=．点评：本题考查了勾股定理,相似三角形的性质和判定,切线性质，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．10.（2０1３•百色）如图，在等腰梯形ABＣD中，DC∥AＢ,E是DC延长线上的点,连接AE，交BC于点F．(1）求证：△ＡBF∽△ECF；(2）如果AＤ=5cｍ，AB=8cｍ,ＣF=2cm,求CＥ的长.考点：相似三角形的判定与性质;等腰梯形的性质.分析：（1）由“两直线平行,内错角相等”推知∠B＝∠ＥCＦ，∠BAF=∠Ｅ．则由“两角法”证得结论;(2)利用（1）中的相似三角形的对应边成比例得到=,即=．所以CE=（cm)．解答:(１)证明：∵ＤC∥ＡB，∴∠B=∠ECF，∠ＢAＦ=∠E,∴△AＢＦ∽△ECF．（2）解:∵在等腰梯形ＡＢＣＤ中,AD=ＢC，ＡＤ＝5cｍ，AB=８cm，CＦ=2cm,∴BF=3cｍ.∵由(1)知，△ABF∽△ECＦ,∴＝,即=．∴CE=（cm)．点评:本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质.等腰梯形的两腰相等.1１．（20１3•巴中)如图,在平行四边形ＡBCＤ中，过点A作ＡE⊥ＢC，垂足为Ｅ，连接DE，Ｆ为线段DE上一点，且∠AFE=∠Ｂ（1)求证:△ADF∽△ＤＥC;(２)若AＢ=8,AD=6，AF＝4，求ＡE的长.考点: 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质.专题: 压轴题.分析:(1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；（2）利用△ＡDF∽△ＤEC,可以求出线段ＤE的长度;然后在在Rｔ△ＡDＥ中,利用勾股定理求出线段AＥ的长度.解答：（１）证明：∵▱ABＣD，∴AＢ∥ＣD,AD∥ＢＣ,∴∠Ｃ＋∠B＝180°,∠ＡDF=∠DEC．∵∠AFD＋∠AFＥ=180°，∠AＦＥ=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADＦ∽△DEC．(2）解：∵▱ＡＢCD,∴CD=ＡB=８．由(１)知△ＡDＦ∽△DEC，∴,∴DE＝==１２.在Rt△ADＥ中,由勾股定理得：AE===６．点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点.题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算,避免出错.1２．（20１2•岳阳)如图所示,在⊙Ｏ中，＝，弦AＢ与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点Ｆ,连接ＢC.(1）求证:AC2＝AB•AF；（2)若⊙O的半径长为２cｍ,∠B=60°,求图中阴影部分面积．考点: 扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理;相似三角形的判定与性质．专题: 几何综合题.分析：(1）由＝，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ＡＣF与△ABC相似,根据相似得比例可得证;（2)连接ＯＡ，OC,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的２倍，由∠B为60°，求出∠AＯC为１２0°，过O 作OＥ垂直于AＣ,垂足为点E,由OＡ＝OC,利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠ＡOE为60°,在Rt△AOE中，由OA及cｏs60°的值,利用锐角三角函数定义求出OE的长,在Rt△AOE中,利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长,由扇形AOC的面积﹣△ＡOＣ的面积表示出阴影部分的面积,利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．解答：(1）证明:∵＝,∴∠ACD=∠ABC，又∠BＡC=∠CＡF,∴△ACF∽△ABC，∴＝,即ＡC2=AＢ•ＡF;（2）解:连接OA,OC,过O作OＥ⊥AC,垂足为点E，如图所示:∵∠AＢC＝60°，∴∠AOC=120°,又∵ＯA=ＯＣ,∴∠ＡＯE=∠COE=×120°=60°,在Rt△AOE中,OA=2ｃｍ,∴OＥ=OＡcos６0°=1cm，∴AE==ｃｍ，∴AC=2AＥ=２cm，则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=(﹣)cm2．点评：此题考查了扇形面积的求法,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.14.（２０12•陕西)如图，正三角形ABC的边长为3+.(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AＢ上，顶点N在边AC上,在正三角形ＡBＣ及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFＰＮ的位似正方形Ｅ′F′Ｐ′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法);(2）求（1）中作出的正方形Ｅ′Ｆ′P′N′的边长；（３）如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得ＤE、ＥＦ在边AＢ上，点P、N分别在边CB、CＡ上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.考点: 位似变换;等边三角形的性质；勾股定理;正方形的性质.专题：几何综合题；压轴题.分析:(1)利用位似图形的性质，作出正方形ＥFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系,利用等式Ｅ′F′+AE′+BF′=ＡB，列方程求得正方形E′Ｆ′P′N′的边长；(3）设正方形DＥMN、正方形ＥFＰH的边长分别为ｍ、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=＋（m﹣n）2，可见S的大小只与ｍ、n的差有关:①当m=n时,Ｓ取得最小值;②当m最大而n最小时,S取得最大值.m最大n最小的情形见第（1)(2）问.解答:解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．（2）设正方形Ｅ′F′P′N′的边长为x,∵△ABＣ为正三角形，∴AE′=BF′=x.∵E′F′＋AE′+BＦ′=ＡB，∴x+x＋x=3+，∴x=,即x=3﹣3,（没有分母有理化也对，x≈2.20也正确）(3）如图②，连接NＥ、EP、ＰN，则∠NEP=9０°.设正方形ＤEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n(m≥n），它们的面积和为S，则NE=,PE=ｎ．∴ＰＮ2＝NＥ２+ＰE2=2m２+２n2＝2(m2＋n2）．∴S=ｍ2+n2＝PN2,延长ＰH交ND于点Ｇ,则ＰG⊥NＤ．在Rt△PGN中，ＰN2=ＰG2+GＮ2=(m+n)2+(ｍ﹣n)2．∵AD+DE+EF＋BF=AB,即m+ｍ+n+ｎ=+３，化简得m＋n=3．∴S=[32+（m﹣ｎ)2]＝＋(m﹣n)２①当（m﹣ｎ）２=０时，即m=ｎ时,S最小.∴S最小=；②当(ｍ﹣n)2最大时，S最大．即当ｍ最大且n最小时,S最大．∵m＋n=3,由(2)知，m最大=３﹣３.∴S最大=[9+(m最大﹣ｎ最小)2]=[9+(３﹣3﹣6+３）２]=9９﹣54….（S最大≈5．47也正确)综上所述，S最大＝９9﹣5４,S最小=．点评:本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题(1)（2）（3)问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系.第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求Ｓ最大值的过程中，利用了第(1)(2）问的结论.15.（2012•河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1,在平行四边形ABＣD中,点E是BC的中点，点F是线段AＥ上一点，BF的延长线交射线CＤ于点G.若=３，求的值．(1）尝试探究在图1中，过点E作ＥH∥AB交BＧ于点H，则AB和EH的数量关系是ＡB=３ＥH ,CG和EH的数量关系是ＣG＝2EＨ,的值是.(2)类比延伸如图2,在原题的条件下,若=m（ｍ>0）,则的值是（用含有m的代数式表示）,试写出解答过程.（3）拓展迁移如图３，梯形ABCD中,DＣ∥AB，点E是BC的延长线上的一点,AE和BＤ相交于点Ｆ.若=a,＝b，(a＞０，ｂ＞０），则的值是ab（用含a、b的代数式表示)．。