中考数学圆与相似综合经典题附详细答案

中考数学圆与相似综合经典题附详细答案

一、相似

1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的

Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2，

把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，

∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4

（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A（﹣1，0），

当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；

当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），

从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，

∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，

∴△BCD为等腰三角形，

∴构造的三角形是等腰三角形的概率=

（3）解：存在，

易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC= AC?OB= ×3×4=6，

M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），

①当N点在AC上，如图1，

∴△AMN的面积为△ABC面积的，

∴（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，

当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，

∴tan∠MAC= =4；

当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，

∴tan∠MAC= =1；

②当N点在BC上，如图2，

BC= =2 ，

∵BC?AN= AC?BC，解得AN= ，

∵S△AMN= AN?MN=2，

∴MN= = ，

∴∠MAC= ；

③当N点在AB上，如图3，

作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t，

由②得AH= ，则BH= ，

∵∠NBG=∠HBA，

∴△BNM∽△BHA，

∴，即，

∴MN= ，

∵AN?MN=2，

即?（﹣t）? =2，

整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，

∴点N在AB上不符合条件，

综上所述，tan∠MAN的值为1或4或

【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。

（2）先求出抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标A，与x轴、y轴的交点D、C、B的坐标，可得出从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。（3）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及△ABC的面积、点M的坐标，再分情况

讨论：①当N点在AC上，如图1；②当N点在BC上，如图2；③当N点在AB上，如

图3。利用△AMN的面积=△ABC面积的，解直角三角形、相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出tan∠MAN的值。

2．如图，抛物线过点，．为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标．

【答案】（1）解：设直线的解析式为（）

∵，

∴解得

∴直线的解析式为

∵抛物线经过点，

∴解得

∴

（2）解：∵轴，则，

∴，

∵点是的中点

∴

∴

解得，（不合题意，舍去）

∴

（3）解：∵，，

∴，

∴

∵

∴当与相似时，存在以下两种情况：

∴解得

∴

∴ ,解得

∴

【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。

（2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m 表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。

（3）在△BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有和这两种情况，分别用

含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。

3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AH⊥BC于点H，过点C作CD⊥AC，连接AD，点M为AC上一点，且AM=CD，连接BM交AH于点N，交AD于点E．

（1）若AB=3，AD= ，求△BMC的面积；

（2）点E为AD的中点时，求证：AD= BN ．

【答案】（1）解：如图1中，

在△ABM和△CAD中，∵AB=AC，∠BAM=∠ACD=90°，AM=CD，∴△ABM≌△CAD，

∴BM=AD= ，∴AM= =1，∴CM=CA﹣AM=2，∴S△BCM= ?CM?BA= ×23=3．

（2）解：如图2中，连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．

∵AE=ED，∠ACD=90°，∴AE=CE=ED，∴∠EAC=∠ECA，∵△ABM≌△CAD，∴∠ABM=∠CAD，∴∠ABM=∠MCE，∵∠AMB=∠EMC，∴∠CEM=∠BAM=90°，

∴△ABM∽△ECM，∴，∴，∵∠AME=∠BMC，∴△AME∽△BMC，∴∠AEM=∠ACB=45°，∴∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，∴∠PEQ=∠AEC，

∴∠AEQ=∠EQC，∵∠P=∠EQC=90°，∴△EPA≌△EQC，∴EP=EQ，∵EP⊥BP，EQ⊥BC

∴BE平分∠ABC，∴∠NBC=∠ABN=22.5°，∵AH垂直平分BC，∴NB=NC，∴∠NCB=∠NBC=22.5°，∴∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，∴△ENC的等腰直角三角形，∴NC=

EC，∴AD=2EC，∴2NC= AD，∴AD= NC，∵BN=NC，∴AD= BN．

【解析】【分析】（1）首先利用SAS判断出△ABM≌△CAD，根据全等三角形对应边相等得出BM=AD= ，根据勾股定理可以算出AM，根据线段的和差得出CM的长，利用

S△BCM= ?CM?BA即可得出答案；

（2）连接EC、CN，作EQ⊥BC于Q，EP⊥BA于P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠EAC=∠ECA，根据全等三角形对应角相等得出∠ABM=∠CAD，从而得出∠ABM=∠MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出∠CEM=∠BAM=90°，从而判断出△ABM∽△ECM，由相似三角形对应边成比例得出BM∶CM= AM∶EM,从而得出BM∶AM= CM∶EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出△AME∽△BMC，故∠AEM=∠ACB=45°，∠AEC=135°，易知∠PEQ=135°，故∠PEQ=∠AEC，∠AEQ=∠EQC，又∠P=∠EQC=90°，故△EPA≌△EQC，故EP=EQ，根据角平分线的判定得出BE平分∠ABC，故∠NBC=∠ABN=22.5°，根据中垂线定理得出NB=NC，根据等腰三角形的性质得出∠NCB=∠NBC=22.5°，故∠ENC=∠NBC+∠NCB=45°，△ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NC= EC，根据AD=2EC，2NC= AD，AD= NC，又BN=NC，故AD= BN．

4．

（1）问题发现：如图①，

正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF.

①写出线段CF与DG的数量关系；

②写出直线CF与DG所夹锐角的度数.

（2）拓展探究：

如图②，

将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明.

（3）问题解决

如图③，

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE的长的最小值.（直接写出结果）

【答案】（1）①CF= DG，②45

（2）解：如图：

①连接AC、AF,在正方形ABCD中，延长CF交DG与H点，

∠CAD= ∠BCD=45 ,

设AD=CD=a，易得AC= a= AD,

同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF= AG,

∠CAD=∠FAG, ∠CAD-∠2=∠FAG-∠2,

∠1=∠3

又

△CAF∽DAG,

= , CF= DG;

②由△CAF∽DAG，∠4=∠5，

∠ACD=∠4+∠6=45 , ∠5+∠6=45 ，

∠5+∠6+∠7=135 ，

在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ，（1）中的结论仍然成立

（3）OE的最小值为 .

【解析】【解答】（3）如图：

由∠BAC=∠DAE=90 ,可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,

可得△BAD≌△CAE,

∠ACE=∠ABC=45 ,

又∠ACB=45 , ∠BCE=90 ,即CE⊥BC,

根据点到直线的距离垂线段最短，

OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形，

OC= AC=2,

由等腰直角三角形性质易得，OE= ，

OE的最小值为 .

【分析】（1）①易得CF= DG;②45 ；(2)连接AC、AF,在正方形ABCD中，可得

△CAF∽DAG， = , CF= DG，在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ，（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角

三角形，OC= AC=2,可得OE的值.

5．如图1，在△ABC中，点DE分别在AB、AC上，DE∥BC，BD=CE，

（1）求证：∠B=∠C，AD=AE；

（2）若∠BAC=90°，把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．①判断△PMN的形状，并说明理由；________②把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN的最大面积为________ 。

【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴，∵BD=CE，∴AB=AC，∴∠B=∠C，AB﹣BD=AC﹣CD，∴AD=AE，即：∠B=∠C，AD=AE

（2）解：△PMN是等腰直角三角形，

理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，

∴PM= CE，PM∥CE，

∵点N，M分别是BC，DE的中点，

∴PN= BD，PN∥BD，

∵BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，

∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，

∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB +∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，

∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，

∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形

；

【解析】【解答】解：②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在AB的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大

= PM2= ×72= ．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理及BD=CE可得AB=AC,进而可得AD=AE,由等边

对等角可得∠B=∠C.（2）①由中位线定理可得PM=CE,PM//CE,PN=BD,PN//BD,由BD=CE 可得PN=PM.由两直线平行同位角相等可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC,利用三角形的外角的性质和等量代换可得∠MPN=∠ABC+∠ACB=∠BAC=90°，所以△PMN是等腰直角三角形。②当PN最大时，△PMN的面积最大，当点D在AB的延长线上时，PN最大，

PN=BD=7,根据三角形的面积计算公式可得结论。

6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N 在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项.

（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；

（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长. 【答案】（1）解：∵AE是AM和AN的比例中项

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△AME∽△AEN，

∴∠AEM＝∠ANE，

∵∠D＝90°，

∴∠DCE＋∠DEC＝90°，

∵EM⊥BC，

∴∠AEM＋∠DEC＝90°，

∴∠AEM＝∠DCE，

∴∠ANE＝∠DCE

（2）解：∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠ANE＋∠AEN＝90°，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠EAC，

∴tan∠DCE＝tan∠DAC，

∴，

∵DC＝AB＝6，AD＝8，

∴DE＝，

∴AE＝8﹣＝，

由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴tan∠AEM＝tan∠DCE，

∴，

∴AM＝，

∵，

∴AN＝，

∴MN＝

（3）解：∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，

又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，

∴∠AEC＝∠NME，

当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时

①∠ENM＝∠EAC，如图2，

∴∠ANE＝∠EAC，

由（2）得：DE＝；

②∠ENM＝∠ECA，

如图3，

过点E作EH⊥AC，垂足为点H，

由（1）得∠ANE＝∠DCE，

∴∠ECA＝∠DCE，

∴HE＝DE，

又tan∠HAE＝，

设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，

又AE＋DE＝AD，

∴5x＋3x＝8，

解得x＝1，

∴DE＝3x＝3，

综上所述，DE的长分别为或3

【解析】【分析】（1）由比例中项知，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得