大学物理B第四章振动
大学物理——第4章-振动和波
合成初相 与计时起始时刻有关.
v A 2
ω
v A
2
O
x2
1
v A 1
x1
xx
分振动初相差2 1与计时起始时刻无关,但它对合成振幅 是相长还是相消合成起决定作用.
20
讨 论
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(2 1) 1 1
F = kx
3
l0
k
m
A
F = kx = ma
k 令ω = m
2
A x = Acos(ωt +)
o
x
积分常数,根据初始条件确定
a = ω2 x
dx = ω2 x dt 2
2
dx υ = = Aω sin( ωt +) dt
dx 2 a = 2 = Aω cos(ωt +) dt
4
2
x = Acos(ωt +)
15
π
例 4-3 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B,并排的放在光滑 的水平面上,测得它们的周期都是 2s ,现将两个物体从平衡 位置向右拉开 5cm,然后先释放 A 振子,经过 0.5s 后,再释 放 B 振子,如图所示,如以 B 释放的瞬时作为时间的起点, (1)分别写出两个物体的振动方程; (2)它们的相位差是多少?分别画出它们的 x—t 图.
5cm
O
x
16
解: (1)振动方程←初始条件
x0 = 0.05m, υ0 = 0 , T = 2s
2π ω= = π rad/s T
2 υ0 2 A = x0 + 2 = 0.05m ω υ0 对B振子: tan B = = 0 B = 0 x0ω
大学物理_振动
变化慢 (起调制作用信息)
若 1， 2 均较大，而差值较小，则合振动 的˝振幅˝时而大（为 2A），时而小（为 0）
26
1 2 | 1 2 |
这种两个频率都较大但是相差又很小、同方向 简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象， 称为“拍”。 单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。
2 π J 2 π mgb mgb J
思考：若一单摆的振动周期与此相同，单摆的 摆长应是多少？ 11
例. 已知：U 形管内液体质量为m，密度为 ，
管的截面积为S 。 开始时，造成管两边液柱面 有一定的高度差，忽略管壁和液体间的摩擦。 试判断液体柱振动的性质。
0 -y
解法1. 分析能量 1 2 y Ep ( gSy ) y ky 2 y S k 2 gS SHM
(1)角（圆）频率 (2)振幅A
k m
2
由系统本身固 有情况决定
x0 2 或 A v0 (3)初相 tan x0 A 、 都可由初始条件和系统本身情况决定。 x “ 与何时开始计时有关!” A
2
v0
2 E0 k
相差与时间差的关系：
0
2 t T
2k π (k 0,1,2)
可得
A na
,
各分振动的初相差为
2k π （ k , 为 不 等 于 nk 的整数) n 可得 A 0 封闭多边形!
例. n4 时 k , (0),1,2,3, (4),5,6,7
k=2
k=1
k=3
24
（2）不同频率
利用付里叶分解，可将任意振动 分解成若干SHM 的叠加。 对周期性振动： T „„周期，
大学物理教案-第4章 机械振动 机械波
动的时刻)。
反映 t=0 时刻的振动状态(x0、v0)。
x0 Acos0
v0 Asin0 x
m
A
0=0
o
A
X0 = A
o x
-A x
t T
0 = /2
m
A
o X0 = 0
m
-A
o
X0 = -A
o x
-A x
A
o x
-A
t T
0 = Tt
4、振幅和初位相由初始条件决定
由
x0 Acos0
v0 Asin 0
A A12 A22 2 A1A2 cos2 1 ，
tan A1 sin 1 A2 sin 2 。 A1 cos1 A2 cos2
3. 两种特殊情况
（1）若两分振动同相 2 1 2k ，则 A A1 A2 , 两分振动相互加强， 如 A1=
A2 ,则 A = 2A1
（2）若两分振动反相，2 1 2k 1 ， 则 A | A1 A2 | ,两分振动相互减弱，
波动是振动的传播过程。 机械波----机械振动的传播 波动 电磁波----电磁场的传播 粒子波----与微观粒子对应的波动 虽然各种波的本质不同，但都具有一些相似的规律。
一、 弹簧振子的振动 m
o X0 = 0
§4.1
m
简谐振动的动力学特征
二、谐振动方程 f=-kx
a f k x
x
mm
令 k 2 则有 m
教学内容
备注
1
大学物理学
大学物理简明教程教案
第 4 章 机械振动 机械波
前言 1. 振动是一种重要的运动形式 2. 振动有各种不同的形式 机械振动:位移 x 随 t 变化；电磁振动；微观振动 广义振动:任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。 3. 振动分类
第四章振动和波动_1机械振动
A＝
x02
v0
2
求A，然后由
x0=Acos v0=-Aωsin 两者的共同部分求 。
［例1］：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m， 物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长 到0.04m处释放，求振动方程。
解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和即可。
由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0， 代入公式可得
＝ k 0.72 6rad s1
m 0.02
A
x02
v02
2
0.042
02 62
0.04m
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
0
因而简谐振动的方程为：
x 0.04cos(6t) (m)
一、简谐运动 1、弹簧振子
2、弹簧振子运 动的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；
O→C：
向左，
向左，减速；
C→O：
向左，
向左，加速；
O→B：
向右，
向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动
3、物体作简谐运动的条件
物 体 的 惯 性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
v dx Asin( t )
dt
a
d2x dt 2
2 Acos(
t
)
说明：
• 物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性
变化的
• 简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函 数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采
大学物理课后习题答案第四章
第四章机械振动4．1一物体沿x 轴做简谐振动，振幅A = 0.12m ，周期T = 2s ．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m ，且向x 轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T /4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m ，向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间． [解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m ，角频率ω = 2π/T = π．当t = 0时，x = 0.06m ，所以cos φ = 0.5，因此φ = ±π/3． 物体的速度为v = d x /d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sin φ，由于v > 0，所以sin φ< 0，因此：φ = -π/3．简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)．（2）当t = T /4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πA sin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s -1)．加速度为：a = d v /d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s -2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m 时，可得cos(πt 1 - π/3) = -0.5， 因此πt 1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x 轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt 1 - π/3) > 0，因此πt 1 - π/3 = 2π/3，得t 1 = 1s ．当物体从x = -0.06m 处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt 2 - π/3) = 0， 可得 πt 2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t 2> 0，所以πt 2 - π/3 = 3π/2， 可得t 2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为：Δt = t 2 - t 1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x = -0.06m ，向x 轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m ，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x 0/A )，（-π<φ<= π）， 初位相的取值由速度决定．由于v = d x /d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sin φ，当v > 0时，sin φ< 0，因此 φ = -arccos(x 0/A )；当v < 0时，sin φ> 0，因此φ = arccos(x 0/A )π/3．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x 0 = A 时，φ = 0；当初位置x 0 = -A 时，φ = π．4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a ，b ，c ，d ，e 各点的位相，及到达这些状态的时刻t 各是多少？已知周期为T ； （2）振动表达式； （3）画出旋转矢量图． [解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cos Φ，其中A 表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位． 由于x a = A ，所以cos Φa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A /2，所以cos Φb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t 增加，b 点位相就应该大于a 点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cos Φc = 0，又由于c 点位相大于b 位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为：Φd = 2π/3，Φe = π．c 点和a 点的相位之差为π/2，时间之差为T /4，而b 点和a 点的相位之差为π/3，时间之差应该为T /6．因为b 点的位移值与O 时刻的位移值相同，所以到达a 点的时刻为t a = T /6． 到达b 点的时刻为t b = 2t a = T /3．图4.2到达c 点的时刻为t c = t a + T /4 = 5T /12． 到达d 点的时刻为t d = t c + T /12 = T /2． 到达e 点的时刻为t e = t a + T /2 = 2T /3．（2）设振动表达式为：x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A /2时，所以cos φ = 0.5，因此φ =±π/3； 由于零时刻的位相小于a 点的位相，所以φ = -π/3， 因此振动表达式为． 另外，在O 时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t 轴 相交于f 点，由于x f = 0，根据运动方程，可得所以：．显然f 点的速度大于零，所以取负值，解得t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为：t a = T /4 + t f = T /6， 其位相为：． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M 的物体时，伸长量为9.8×10-2m ．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m 处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s -1速度向上运动，求运动方程． [解答]当物体平衡时，有：Mg – kx 0 = 0， 所以弹簧的倔强系数为：k = Mg/x 0， 物体振动的圆频率为：s -1)． 设物体的运动方程为：x = A cos(ωt + φ)．（1）当t = 0时，x 0 = -8.0×10-2m ，v 0 = 0，因此振幅为：=8.0×10-2(m)；由于初位移为x 0 = -A ，所以cos φ = -1，初位相为：φ = π． 运动方程为：x = 8.0×10-2cos(10t + π)．（2）当t = 0时，x 0 = 0，v 0 = -0.60(m·s -1)，因此振幅为：v 0/ω|=6.0×10-2(m)；由于cos φ = 0，所以φ = π/2；运动方程为：x = 6.0×10-2cos(10t +π/2)．4．4 质量为10×10-3kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作振动，式中t 以秒(s)计，x 以米(m)计．求： （1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；cos(2)3t x A T ππ=-cos(2)03t T ππ-=232f t Tπππ-=±203a a t T πΦπ=-=ω==0||A x ==A =20.1cos(8)3x t ππ=+（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t 为1，2，10s 等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x = A cos(ωt + φ)，可知圆频率为：ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相φ = 2π/3．（2）速度的最大值为：v m = ωA = 0.8π = 2.51(m·s -1)； 加速度的最大值为：a m = ω2A = 6.4π2 = 63.2(m·s -2)． （3）弹簧的倔强系数为：k = mω2，最大回复力为:f = kA = mω2A = 0.632(N)； 振动能量为:E = kA 2/2 = mω2A 2/2 = 3.16×10-2(J)， 平均动能和平均势能为:= kA 2/4 = mω2A 2/4 = 1.58×10-2(J)． （4）如图所示，当t 为1，2，10s 等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．4．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．[解答]设它们的振动方程为:x = A cos(ωt + φ)， 当x = A /2时，可得位相为:ωt + φ = ±π/3．由于它们在相遇时反相，可取Φ1 = (ωt + φ)1 = -π/3，Φ2 = (ωt + φ)2 = π/3，它们的相差为:ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，或者:ΔΦ` = 2π –ΔΦ = 4π/3．矢量图如图所示．4．6一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg ，振动频率v = 1.0×1014Hz ，振幅A = 1.0×10-11m ．试计算：（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．[解答]（1）氢原子的圆频率为:ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s -1)， 最大速度为:v m = ωA = 6.28×103(m·s -1)．（2）氢原子的能量为:= 3.32×10-20(J)．4．7 如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg 的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s ，振幅为2.0×10-2m ，求：（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？ （3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？ [解答]（1）重物的圆频率为：ω = 2π/T = 4π，其最大加速度为：a m = ω2A ，合力为：F = ma m ，方向向上．重物受到板的向上支持力N 和向下的重力G ，所以F = N – G ． 重物对平板的作用力方向向下，大小等于板的支持力： N = G + F = m (g +a m ) = m (g +ω2A ) = 12.96(N)．（2）当物体的最大加速度向下时，板的支持为：N = m (g - ω2A )． 当重物跳离平板时，N = 0，频率不变时，振幅为：A = g/ω2 = 3.2×10-2(m)．（3）振幅不变时，频率为：3.52(Hz)．4．8 两轻弹簧与小球串连在一直线上，将两弹簧拉长后系在固定点A 和B 之间，整个系统放在光滑水平面上．设两弹簧的原长分别为l 1和l 2，倔强系统分别为k 1和k 2，A和B 间距为L ，小球的质量为m ．（1）试确定小球的平衡位置；k pE E =212m E mv=2ωνπ==（2）使小球沿弹簧长度方向作一微小位移后放手，小球将作振动，这一振动是否为简谐振动？振动周期为多少？[解答]（1）这里不计小球的大小，不妨设L > l 1 + l 2，当小球平衡时，两弹簧分别拉长x 1和x 2，因此得方程：L = l 1 + x 1 + l 2 + x 2；小球受左右两边的弹簧的弹力分别向左和向右，大小相等，即k 1x 1 = k 2x 2． 将x 2 = x 1k 1/k 2代入第一个公式解得：．小球离A 点的距离为：．（2）以平衡位置为原点，取向右的方向为x 轴正方向，当小球向右移动一个微小距离x 时，左边弹簧拉长为x 1 + x ，弹力大小为：f 1 = k 1(x 1 + x )， 方向向左；右边弹簧拉长为x 1 - x ，弹力大小为：f 2 = k 2(x 2 - x )， 方向向右．根据牛顿第二定律得：k 2(x 2 - x ) - k 1(x 1 + x ) = ma ，利用平衡条件得：，即小球做简谐振动．小球振动的圆频率为：．4．9如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k = 8×103N·m -1，木块的质量为4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即：mv = (m + M)v 0．解得子弹射入后的速度为：v 0 = mv/(m + M) = 2(m·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得：(m + M ) v02/2 = kA 2/2， 所以振幅为：10-2(m)． （2）振动的圆频率为：= 40(rad·s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为：x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得：φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：x = 5×10-2cos(40t - π/2)．4．10如图所示，在倔强系数为k 的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为：物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为，这也是它们振动的初速度．设振动方程为：x = A cos(ωt + φ)，211212()k x L l l k k =--+211111212()k L l x l L l l k k =+=+--+2122d ()0d xm kk x t++=ω=22T πω==A v =ω=v =0m v v m M ==+图4.9 图4.10其中圆频率为：物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则：x 1 = Mg/k ．物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则：x 2= (M + m )g/k ． 取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ．因此振幅为：初位相为：4．11 装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m 间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M 上，m 悬于细绳下端．已知弹簧的倔强系数为k = 50N·m -1，滑轮的转动惯量J = 0.02kg·m 2，半径R = 0.2m ，物体质量为m = 1.5kg ，取g = 10m·s -2．（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；（2）将物体m 用手托起0.15m ，再突然放手，任物体m 下落而整个系统进入振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m 是做简谐振动； （3）确定物体m 的振动周期；（4）取物体m 的平衡位置为原点，OX 轴竖直向下，设振物体m 相对于平衡位置的位移为x ，写出振动方程．[解答]（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力T = G = mg = 15(N)．这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为：x 0 = mg/k = 0.3(m)．（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落x 时，弹簧拉长为x 0 + x ，因此水平绳子的张力为：T 1 = k (x 0+ x )．设竖直绳子的张力为T 2，对定滑轮可列转动方程：T 2R – T 1R = Jβ， 其中β是角加速度，与线加速度的关系是：β = a/R ．对于物体也可列方程：mg - T 2 = ma ． 转动方程化为：T 2 – k (x 0 + x ) = aJ/R 2，与物体平动方程相加并利用平衡条件得：a (m + J/R 2) = –kx ，可得微分方程：，故物体做简谐振动． （3）简谐振动的圆频率为：s -1)． 周期为：T 2 = 2π/ω = 1.26(s)．（4）设物体振动方程为：x = A cos(ωt + φ)，其中振幅为：A = 0.15(m)． 当t = 0时，x = -0.15m ，v 0 = 0，可得：cos φ = -1，因此φ = π或-π， 所以振动方程为：x = 0.15cos(5t + π)，或x = 0.15cos(5t - π)．4．12一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为：I c = mR 2．根据平行轴定理，环绕过O 点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR 2 = 2mR 2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为：M = mgR sin θ， 方向与角度θ增加的方向相反．ω=A ==00arctan v x ϕω-==222d 0d /x kx t m J R +=+ω=根据转动定理得：Iβ = -M ，即，由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程：． 摆动的圆频率为：周期为：4．13 重量为P 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）前面已经证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k1k 2/(k 1 + k 2)，因此固有频率为（2）前面还证明：当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为．4．14质量为0.25kg 的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m -1，如果开始振动时具有势能0.6J ，和动能0.2J ，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？（3）经过平衡位置时的速度．[解答]物体的总能量为：E = E k + E p = 0.8(J)．（1）根据能量公式E = kA2/2，得振幅为：．（2）当动能等于势能时，即E k = E p ，由于E = E k + E p ，可得：E = 2E p ，即，解得：= ±0.179(m)． （3）再根据能量公式E = mv m2/2，得物体经过平衡位置的速度为： 2.53(m·s -1)．4．15 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t 曲线如图所示，求： （1）两个简谐振动的位相差；（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程． [解答]（1）两个简谐振动的振幅为：A = 5(cm)， 周期为：T = 4(s)，圆频率为：ω =2π/T = π/2，它们的振动方程分别为：x 1 = A cos ωt =5cosπt /2， x 2 = A sin ωt =5sinπt /2 =5cos(π/2 - πt /2)即x 2=5cos(πt /2 - π/2)．位相差为：Δφ = φ2 - φ1 = -π/2． （2）由于x = x 1 + x 2 = 5cosπt /2 +5sinπt /2 = 5(cosπt /2·cosπ/4 +5sinπt /2·sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为：(cm)．22d sin 0d I mgR tθθ+=22d 0d mgRt Iθθ+=ω=222T πω===2ωνπ===2ωνπ===A =2211222kA kx =⨯/2x =m v =cos()24x t ππ=- (b)图4.134．16 已知两个同方向简谐振动如下：，．（1）求它们的合成振动的振幅和初位相； （2）另有一同方向简谐振动x 3 = 0.07cos(10t +φ)，问φ为何值时，x 1 + x 3的振幅为最大？φ为何值时，x 2 + x 3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x 以米计，t 以秒计．[解答]（1）根据公式，合振动的振幅为：=8.92×10-2(m)． 初位相为：= 68.22°．（2）要使x 1 + x 3的振幅最大，则：cos(φ– φ1) = 1，因此φ– φ1 = 0，所以：φ = φ1 = 0.6π． 要使x 2 + x 3的振幅最小，则 cos(φ– φ2) = -1，因此φ– φ2 = π，所以φ = π + φ2 = 1.2π．（3）如图所示．4．17质量为0.4kg 的质点同时参与互相垂直的两个振动：， ．式中x 和y 以米(m)计，t 以秒(s)计．（1）求运动的轨道方程；（2）画出合成振动的轨迹；（3）求质点在任一位置所受的力．[解答]（1）根据公式：，其中位相差为：Δφ = φ2 – φ1 = -π/2，130.05cos(10)5x t π=+210.06cos(10)5x t π=+A =11221122sin sin arctancos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+0.08cos()36x t ππ=+0.06cos()33y t ππ=-2222212122cos sin x y xyA A A A ϕϕ+-∆=∆所以质点运动的轨道方程为：． （2）合振动的轨迹是椭圆．（3）两个振动的圆频率是相同的ω = π/3，质点在x 方向所受的力为，即F x = 0.035cos(πt /3 + π/6)(N)．在y 方向所受的力为，即F y = 0.026cos(πt /3 - π/3)(N)．用矢量表示就是，其大小为，与x 轴的夹角为θ = arctan(F y /F x )．4．18 将频率为384Hz 的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz ，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．[解答]标准音叉的频率为v 0 = 384(Hz)， 拍频为Δv = 3.0(Hz)， 待测音叉的固有频率可能是v 1 = v 0 - Δv = 381(Hz)， 也可能是v 2 = v 0 + Δv = 387(Hz)．在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于ω2 = k/m ，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率v 1，加一小块物体后，其频率v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v 2，即387Hz ．4．19示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为x = A cos ωt 和y = A cos(ωt +φ)．求在φ = 0，φ = 30º，及φ = 90º这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．[解答]根据公式，其中Δφ = φ2 – φ1 = -π/2，而φ1 = 0，φ2 = φ．（1）当Δφ = φ = 0时，可得，质点运动的轨道方程为y = x ，轨迹是一条直线．（2）当Δφ = φ = 30º时，可得质点的轨道方程， 即，轨迹是倾斜的椭圆．（3）当Δφ = φ = 90º时，可得， 即x 2 + y 2 = A 2，质点运动的轨迹为圆．4．20三个同方向、同频率的简谐振动为，，．222210.080.06x y +=22d d x x x F ma m t==20.08cos()6m t πωω=-+22d d y y y F ma m t==20.06cos()3m t ωω=--πi+j x y F F F =F =2222212122cos sin x y xyA A A A ϕϕ+-∆=∆2222220x y xyA A A+-=222214x y A+=222/4x y A +=22221x y A A +=10.08cos(314)6x t π=+20.08cos(314)2x t π=+350.08cos(314)6x t π=+求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式； （2）合振动由初始位置运动到所需最短时间（A 为合振动振幅）． [解答]合振动的圆频率为：ω = 314 = 100π(rad·s -1)． 设A 0 = 0.08，根据公式得：A x = A 1cos φ1 + A 2cos φ2 + A 3cos φ3 = 0，A y = A 1sin φ1 + A 2sin φ2 + A 3sin φ3 = 2A 0 = 0.16(m)， 振幅为：，初位相为：φ = arctan(A y /A x ) = π/2．合振动的方程为：x = 0.16cos(100πt + π/2)．（2）当时，可得：，解得：100πt + π/2 = π/4或7π/4．由于t > 0，所以只能取第二个解，可得所需最短时间为t = 0.0125s ．x A =A =/2x =cos(100/2)2t ππ+。
大学物理振动的合成
进行实验操作
启动信号发生器，观察振 动合成现象，记录相关数 据。
数据处理与分析
对实验数据进行处理、分 析，探究振动合成现象的 规律和特点。
清理实验现场
实验结束后，按照实验室 规定，清理实验现场，确 保整洁、安全。
实验步骤及注意事项
02
01
Байду номын сангаас
03
注意事项
注意安全，避免实验装置倾倒或摔落造成伤害。
严格按照实验操作规程进行实验，避免误操作导致设 备损坏或数据异常。
重要性及应用
振动合成是物理学中一个基础 而重要的概念，对于深入理解 波动和振动现象至关重要。
在工程、科学和技术的许多领 域中，振动合成的概念都有广 泛的应用，例如在声学、光学 、电磁学、地震工程和机械工 程等领域。
掌握振动合成的原理和方法， 有助于解决实际工程问题，提 高技术水平和创新能力。
02
THANK YOU
感谢聆听
在大学物理中，振动合成通常采用简谐振动作为基本单元，通过相位差和振幅的合成来描述复杂振动的 合成过程。这种合成方法可以有效地解释和预测振动的行为，为解决实际问题提供思路。
振动合成的研究不仅涉及到线性振动，还涉及到非线性振动和混沌振动等复杂现象。这些现象在自然界 和工程领域中广泛存在，因此振动合成的研究具有广泛的应用前景。
03
振动合成的实例分析
两个同方向同频率的简谐振动的合成
合成振动的振幅
两个同方向同频率的简谐振动的 振幅相加，合成振动的振幅为两 者之和。
合成振动的相位
两个同方向同频率的简谐振动合 成时，合成振动的相位等于两者 相位之和。
合成振动的周期
两个同方向同频率的简谐振动合 成时，合成振动的周期与单个简 谐振动的周期相同。
大学物理-振动
中国国家管弦乐团在联合国总部的演出
引言
振动与波动是密切联系的物理现象。振动是 产生波动的根源，波动是振动在空间的传播。过 去，人们习惯于将振动与波动纳入力学的范畴， 实际上振动与波动的内容贯穿在力学、电磁学、 光学乃至量子力学之中。机械振动在介质中的传 播形成机械波，电磁振动在空间的传播形成电磁 波。虽然机械振动和机械波与电磁振动和电磁波 在本质上有所不同，但它们的变化规律是类似的。 因此，本章讨论机械振动和机械波的基本规律， 但这些规律的意义绝不局限于力学，它是研究光 学、量子力学乃至整个物理学的基础。
简谐运动方程中A、ω、φ分别被称为振幅、 圆频率和初相位.它们描述了振动的最大 位移、单位时间内的往返次数和振动点 的初始位置. 从简谐运动方程中可以看到：
简谐振动的振幅为一与时间和频率无关 的常数;而位移是按周期在有限区域内的 往复变化,并且和初始位置有关.
振幅、圆频率和初相位是决定振动具体 位移大小和速度大小的决定性参数,所以 称为振动三要素.
心坐标为x: 木L3g 水L2hg F 木L3g 水L2 (h x)g
水L2 gx kx 是简谐振动
2.简谐振动的数学模型
d2x 2x 0
dt 2
频率
2
F ma
a
d2x dt 2
F kx
角频率（angular frequency）
k
m
（1）模型的解——位移与时间的关系
d2x dt 2
解：选坐标系；分析受 力；列方程，
F mg vg
2x
d
2
g
2
1 d 2g x kx
2
是简谐振动
例题2。一立方体木块浮于静止的水面上， 其浸在水中部分的高度为h。现用手指将其 稍稍压下，使浸在水中部分的高度变为b.放 手后木块将在水面上下作振动，此振动是 否为简谐振动？
大学物理振动
3、周期与频率
4、应用：1）测重力加速度；
2）测转动惯量
第36页/共97页
五.电磁振荡
一、振荡电路 无阻尼自由电磁振荡
电磁振荡：
电荷和电流、电场和磁场随
时间作周期性变化的现象。
LC振荡回路：
L
C
K
第37页/共97页
+Q
L
C
-Q
(1)
i
L
C
(2)
-Q
L
C
L
C
+
i
Q
(3) LC回路的振荡过程 (4)
t 0.5
dt t0.5
3 t0.5
a dv 0.12 2 cos（ t ） 0.103m / S 2
dt t0.5 t 0.5
3 t0.5
第15页/共97页
振动方程： x 0.12cos（ t ）
3
3、如果在某时刻质点位于x=－0.6cm，且向X 轴负方 向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。
2
A
x0 2
v0
2
tan vo xo
第12页/共97页
例题1 一质点沿X轴作简谐振动，振幅为12cm，周期 为2s。当t=0时, 位移为6cm，且向X轴正方向运动。求 1、振动方程；2、t=0.5s 时，质点的位置、速度和加 速度；3、如果在某时刻质点位于x=-0.6cm，且向X 轴
负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需的时间。
解： x0 0.04m , v0 0 , 6.0rad / s
振幅： A
x
2
v2 0
x
0.04m
0
2
0
arctan
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fr
两矢量同向重合时：
A2 2
合振动振幅A极大；
A1 1
两矢量反向重合时：
O
x
合振动振幅A极小。
拍：合振动的振幅时强时弱的现象
9
拍现象
10
2
1
A2
O
A1
A2比A1每多转一周
合振动出现一次最强
2T 1T 2π
拍的周期 T 2π
2 1
拍的频率(简称拍频)
2 1
2π
2 1
11
从解析式来分析：
Lissajous
1822-1880
16
在李萨如图形中：
= 曲线与平行于x轴的直线的切点数
曲线与平行于y轴的直线的切点数
两简谐运动 的频率比
其中频率为1:1 的李萨如图为 椭圆,在一定的 相位差条件下, 退化为一直线.
17
相互垂直的简谐运动的合成
利 萨 如 图 形
18
4-2-2 简谐运动的分解
(2k 1) π
Amax A1 A2
Amin A1 A2
(k 0,1,2 )
A
1
O
A A A
1
2
A
2
x
A
1
O
A A A
x
1
2
A
2
注：常采用矢量合成来处理振动合成的问题。 4
同方向同频率振动合成
5
多个同一直线上、同频率简谐运动的合成——多边形法
则 x1 A1 cos t 1
设 : A1 A2 A
1
2
x1 Acos(1t )
x2 Acos(2t )
x x1 x2 Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos 2
1
t
cos(
2
1
t
)
2
2
振幅随时间变化
振动项
12
1,2均很大， 但彼此相差很小，
当 2 1 2 1
振幅 2Acos(2 1 随t) 时间缓慢变化
(1) 求合振动的振幅; (2) 求合振动的振动方程。
x
A1 x1(t)
解: (1) A1 cos1 0
1
π 2
1
π 2
O
A2
x2 (t)
A2
cos2
0
2
π 2
2
π 2
π A A A
2
1
2
1
(2) 2π 由矢量图: π
T
2
2π π
x A A cos( t )
2
1
T2
T
§4-2 简谐运动的合成和分解
4-2-1 简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成
某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率 的简谐运动，其振动表达式分别表示为：
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
1
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
2
谐振因子 cos(2 1 t 快) 速变化
2
第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍(beat)”
调制
拍现象的应用：
➢ 用音叉振动校准乐器 ➢ 测定超声波
➢ 测定无线电频率
➢ 调制高频振荡的振幅和频率
13
3. 相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cos( t 1)
x方向的简谐运动
y A2 cos( t 2)
t
A2
A
x
A1
7
例12: 两个同方向、同频率的简谐运动,其合振动的
振幅为20cm,与第一个振动的相位差为 1 π 6 .若第
一个振动的振幅为 10 3 cm .则(1)第二个振动的振幅为多 少？(2) 两简谐运动的相位差为多少？
解：A2 A2 A12 2AA1 cos π 6
202 10
y方向的简谐运动
14
相互垂直的同频率简谐运动的合成
y
x A1 cos( t 1) y A2 cos(ωt 2)
x A1
cos t cos
1 sin t sin
1
x
y A2
cos t cos
2 sin t sin 2
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin
2 (2
A A12 A22 2 A1A2 cos tan y A1 sin 1 A2 sin 2
x A1 cos1 A2 cos2
A
A2
A1
的具体象限要根据
确定。1 , 2
3
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
2k π
2 1
A A1 A2
x x1 x2
x Acos( t )
A1、A2、A一起以 转动，
保持相对静止。
A
A2
A1
2
1
x2 x1
x
x
(2 1)
结论：一个质点参与两个在同一直线上频率相同
的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。
2
A2 A12 A22 2 A1A2 cos
A12 A22 2 A1A2 cos2 1
两个频率比为1:2的简谐运动的合成
x x1 x2 A1 cost A2 cos 2t
x
x
x1
x2 T
如果将一系列角频率是
某个基本角频率ω（亦
称主频）的整数倍的简
2T
谐运动叠加，则其合振
t 动仍然是以ω为角频率
的周期性振动，但一般
不再是简谐运动。
19
一个以ω为频率的周期
x
性函数 f (t)，可以用傅里叶
2
3 2 2010
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 cos π 6 10 cm
A A2
sin sin π 6
A
A2
sin A sin π 20 sin π 1 π 6
A2 6 10 6
A1
π
2
2
1
π
π 2
8
2、同方向不同频率两简谐运动的合成 拍
动和设（A2，两同2A>2方相向1对），于。角A它频1的们率转所分动对别角应为速的度旋1和为转: 矢2的量2两分简别1谐为运A1
级数的余弦项表示为：
O
t
x
f (t) A0 An cos(nt n ) O n1
t
：主频
O
t
O
t
O
t
n ：n 次谐频
O
t
20
频 谱 分 析
21
§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振
4-3-1 阻尼振动
阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发 生的减幅振动。
F
v
dx dt
γ ：阻尼系数
1 )
结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成，其振动轨
迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取
决于振幅和相位差。
15
利萨如图 相互垂直的简谐运动的合成
两个互相垂直、不同频率的简谐运动合成时，如果它们 的频率之比为整数时，会产生的稳定的封闭曲线，其形状 与频率比和相位差有关，这种图形叫做利萨如图。
A3
3
x2 A2 cos t 2 x3 A3 cos t 3
x Acos t
A
A1
A
A2
A1 1
A2 2
An
特例:
An
A
A2 A1
A1 A2
An
A
封闭多边形: Amin 0
直线: Amax A1 A2 An6
例11: 两个同方向的简谐运动曲线(如图所示),