哈工大大学物理 振动 波动习题

【解】 方法1 解析法
x A cos(t 0 )
原点：
A 1 2 x0 cos 0 0 t 0 2 2 3 v0 0 Asin 0 0 sin 0 0
2 3
c点：
t 5s
xc 0 cos(5 2 / 3) 0 v0 0 sin(5 2 / 3) 0
k
水平面
c
o xc x
证明：
分析振动系统机械能守恒! 建坐标如图，
弹簧原长处为坐标原点，设原点处为势能零 点，质心在xc时系统的机械能为
1 2 1 2 1 kxc mvc J c 2 const. 2 2 2
（注意上式中的是刚体转动的角速度）
1 2 1 2 1 kxc mvc J c 2 const. 2 2 2
J为杆绕O轴的转动惯量，x为弹簧伸长量，杆作微小振动时，
x l
代入上面式子，并且两边对时间求一次导数，有：
d 1 d 2 d J kl mgl sin 0 dt dt 2 dt
d 1 d 2 d J kl mgl sin 0 dt dt 2 dt
【解】 （1）由已知可得简谐振动的振幅 角频率
A 0.10m
2 T rad/s)
振动表达式为
x 0.10cos t o
(SI)
t 0时 x 0.10cos o 0.05m
v 0.05 sin o 0
t0
由旋转矢量法可得 振动方程
P wSu
平均能流密度—波的强度： I wu 1 2 A2u 2
3. 记住惠更斯原理的内容
媒质中波阵面上的各点都可以看做子波波源，其后任 一时刻这些子波的包迹就是新的波阵面
4. 熟练掌握简谐波的干涉条件，干涉加强、 减弱的条件
波的相干条件： 频率相同；振动方向相同；相位差恒定
解： 以木板的中心为坐标原点，向右的方向为正， 设木板的质心偏离原点x，木板对两轮的作用力 O 分别为N1，N2
根据木板所受力矩平衡条件
x
N1 2d mg d x N2 2d mg d x
2d
木板在水平方向所受到的合力 mg F N1 N 2 x d 水平方向
两列频率、振幅和振动方向都相同而传播方向相反的 简谐波叠加形成驻波，其表达式为
y 2 A cos
2
Байду номын сангаас

x cos t 2
波节： 振幅 0 cos
x (2k 1) , k 0, 1, 2,... 4 2 波腹：振幅 2 A cos x 1 xk


x0
很小时
d 3 mgl 2 2 kl 0 2 dt ml 2
2
细杆微小振动是简谐振动
方法二. 分析能量法 由杆、弹簧、地球所构成的系统，机械能守恒。取平衡位置 系统的势能为零，当杆在某一任意位置时，系统机械能为
1 1 2 l 2 E J kx mg (1 cos ) Const 2 2 2
解：以 m 为研究对象。 在平衡位置 O 时：合外力 在任意位置 x 时：合外力 以下由转动系统解出 T1： R J O x X
F0 mg k l 0
F mg T1 (2)
(1)
k
R
T1
m
mg
T1 R k (l x) R J
T1
f
J T1 k (l x) R
总的机械能：
1 1 2 2 2 E E p Ek m A kA 2 2
4. 掌握简谐振动的合成规律:同方向、同频率
简谐振动的合成
x x1 x2 A cos(t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
A
x
π/6

2
72
Am/s2


例 3 一匀质细杆质量为m，长为l，上端可绕悬挂轴无 摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k的轻 弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。 求细杆作微小振动是否是简谐振动。
【解】
O
方法一. 分析受力法

f
取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向 mgl ml 2 d 2 M M g M F ( sin ) ( kl sin l cos ) 2 2 3 d t mg
回来，在反射处发生了的相位突变
2. 在自由端无相位突变，无半波损失 3. 在固定端有相位突变，有半波损失 4. 折射无半波损失
本章基本题型：
1. 已知波动方程，求有关的物理量
(1) 求波长、周期、波速和初相位 (2) 求波动曲线上某一点的振动方程 (3) 画出某时刻的波形曲线
“-”表示波沿x轴正向传波； “+”表示波沿x轴负向传播
y A cos[ (t
t x ) y 0 ] A cos[2 ( u T
x
五大要素
y A cos(t kx 0 )
) 0 ]
2. 记住能量密度、能流以及能流密度公式
平均能量密度： 平均能流：
1 w 2 A2 2
振动和波动
机械振动知识要点
1.掌握简谐振动的表达式和三个特征量的意 义及确定方法
x A cos(t )
决定于系统本身的性质！
A和由初始条件x0, v0决定！
2 v 2 A x0 0 x0
k m
v0 tan x0
v0的正负号(sin)
值
2. 掌握简谐振动的动力学特征，并能判定简谐 振动，能根据已知条件列出运动的微分方程， 并求出简谐振动的周期
将 得
1 J c mR 2 2
vc R
代入上式
1 2 3 2 kxc mc c 2 4
两边对t求导数，得
d xc 2k xc 0 2 dt 3m
圆频率
2
与动力学方程比较知，物理量 xc的运动形式是简谐振动
2k 3m
机械波知识要点
1. 熟练掌握简谐波的描述
平面简谐波的波函数：
2 d d 式中， 2 , dt dt
d 1 2 , J ml dt 3
在杆作微小振动时，
sin
2
d 3 mgl 2 代入后，可以得到： 2 kl 0 2 dt ml 2
杆的微小振动是简谐运动
例 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为2d，两轮的转速相同而转向相反。 现将质量为m的一块匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为 u。 若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期。
b a / 3 tba 2s /6 c b / 6 tcb 1s /6 vd A sin 0.451A

a -A
ad x A cos 3 6
2
3
2
-A/2π/3
A/2
2、已知条件（或者振动曲线），建立振动方程 3、证明、判断一个物体的振动是否是简谐振动 动力学判据；能量判据；运动学判据 4、简谐振动的合成: 解析法、旋转矢量法
例１ 一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为A = 10 cm ,周期T = 2.0 s。若t = 0时，位移x0= - 5.0 cm，且 物体向负x方向运动， 试求： （1）t = 0.5 s时物体的位移； （2）t = 0.5 s时物体的受力情况； （3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。
合外力与位移成正比且方向相反，系统的动力学方程为
d x mR k m 2 ( 2 )x 0 dt mR J
角频率为
2 R k 2 mR 2 J
2
2
周期
mR 2 J T 2 kR 2
2
例 4: 劲度系数为 k 的轻弹簧挂在质量为 m ， 半径为 R 的匀质 圆柱体的对称轴上，使圆柱体作无滑动的滚动，证明： 圆柱体的质心作谐振动。
(1 2 ) 2k
(1 2 ) (2k 1)
A A1 A2
A A1 A2
( 同相 ) ( 反相 )
(1 2 ) 其它值
A1 A2 A A1 A2
本章基本题型：
1、已知振动方程，求特征参量
（振幅、周期、频率、初相位）
(1). 动力学判据:
F kx
d 2x 2 x0 2 dt
(2). 能量判据： 振动系统机械能守恒
1 1 2 2 mv k x 恒量 2 2
(3). 运动学判据:
x t A cos t 0
v0 0 arctan( ) x0
3. 掌握简谐振动的能量特征
k m 2 0.012 0.099 N/m
F kx 0.0086N
（3）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间； （4）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。 第一次到达x=5.0cm时的相位为 故 第一次达到此处所需时间为
5 3
t0
5 3 2 3 t1 1s
连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为


O 0.05 0.1 x
-0.05
2 3
2 3 t2 0.67s

例2、如图所示的振动曲线。求： （1）简谐振动的运动方程 （2）由状态a运动到状态b，再由b运动到c的时间 分别是多少 （3）状态d的速度和加速度

2
, k 0, 1, 2,...

驻波的特点：
1. 相邻波腹（节）之间的距离为/2 2. 一波节两侧质元具有相反的相位
3. 两相邻波节间的质元具有相同的相位
4. 驻波无能量传递
关键看 cos(2x/) 的正负
同号相同； 异号相反！
6. 掌握半波损失的概念
1. 波从波疏媒质到波密媒质，从波密媒质反射
干涉加强或减弱的条件：
2 1
2

( r2 r1 )
2k ,(k 0,1, 2,.....), 振幅最大, A A1 A2 (2k 1) ,( k 0,1, 2,.....), 振幅最小, A A1 A2
5. 理解驻波的形成，并掌握驻波的特点
x 0.1cos t 2 3 (SI)
o 2 3

O 0.1 x
-0.05
t=0.5s时物体的位移?
x 0.1cos t 2 3 0.1cos 0.5 2 3 0.0866m
（2） t = 0.5 s时物体受到的恢复力? 由（1）得
1 6
方法2 旋转矢量法 （1）
t 0 x0 A / 2 v0 0
确定旋转矢量
5 2 t 6 3
振动方程为
1 6

-A -A/2
1 2 x A cos( t ) (SI) 6 3
t
O
A/2
A
x

（2 ）由状态a运动到状态 b ，再由 b运 动到c的时间分别是多少 （3）状态d的速度和加速度
(3)
将 （1），（3）代入（2）中，合外力
J J F mg k (l x) kx R R
(4)
而物块下落加速度等于滑轮旋转加速度
a F R mR
代入（4）中得
JF F kx mR 2
J mR 2 k F (1 ) kx F ( 2 )x 2 mR mR J
d2 x F m 2 dt
振动周期 T 2
d g
d2 x g x0 2 dt d
例. 图中定滑轮半径为 R, 转动惯量为 J ， 轻弹簧劲度系数为 k ，物体 质量为 ｍ, 现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空 气阻力，使证明系统作简谐振动，并求其作谐振动的周期。