11讲奇偶分析与整除
数字的奇偶性与整除性知识点总结
数字的奇偶性与整除性知识点总结数字的奇偶性和整除性是数学中的基础概念，具有广泛的应用。
它们在算术、代数以及其他数学分支中起着重要的作用。
本文将对数字的奇偶性和整除性进行总结和说明。
1. 奇偶性奇偶性是指一个数字是奇数还是偶数。
奇数是无法被2整除的自然数，而偶数则可以被2整除。
以下是关于奇偶性的一些重要知识点：1.1 奇数和偶数的性质- 奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。
- 奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数，奇数乘偶数等于偶数。
- 任何数乘以2都是偶数。
1.2 奇偶数的判断判断一个数字的奇偶性有多种方法，包括：- 观察数字的个位数（个位数为0、2、4、6、8则是偶数，为1、3、5、7、9则是奇数）- 使用求模运算（将数字除以2，如果余数为0则是偶数，为1则是奇数）- 利用奇偶性质（对于大于0的整数，奇数的前一位数字必定是偶数，偶数的前一位数字必定是奇数）2. 整除性整除性是指一个数字能否被另一个数字整除，即没有余数。
以下是关于整除性的一些重要知识点：2.1 整除和余数当一个数字x能够被另一个数字y整除时，x称为y的倍数，y称为x的约数。
如果x不能被y整除，则称x与y互质。
例如，4是8的约数，8是24的倍数。
2.2 整除的性质- 如果一个数字能被2整除，那么它一定是偶数。
- 如果一个数字能被5整除，并且个位数是0或5，那么它一定能被10整除。
- 一个数字能被2和3整除，那么它一定能被6整除。
2.3 整除的判断判断一个数字x能否被另一个数字y整除的方法有：- 观察x和y的因数，如果x包含了y的全部因数，则x能被y整除。
- 使用求模运算（将x对y取余，如果余数为0，则x能被y整除）。
- 判断x和y是否互质，即它们没有相同的因数。
在实际问题中，数字的奇偶性和整除性经常被应用于解决各种问题。
例如，在计算机科学中，奇偶性可用于判断二进制数中最低位的值。
整除性则经常用于进行因式分解、求解最大公约数和最小公倍数等。
数的奇偶性与数的整除关系
数的奇偶性与数的整除关系在数学中，我们经常会遇到对数进行分类的情况，其中最基本的分类就是奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的数，而偶数则是可以被2整除的数。
奇偶性对数的整除关系有着重要的影响和作用。
本文将探讨数的奇偶性与数的整除关系之间的联系和性质。
1. 奇数的整除性质奇数具有一些独特的整除性质。
首先，任何一个奇数都不能被2整除，即不能被偶数整除。
这是因为奇数除以偶数的商一定是一个非整数，即有余数。
例如，3除以2的商为1.5，其中1是一个整数，但0.5是一个小于1的小数，因此不能整除。
同样地，5除以2的商为2.5，其中2是一个整数，但0.5仍然是一个小于1的小数。
由此可以得出结论，奇数除以2的余数总是1。
其次，奇数除以其他奇数的余数也是另一个奇数。
这个性质可以通过取两个奇数的商的整数部分，再用这个整数乘以除数，并用被除数减去这个乘积来证明。
例如，7除以3的商为2，其中2是一个整数。
我们可以用3乘以2，得到6，并用7减去6，得到1，即为7除以3的余数。
因此，奇数除以奇数的余数总是一个奇数。
综上所述，奇数具有与偶数不同的整除性质，这使得奇数在数学运算和推理中具有独特的地位和作用。
2. 偶数的整除性质相比之下，偶数的整除性质相对简单。
由于偶数可以被2整除，所以任何一个偶数都可以被2整除，即没有余数。
这使得在计算和运算中，偶数的整除问题相对容易解决。
另外，两个偶数相除的结果仍然是一个偶数。
这可以通过假设两个偶数的商为一个有理数，再用这个有理数乘以被除数，并用除数减去这个乘积来证明。
例如，8除以4的商为2，其中2是一个整数。
我们可以用4乘以2，得到8，并用8减去8，得到0，即为8除以4的余数。
因此，偶数除以偶数的余数总是0，即偶数直接整除。
3. 数的奇偶性与整除关系的应用数的奇偶性与整除关系在数学和实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些例子：- 判断一个数字是否为质数：质数是指除了1和自身外没有其他正整数因子的数。
(小学奥数)奇数与偶数的性质与应用
5-1奇數與偶數的性質與應用教學目標本講知識點屬於數論大板塊內的“定性分析”部分，小學生的數學思維模式大多為“純粹的定量計算，拿到一個題就先去試數，或者是找規律，在性質分析層面幾乎為0，本講力求實現的一個主要目標是提高孩子對數學的嚴密分析能力，培養孩子明白做題前有時要“先看能不能這麼做，再去動手做”的思維模式。
無論是小升初還是杯賽會經常遇到，但不會單獨出題，而是結合其他知識點來考察學生綜合能力。
知識點撥一、奇數和偶數的定義整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。
通常偶數可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k 為整數）表示。
特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。
二、奇數與偶數的運算性質性質1：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數性質2：偶數±奇數=奇數性質3：偶數個奇數的和或差是偶數性質4：奇數個奇數的和或差是奇數性質5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數三、兩個實用的推論推論1：在加減法中偶數不改變運算結果奇偶性，奇數改變運算結果的奇偶性。
推論2：對於任意2個整數a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶例題精講模組一、奇偶分析法之計算法【例 1】1231993++++……的和是奇數還是偶數？【考點】奇偶分析法之計算法【難度】2星【題型】解答【解析】在1至1993中，共有1993個連續自然數，其中997個奇數，996個偶數，即共有奇數個奇數，那麼原式的計算結果為奇數.【答案】奇數【例 1】從1開始的前2005個整數的和是______數(填：“奇”或“偶”)。
【考點】奇偶分析法之計算法【難度】2星【題型】填空【關鍵字】希望杯，4年級，初賽，5題【解析】1+2+3+…+2004+2005=(1+2005)×2005÷2=1003×2005是奇數【答案】奇數【巩固】2930318788+++++……得數是奇數還是偶數？【考點】奇偶分析法之計算法【難度】2星【題型】解答【解析】偶數。
七年级奇偶性分析知识点
七年级奇偶性分析知识点奇偶性是初中数学中比较重要的知识点之一，对于初学者来说，掌握奇偶性分析方法可以有效提高解题能力。
本文将针对七年级学生的奇偶性分析知识点进行讲解。
1. 奇偶性的定义奇数是指不能被2整除的整数，例如1、3、5、7等。
偶数是指能被2整除的整数，例如0、2、4、6等。
通过对奇数和偶数的定义，我们可以将所有整数分为奇数和偶数两类。
2. 奇偶性的性质(1) 奇数加偶数等于奇数，偶数加偶数等于偶数。
例如：3 + 6 = 9，9是奇数；4 + 6 = 10，10是偶数。
(2) 奇数乘偶数等于偶数，奇数乘奇数等于奇数，偶数乘偶数等于偶数。
例如：3 × 4 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数；4 × 6 = 24，24是偶数。
(3) 任何数和偶数的倍数具有相同的奇偶性。
例如：5、7、9和20、22、24具有相同的奇偶性，因为它们和2的倍数具有相同的奇偶性。
(4) 任何数和一起的奇数的和与偶数的和具有相同的奇偶性。
例如：3 + 7 = 10，10是偶数；2 + 4 + 6 = 12，12是偶数。
3. 奇偶性在运算中的应用(1) 奇偶性在加减法中的应用在加减法中，我们可以通过判断加减数的奇偶性来判断其和的奇偶性。
例如：2 + 3 = 5，5是奇数；3 - 1 = 2，2是偶数。
(2) 奇偶性在乘法中的应用在乘法中，我们可以通过判断相乘数的奇偶性来判断其积的奇偶性。
例如：2 × 6 = 12，12是偶数；3 × 5 = 15，15是奇数。
(3) 奇偶性在除法中的应用在除法中，我们需要注意，偶数不能与奇数相除，但奇数可以与偶数相除。
当奇数与偶数相除时，得到的商为奇数。
例如：8 ÷ 4 = 2，2是偶数；7 ÷ 2 = 3余1，3是奇数。
4. 奇偶性在解题中的应用(1) 整除关系对于一个数x，若x能够整除2n，则x为偶数；若x不能整除2n，则x为奇数。
数字的奇偶性及判断方法
数字的奇偶性及判断方法在数学中，奇偶性是数字的一个重要特征。
奇数是指不能被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
判断一个数字的奇偶性有很多方法，下面将详细介绍几种常用的判断方法。
一、除法判断法除法判断法是最简单直观的一种方法。
当一个数字能够被2整除时，它就是偶数；当一个数字不能被2整除时，它就是奇数。
例如，数字6能够被2整除，所以它是偶数；而数字7不能被2整除，所以它是奇数。
这种方法的优点是简单易懂，适用于普通人的日常判断。
但是对于较大的数字，进行长除法运算会比较繁琐，效率较低。
二、二进制判断法二进制判断法是一种利用数字的二进制表示来判断奇偶性的方法。
在二进制表示中，偶数的最低位（个位）是0，奇数的最低位是1。
例如，数字2的二进制表示是10，最低位是0，所以它是偶数；数字3的二进制表示是11，最低位是1，所以它是奇数。
这种方法的优点是可以快速判断一个数字的奇偶性，适用于计算机中数字的处理。
但是对于非计算机专业人士来说，理解二进制表示可能较为困难。
三、取余判断法取余判断法是一种利用取余运算来判断奇偶性的方法。
当一个数字对2取余的结果为0时，它就是偶数；当一个数字对2取余的结果为1时，它就是奇数。
例如，数字8对2取余得到的结果是0，所以它是偶数；数字9对2取余得到的结果是1，所以它是奇数。
这种方法的优点是简单明了，适用于较大的数字。
它利用了取余运算的性质，可以快速判断一个数字的奇偶性。
综上所述，我们可以选择适合的方法来判断一个数字的奇偶性。
除法判断法简单易懂，适用于普通人的日常判断；二进制判断法适用于计算机中数字的处理；而取余判断法则可以快速判断较大数字的奇偶性。
在实际使用中，可以根据具体情况选择合适的方法。
无论使用哪种方法，只要按照正确的步骤进行判断，就能准确地判断一个数字的奇偶性。
这对于解决数学问题、编程开发等方面都有着重要作用。
希望通过本文的介绍，读者能够了解数字的奇偶性及判断方法，从而在实际应用中能够准确判断数字的奇偶性。
初中数学重点梳理：奇数和偶数
奇数和偶数知识定位奇数和偶数是初等数论中的一个重要内容，由于数论内涵丰富，因此数论问题灵活而富于变化，解答整除问题往往需要较强的分析能力与具备一定的数学素养。
正因为如此，奇数和偶数的有关问题常常是各层次数学竞赛的主要题源之一。
在处理有关奇数偶数问题时，除了要求会熟练地运用某些常用的方法外，更重要的是要善于分析，要学会抓问题的本质特征。
本节介绍一些常见题型和基本解题思想和技巧的方法来提高学生的解题能力，是完全必要的，也是比较符合中学生的认知规律的，本文主要介绍一些适合初中学生解答的奇数和偶数除问题。
知识梳理1、奇数偶数的性质整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数。
关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.m 的奇偶性相同（6）设m、n是整数，则m土n，n（7）设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法例题精讲【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】三个质数之和为86，那么这三个质数是【答案】（2，5，79）、（2，11，73）、（2，13，71）、（2，17，67）、（2，23，61）、（2，31，53）、（2，37，47）、（2，41，43）【解析】解：若三个质数都是奇数，则它们的和是奇数，则不等于86，所以三个数中必有一个偶数，偶数中只有2是质数，所以86-2=84，84=5+79=11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=37+47=41+43，所以这三个质数是：（2，5，79）、（2，11，73）、（2，13，71）、（2，17，67）、（2，23，61）、（2，31，53）、（2，37，47）、（2，41，43）【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2001年TI杯全国初中数学竞赛题【题目】如果a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、【答案】至少会有一个整数【解析】解：至少会有一个整数．根据整数的奇偶性：两个整数相加除以2可以判定三种情况：奇数+偶数=奇数，如果除以2，不等于整数．奇数+奇数=偶数，如果除以2，等于整数．偶数+偶数=偶数，如果除以2，等于整数．故讨论a，b，c 的四种情况：全是奇数：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 全是整数全是偶数：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 全是整数一奇两偶：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 一个整数一偶两奇：则a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2 一个整数∴综上所述，所以至少会有一个整数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?【答案】这不可能【解析】解：这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和7，是奇数，因此，不可能【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?【答案】奇数【解析】解：两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可．因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=21(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数； 因此，所求代数和为奇数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?试证明你的结论【答案】正确的【解析】 解：这句话是正确的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由【答案】正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上【解析】 解：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动：第1次翻动全部1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的【答案】这6个数中至少有两个是相同的【解析】 解：设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数对应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值． 于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同． 所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾．所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能确定【答案】A【解析】 解：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】游戏机的“方块”中共有下面7种图形．每种“方块”都由4个l×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．问：最多可以用这7种图形中的几种图形？【答案】要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种【解析】解：用其中的六种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形，如图①仅出示一种．下面证明不能7种图形方块各有一次，将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色．则如图②所示，黑白格各14个，若7×4的长方形能用7个不同的方块拼成，则每个方块用到一次且只用一次，其中“品字形”如图③必占3个黑格，1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方块各占2个黑格2个白格，7个不同的方块占据的黑格总数，白格总数都是奇数个，不会等于14．矛盾，因此不存在7种图形方块每个各用一次，拼成7×4的长方形的方法．所以，要拼成7×4的长方形，最多可以用这7种图形方块中的6种．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】已知x1、x2、x3、…、x n都是+1或﹣1，并且，求证：n是4的倍数【答案】如下解析【解析】证明：，，…不是1就是﹣1，设这n个数中有a个1，b个﹣1，则a+b=n，a×1+b×（﹣1）=a﹣b=0，所以得：n=2b，又（•…）=1，即1a•（﹣1）b=1，由此得b为偶数，又b=2m，∴n=2b=4m，故n是4的倍数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】（1）设1，2，3，…，9的任一排列为a l，a2，a3…，a9．求证：（a l l一1）（a2﹣2）（a9﹣9）是一个偶数．（2）在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003【答案】如下解析【解析】解：（1）用反证法．假设（a1﹣1）（a2﹣2）…（a9﹣9）为奇数，则a1﹣1，a2﹣2，…，a9﹣9都为奇数，则a1，a3，a5，a7，a9为偶数，a2，a4，a6，a8为奇数，而1﹣9是5个奇数、4个偶数，奇偶数矛盾，因此假设不成立．（2）∵11，22，33，44，54，…20022002，20032003，与1，2，3，4，5，…2002，2003的奇偶性相同，∴在11，22，33，44，54，…20022002，20032003的任意数前加“+”或“﹣”的奇偶性与在1，2，3，4，5，…2002，2003的任意数前加“+”或“﹣”的奇偶性相同，∵两个整数的和与差的奇偶性相同，且1+2+3+4+5+…+2003=2003×（2003+1）÷2=2003×1002是偶数，∴这个代数式的和应为偶数，即这个代数式的和必定不等于2003．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？【答案】经过9次操作变为1的数有55个【解析】解：通过1次操作变为1的数为2，再经过一次操作变为2的数为4、1，即通过两次操作变为1的数为4、1，再经过1次操作变为4的数有两个为3、8、2，即通过3次操作变为1的数有两个为3，8，…，经过1、2、3、4、5…次操作变为1的数依次为1、2、3、5、8…，这即为斐波拉契数列，后面的数依次为：13+8=21，21+13=34，34+21=55．即经过9次操作变为1的数有55个【知识点】奇数和偶数数【适用场合】当堂例题【难度系数】4习题演练【试题来源】【题目】（1）是否有满足方程x2﹣y2=1998的整数解x和y？如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．（2）一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0？【答案】如下解析【解析】解：（1）x2﹣y2=1998，1998=2×3×3×3×37若x，y同为偶数，则（x+y），（x﹣y）同为偶数，→（x+y）（x﹣y）=4×…不合若x，y同为奇数，则（x+y），（x﹣y）同为偶数，→（x+y）（x﹣y）=4×…不合若x，y一奇一偶，则（x+y），（x﹣y）同为奇数，→（x+y）（x﹣y）=不含因数2∴方程x2﹣y2=1998没有整数解．9992﹣9982=（999+998）（999﹣998）=1997×1=199710002﹣9992=（1000+999）（1000﹣999）=1999×1=19991997lt；1998lt；1999，∴方程x2﹣y2=1998没有整数解（2）所标的14个数的和能否为0．则有7个+1，7个﹣1．但可以知道，1个面有5个数，无论怎么放，都只有2或4个﹣1．所以不可能出现7个﹣1．故：所标的14个数的和不能为0．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是数【答案】奇数【解析】解：12，22，32，…，20022002，与1，2，3，••，2002的奇偶性相同，因此在12，22，32，…，20022002，前面放上“+”号，这些数的和的奇偶性与1+2+3+…+2002的奇偶性相同．而1+2+3+…+2002=×2002×（2002+1）=1001×2003是奇数，因而12+22+32+…+20022002是奇数【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有名选手参加【答案】45【解析】解：设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n﹣1）个选手比赛一局，共计n （n﹣1）局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为局．由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为=n（n﹣1）分．显然（n﹣1）与n为相邻的自然数，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979，1984，1985，∴总分只能是1980，∴由n（n﹣1）=1980，得n2﹣n﹣1980=0，解得n1=45，n2=﹣44（舍去）．∴参加比赛的选手共有45人．【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则（a1﹣a2）（a3﹣a4）…（a23﹣a24）为（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数【答案】B【解析】解：在这24个数字中，有13个奇数，11个偶数，随意地逐个抽取1个数字，假设恰好a1，a2，…a24一奇一偶排列，则必然有两个奇数相连，设是a23，a24，则（a1﹣a2）、（a3﹣a4）、（a5﹣a6）…为奇数，而（a23﹣a24）为偶数，由此可得（a1﹣a2）（a3﹣a4）…（a23﹣a24）为偶数，除此之外无论两个偶数或奇数相连，必然保证其中的一个因式为偶数，其积一定为偶数；【知识点】奇数和偶数数【适用场合】随堂课后练习【难度系数】41。
有理数的奇偶性质与整除关系分析
有理数的奇偶性质与整除关系分析有理数是数学中的一个重要概念，包括整数、分数、小数等。
在数学中，探讨数的性质与关系是非常关键的，本文将重点分析有理数的奇偶性质以及与整除关系的相关性。
该分析将帮助读者更好地理解有理数的特性和数学运算。
一、有理数的奇偶性质有理数的奇偶性质是指有理数是奇数还是偶数。
在分析有理数的奇偶性质时，我们需要考虑有理数的分子和分母。
1. 整数的奇偶性质首先，我们来讨论整数的奇偶性质。
对于一个整数而言，若它能被2整除，即整除后没有余数，我们就称该整数为偶数。
相反，如果整数除以2有余数，我们称其为奇数。
例如，整数2、4、6都可以被2整除，不存在余数，它们都是偶数；而整数1、3、5不可以被2整除，存在余数，它们都是奇数。
2. 分数的奇偶性质对于分数而言，我们需要关注它的分子和分母。
如果一个分数的分子是偶数，分母是奇数，那么该分数就是偶数。
反之，如果分子是奇数，分母是偶数，该分数就是奇数。
考虑以下例子：分数1/2，1是奇数，2是偶数，所以1/2是奇数；而分数2/3，2是偶数，3是奇数，所以2/3是偶数。
通过上述分析可知，有理数的奇偶性质与其分子和分母的奇偶性密切相关，是通过分子和分母的奇偶性质相互作用而决定的。
二、有理数的整除关系除了奇偶性质，有理数还有一个重要的性质是整除关系。
整除是指一个数能够整除另一个数，即后者除以前者不产生余数。
下面我们将进一步探讨有理数的整除关系。
整除关系在数学中有广泛应用，尤其在分数、约分、分数比较等方面特别重要。
在整除关系的运用中，我们可以通过以下几点进行分析：1. 分子与分母之间的整除关系当一个分数的分子能够整除其分母时，我们称该分数可以化简，即分子和分母可以都除以同一个数，得到简化分数。
例如，对于分数12/6，12能够整除6，我们可以将分子和分母都除以6，得到简化分数2/1。
这表明12/6和2/1代表了同样的有理数。
2. 分数之间的整除关系当一个分数能够整除另一个分数时，我们称后者是前者的倍数。
奇偶性的相关分析方法
奇偶性的相关分析方法什么是奇偶性？在数学中，奇数是无法被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。
奇偶性在数学中非常重要，因为它在很多问题的解决中起到了至关重要的作用。
本文将介绍奇偶性的相关分析方法，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、奇偶性的一些基本性质首先，奇偶性具有很多基本性质。
例如，两个偶数相加得到的结果仍然是偶数，两个奇数相加得到的结果仍然是奇数。
而且，一个奇数和一个偶数相加得到的结果一定是奇数。
另外，任何整数都可以表示为奇数或偶数的和。
二、奇偶性在数论中的应用奇偶性在数论中非常重要，因为它可以用于解决一些重要的问题。
例如，在质数的研究中，我们可以证明一个数是否为质数，只需要检查它是不是偶数，然后只需要用奇数去除它，如果有一个奇数能够整除它，那么它一定不是质数。
因此，这就可以大大减少判断是否为质数的时间。
另外，在奇数幂的研究中，奇偶性也得到了广泛的应用。
例如，我们可以证明一个正整数的k次方是奇数的充分必要条件是该正整数本身是奇数。
三、奇偶性在离散数学中的应用在离散数学中，奇偶性也是一个非常重要的概念。
例如，在图论中，我们可以用奇偶性来判断一个图是否是欧拉图。
欧拉图是指一个无向图中，如果存在一条路径，经过每个顶点正好一次，那么这个图就是欧拉图。
我们可以证明，一个无向图是欧拉图的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。
另外，在组合数学中，奇偶性也得到了广泛的应用。
例如，在计算到一个组合问题的方案数时，我们可以通过考虑各种组合的奇偶性来方便地确定方案数是否是偶数。
四、奇偶性在计算机科学中的应用奇偶性在计算机科学中也得到了广泛的应用。
例如，在计算机的二进制表示中，一个二进制数是否是偶数只需要检查最后一位是否是0。
如果是0，那么它是偶数；如果是1，那么它是奇数。
另外，在计算机算法的设计中，奇偶性也是一个非常重要的概念。
例如，在某些加密算法的设计中，我们可以用奇偶性来抵御攻击者对密钥的猜测。
综上所述，奇偶性是一个非常重要的概念，在数学、离散数学、计算机科学等领域都具有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基础知识本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。
技巧总结一、奇数和偶数的定义整数可以分成奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k 为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k 为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
二、奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数，偶数±奇数=奇数性质2：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数。
三、两个实用的推论推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
偶数个奇数的和或差是偶数；奇数个奇数的和或差是奇数。
推论2：对于任意2个整数a,b，有a+b 与a-b 同奇或同偶，即：两个数的和与差同奇偶性。
推广：有限个数之间无论如何添加加减号，奇偶性都不变。
推论3：多个数相乘时，乘数都是奇数时，积才是奇数；有一个乘数是偶数积就是偶数。
小升初第11讲奇偶分析与整除（一）知识讲解两个数的和与差奇偶性相同。
那么每个地方都可以填加号或者是减号，但是无论是填加号或者是填减号不会对结果的奇偶性造成影响。
6+4=107+1=86+3=96-4=27-1=66-3=3结果的奇偶性和奇数的个数有关，与加减号和偶数的个数都没有关系。
（1）在123456之间添上加号或减号，判断奇偶性？（2）在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的和是奇数还是偶数.定性分析和定量分析能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9=10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9=27（3）判断1＋2＋……＋9999的奇偶性.定性分析（1）13355720072009是奇数还是偶数？为什么？⨯+⨯+⨯++⨯（2）判断1＋2×2＋3×3×3＋4×4×4×4＋……＋10×10×……×10为奇数还是偶数?对于任意2个整数a,b，有a+b与a-b同奇或同偶；两个数的和与差同奇偶性。
(a+b)×（a-b)=126是否可能？如果可能请求出a和b。
如果不可能，请说明原因？某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。
问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？在a，b，c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。
问(a－1)(b －2)(c－3)是奇数还是偶数？任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、…、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、…、2009。
然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是1999？桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯。
如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？桌上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，……，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。
能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有无可能使得在每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
平面上有11个齿轮咬合成一圈。
试问，能否使这些齿轮同时转动起来?在4×4方格中还有12个空格，希望填入12个自然数，使得同一行中相邻两（大减小）都相等，同一列中相邻两个数的差（大减小）也相等。
问：这件事能否办到？为什么？元旦前夕，同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？试求1×2×3×……×99×100这100个数乘积的末尾有几个连续的零？100×101×102×……×199×200这101个数相乘，积的末尾上有几个连续的0.已知5个数依次是13、12、15、25、20，它们每相邻的两个数相乘可以得到4个数；这4个数每相邻的两个数相乘可以得到3个数；这3个数每相邻的两个数相乘可以得到2个数；这两个数相乘最后得1个数。
问最后这个数从个位起左数，可以连续地数到几个“0”？一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚。
下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去。
这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是___颜色(填“黑”或者“白”)。
一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。
某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。
外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。
”另一个成员李四说：“张三是老实人。
”请判断李四是老实人还是骗子？用代表整数的字母a，b，c，d写成等式组：abcd－a＝1991，abcd－b＝1993，abcd－c＝1995，abcd－d＝1997，试说明：符合条件的整数a，b，c，d是否存在。
桌上放着2011只杯子，最开始的时候杯口全部朝上。
允许某人进行若干次“操作”，每一次“操作”是指恰好翻动4只杯子(原来口朝上就翻成口朝下，原来口朝下就翻成口朝上)。
问此人能否在若干次翻动后，将所有杯子全变成杯口朝下？为什么？某次交谊会上共有2011位男士与2011位女士，每个人都仅与异性握手。
到某个时刻为止，每个男士的握手次数都是偶数。
求证：此时至少存在一位女士，她的握手次数也是偶数。
甲乙二人做交换球的游戏.一开始甲有100个黑球和99个白球，乙有足够多的黑球和白球.每轮换球的规则都是这样的：甲先闭上眼睛随意从自己的球中摸出2个球给乙；如果这两个球是同色的，那么乙就还给甲一个黑色的球；如果这两个球是异色的，那么乙就还给甲一个白色的球.持续这样交换下去，如果甲的球不足2个则游戏停止.问游戏是否一定能在有限次内结束？若能结束，结束时甲剩下几个什么颜色的球？甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？某个七位数1993□□□能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么，它的后三位数是什么？975×935×972×□末尾的四个数字都是零的□的最小正整数是多少？44×45×46×……×999×1000这957个数相乘，积的末尾上有几个连续的0.已知51位数55…5□99…9（其中5和9各有25个）能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？如果六位数1992AB能被105整除,那他的最后两位数字是几？1+2+3+…...+1993的和是奇数还是偶数？1+2×3+4×5+6×7+...+98×99的计算结果是奇数还是偶数，为什么？能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22.一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是？小升初奥数必胜系列定制-奇偶分析与整出（一）课堂测试试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999.如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由。
你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数。
有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的各位数字，那么在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个.问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由。
课堂中的例题建议重做一遍，再做课后练习，1-3道不会为正常现象。
元旦前夕，同学们相互送贺年卡。
每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？能否在5×5方格表的各个小方格内分别填入数1，2，……，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和？（200+201+202+......+288）-（151+152+153+......+233）得数是奇数还是偶数？已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数？若五个连续的偶数之和是320．问：这五个数中最大的数是多少？黑板上写了数字1，2，3，…，2009，任意擦去其中两个数a，b，然后把它们改写成这两个数的差，这样继续下去，直到只剩下一个数，则最后剩下的数是奇数还是偶数？(1)将2010个桃子分给一些猴子，分得奇数个桃子的猴子数是奇数还是偶数？为什么？(2)将2011个桃子分给一些猴子，分得奇数个桃子的猴子数是奇数还是偶数？为什么？沿着河岸边栽了10棵桃树，每相邻两棵桃树上结的桃子数相差3个。
问10棵桃树上的总桃子数可能为2010个吗？。