1.4.3单位圆与诱导公式
1.4.3单位圆与诱导公式一.教学目标：（一）知识与技能：通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想。
（二）过程与方法：通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
（三）情感态度与价值观：通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力。
二.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
三.教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等。
四.学情分析： 五. 教学方法：讲授法与探究法。
六. 教学过程第1课时（一）、导入新课思路1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.思路2.在单位圆中，216°角的终边OP 在第三象限内，将OP 反向延长，与单位圆交于P′点，则在0°—90°之间找到一个角α=216°-180°=36°.由于△OPM ≌△OP′M′，所以有MP=M′P′.又因为sin216°=MP ，sin36°=M′P′，而MP 与M′P′的长度相同、方向相反，所以有sin216°=-sin36°.这样便把求sin216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 65π＝sin 6π＝21，cos 65π＝-cos 6π＝-21；sin32π＝sin 3π＝23，cos 32π＝-cos 3π＝-23,等等.教师由此发问:观察角65π与6π角的关系会得到什么结论？把角6π、65π放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.（二）、推进新课 新知探究提出问题①让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？②观察单位圆，角α与π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？③观察单位圆，角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ ④观察单位圆，角α与π+α的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角3π、32π，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，∠MOP=3π,∠MOP′=32π,在直角坐标系的单位圆中，点P 与点P′关于y 轴对称，它们的坐标分别为(21，23)、(-21，23)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sin32π＝23＝sin 3π，cos 32π＝-23＝-cos 3π.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角α与π-α是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将α的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考α与π-α的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝π-α.不难看出，点P(a,b) 和点P′(-a,b)关于y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 sin(π-α)=sinα, cos （π-α)=-cosα.图2有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角α与-α，2π-α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知α与-α的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作∠MOP=α,∠MOP′＝-α(或2π-α)，不难看出，点P(a,b)和P′(a,-b)关于x 轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-α)=-sinα,sin(2π-α)=-sinα, cos(-α)=cos α,cos(2π-α)=cosα.图3图4同样学生可自主探究角α与π+α的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出α与π+α的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作∠MOP＝α,∠MOP′＝π+α，不难看出，点P(a,b)和P′(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(π+α)=-sinα,cos（π+α)=-cosα.图5图6通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中α的任意性. 讨论结果:略. 应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导. 解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23.点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22. 变式训练利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′) =cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. (2)sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23例2 化简)180cos()180sin()360sin()180cos(αααα--∙--+∙+活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180°及360°的前面添加偶数n 或奇数n 或整数(此时需要分类讨论)n ；亦或将角α前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-α-180°)=sin ［-(180°+α)］=sin(180°+α)=-(-sinα)=sinα, cos(-180°-α)=cos ［-(180°+α)］=cos(180°+α)=-cosα, cos(180°+α)=-cos α, sin(360°+α)=sinα. 所以，原式=)cos (sin sin cos αααα-∙∙-=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)-21-sin45°+cos120° =cos45°-21-22+cos(180°-60°) =22-21-22-cos60°=-1.3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+b cos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有α,β的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨. 解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+b cos(2 003π+β) =asin(2 002π+π+α)+b cos(2 002π+π+β) =asin(π+α)+b cos(π+β) =-asinα-bcos β =-(asinα+b cos β),∵f(2 003)=-1,∴asinα+b cos β=1.∴f(2 004)=asi n(2 004π+α)+b cos(2 004π+β) =asinα+b cos β=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asinα+b cos β=1，它是联系已知和未知的纽带. 知能训练课本练习1、2. （三）、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力. （四）、作业课本习题1—4 4、5、6.第2课时（一）、导入新课思路1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课所学公式.在此基础上,教师提出可否借助单位圆找出α与2π+α或2π-α的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 思路2.通过计算猜想引入，让学生计算3π，32π，6π，65π的正弦、余弦值，并引导学生观察结果.sin3π=23,cos 65π=-23,这里65π＝2π+3π,sin 6π=21,cos 2132-=π,这里32π＝2π+6π. sin 65π=21,cos 3π=21,这里65π＝2π+3π，sin 3 2π=23,cos 6 π=23,这里32π＝2π+6π.猜想：sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinα.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. （二）、推进新课 新知探究 提出问题以下按两种思路来探究α与2π+α或2π-α的关系.思路1.先得出α与2π-α的关系.①先计算sin3π、cos 6π、sin 3π、cos 6π的值(23、21、23,21)，你有什么猜想结论？②怎样验证探究α与2π-α的关系呢？在单位圆中，让学生画出终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？③如何由α与2π-α的关系，得到α与2π+α的关系？图7活动:学生很容易得到如下猜想：cos(2π-α)=sinα,sin(2π-α)=cos α.这时教师适时点拨，以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)，没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出单位圆及角α、2π、-α,探究终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角的数量关系.先让学生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线y=x 对称的两个角之间的数量关系，关于直线y=x 对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图7).设任意角2π-α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，由于角α的终边与角2π-α的终边关于直线y=x 对称，角2π-α的终边与单位圆的交点P 2与点P 1关于直线y=x 对称，因此点P 2的坐标是(y,x)，于是，我们有sinα=y, cos α=x, cos （2π-α)=y, sin(2π-α)=x.从而得到我们的猜想，也就是如下公式：sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.教师进一步引导学生，因为2π+α可以转化为π-(2π-α).所以求2π+α角的正弦、余弦问题就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.讨论结果:①—③略.思路2.先得出α与2π+α的关系.图8教师引导学生观察图8，设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b)，则角2π+α的终边与单位圆交于点P 1.由平面几何知识,可知Rt △OPM ≌Rt △P 1OM 1，不难证明，点P 1的坐标为(-b ，a)，且a=cos α, b=sinα.所以点P 的横坐标cos α与点P 1的纵坐标sin(2π+α)相等，即sin(2π+α)＝cos α.点P 的纵坐标sinα与点P 1的横坐标cos （2π+α)的绝对值相等且符号相反，由此得到公式sin(2π+α)=cos α,cos （2π+α)=-sinα.教师进一步引导学生，因为2π-α=π-(2π+α)，所以求2π-α角的正弦、余弦问题就转化为利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得sin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα. 至此，我们得到了任意角α的三角函数公式 sin (k·2π+α)=sinα，cos （k·2π+α)=cos α. sin(-α)=-sinα，cos （-α)=cos α. sin(π-α)=sinα，cos （π-α)=-cos α. sin(π+α)=-sinα，cos （π+α)=-cos α.sin(2π+α)=cos α,cos(2π+α)=-sinαsin(2π-α)=cos α,cos （2π-α)=sinα.以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2kπ+α(k ∈Z )，-α，π±α，2π-α的正(余)弦函数值，等于α的相应的正(余)弦函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号；2π±α的正(余)弦函数值，等于α的相应的余(正)弦函数值，前面加上把α看成锐角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号.教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为：2π∙k ±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名函数值；当k 为奇数时，得α相应的余弦函数值.然后前面加上把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”.这里特别要弄清“把α看成锐角”的含义，不管α是字母还是数值，不管其多大，仅是“看成”而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例1.求下列函数值：(1)sin(25π+4π);(2)sin(-655π);(3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π.活动:本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处.解:(1)sin(25π+4π)＝sin(2π+4π)=cos 4π=22.(2)sin(-655π)=-sin 655π=-sin(8π+67π)＝-sin 67π=-sin(π+6π)=sin 6π=21 (3)sin 65πcos （-4π)+sin 611πcos 45π=sin(π6π-)cos 4π+sin(2π-6π)cos (π+4π)=sin 6πcos 4π+(-sin 6π)(-cos 4π)=21×22+21×22＝22. 点评:解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2)第一步也可这样转化：sin(-655π)=sin(-10π+65π).以此活化学生的思路.例2 化简：)cos()3sin()sin()23cos()3cos()2sin(πααπαπαπαπαπ--∙-∙+-+∙+∙-活动:本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交流，通过不同的切入方式获得问题的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. 解:原式＝[][])(cos )sin()(sin )cos()cos(sin)(απαπαπαπαπ+-∙-∙--+∙+∙-a=)cos (sin 1)sin ()2cos()cos ()sin (ααααπαα-∙∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∙-∙-=ααsin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练1.求sin(-870°)的值. 解法一:sin(-870°)=-sin870°=-sin(2·360°+150°)=-sin150°=-sin(180°-30°)=-sin30°=-21. 解法二:sin(-870°)=sin(-10·90°+30°)=-sin30°＝-21点评:以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同的本质的东西.如本例解法二，这里k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正弦在第三象限(-870°)的符号，为负值.当然，这个方法要求学生的口算能力很好，能很快算出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样： sin(-870°)=sin(-9·90°-60°)=-cos(-60°)＝-cos60°＝-212.已知cos(6π-α)=m(|m|≤1),求sin(32π-α)的值.解:∵-32πα-(6π-α)=2π,∴32π-α=2π+(6π-α). ∴sin(32π-α)=sin ［6π+(6π-α)］=cos(6π-α)=m.点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知f(cosx)=cos17x,,求证:f(sinx)=sin17x;(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx 推出f(cosx)=cosnx?(1)证明:f(sinx)=f ［cos(2π-x)］=cos ［17(2π-x)］=cos (8π+2π-17x)=cos(2π-17x)=sin17x, 即f(sinx)=sin17x. (2)解:f(cosx)=f ［sin(2π-x)］=sin ［n(2π-x)］=sin(2πn -nx) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+=∈+=∈=-).,34,cos ,,24,sin ,,14,cos ,,4,sin Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx Z k k n nx 故所求的整数n=4k+1(k ∈Z ).点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(2π-x)或cosx=sin(2π-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移. 知能训练课本练习2 1—4. （三）、课堂小结先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.这里诱导公式比较多，不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”，角的运算总原则是：“负化正，大化小、化到锐角再查表”. （四）、作业1.课本习题1—4 A 组7、8.2.B 组1、2、3. 七、 板书设计：八、 关键词：九、教学反思：。
1.4.3单位圆与诱导公式(二) 课件高中数学必修4(北师大版)
1.4.3（二）
2.诱导公式 1.13～1.14 的记忆 π π 本 ＋ α ， －α 的三角函数值，等于 α 的异名三角函数值，前 课 2 2 面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为 “函数名改变，符号看象限”.
时 栏 目 开 关
1.4.3（二）
探究点一
诱导公式 1.13
本 课 时 栏 目 开 关
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.3（二）
【典型例题】 例 1 已知
π 3 π 3π cos α＋ ＝ ， ≤α≤ ，求 6 5 2 2 2π sinα＋ 的值. 3
本 课 时 栏 目 开 关
2π π π 解 ∵α＋ 3 ＝α＋6＋2，
π π 2π π 3 ∴sin(α＋ 3 )＝sinα＋6＋2＝cosα＋6＝5.
1.4.3（二）
探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用 公式 1.8～1.12 归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数 值，等于角 α 的同名三角函数值，前面加上一个把 α 看成 锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象 限”. π 公式 1.13～公式 1.14 归纳： ± α 的正弦(余弦)函数值，分别 2 等于 α 的余弦(正弦)函数值， 前面加上一个把 α 看成锐角时 原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或 “正变余、余变正、符号象限定”.
本 课 时 栏 目 开 关
答
π π sin2－α＝sin2＋－α＝cos(－α)＝cos α；
π π cos －α＝cos ＋－α＝－sin(－α)＝sin α. 2 2
1.4.3（二）
π 思路二 、 角 α 与 － α 的终边关于直线 y＝ x 对称推导诱导公式 2 1.14. 答 π 设角 α 与单位圆交于点 P(x， y)，则 2
数北师大必修4导案：1.4.3 单位圆与诱导公式
4.3 单位圆与诱导公式问题导学1．周期函数的理解与应用活动与探究1已知f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．迁移与应用(1)若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数的周期及在t＝25 s时钟摆的高度为()A．2 s,10 mm B．1 s,20 mmC．1 s,10 mm D．2 s,20 mm(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2 012，求f(11)．(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)，不能说T是f(x)的周期．2．利用诱导公式求值活动与探究2求下列三角函数值．(1)cos 945°；(2)sin 356π；(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝⎛⎭⎫－1003π． 迁移与应用求下列三角函数值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－7π3；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－19π4； (3)cos(－60°)－sin(－210°)．解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．活动与探究3已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．迁移与应用已知sin(45°＋α)＝513，求sin(135°－α)的值．利用诱导公式解决条件求值问题的方法(1)仔细分析条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算的差异及联系．(2)当条件式与所求式中未知角的符号相同时，将两角相减，当未知角符号相反时，将两角相加可得出两角的关系，再选用恰当诱导公式求值．3．三角函数式的化简问题活动与探究4化简求值：cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (－α)sin (－π＋α)sin (3π－α)cos (－π－α)．迁移与应用化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－α)cos (3π－α)．化简三角函数式的策略 角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点： (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值．(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如3π2＋α可写成2π－⎝⎛⎭⎫π2－α或π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式． 当堂检测 1．cos 300°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．322．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．83．sin(π－2)－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2化简的结果为( )．A ．0B ．－1C ．2sin 2D ．－2sin 24．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫116π－θ＝__________． 5．化简：sin (π－α)cos (π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos (3π－α)sin (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α．课前预习导学 【预习导引】1．(1)sin x cos x (2)f (x ＋T )＝f (x ) 周期 (3)周期 周期 最小的正数 最小的正数 预习交流1 略2．(1)－sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α (2)cos α －sin α cos α sin α预习交流2 提示：(1)关于2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)诱导公式可简记为“函数名不变，符号看象限”．(2)关于π2±α的正弦(余弦)的诱导公式可简记为“函数名互换，符号看象限”．(3)将两类公式归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后都在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”．预习交流3 (1)－12(2)－22 (3)32 (4)32课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 证明：∵f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期． 迁移与应用 (1)D (2)2 012 活动与探究2 解：(1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－22；(2)sin 356π＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋116π＝sin 116π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＝－sin π6＝－12；(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)sin ⎝⎛⎭⎫－1003π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32π＋4π3＝－sin 4π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin π3＝32. 迁移与应用 (1)－32(2)－22(3)0活动与探究3 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－m ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝m . 迁移与应用 513活动与探究4 解：原式＝cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α(－sin α)[－sin (π－α)]sin (π－α)cos[－(π＋α)]＝(－cos α)⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)＝(－cos α)[－(－sin α)](－sin α)－sin αsin α(－cos α)＝1.迁移与应用 1 【当堂检测】1．C 2．B 3．A 4．33 5．1。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材 北师大版必修4
1.4.3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ） Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ， Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ， 解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ， Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ， 解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，． 故选（Ｂ）．3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 解：()f x Q 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， (0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕQ ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭g ， 又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=L 当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数； 当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数． 综上所述，23ω=或π22ωϕ==，． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
14-15版：1.4.3单位圆与诱导公式(二))(创新设计)
4．3 单位圆与诱导公式(二)[学习目标]1．掌握诱导公式1.13～1.14的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题．2．对诱导公式1.8～1.14，能作综合归纳，体会出七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力． [知识链接]1．2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！2．在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有sin α＝a c ，cos α＝b c ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝b c ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ac. 根据上述结论，你有什么猜想？答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.3．若α为任意角，那么π2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？ 答 角α的终边与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称． [预习导引]1．诱导公式1.13～1.14(1)公式1.13：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α.以－α替代公式1.13中的α，可得公式1.14. (2)公式1.14：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α.2．诱导公式1.13～1.14的记忆π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．要点一 利用诱导公式求值例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值．解 ∵α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．跟踪演练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.要点二 利用诱导公式证明恒等式例2 设m 是整数且k ＝4m ＋2，若f (sin x )＝sin kx ， 求证：f (cos x )＝sin kx .证明 f (cos x )＝f [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ]＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－kx＝sin(2m π＋π－kx )＝sin(π－kx )＝sin kx .规律方法 诱导公式具有变号、变名的作用，当条件和结论之间有悬殊，需要变名才能使用上条件或才能实现目标时，勿忘诱导公式1.13、1.14的作用． 跟踪演练2 若f (sin x )＝2－cos 2x ，求证：f (cos x )＝2＋cos 2x . 证明 f (cos x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝2－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝2－cos ()π－2x ＝2＋cos 2x .1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233 B.233 C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为( )A.m 2－12 B.m 2＋12 C.1－m 22 D ．－m 2＋12 答案 C解析 sin(α－180°)－sin(270°－α) ＝－sin(180°－α)－sin[180°＋(90°－α)] ＝－sin α＋sin(90°－α)＝cos α－sin α＝m ， sin(180°＋α)sin(270°＋α) ＝－sin α·(－cos α)＝sin αcos α＝12[1－(cos α－sin α)2]＝1－m 22.3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________． 答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4．求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.证明 ∵左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ()－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法． 3. 诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.。
高中数学下学期1.4.3单位圆与诱导公式课件北师大必修4.ppt
1.诱导公式可概括为:k·π2±α,k∈Z 的各三角函数 值,当 k 为偶数时,得 α 的同名三角函数值;当 k 为奇数时,得 α 的不同名三角函数值,即正弦得到 余弦,余弦得到正弦;然后前面加上把 α 看作锐 角时原函数值的符号,记忆口诀为“奇变偶不变, 符号看象限.”
[题后感悟] 三角形三内角(A,B,C)的如下关系 经常在解题中用到: (1)A＋B＋C＝π⇔A＝π－(B＋C);
(2)A＋B2＋C＝π2⇔A2＝π2－B＋2 C.
3.已知 A,B,C,D 为圆内接四边形 ABCD 的四个内角,求证: (1)sin(A＋B)＝－sin(C＋D); (2)cos(A＋C)＝cos(B＋D);
(2)sin
B＋2 C＝cos
A 2.
1利用 B＋C＝π－A.2利用B＋2 C＝π2－A2.
[解题过程] (1)∵A＋B＋C＝π, ∴B＋C＝π－A, ∴cos A＋cos(B＋C)＝cos A＋cos(π－A)＝cos A －cos A＝0; (2)∵B＋2 C＝π－2 A＝π2－A2, ∴sin B＋2 C＝sin(π2－A2)＝cos A2.
sin(α＋2kπ)＝_s_in__α_.
3.点P(x,y)关于x轴、y轴、y＝x、原点的对称点 坐标分别为_(_x_,－__y_)_,(_－__x_,y_)_,(_y_,x_)_,_(－__x_,_－__y_) .
正弦函数、余弦函数的诱导公式
14-15版：1.4.3单位圆与诱导公式(一)(创新设计)
一致
锐角 时原角所在象限的三角函数值的符号．
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第一章
三角函数
要点一 给角求值问题 例 1 求下列三角函数的值：
19 (1)sin－ 4 π；(2)cos
960° .
解
19 3 19 (1)sin－ 4 π＝－sin π＝－sin4π＋4π 4
π π 1 －sinπ＋6＝sin ＝ ； 6 2 π 29 5 5 π 3 (2)cos π＝cos(4π＋ π)＝cos π＝cos π－6 ＝－cos ＝－ . 6 6 6 6 2
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
要点二 给值求值问题 例2
第一章
三角函数
1 已知 cos(α－75° )＝－ ，且 α 为第四象限角，求 sin (105° 3
sin2α· cos2α sin2α· cos2α sin α 解 (1)原式＝ ＝ . 3 ＝ 3 cos α cos α －sin α· cos α＋π sin α·
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
1＋2sin360° －70° cos360° ＋70° (2)原式＝ sin180° ＋70° ＋cos720° ＋70° 1－2sin 70° cos 70° |cos 70° －sin 70° | ＝ ＝ －sin 70° ＋cos 70° cos 70° －sin 70° sin 70° －cos 70° ＝ ＝－1. cos 70° －sin 70° 规律方法
π 3 π 2 ＝－sin π＝－sin π－4 ＝－sin ＝－ . 4 4 2
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
1.4.3.2单位圆与诱导公式
单位圆与诱导公式使用说明：1.阅读探究课本2018-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.通过单位圆理解与的三角函数之间的关系.2.掌握诱导公式1.8～1.14,应用诱导公式进行求值,化简.3.通过诱导公式的推导,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神。
【重点难点】重点：诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值,化简和证明等. 难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.一、知识链接1.角α与-α的正弦函数,余弦函数的关系式是2.角α与απ±的正弦函数,余弦函数的关系式是3.角α与πα-的正弦函数,余弦函数的关系式是二.教材助读 角α与2πα+的正弦函数,余弦函数的关系:设锐角α的终边与单位圆交于点p (a,b)，则角2πα+的终边与单位圆交于点1p ，由平面几何知识可知，点1p 的坐标为（,b a -）. 所以,点p 的横坐标cos α与1p 的纵坐标sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭相等。
即______________________________________________. 点p 的纵坐标sin α与点1p 的横坐标co s 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绝对值相等且符号相反，即______________________________________________三、预习自测1．补全下列正弦函数，余弦函数的诱导公式，并熟记。
()sin 2k πα+=_______,()cos 2k πα+=_______(1.8)()sin α-=_______,()cos α-=________(1.9)()sin 2πα-=_______,()cos 2πα-=_____(1.10)()sin πα-=_______,()cos πα-=_______(1.11)()sin πα+=_______()cos πα+=_______(1.12)sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=______cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=_______(1.13) sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=________(1.14) 总结：任意负角的正余弦函数用公式1.8或1.9；任意正角的正余弦函数用公式1.8； 0～2π角的正余弦函数用公式1.10～1.14. 2．求下列函数值:(1) 5sin 24ππ⎛⎫+⎪⎝⎭: (2) 55sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭预习案(3) 5115sin cos sin cos 6464ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.化简: ()()()()()3sin 2cos 3cos 2sin sin 3cos ππαπααπαπααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---2在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是34(,)55p --,分别求角α，2πα+，2πα-的正弦函数值，余弦函数值。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材 北师大版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4的全部内容。
1.4。
3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形(关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称)，sin y x =的对称中心是(π0)k ，,k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ,对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用 １．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式,求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选(Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+,转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例 2 由函数2sin3y x =,π5π66x ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明:此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求,体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值． 例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=( ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解:∵函数图象关于原点中心对称,且x ∈R ， ∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=,即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ)． 3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称,且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数,y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称, 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>,3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
【精准解析】北师大版必修4一课三测：1.4.3+单位圆与诱导公式
＝ cos 225° sin 225°－sin 210°
＝
cos180°＋45°
sin180°＋45°－sin180°＋30°
＝
－cos 45°
－2 ＝ 2＝
－sin 45°＋sin 30° － 2＋1
2＋2.
22
-8-
答案： 2＋2 6．解析：原式
sinθ－π·cos
π＋θ 2
·cos－θ
＝
sin
答案：B
4．解析：由
π3－x
＋
x＋π6
＝π， 2
故
x＋π6＝π2－
π－x 3
，
有
cos
x＋π 6
＝cos
π－ 2
π－x 3
＝sin
π－x 3
＝3. 5
答案：A
5．解析：∵sin(π＋α)＋cos
π＋α 2
＝－sin
α－sin
α＝－m，
∴sin α＝m2 ，
∴cos
3π－α 2
＋2sin(6π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3m，故选 2
B.
答案：B
6．解析：由 cos(α－9π)＝－cos α＝－3，所以 cos α＝3，因为α∈(π，
5
5
2π)，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－4， 5
cos
α－11π 2
＝－sin
α＝4. 5
答案：D
7．解析：因为
sin
α＋π 3
＝1， 3
所以
cos
π－α 6
sin
π3－x
＝3，则 5
cos
x＋π6
＝(
)
A.3