单位圆与诱导公式
单位圆与三角函数线,诱导公式
课题：三角函数线和诱导公式学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。
学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
自主学习1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。
2、三角函数线设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），（1）为正弦线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
（2）为余弦线，有向线段的方向是规定与x轴正方向相同为，反之为。
（3）为正切线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
点P的坐标与角a的正余弦的关系为。
点T的坐标与角a的正切的关系为。
（2）（3）（4）注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。
典型例题：例1 分别作出334ππ和-的正弦线、余弦线和正切线。
练习课本P21，练习A ，1例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出角a 的集合。
练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.52.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b例3、当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 当堂检测：（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（ ）A 在x 轴上B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系A a>b>cB a>c>bC c>b>aD b>a>c(3)在02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（ ）（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（ ）A （sina ，cosa ）B （cosa ，sina ）C （sina ，tana ）D （tana ，sina ）课后巩固（1）满足 的a 的集合为 。
高中数学1章三角函数44.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4 单位圆的对称性与诱导公式从单位圆看出正弦函数y ＝sin x 有以下性质 (1)定义域是R ；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]； (3)它是周期函数，其周期是2k π(k ∈Z )；(4)在[0，2π]上的单调性为：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，32π上是单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上是单调递增． 同样，从单位圆也可看出余弦函数y ＝cos x 的性质．思考1：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？ [提示] 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.2．诱导公式的推导(1)诱导公式(－α，π±α)的推导 ①在直角坐标系中α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称．②公式sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α；sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α； sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α．(2)诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α的推导①π2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称．②公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α用－α代替α并用前面公式sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α思考2：设α为任意角，则2k π＋α，π＋α，－α，2k π－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？[提示] 它们的对应关系如表：A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αB.sin (π－α)＝－sin αC.cos (210°＋α)＝cos (30°＋α)D.cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知D 正确．]2．cos 300°＋sin 450°的值是( ) A.－1＋ 3 B ．12C.－1－ 3D ．32D [原式＝cos (360°－60°)＋sin (360°＋90°) ＝cos (－60°)＋sin 90°＝cos 60°＋1＝32.]3．cos 2π3的值是( )A.－32 B ．32 C ．12 D ．－12D [cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.]4．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2[在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2.]正弦、余弦函数的性质【例1】 求下列函数的单调区间、最大值和最小值以及取得最大值和最小值的自变量x 的值．(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π；(2)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.[解] (1)由图①可知，y ＝sin x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x＝－π6时，y ＝sin x 取最小值－12.①(2)由图②可知，y ＝cos x在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.②利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值．(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π].[解](1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.当x ＝π2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sinx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的值域为[]－1，0.(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0].当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1，1].给角求值【例2】 求下列三角函数式的值： (1)sin 495°·cos (－675°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6.[解] (1)sin 495°·cos (－675°) ＝sin (135°＋360°)·cos 675° ＝sin 135°·cos 315°＝sin (180°－45°)·cos (360°－45°) ＝sin 45°·cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π3＋cos 29π6＝－sin 10π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3＋cos 5π6＝－sin 4π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3－cos π6＝sin π3－cos π6＝32－32＝0.利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值． 2．求下列三角函数值． (1)sin 4π3·cos 25π6；(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3.[解] (1)sin 4π3·cos 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝－sin π3·cos π6＝－32·32＝－34.(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π＋π－2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.三角函数式的化简(1)cos （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.[解] (1)原式＝cos α·sin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α）＝cos α（－sin α）cos α（－cos α）sin α＝cos α.(2)原式＝1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则：(1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论； (2)形如k3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．3．化简下列各式．(1)cos （π＋α）·sin （2π＋α）sin （－π－α）·cos （－π－α）；(2)cos 190°·sin （－210°）cos （－350°）·sin （－585°）.[解] (1)原式＝－cos α·sin α－sin （π＋α）·cos （π＋α）＝－cos α·sin α－sin α·cos α＝1. (2)原式＝cos （180°＋10°）·[－sin （180°＋30°）]cos （360°－10°）·[－sin （360°＋225°）] ＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·（－sin 225°）＝sin 30°－sin 45°＝12－22＝－22.给值求值问题[探究问题]1．有条件的三角函数求值问题的基本思路是什么？[提示] 对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．2．当已知条件给出的是复合角时应如何解决问题？[提示] 当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系．【例4】 (1)已知sin (π＋α)＝35，且α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是( )A.－45 B ．45 C ．－35 D ．35(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[思路探究] (1)直接利用诱导公式求解，注意角α所在的象限．(2)利用复合角之间的关系及诱导公式求解．(1)B [因为sin (π＋α)＝35，且sin (π＋α)＝－sin α，所以sin α＝－35，又因为α是第四象限角，所以cos (α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.] (2)解：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33， sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0，2π]内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( )(2)y ＝cos x 在[0，π]上是递减的．( )(3)sin (2π－α)＝sin α.( )(4)诱导公式中的角α只能是锐角．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知sin (θ＋π)＜0，cos (θ－π)＞0，则θ所在象限是( )A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限D ．第四象限B [由sin (θ＋π)＝－sin θ＜0⇒sin θ＞0，cos (θ－π)＝－cos θ＞0⇒cos θ＜0，由{sin θ＞0，cos θ＜0可知θ是第二象限角．]3．已知cos (π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．12 [cos (π＋α)＝－cos α＝－12， ∴cos α＝12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12.]4．计算：cos 19π6·sin 21π4.[解]原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋54π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22 ＝64.。
三角函数的诱导公式和和差公式
三角函数的诱导公式和和差公式三角函数是数学中常用的一类函数，其中最为基础和重要的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数运算和计算问题时，经常会用到诱导公式和和差公式，它们是将一个角的三角函数表达式化简为另外一个角的三角函数表达式的重要工具。
本文将介绍三角函数的诱导公式和和差公式的定义和使用方法，并通过实例加以说明。
一、诱导公式1. 正弦函数和余弦函数的诱导公式对于任意角θ，根据单位圆的定义可知，在单位圆上有一点P(x,y)对应着角θ的弧度值，其中x和y分别为点P的横坐标和纵坐标。
根据正弦函数sinθ的定义可得sinθ = y同样，根据余弦函数cosθ的定义可得cosθ = x考虑到单位圆上的对称性，对于角θ而言，将角θ绕原点旋转π/2（即90°）可以得到一个新角θ + π/2。
根据单位圆的性质，新角对应的点Q(x',y')的坐标为（-y,x）。
由此可以得到，对于角θ而言，正弦函数sin(θ + π/2)和余弦函数cos(θ + π/2)有如下关系：si n(θ + π/2) = y' = -xcos(θ + π/2) = x' = y这就是正弦函数和余弦函数的诱导公式。
2. 正切函数的诱导公式正切函数tanθ的定义为tanθ = sinθ / cosθ根据正弦函数和余弦函数的诱导公式，可以得到：tan(θ + π/2) = sin(θ + π/2) / cos(θ + π/2)= -x / y由此可以推导出正切函数的诱导公式。
二、和差公式1. 正弦函数的和差公式对于两个角α和β，正弦函数sin(α ± β)的和差公式可以表示为：sin(α ± β) = sinα × cosβ ± cosα × sinβ2. 余弦函数的和差公式对于两个角α和β，余弦函数cos(α ± β)的和差公式可以表示为：cos(α ± β) = cosα × cosβ ∓ sinα × sinβ3. 正切函数的和差公式对于两个角α和β，正切函数tan(α ± β)的和差公式可以表示为：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα × tanβ)三、实例应用下面通过具体的实例应用来说明诱导公式和和差公式的使用。
高中数学第一章 §4 第2课时 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与诱导公式
第2课时单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式[核心必知]正弦函数、余弦函数的诱导公式1．比较公式两边的函数名称，有什么规律？提示：公式(一)～(五)中，左、右两边的函数名称相同；公式(六)、(七)中，左、右两边的函数名称不同，规律为正、余弦互换．2．公式右边的正、负号有规律吗？提示：有，把α看作锐角时，公式左边函数值的符号与右边的正、负号相同．3．公式(二)反映了三角函数的什么性质？提示：由sin(－α)＝－sin α知y＝sin x是奇函数；由cos(－α)＝cos α知y＝cos x是偶函数．讲一讲1．求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 35π6；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3.[尝试解答] (1)cos 945°＝cos (2×360°＋225°) ＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22. (2)sin 35π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋11π6＝sin 11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12.(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32. (4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－100π3）＝－sin （32π＋4π3＝－sin 4π3＝sin π3＝32.1．诱导公式都是角α的正弦、余弦函数与k ×π2±α(k ∈Z )的正弦、余弦函数之间的转化，记忆的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．“奇变偶不变”解释如下：α前面加的是k ×π2，当k 是奇数时，得α的异名三角函数值；当k 是偶数时，得α的同名三角函数值．“符号看象限”解释如下：由于对于任意角α，公式都成立，不妨将角α看作一个锐角，考查k ×π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．2．利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，步骤如下：记忆口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)． 练一练1．求下列各式的值： (1)sin 495°cos(－675°)；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－43π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π4 解：(1)sin 495°cos(－675°) ＝sin(135°＋360°)cos 675° ＝sin 135°cos 315°＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°cos 45° ＝22×22＝12. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6cos 11π4 ＝－sin 43π6cos 11π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4＝－sin 7π6cos 3π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝－sin π6sin π4＝－12×22＝－24.讲一讲 2．(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13，求cos(5π＋α)的值．[尝试解答] (1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－13∴cos α＝－13∴cos(5π＋α) ＝cos[4π＋(π＋α)] ＝cos(π＋α) ＝－cos α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13.解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．练一练2. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α的值．解：∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫103π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33.讲一讲3．化简下列各式：(1)cos （2π－α）sin （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αcos （α－3π）sin （－π－α）.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ）（n ∈Z .[尝试解答] (1)原式＝cos α（－sin α）（－sin α）sin α（－cos α）sin α＝－1. (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －14π－x ＝2n π，∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋π4＋x .①当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， 原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；②当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .故原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 是奇数，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，n 为偶数.1．所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．2．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α时，要注意对k 的奇偶性进行讨论．练一练3．设k 为整数，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）.解：法一：当k 为偶数时，不妨设k ＝2m (m ∈Z )， 则原式＝sin （2m π－α）cos[（2m －1）π－α]sin[（2m ＋1）π＋α]cos （2m π＋α）＝sin （－α）cos （π＋α）－sin αcos α＝（－sin α）（－cos α）－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 同理，可得原式＝－1.法二：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)＝sin[(k ＋1)π＋α]， cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α] ＝－cos(k π＋α)， 所以原式＝－1.若cos θ＝33，则cos （π－θ）cos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ－1＋ cos （2π－θ）cos （π＋θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值为________．[错解] 原式＝cos θcos θ（－sin θ－1）＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0.[错因] 混淆了诱导公式，应有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin ⎝ ⎛π＋)⎭⎪⎫π2－θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－cos θ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ.cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ.[正解] 原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ. 因为cos θ＝33， 所以原式＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3. [答案] 31．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α B ．sin(π－α)＝－sin αC ．cos(π＋α)＝cos αD ．cos(－α)＝cos α 答案：D2．cos 2π3的值是( )A ．－32 B.32C.12 D ．－12解析：选D cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.3．(广东高考)已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)＝cos α＝15.4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝________．解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴cos α＝12.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 答案： 125．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．解析：∵508°＋212°＝720°∴cos(212°＋α)＝cos [2×360°－(508°－α)] ＝cos(508°－α)＝1213.答案： 12136．求sin π4cos 19π6sin 21π4的值．解：原式＝sin π4cos(2π＋7π6)sin(4π＋5π4)＝22cos 7π6sin 5π4 ＝22cos(π＋π6)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4＝22×32×22＝34.一、选择题1．cos 150°的值是( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：选A cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－32. 2．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：选B ∵sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， ∴－3a 2＋32＝－32，∴a ＝± 3. 又∵600°角的终边在第三象限∴a ＝－ 3. 3．在△ABC 中，下列4个等式恒成立的是( ) ①sin(A ＋B )＋sin C ＝0，②cos(A ＋B )＋cos C ＝0， ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0，④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②解析：选B 对于②，cos(A ＋B )＋cos C ＝cos(180°－C )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0，成立．对于③，sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(180°－C )]＋sin 2C ＝sin(360°－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0，成立．4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3 ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6 ③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3 ④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6 ⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③④解析：选C ①中n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝－sin π3；②中cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③中sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3； ④中cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝－cos π6＝－sin π3；⑤中sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin(π－π3)＝sin π3.故②③⑤正确． 二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎪⎫－31π4＝________． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝－sin 31π4＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π－π4 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin π4＝22.答案：226．化简sin （90°－α）cos （－α）cos （180°－α）＝________．解析：原式＝cos αcos α－cos α＝－cos α.答案：－cos α7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值等于________． 解析：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin(π3－α)＝－13， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos(π6＋α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－13.答案：－13.8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 011)＝2，则f (2 012)＝________.解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝2，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－2. 答案：－2 三、解答题9．求值：sin （－150°）cos （－210°）cos （－420°）cos （－600°）sin （－1 050°）.解：原式＝（－sin 150°）cos 210°cos 420°cos 600°（－sin 1 050°）＝sin （180°－30°）cos （180°＋30°）cos （360°＋60°）cos （720°－120°）sin （1 080°－30°）＝sin 30°（－cos 30°）cos 60°cos 120°（－sin 30°）你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ＝－sin 30°cos 30°cos 60°sin 30°sin 30°＝－12×32×1212×12＝－32. 10．已知f (α)＝sin （α－3π）cos （2π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos （－π－α）sin （－π－α）， (1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－sin α×cos α×（－cos α）（－cos α）sin α＝－cos α； (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。
单位圆与诱导公式
2.推导诱导公式 （1）角 与 的正弦函数、 余弦函数关系：
y P(u,v)
公式（2）
o
x P'(u,-v)
sin( ) sin cos( ) cos
例：（ 1） sin( ) sin 2 4 2 4
（2）cos（ -
6
） cos
任意负角的三角函数 0到2π的角的三角数
用公式 一或二 用公式
任意正角的三角函数
用公式一
三或四或五
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，化成锐角再查表
点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一 般可按下列步骤进行：
负化正，大化小，化成锐角再查表
注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步 骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个 公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的，如本例（1） 完全可以这样来解：
（2）角 与 的正弦函 数、余弦函数关系： 公式（4）
sin －sin
cos －cos
回顾：
y
P(u,v) o
5 (3) cos( ) 4
2 cos( ) cos 4 4 2
x
P'(-u,-v)
角与
2
的正弦函数、余弦函数 关系
4.3 单位圆与诱导公式
（第一课时）
即u cos，v sin
P(u,v) 1.在直角坐标系中，给定单位圆，对 于任意角 ，终边与单位圆交于点 P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角 的 正弦函数，记作 v sin ；点P的 横坐标u叫作角 余弦函数，记作 u cos.
单位圆的对称性与诱导公式
轴对称点的坐标是什么?
点Px，y关于原点对称点 P1 x， y，关于
x 轴对称点 P2 x，-y ，关于 y 轴对称点P3 x，y
1.以旧引新，提出课题
终边相同的角的同名正(余)弦函数值相同； 除此之外还有一些角，已知角 正（余）弦函 数值，那么，能否用它表示相关角（如 ， ， ）的正（余）弦函数值？
p与 P关于原点对称, Pu, v
③ 在单位圆中，用表示点 p 与点 p的坐标。 ④ 写出点 p与点 p 坐标之间的关系（即 与
正（余）弦函数值之间的关系）。
3.合作探究，推导公式
公式三
r 1
sin v cos u
P cos ,sin
Pcos ,sin
y
由P(u,v)与P‘(-u,-v)知
任意负角的正 （余）弦函数
用公式 一或二
任意正角的 正(余)弦函数
用公式一
锐角的正（余） 用公式
弦函数
三或四
0 ~ 2 正
（余）弦函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
6.独立作业，培养能力
作业
（1）必做题 P20 练习1 ，第1题 P23 练习2 第3题 （2）选做题
从单位圆关于直线 y x，y x对称性
sin( ) sin cos( ) cos
由此可知，正弦函数y sin x 是奇函数，余弦函数y cos x是 偶函数。
3.合作探究，推导公式
问题探究（2）
①角的终边和角 的终边有什么关系？
② 在单位圆中，角的终边和单位圆的交点
p，角 的终边和单位圆的交点 P，那 么，p 和P有什么关系？
3
求 sin 3 的值
1.4.3.2单位圆与诱导公式
单位圆与诱导公式使用说明：1.阅读探究课本2018-p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.通过单位圆理解与的三角函数之间的关系.2.掌握诱导公式1.8～1.14,应用诱导公式进行求值,化简.3.通过诱导公式的推导,培养学生主动探索,勇于发现的科学精神。
【重点难点】重点：诱导公式的推导及灵活运用,如三角函数式的求值,化简和证明等. 难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.一、知识链接1.角α与-α的正弦函数,余弦函数的关系式是2.角α与απ±的正弦函数,余弦函数的关系式是3.角α与πα-的正弦函数,余弦函数的关系式是二.教材助读 角α与2πα+的正弦函数,余弦函数的关系:设锐角α的终边与单位圆交于点p (a,b)，则角2πα+的终边与单位圆交于点1p ，由平面几何知识可知，点1p 的坐标为（,b a -）. 所以,点p 的横坐标cos α与1p 的纵坐标sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭相等。
即______________________________________________. 点p 的纵坐标sin α与点1p 的横坐标co s 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绝对值相等且符号相反，即______________________________________________三、预习自测1．补全下列正弦函数，余弦函数的诱导公式，并熟记。
()sin 2k πα+=_______,()cos 2k πα+=_______(1.8)()sin α-=_______,()cos α-=________(1.9)()sin 2πα-=_______,()cos 2πα-=_____(1.10)()sin πα-=_______,()cos πα-=_______(1.11)()sin πα+=_______()cos πα+=_______(1.12)sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=______cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭=_______(1.13) sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_______,cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=________(1.14) 总结：任意负角的正余弦函数用公式1.8或1.9；任意正角的正余弦函数用公式1.8； 0～2π角的正余弦函数用公式1.10～1.14. 2．求下列函数值:(1) 5sin 24ππ⎛⎫+⎪⎝⎭: (2) 55sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭预习案(3) 5115sin cos sin cos 6464ππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.化简: ()()()()()3sin 2cos 3cos 2sin sin 3cos ππαπααπαπααπ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---2在单位圆中,已知角的终边与单位圆的交点是34(,)55p --,分别求角α，2πα+，2πα-的正弦函数值，余弦函数值。
4.4单位圆的对称性与诱导公式
4.4单位圆的对称性与诱导公式教学分析本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角α的终边与角π+α，-α，π-α的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题.诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°-90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义.在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180°+α角为第一研究对象，-α角为第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180°+α角、-α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一.本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.三维目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.教学过程第1课时一、导入新课(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最小正周期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我们知道正弦、,余弦函数值每隔2π就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么内在的联系呢？由此引入新课.提出问题1.让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？2.单位园中的三角函数线是怎样定义的？3.角与角之间的三角函数会有怎样的关系？二、推进新课、新知探究诱导公式的推导：1.α与-α的正余弦函数关系：动手：在单位圆中画出α与-α的角的终边：思考：结合三角函数定义，利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(-α)= - sinα；cos(-α)=cosα思考：●除了定义，你能否利用单位园中的三角函数线进行推导？学生讨论并推导（略）●从以上定义你如何认识sin 与cos的性质？（提示：奇偶性）2、α与α+π，α-π的正余弦函数关系：动手：在单位圆中画出α与α+π，α-π的角的终边：思考：结合三角函数定义，利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？结论：sin(α+π)= - sinα；cos(α+π)= - cosαsin(α-π)= - sin α；cos(α-π)= - cos α思考：●除了定义，你能否利用单位园中的三角函数线进行推导？学生讨论并推导（略）3、α与π-α的三角函数关系：动手：在单位圆中画出α与π-α的角的终边：思考：结合三角函数定义以及三角函数线，再利用单位圆的对称性，你能得到什么结论？ 结论：sin(π-α)=sinα；cos （π-α)=-cosα.三、应用示例例1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(-47π); (2)cos 32π; (3)cos(-631π). 活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.解:(1)sin(-47π)=-sin 47π=-sin(2π-4π)=-(-sin 4π)=sin 4π=22 (2)cos 32π=cos （π-3π)=-cos 3π=-21 （3)cos(-631π)=cos 631π=cos （4π+π+6π)=cos （π+6π)=-cos 6π=-23. 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0-2π三角函数→锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解： sin(-47π)=sin(-2π+4π)=sin 4π=22.变式训练利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-510°15′); (2)sin(-317π). 解:(1)cos(-510°15′)= cos510°15′=cos (360°+150°15′)=cos150°15′=cos (180°-29°45′)=-cos29°45′=-0.868 2. sin(-317π)=sin(3π-3×2π)=sin 3π=23四、课堂小结由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-α,π±α,2π-α的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.五、作业课本习题1—4 4、5、6.六、设计感想及反思本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照“教师为主导，学生为主体，思维为主线”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题. 本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力.。
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
【素材】单位圆的对称性与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式教学设计一、教材分析:“单位圆的对称性与诱导公式”是北师大版必修4第一章第四节，其主要内容是三角函数的诱导公式推导和应用.它是圆的对称性的“代数表示”.利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想.诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用.本节教学内容为公式2,3,4.二、学情分析:本节课的授课对象是本校高一文科实验班同学，本班学生水平处于中等偏下，但学生具有善于动手的良好学习习惯，并且学生已经掌握了正、余弦函数的定义以及它们的周期，所以采用发现式和启发式的教学方法，学生可以探究出诱导公式.三、教学目标:1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题.2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、特殊到一般的转化过程，培养化归思想.3.情感、态度与价值观通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.四、教学重点和难点1.教学重点理解并掌握诱导公式.2.教学难点探究角α与角-α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导出(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图,正确运用诱导公式,求三角函数值,化简三角函数式.五、教学过程设计教学环节教师活动预设学生行为设计意图一：课题引入问题1：在单位圆中，任意角α的正弦、余弦函数是怎样定义的？问题2：用已学的知识能不能求下列三角函数值：（1）sin3π，（2）sin(-3π)，（3）sin43π（4）sin23π.1.给学生2分钟左右的时间独立思考，教师请1小组代表回答问题12.抓住学求-3π，43π，23π的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《单位圆的对称性与诱导公式》.1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x.2.学生独立思考，小组内部交流，可能会尝试用定义解答.3.根据教师的引导产生探索新知识的欲望.1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础.2.设置问题情境，产生知识冲突，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探究欲望，又顺利导入新课.三：自主合作探究公式2 、公式3 1.引导学生回顾刚才探索公式2的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.为学生指明探索公式3、公式4的方向.2.探究：（1）角π+a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角π-a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3.组织学生分组探索角π+a和角a、角π-a和角a的三角函数之间的关系.先让学生先独立思考，然后小组交流.在学生交流时教师巡视，让两个小组拿探究成果展台展示.同时派出优秀学生到其他小组提供帮助.4、汇总成果，并求解sin43π和sin23π值5、归纳出公式的口诀：函数名不变，符号看象限.1.体会研究诱导公式的线路图.画出图形，先独立思考尝试自主解答，一定时间后在组长的带领下展开组内讨论.2. 2至3名中等学生到黑板上展示，其他学生分组讨论.3.观察教师的动画演示，验证讨论的结论.得到公式3：sin（π＋）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα公式4：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，4.学生先自由发言，尝试归纳公式的特征.然后在教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识.归纳出公式的特征：的三角函数值，等于 a 的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符合，得到公式1.8～1.12在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.四 ： 公 式 运 用 1、随堂练习：教材20P 第一题 集体核对答案 2、教材20P 的例题：利用公式求下列各三角函数值： (1) 7sin()4π- ; (2)2cos 3π（3）cos （-316π）. （1）让3小组展示解题过程，组织全班学生观察纠错. （2）.引导学生归纳用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤. 3、反馈练习： 学生独立完成，组内核对解题方法和步骤，选2组的学习成果展台展示 1.学生独立完成练习.2.观察小组代表投影出的解答过程，提出自己的看法.3.通过例题和反馈练习这的解答体会、叙述用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~ 的三角函数→锐角的三角函数.1.巩固所学公式.调整课本例题所求三角函数值，让知识显得更全面.2.观察、欣赏黑板上的解答，形成规范格式，培养敢于质疑的品质.体会化归思想. 学生学习活动评价设计(1)今天所学内容是什么，新的知识我掌握了吗?自己的课前理解与教师讲解后的差别在哪儿?(2)例题涉及哪些数学思维方法、数学思想方法,这些思想方法是怎样应用的,应用的过程有什么特点,这样的方法是否在其它地方应用过.(3)课上不懂的地方,如何弄清楚?另外,还可对学习态度、情绪、意志自我评价. 这样,就给学生在课后理清自己的思想、评价自己的学习情况、自我评价自己的学习过程创造了条件,从而能够逐步培养学生的自我评价习惯.教学反思1、在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”， 由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2、预期效果：本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.3、欠缺之处:备课不仅要备教材还要备足学生.由于对学生的学习习惯和知识水平预判不够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象.赣县中学——刘小兰 11.cos(3),4cos παα-=-已知求的值.2.cos(3)sin()sin()cos(3)πααπαππα+⋅+--⋅-化简：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单位圆与诱导公式
泗县三中教案、学案：单位圆与诱导公式1年级高一学科数
学课题单位圆与诱导公式1授课时间撰写人时间学习重点诱导公式的记忆、理解、运用。
学习难点诱导公式的推导、记忆及符号的判断学习目标
1. 掌握π＋α、－α、π－α等诱导公式；
2. 能熟练运用诱导公式进行化简与求值..
教学过程一自主学习1写出2kπ＋α的诱导公式.sin(2 kπ+ )=；cos(2 kπ+ )=；
2. sin(π＋α)=；cos(π＋α) =；
3.仿上面的步骤推导－α、π－α的诱导公式.口诀：奇变偶不变，符号看象限. （90度的奇数倍函数名称改变，90度偶数倍函数名称不变，“符号”是把任意角α看成锐角时，所在象限的三角函数值的符号.）
二师生互动例1求值：（1）sin225°；（2）cos ；（3）
sin(－ )；（4）cos（－）. 变式：求tan（－2040°）的值.
小结：运用诱导公式的格式；注意符号.例2 化简 .
练1. 已知cos(π＋x)＝0.5，求cos(2π－x)的值. 练2. 化简： .
三巩固练习1. （）. A. B. C. B. 2. 下列式子正确的是（）. A. B. C. D. 3. 化简 =
（）. A. B. C. D. 4. .5. cos(π－x)＝，则cos(－x)= .
四课后反思
五课后巩固练习1. 求证： .
2. 已知sin(π+ )= （为第四象限角），求cos(π+ )+tan(－ )的值.。