正弦型函数的性质
正弦型函数的性质与图像 PPT
规律方法 三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略 (1)确定函数 y＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式， 关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只 对“x”而言. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将 解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
跟踪训练
1．作出函数 y＝ 2sin2x－π4在 x∈π8，34π上的图象． [解] 令X＝2x－π4，列表如下：
X0
x
π 8
y
0
π 2
π
3π 2
2π
3π
5π
7π
9π
8
8
8
8
2
0
－2
0
描点连线得图象如图所示．
类型二：三角函数的图象变换
【例2】 函数y＝2sin2x＋π3－2的图象是由函数y＝sin x的图象 通过怎样的变换得到的？
跟踪训练 2．为了得到函数 y＝sin3x＋π6，x∈R 的图象，只需把函数 y＝sin x，x∈R 的图象上所有的点： ①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍 (纵坐标不变)；
②向右平移
π 6
个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1 3
倍
(纵坐标不变)；
③向左平移
π 6
思考：由y＝sin x的图象，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx ＋φ)的图象？
[提示] 变化途径有两条： (1)y＝sin x相位变换,y＝sin(x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变 换,y＝Asin(ωx＋φ)． (2)y＝sin x周期变换,y＝sin ωx相位变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变 换,y＝Asin(ωx＋φ)．
正弦函数的性质
例如
:
sin(
)
sin
, 但是
sin(
)
sin
.
42 4
32 3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
2
2
(2) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周 期）周期T中最小的正数叫做f (x)的 最小正周期（有些周期函数没有最小 正周期,如常值函数 f(x)=1 ）.
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函 数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.
y
1
Байду номын сангаас
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=sinx
(5) 单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
教案正弦型函数的图像和性质
教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 引入正弦函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，正弦函数表示的是圆上一点的y 坐标值1.2 绘制正弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等1.3 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：正弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：正弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第二章：余弦函数的定义与图像2.1 引入余弦函数的概念解释余弦函数的定义：y = cos(x)说明余弦函数的单位圆定义：在一个单位圆上，余弦函数表示的是圆上一点的x 坐标值2.2 绘制余弦函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等2.3 分析余弦函数的性质周期性：余弦函数的图像每隔2π重复一次振幅：余弦函数的最大值为1，最小值为-1相位：余弦函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第三章：正切函数的定义与图像3.1 引入正切函数的概念解释正切函数的定义：y = tan(x)说明正切函数的定义域：正切函数在除原点以外的所有实数上都有定义3.2 绘制正切函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像观察图像的特性：周期性、振幅、相位、对称性等3.3 分析正切函数的性质周期性：正切函数的图像每隔π重复一次振幅：正切函数没有振幅限制，可以无限增大或减小相位：正切函数的图像向左或向右平移，但不改变其形状第四章：正弦型函数的图像与性质4.1 引入正弦型函数的概念解释正弦型函数的定义：y = A sin(Bx C) + D说明正弦型函数的参数：A表示振幅，B表示周期，C表示相位，D表示垂直平移4.2 绘制正弦型函数的图像利用图形计算器或绘图软件，绘制y = A sin(Bx C) + D的图像观察图像的特性：振幅、周期、相位、对称性等4.3 分析正弦型函数的性质振幅：正弦型函数的最大值为A，最小值为-A周期：正弦型函数的图像每隔B个单位重复一次相位：正弦型函数的图像向左或向右平移C个单位垂直平移：正弦型函数的图像向上或向下平移D个单位第五章：正弦型函数的实例分析5.1 分析y = sin(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.2 分析y = cos(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = cos(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质5.3 分析y = tan(x)的图像和性质利用图形计算器或绘图软件，绘制y = tan(x)的图像分析其振幅、周期、相位、对称性等性质第六章：正弦型函数的应用6.1 简谐运动解释简谐运动的定义和特点利用正弦函数表示简谐运动的位移、速度、加速度等物理量6.2 电磁波解释电磁波的产生和传播利用正弦函数表示电磁波的振荡电流或电压6.3 音乐信号处理解释音乐信号的振幅和频率特性利用正弦函数表示音乐信号的波形和频谱第七章：正弦型函数的积分与微分7.1 积分讲解正弦型函数的不定积分和定积分利用积分公式计算正弦型函数的定积分值7.2 微分讲解正弦型函数的导数利用导数公式求解正弦型函数的导数值7.3 应用案例利用积分和微分方法解决实际问题，如计算物体的位移、速度、加速度等第八章：正弦型函数的复合与变换8.1 复合函数讲解正弦型函数的复合方法利用复合函数的性质分析复合后的函数图像和性质8.2 函数变换讲解正弦型函数的平移、缩放、反转等变换利用变换公式分析变换后的函数图像和性质8.3 应用案例利用复合和变换方法解决实际问题，如设计电子电路的滤波器、振荡器等第九章：正弦型函数的极限与连续性9.1 极限讲解正弦型函数的极限概念和性质利用极限公式求解正弦型函数的极限值9.2 连续性讲解正弦型函数的连续性概念和性质利用连续性定理判断正弦型函数的连续性9.3 应用案例利用极限和连续性方法解决实际问题，如信号处理、物理现象分析等第十章：正弦型函数的综合应用10.1 正弦型函数在数学领域的应用讲解正弦型函数在几何、代数、微积分等数学领域的应用10.2 正弦型函数在自然科学领域的应用讲解正弦型函数在物理学、生物学、地球科学等领域的应用10.3 正弦型函数在工程与技术领域的应用讲解正弦型函数在电子工程、通信技术、机械工程等领域的应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像重点关注内容：正弦函数的单位圆定义，正弦函数的图像特点，如周期性、振幅、相位、对称性等。
高一下学期—正弦及正弦型函数
正弦及正弦型函数【知识梳理】1. 三角函数的基本性质2. 正弦型函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的性质 (1) 定义域: R; 值域[,]A A -; (2) 周期: 2πT ω=;(3) 奇偶性: 若(0)0f =, 则是奇函数; 若(0)f A =±, 则是偶函数; 其它, 非奇非偶. (4) 单调区间: ππ[2π,2π]()22x k k k ωϕ+∈-++∈¢时Z ; π3π[2π,2π]()22x k k k ωϕ+∈++∈¢时]. (5) 图像:3. 三角函数问题的两大策略(1) 合一变形——将函数通过三角公式, 化为只有一个三角函数名, 进而利用正弦型及正切函数这两个基本模型解决问题.(2) 换元法——通过将某个三角函数名看作一个整体, 从而将函数化为其它类型的函数(一般化为代数函数:)ϕ多项式型的以及有理型的).【典型例题】例1. 作出下列函数的图像, 并指出它们的单调区间, 周期, 以及值域.(1)π2sin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭; (2)π3cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.例2. 指出如何由1πsin(2)33y x =+的图象的到sin y x =的图像.例3. 函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示, 求()f x 的解析式.例4. 已知函数()sin()(0,0)f x A x b A ωϕω=++>>在同一周期内, 当π9x =时取得最大值12; 当4π9x =时取得最小值12-, 求这个函数的解析式.例5. 已知函数()sin()(0,02π)f x x ωϕωϕ=+>≤<是R 上的偶函数, 其图像关于点3π(,0)4M 对称, 且在区间π[0,]2上是单调函数. 求,ϕω的值.例6. 求下列函数的周期, 值域以及单调区间.(1)()cos f x x x =+; (2)44()sin cos f x x x =+;(3)2()sin sin cos f x x x x =+.例7. 求函数22()sin 2sin cos 3cos 2f x x x x x =++-的值域, 最小正周期以及单调递增区间.【巩固练习】1. 函数()lg(1sin )lg(1sin )f x x x =--+的奇偶性为………...…...………………………..........................( ) A. 奇函数非偶函数 B. 偶函数非奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 无法确定2. 下列函数中, 在π(0,)2上递增, 又是以π为最小正周期的函数是……………………...........................( ) A. 2|cos |y x x = B. cos2y x = C. |sin |y x = D. |sin 2|y x =3. 已知函数π()2cos 543kf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期不大于2, 则正整数的最小值为..............................( )A. 10B. 11C. 12D. 13 4. 若函数()sin 2cos2f x x a x =+的图像关于直线π8x =-对称, 则实数a 的值为…...…........................( )A.B. C. 1 D. 1-5. 函数()sin cos (,R)f x a x b x a b =+∈的值域是___________________;6. 函数0.5()log (2sin )f x x =的最小值是_______________;7. 函数2sin (sin cos )y x x x =+的单调递减区间是____________________; 8. 若函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<是偶函数, 则ϕ=____________________; 9. 已知函数2()sin cos cos f x a x x b x =+, 且(0)2f =, π()36f =. (1) 求函数()f x 的最小正周期;(2) 求函数()f x 的最大值, 最小值及取得最大, 最小值时的x 的值.10. 若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0, 最小值为4-, 实数0a >, 求a , b 的值.。
5.4正弦函数的图象与性质PPT课件(人教版)
录
1
三角函数图象变换
正弦型函数图象与性质
2
1、 平移和伸缩
正弦型函数： = ሺ +
ሻ +
= + + 如何通过 = 平移
变换得到
= →
=
① = 上有一点 , ， = ሺሻ上有
一点 ,
若函数 = +
则的取值范围是（
A. ,
B. ,
> 在区间 − ,
单调递增，
）
C. ,
D.
, +∞
精选例题2
(202X-202X杭州第四中学高一上学期期末)
已知函数ሺሻ = ሺ + ሻ > , > , || <
D.向右平移 个单位
A.向左平移 个单位
C.向左平移 个单位
图象
补充
将函数 = +
的图象向左平移 个单位长度，再向上
平移个单位长度，得到 的图象，若 = ，则
| − |的最小值为（
A.
B.
）
C.
D.
图象如图所示，则函数ሺሻ的解析式为（）
A.ሺሻ = +
B.ሺሻ = +
C.ሺሻ = +
D.ሺሻ = +
三角函数的变换与性质
三角函数的变换与性质三角函数是数学中常见的一类函数，它们在数学和物理等领域有着重要的应用。
本文将介绍三角函数的变换与性质，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。
一、正弦函数的变换与性质正弦函数可以表示为f(x) = sin(x)，其图像是一个周期性的波形。
正弦函数的变换包括平移、伸缩和翻转等操作。
1. 平移：当正弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。
例如，f(x) = sin(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。
2. 伸缩：当正弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。
若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。
3. 翻转：当正弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。
即f(x) = sin(-x)的图像将关于y轴对称。
正弦函数的性质有：1. 周期性：正弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。
即sin(x + 2π) = sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即f(-x) = - f(x)。
这意味着正弦函数的图像关于原点对称。
二、余弦函数的变换与性质余弦函数可以表示为f(x) = cos(x)，它与正弦函数是相互关联的。
余弦函数的变换与正弦函数类似，也包括平移、伸缩和翻转等操作。
1. 平移：当余弦函数的自变量加上一个常数c时，函数图像将向左平移c个单位。
例如，f(x) = cos(x + π/2)的图像将向左平移π/2个单位。
2. 伸缩：当余弦函数的自变量乘以一个常数a时，函数图像将在x轴方向上缩放。
若a>1，则图像纵向压缩；若0<a<1，则图像纵向拉伸。
3. 翻转：当余弦函数的自变量乘以-1时，函数图像将在y轴方向上翻转。
即f(x) = cos(-x)的图像将关于y轴对称。
余弦函数的性质有：1. 周期性：余弦函数的图像以x轴为对称轴，其周期为2π。
即cos(x + 2π) = cos(x)。
正弦函数图像和性质
2.求函数的值域，并求取得最值时X的取值集合。
（1）y= - 2sinx
（2）y= 2sin(2x+ 4 )
x [ , ]
4
（3）y= sin2x + 2sinx - 2
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1
2
周期的概念
3
4
5 6x
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数 T ，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
练习：函数y＝asinx＋b的最大值为2，最小值为－1，
则a＝________，b＝________.
[解] 当 a>0 时，由题意得
[答案] 32或－32
1 2
a＋b＝2 －a＋b＝－1
，解得ab＝ ＝3212
.
当 a<0 时，由题意，得－ a＋a＋ b＝b＝ －21 ，
解得ab＝ ＝－ 12 32
.
正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2 5π
2
3 7π 4 2
正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
sinx -1
0… 0
π…
2
1
…
3π 2
0
-1
在闭区间 π22π2k，π,π2π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
f ( x＋T )＝ f (x)
，那么函数 f (x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
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正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 性质
【学习目标】1、会用“五点作图法”画正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 的图像。
2、能根据给定的图像求正弦型函数的解析式。
【自主学习】
1、 利用“五点作图法”作出函数）（3
sin
π
+=x y 的图像
解：①列表
②作图
2、利用“五点作图法”作出函数x y 2sin = ①列表
②作图
1、利用“五点作图法”作出函数)3
2sin(2π
+
=x y 的图像
2、已知函数),0,0()sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象
如图所示，求它的解析式和对称轴的方程。
3、已知函数)2
,0,0()sin(π
ϕωϕω<
>>++=A b x A y 的图象
如图所示，求它的解析式。
（1）五点作图的作图方法 （2）利用图像求解析式的方法 【达标检测】
1、 已知函数的),0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 图象 如图所示，求它的解析式。
2、已知函数)2
,0,0()s i n
(π
ϕωϕω<>>+=A x A y 的图象上相邻的两个最值点是
)212
7212
-，）、（
，（
π
π
，（1）求其解析式 （2）求单调区间。