高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 滚动训练一
滚动训练一(1.2.1～1.2.4)一、填空题1．下列命题错误的是________．(填序号)①两两相交的三条直线可确定一个平面；②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行；③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行；④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线．考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案①②④解析对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故④错误．2．设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是________．①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案②③解析对于①，X，Y，Z是直线，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三条棱：对于②，X，Y是直线，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据线面垂直的性质定理可知正确；对于③，Z是直线，X，Y是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是真命题，根据垂直于同一直线的两个平面平行可知正确；对于④，X，Y，Z是平面，“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”是假命题，如正方体共顶点的三个面．3．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是________．(填序号)①若m ⊂α，α⊥β，则m ⊥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α；④若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案④解析由m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，知在①中，若m ⊂α，α⊥β，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故①错误；在②中，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α与β相交或平行，故②错；在③中，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，故③错误；在④中，若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正确．4．正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为________．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角答案60°解析如图，过顶点作垂线，交底面于正方形对角线交点O ，连结OE ，∵正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，∴PO ＝22，AB ＝3，AC ＝6，PA ＝2，OB ＝62，∵OE 与PA 在同一平面，是△PAC 的中位线，∴OE ∥PA 且OE ＝12PA ，∴∠OEB 即为PA 与BE 所成的角，OE ＝22，由题意知，PO ⊥BO ，又BD ⊥OC ，PO ∩OC ＝0，∴BD⊥平面POC，∵OE⊂平面PDC，∴BO⊥OE.在Rt△OEB中，tan∠OEB＝OBOE＝3，∴∠OEB＝60°.5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下面结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④直线B1D1与BC所成的角为45°.其中正确结论的个数为________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案4解析在①中，由正方体的性质得，BD∥B1D1，∴BD∥平面CB1D1，故①正确；在②中，由正方体的性质得AC⊥BD，CC1⊥BD，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1，∴AC1⊥BD，故②正确；在③中，由正方体的性质得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，∴AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1⊥平面CB1D1内的两条相交直线，∴AC1⊥平面CB1D1，故③正确；在④中，异面直线B1D1与BC所成的角就是直线BC与BD所成的角，故∠CBD为异面直线B1D1与BC所成的角，在等腰直角△BCD中，∠CBD＝45°，故直线B1D1与BC所成的角为45°，故④正确．6．已知三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝23，平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的体积的最大值为________．考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案3解析根据题意三棱椎P －ABC 外接球半径为2，且AB ＝BC ＝CA ＝23，∴△ABC 是截面为大圆上的三角形，设圆心为O ，AB 的中点为N ，ON ＝22－3＝1，∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴三棱锥P －ABC 的体积最大时，PN ⊥AB ，PN ⊥平面ABC ，PN ＝22－1＝3，∴三棱锥P －ABC 的体积的最大值为13×34×(23)2×3＝3.7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，E 是CD 上一点，若AE ⊥平面PBD ，则CE ED＝________.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案3解析∵PD ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥AE ，当AE ⊥BD 时，AE ⊥平面PBD ，此时△ABD ∽△DAE ，则AB AD ＝AD DE，∵AB ＝2BC ，∴DE ＝14AB ＝14DC ，∴CE ED＝3.8．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，且PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论中正确的是________．①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.考点线面平行、垂直的综合应用题点直线与平面所成的角答案④解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，∴tan∠ADP＝PAAD＝2AB2AB＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.9．二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________．考点空间角题点空间角的综合应用答案60°解析过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.10.如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，那么下面所给结论：①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面．其中正确的序号是________．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案①②③解析∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M，N分别是BD和AE的中点，取AD的中点G，连结MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；连结AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥平面CDE及③MN∥CE正确，④MN，CE异面错误；故答案为①②③.11．我们将一个四面体四个角中直角三角形的个数定义为此四面体的直度，在四面体ABCD 中，AD⊥平面ABC，AC⊥BC，则四面体ABCD的直度为________．考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案4解析∵在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，∴AD⊥AB，AD⊥AC，AD⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥CD，∴四面体ABCD的四个面均为直角三角形，∴四面体ABCD的直度为4.二、解答题12.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点M，连结FM，MC.∵F，M分别是BE，BA的中点，∴FM∥EA，FM＝12EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵AE⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴CM⊥AE，又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面EAB，∴CM⊥平面EAB，又AF⊂平面EAB，∵CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，FD，BE⊂平面EDB，∴AF⊥平面EDB.13．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC ⊥平面ABE ；(2)已知点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，DC ＝CE ＝12BC ＝3，求三棱锥A －BCF 的体积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明∵ABCD 为矩形，∴AB ⊥BC .∵平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥平面BCE .∵CE ⊂平面BCE ，∴CE ⊥AB .∵CE ⊥BE ，AB ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，AB ∩BE ＝B ，∴CE ⊥平面ABE .∵CE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面ABE .(2)解如图所示，连结BD 交AC 于点O ，连结OF .∵DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDE ＝OF ，∴DE ∥OF .又∵矩形ABCD 中，O 为BD 中点，∴F 为BE 中点，即BF ＝FE .在Rt △BEC 中，∵BC ＝6，EC ＝3，∴BE ＝62－32＝3 3.∴S △BFC ＝12×12×33×3＝934.又AB ＝DC ＝3，∴V A －BCF ＝13×934×3＝934.三、探究与拓展14．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为________．考点空间角题点空间角的综合运用答案π3解析如图所示，作PO ⊥平面ABC ，则O 为△ABC 的中心，连结AP ，AO .S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝2，PA ＝1，PA ⊥平面ABCD ，点E 是PC 的中点，F 是AB 的中点．(1)求证：BE ∥平面PDF ；(2)求直线BE 与平面PAD 所成角的正弦值．考点空间角题点空间角的综合运用(1)证明如图所示，取PD 的中点为M ，连结ME ，MF .∵E 是PC 的中点，∴ME 是△PCD 的中位线，∴ME ∥CD 且ME ＝12CD .∵F 是AB 的中点且ABCD 是菱形，∴AB ∥CD 且AB ＝CD ，∴ME ∥AB 且ME ＝12AB .∴ME ∥FB 且ME ＝FB .∴四边形MEBF 是平行四边形，∴BE ∥MF .又BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，∴BE ∥平面PDF .(2)解由(1)得BE ∥MF ，∴直线BE 与平面PAD 所成角就是直线MF 与平面PAD 所成角．取AD 的中点G ，连结BD ，BG .∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是正三角形，∴BG ⊥AD ，∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BG ⊥AD ，BG ⊂平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD ，过F 作FH ∥BG ，交AD 于H ，则FH ⊥平面PAD ，连结MH ，则∠FMH 就是MF 与平面PAD 所成的角．又F 是AB 的中点，∴H 是AG 的中点．连结MG ，又M 是PD 的中点，∴MG ∥PA 且MG ＝12PA .在Rt △MGH 中，MG ＝12PA ＝12，GH ＝14AD ＝12，∴MH＝2 2 .在正三角形ABD中，BG＝3，∴FH＝12BG＝32.在Rt△MHF中，MF＝5 2，∴sin∠FMH＝FHFM＝3252＝155，∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为15 5 .。
数学新学案同步苏教版必修二讲义：第一章 立体几何初步1.2.3 第3课时
第3课时直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直．知识点一直线与平面垂直的定义知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？★★答案★★不一定．思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？★★答案★★当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理1．若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×) 2．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)3．若a⊥b，b⊥α，则a∥α.(×)类型一线面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．★★答案★★③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．故填③④.反思与感悟(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任意一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪训练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.★★答案★★②解析对于①，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于②，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故②正确；对于③，也有可能是l，m 异面；对于④，l，m还可能相交或异面．类型二线面垂直的判定定理的应用命题角度1证明线面垂直例2如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.引申探究若本例中其他条件不变，作AF⊥PB于点F，求证：PB⊥平面AEF.证明∵P A⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE，又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC，又∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB，又∵AF⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.反思与感悟应用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决．跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：OE ⊥平面ACD 1.证明 连结BD ，AE ，CE ，D 1O ，D 1E ，B 1D 1，设正方体的棱长为a ，易证AE ＝CE .∵AO ＝OC ，∴OE ⊥AC .在正方体中易求出D 1O ＝DD 21＋DO 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ， OE ＝BE 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝32a ，D 1E ＝D 1B 21＋B 1E 2＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，∴D 1O 2＋OE 2＝D 1E 2，∴D 1O ⊥OE . ∵D 1O ∩AC ＝O ，D 1O ，AC ⊂平面ACD 1，∴OE⊥平面ACD1.命题角度2证明线线垂直例3如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE.证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面BCDE，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.反思与感悟线线垂直的证明，常用方法是利用线面垂直的定义证明，即欲证线线垂直，可先证线面垂直．跟踪训练3如图所示，若MC⊥菱形ABCD所在的平面，求证：MA⊥BD.证明连结AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.1．若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_____．(填序号)①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．★★答案★★①③解析由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．2．给出下列命题，其中正确命题的序号是________．①垂直于平面内任意一条直线的直线垂直于这个平面；②垂直于平面的直线垂直于这个平面内的任意一条直线；③过一点和已知平面垂直的直线只有一条；④过一点和已知直线垂直的平面只有一个．★★答案★★①②③④解析由直线与平面垂直的定义知，①②正确；③④显然正确．3.如图，平行四边形ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.★★答案★★13解析∵AF⊥平面ABCD，又DE∥AF，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD.∵DE＝AF＝2，CD＝3，∴CE＝DE2＋CD2＝22＋32＝13.4．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD的形状是________．★★答案★★菱形解析如图，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥AC，则平行四边形ABCD是菱形．5.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，连结PE，EC，在Rt△P AE和Rt△CDE中，P A＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.因为BP＝AP2＋AB2＝22＝BC，又F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．线线垂直和线面垂直的相互转化2．证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．一、填空题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是________．(填序号)①m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α；②m⊥b，b∥α；③m∩b＝A，b⊥α；④m∥b，b⊥α.★★答案★★④解析由线线平行及线面垂直的判定知④正确．2．如图(1)，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图(2)所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是________．(填序号)①SG⊥平面EFG; ②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF; ④GD⊥平面SEF.★★答案★★①解析在图(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF.又GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.3．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论正确的是________．(填序号)①BD∥平面CB1D1; ②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1; ④AC1⊥BD1.★★答案★★①②③解析正方体中由BD∥B1D1，易知①正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1易得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即②正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即③正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故填①②③.4.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM 与直线BC的位置关系为________．★★答案★★AM⊥BC解析∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又AM⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AM.5．已知直线l，m，n与平面α，给出下列说法：①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的说法为________．(填序号)★★答案★★①③解析由l⊥α，得l与α相交，所以①正确；若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，因为m，n不一定相交，所以l不一定垂直于α，所以②不正确；由m⊥α，n⊥α，可得m∥n，又l∥m，所以l∥n，所以③正确；由m∥n，n⊂α，得m∥α或m⊂α，所以④不正确．6.如图所示，P A⊥平面ABC，在△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．★★答案★★ 4 解析 ∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB ，△P AC ，△ABC ，△PBC ，共4个．7.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．考点 直线与平面所成的角 题点 直线与平面所成的角 ★★答案★★ 2解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt △P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.8．在三棱锥P－ABC中，P A⊥PB，P A⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面上的投影是底面△ABC________心．考点直线与平面垂直的判定题点三角形的四心★★答案★★垂解析设O是P在底面ABC上的投影，∵PB⊥P A，PB⊥PC，P A∩PC＝P，∴PB⊥平面P AC，∴PB⊥AC.①又∵O是P在底面ABC上的投影，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.②由①②可得，AC⊥平面PBO，∴AC⊥BO.同理可得AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______.★★答案★★90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.10．在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)★★答案★★A1C1⊥B1C1(★★答案★★不唯一)解析如图所示，连结B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)11．在正四棱锥P—ABCD中，P A＝32AB，M是BC的中点，G是△P AD的重心，则在平面P AD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．★★答案★★无数解析设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为3 2a.∵PM ⊥BC ， ∴PM ＝ ⎝⎛⎭⎫32a 2－⎝⎛⎭⎫a 22 ＝22a . 连结PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a .∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN .∵AD ∥BC ，∴PM ⊥AD ，又PN ∩AD ＝N ，∴PM ⊥平面P AD ， ∴在平面P AD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直． 二、解答题12.如图，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，AA 1＝3，E 为CD 上一点，DE ＝1，EC ＝3.证明：BE ⊥平面BB 1C 1C .证明 过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3，在Rt△CFB中，BC＝ 6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，所以BE⊥BC.又由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，且BB1∩BC＝B，故BE⊥平面BB1C1C.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E，F分别是AB，PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.证明(1)因为P A⊥底面ABCD，所以CD⊥P A.又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG .因为底面ABCD 是矩形，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，所以GF 綊12CD ， 所以GF 綊AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF .因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，由(1)知，CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .三、探究与拓展14．设三棱锥P —ABC 的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC .其中正确命题的序号是________．★★答案★★ ①②③解析 因为PH ⊥底面ABC ，所以PH ⊥BC ，又P A ⊥BC ，所以BC ⊥平面P AH ，所以BC ⊥AH ，同理BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以①正确；由P A ，PB ，PC 两两互相垂直，易推出BC ⊥AH ，BH ⊥AC ，得H 是△ABC 的垂心，所以②正确；由∠ABC ＝90°，H 是AC 的中点，得P A ，PB ，PC 在平面ABC 上的射影相等，所以P A ＝PB ＝PC ，所以③正确．15.如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求证：MN ⊥平面PCD .考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)取PD 的中点E ，连结NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC .又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ， ∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥平面P AD .∵AE ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ， ∴MN ⊥平面PCD .。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.1.2
台上底面、截面和下底面的圆心， V 是圆锥的顶点，令 VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，
49＋1 h＋h1 2 ＝ ， h 1 则 49 h＋h1＋h2 ＝ ， h 1
h1＝4h， 所以 即 h1∶h2＝2∶1. h2＝2h，
解答
类型三 复杂旋转体的结构分析 例3 直角梯形 ABCD 如图所示，以 DA 所在直线为轴旋转，试说明所得几
解析 答案
类型二 旋转体中的有关计算
例2 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，
求：(1)圆台的高； 解 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm. 又由题意知腰长为12 cm，
所以高 AM＝ 122－5－22＝3 15(cm).
转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.
解 如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两
个圆锥后剩余部分而成的组合体.
解答
达标检测
②④ 1.下列说法正确的是________.( 填序号) ①圆锥的母线长等于底面圆的直径； ②圆柱的母线与轴平行； ③圆台的母线与轴平行； ④球的直径必过球心.
转面，封闭的旋转面围成的几何体称为 旋转体 .圆柱、圆锥、圆台和球
都是特殊的旋转体.
[思考辨析 判断正误]
1.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( √ )
2.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱.( × )
3.半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( × )
题型探究
类型一 旋转体的基本概念
解析 圆锥的母线长与底面圆的直径无联系；
圆台的母线与轴不平行.
1
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.1
1 1 S 正棱台侧面积＝ n(a＋a′)h′＝ (c＋c′)h′. 2 2 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何
可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出．
棱台的表面积等于侧面积与底面积的和． 梳理 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧
2 h2 斜－EF ＝
b－a 又 EF＝ ，∴h＝ 2 引申探究
ab . a＋b
若四棱台的高是 12 cm，两底面边长之差为 10 cm，表面积为 512 cm2，求底面的边长． 解 如图，设上底面边长为 x cm，则下底面边长为(x＋10)cm，
在 Rt△E1FE 中， EF＝ x＋10－x ＝5(cm)． 2
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝ 在 Rt△C1CE 中，C1E＝CE＝
2 (b－a)． 2 2 (b－a)， 2
1 又 EF＝CE·sin 45°＝ (b－a)， 2 ∴C1F＝ C1E2＋EF2 ＝ 2 1 b－a 2 b－a 2 3 ＋ 2 ＝ (b－a)． 2 2
1 3 ∴S 侧＝ (4a＋4b)× (b－a)＝ 3(b2－a2)． 2 2 (2)∵S 侧＝S 底，S 底＝a2＋b2， 1 ∴ (4a＋4b)·h 斜＝a2＋b2， 2 ∴h 斜＝ a2＋b2 . 2a＋b
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 45°，求棱台的侧面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 解 (1)如图所示， 设 O1， O 分别过上、 下底面的中心， 过 C1 作 C1E⊥AC 于 E， 过 E 作 EF⊥BC，
连结 C1F，则 C1F 为正四棱台的斜高． 由题意知∠C1CO＝45°，
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.3 第2课时
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( × )
题型探究
类型一 线面平行的性质定理的应用
命题角度1 用线面平行的性质定理证明线线平行 例1 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， AC 与 BD 交于点 O ， M 是 PC的中点，在 DM 上取一点 G ，过 G 和 AP 作平面交 平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
跟踪训练 3
如图，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E ，
H 分别为棱 A1B1 ， D1C1 上的点，且 EH∥A1D1 ，过 EH
的平面与棱 BB1 ， CC1 相交，交点分别为 F ， G ，求证：
FG∥平面ADD1A1.
证明 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，
第1章 1.2.3
直线与平面的位置关系
第2课时 直线与平面平行的性质
学习目标
1.理解直线与平面平行的性质定理.
2.掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用性质定理证明一
些简单的问题.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点 直线与平面平行的性质定理
思考 1 如图，直线 l∥ 平面 α ，直线 a⊂ 平面 α ，直
所以EH∥平面BCC1B1.
又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG，即FG∥A1D1.
又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，检测
0 1.已知a，b表示直线，α表示平面.下列命题中，正确的个数是_____. ①若a∥α，b∥α，则a∥b； ②若a∥α，b⊂α，则a∥b； ③若a∥b，b∥α，则a∥α. 解析 ①错，直线a与b的关系可以是平行，也可以是相交或异面； ②错，a与b可能平行，也可能异面； ③错，直线a也可能在平面α内.
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.2
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用
截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
跟踪训练1
(1) 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD －
A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′， 求棱锥C－A′DD′的体＝b，AA′＝c，
第1章 1.3
空间几何体的表面积和体积
1.3.2 空间几何体的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何
体的体积.
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及
体积.
3.会求简单组合体的体积及表面积.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
柱体、锥体、台体的体积公式
(4)正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a. (5)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 2 a.
跟踪训练2
(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球 4π 3 的体积为________. 解析 由题意知，此球是正方体的内切球.根据其几何特征知，
1 1 1 1 ∴VC－A′D′D＝3CD· S△A′D′D＝3a· 2bc＝6abc，
1 5 ∴剩余部分的体积为 VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－6abc＝6abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
解答
(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，
如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.4 第3课时
第3课时两平面垂直的性质学习目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理.2.能运用性质定理解决一些简单的问题.3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．知识点平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画的直线必与地面垂直．梳理文字语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号语言α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β图形语言1．若平面α⊥平面β，任取直线l ⊂α，则必有l ⊥β.(×)2．已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．(×)类型一平面与平面垂直的性质定理例1如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG.又PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.反思与感悟当题目条件中有面面垂直的条件时，往往要由面面垂直的性质定理推导出线面垂直的条件，进而得到线线垂直的关系．因此见到面面垂直条件时要找准两平面的交线，有目的地在平面内找交线的垂线．跟踪训练1如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.类型二立体几何中的折叠问题例2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D—ABCE.求证：BE⊥平面ADE.证明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.反思与感悟(1)抓住折叠前后的不变量与变化量，同在半平面内的两个元素之间的关系保持不变，而位于两个半平面内的两个元素之间关系改变．(2)特别要有意识地注意折叠前后不变的垂直性和平行性．跟踪训练2如图①所示，在平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿对角线AC将四边形折成直二面角，如图②所示．求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，过B作BO⊥AC，垂足为O，由AB＝BC知，O为AC的中点，作OE⊥AC交AD于点E，则∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD⊂平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.类型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，在四棱锥P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以PD ∥EF ，所以CD ⊥EF .又EF ∩BE ＝E ，所以CD ⊥平面BEF .又CD ⊂平面PCD ，所以平面BEF ⊥平面PCD .反思与感悟(1)线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化：(2)在运用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．跟踪训练3如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．求证：(1)EF ⊥CD ；(2)平面SCD ⊥平面SCE .证明(1)连结AC ，AF ，BF .∵SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥AC .∴AF 为Rt △SAC 的斜边SC 上的中线，∴AF ＝12SC .又∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB .而由SA ⊥平面ABCD ，得CB ⊥SA .又SA ∩AB ＝A .∴CB ⊥平面SAB .∵SB ⊂平面SAB ，∴CB ⊥SB ，∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线，∴BF ＝12SC .∴△AFB 为等腰三角形，∵E 为AB 的中点，∴EF ⊥AB .又CD ∥AB ，∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ，∴SE ＝EC ，即△SEC 是等腰三角形，∴EF ⊥SC .又∵EF ⊥CD ，且SC ∩CD ＝C ，∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ，∴平面SCD ⊥平面SCE .1．给出下列四个说法：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中正确的是________．(填序号)答案②④解析①中若两直线平行，则结论错误；②正确；在空间中③错误；④正确．2．已知平面α⊥平面β，直线a ∥α，则直线a 与β的位置关系可能是________．(填序号)①a ⊥β；②a ∥β；③a 与β相交．答案①②③3．若将边长为2的正方形ABCD 沿AC 折叠成直二面角，则B ，D 两点间的距离为________．答案24.如图，在三棱锥P —ABC 内，侧面PAC ⊥底面ABC ，且∠PAC ＝90°，PA ＝1，AB ＝2，则PB ＝________.答案5解析∵侧面PAC ⊥底面ABC ，交线为AC ，∠PAC ＝90°(即PA ⊥AC )，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝ 5.5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.考点平面与平面垂直的性质题点面面垂直性质的综合应用证明因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.又平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SDC.又因为BC⊂平面SBC，所以平面SDC⊥平面SBC.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、填空题1．下列命题中错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案④解析如果平面α⊥平面β，平面α内的直线有的与平面β平行，有的与平面β相交，故④错误．2．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．答案平行解析∵α⊥β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，∴n ⊥α.又∵m ⊥α，∴m ∥n .3．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，D 为垂足，以AD 为折痕，将△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD ⊥CD ；②BD ⊥AC ；③AD ⊥平面BCD ；④△ABC 是等边三角形．其中正确结论的个数为________．答案4解析①正确，因为∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，由题意知∠BDC ＝90°，所以BD ⊥CD ；②正确，易知BD ⊥平面ACD ，所以BD ⊥AC ；③正确，因为折叠后仍有AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，易知AD ⊥平面BCD ；④正确，因为AD ＝BD ＝DC ，且以D 为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB ＝BC ＝AC ，即△ABC 为等边三角形．4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.答案a 解析取BC 的中点M ，连结AM ，DM ，则AM ⊥BC ，由题意得AM ⊥平面BDC ，∴△AMD 为直角三角形，且AM ＝MD ＝22a ，∴AD ＝a .5．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么下列说法正确的是________．(填序号)①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行．答案③解析由题意知，当a∥l，l∥b时，a∥b.故①④错；若a⊥b，∵b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α.∵a⊂α，∴AB⊥a.又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β⇒a⊥l.这和a与l不垂直相矛盾．∴不可能a⊥b.故②错，故填③.6．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.答案61解析作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥AB，DE⊥CE，在Rt△ACE中，CE＝AC2＋AE2＝45，在Rt△CED中，CD＝CE2＋DE2＝61.7.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.答案5∶2解析由题意，得两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cosα＝525＋4＝529，cosβ＝2529，所以cosα∶cosβ＝5∶2.8.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在直线________上．答案AB解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，BC1∩AB＝B，BC1，AB⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在交线AB上．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列说法正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.答案④解析如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.10．在空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是________三角形．答案直角解析如图所示，连结BD ，作AE ⊥BD 于点E ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，易知AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以BC ⊥AE .又因为AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥AD .又AE ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面ABD .而AB ⊂平面ABD ，则BC ⊥AB ，所以△ABC 为直角三角形．二、解答题11.如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC .求证：AD ⊥CE .证明如图所示，作AO ⊥BC ，垂足为O ，连结OD .由于AO ⊥BC 且平面ABC ⊥平面BCDE ，所以AO ⊥底面BCDE ，且O 为BC 的中点，由OC CD ＝CD DE ＝12知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从而∠ODC ＝∠CED ，于是CE ⊥OD .又∵CE ⊥AO ，AO ∩OD ＝O ，∴CE ⊥平面AOD .∵AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥CE .12.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)．(1)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ABC?(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?解(1)∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC .又∵AE AC ＝AF AD＝λ(0<λ<1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .∵EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值，恒有平面BEF ⊥平面ABC .(2)由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由AB 2＝AE ·AC ，得AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .13.如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱AA 1于点M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；(3)如果截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，那么AM ＝MA 1吗？请你叙述判断理由．(1)证明∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC .∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，平面ABC ∩侧面BB 1C 1C ＝BC ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C .又CC 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.(2)证明如图，延长B 1A 1与BM 的延长线交于点N ，连结C 1N .∵AM ＝MA 1，MA 1∥BB 1，∴A 1M ＝12BB 1，NA 1＝A 1B 1.∵A 1B 1＝A 1C 1，∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1，∴C 1N ⊥C 1B 1.∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，平面NB 1C 1∩侧面BB 1C 1C ＝C 1B 1，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C .又∵C 1N ⊂平面MBC 1，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .(3)解过点M作ME⊥BC1于点E，连结DE.∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，截面MBC1∩侧面BB1C1C＝BC1，∴ME⊥侧面BB1C1C.又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∵AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴AM＝DE＝12CC1＝12AA1，∴AM＝MA1.三、探究与拓展14．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．答案6解析取CD的中点G，连结MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD.所以MG ⊥平面DCEF ，又NG ⊂平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.15.如图所示，在几何体ABC —A 1B 1C 1中，点A 1，B 1，C 1在平面ABC 内的射影分别为A ，B ，C ，且AB ⊥BC ，E 为AB 1的中点，AB ＝AA 1＝BB 1＝2CC 1.求证：(1)CE ∥平面A 1B 1C 1；(2)平面AB 1C 1⊥平面A 1BC .证明(1)由题意知AA 1⊥平面ABC ，BB 1⊥平面ABC ，CC 1⊥平面ABC ，∴AA 1∥BB 1∥CC 1，取A 1B 1的中点F ，连结EF ，FC 1.∵E 为AB 1的中点，∴EF ∥12A 1A ，EF ＝121A ，又AA 1＝2CC 1，∴CC 1∥12AA 1，CC 1＝12AA 1，∴EF ∥CC 1，EF ＝CC 1，∴四边形EFC 1C 为平行四边形，∴CE ∥C 1F .又CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴CE ∥平面A 1B 1C 1.(2)∵BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥BC .又AB ⊥BC ，AB ∩BB 1＝B ，∴BC ⊥平面AA 1B 1B .∵AB1⊂平面AA1B1B，∴BC⊥AB1.∵AA1＝BB1＝AB，AA1∥BB1，∴四边形AA1B1B为正方形，∴AB1⊥A1B.∵A1B∩BC＝B，∴AB1⊥平面A1BC.∵AB1⊂平面AB1C1，∴平面AB1C1⊥平面A1BC.。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.2
1.2.2空间两条直线的位置关系学习目标 1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念．知识点一空间两条直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB 与CD .梳理空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有知识点二异面直线的判断思考分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？答案不一定，可能平行、相交或异面．梳理判断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线知识点三平行公理(公理4)思考在平面内有直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，该结论在空间中是否成立？答案成立．梳理平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：a ∥b ∥a ∥c .知识点四等角定理及异面直线所成的角思考1观察图象，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°.思考2在平行六面体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？答案相等．梳理(1)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(2)异面直线所成的角定义前提两条异面直线a ，b 作法经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b 结论我们把a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角范围记异面直线a 与b 所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，异面直线a ，b 互相垂直，记作a ⊥b1．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(√)2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.(×)类型一公理4与等角定理的应用例1如图，已知在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形；(2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明(1)如图，连结AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点，∴MN 是△ACD 的中位线，∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC .由正方体的性质，得AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知，MN ∥A 1C 1.又ND ∥A 1D 1，且∠DNM 与∠D 1A 1C 1的两边的方向相同，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.反思与感悟(1)空间两条直线平行的证明①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同．跟踪训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1∥AM，且A1M＝AM，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴A1A∥M1M，且A1A＝M1M.又∵A1A∥B1B，A1A＝B1B，∴M1M∥B1B，且M1M＝B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.类型二异面直线的判断例2(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示．反思与感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内．(2)利用异面直线的判定定理．(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．跟踪训练2如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法：①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线．其中说法正确的是________．(填序号)答案①②③④解析因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确．1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．答案相交、平行或异面解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线a，b，直线c的位置可如图所示．2．下列四个结论中错误命题的个数是________．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线．答案2解析①④均为错误命题．①可举反例，如a ，b ，c 三线两两垂直．④如图甲，c ，d 与异面直线l 1，l 2交于四个点，此时c ，d 异面；当点A 在直线l 1上运动(其余三点不动)时，会出现点A 与B 重合的情形，如图乙所示，此时c ，d 共面相交．3．在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有________对．答案3解析如图，在三棱锥A —BCD 中，AB 与CD 异面，BC 与AD 异面，AC 与BD 异面，所以有3对异面直线．4.如图所示，在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足________时，四边形EFGH 是正方形．答案AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析由题意可得EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形，又EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，∴当EF ＝FG ，即AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形；当EF ⊥FG 且EF ＝FG ，即AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．5.如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)若AC ⊥BD ，求证：四边形EFGH 是矩形．证明(1)如图所示，连结EF ，FG ，GH ，HE ，在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知EH ∥FG ，且EH ＝FG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．∵HG 是△ADC 的中位线，∴HG ∥AC .又EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥HG ，∴四边形EFGH 为矩形．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．一、填空题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°2．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是________．(填序号)答案②④解析①中，∵G ，M 是中点，∴AG ∥BM ，AG ＝BM ，∴GM ∥AB ∥HN ，GM ＝AB ＝HN ，故四边形GHNM 为平行四边形，∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM ∥CD ，且GM ＝12CD ，∴GM ∥HN ，且GM ＝12HN ，即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，即H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面．3．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是________．(填序号)①OB ∥O 1B 1且方向相同；②OB ∥O 1B 1；③OB 与O 1B 1不平行；④OB 与O 1B 1不一定平行．答案④解析如图(1)，∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1但OB 与O 1B 1不平行，故①②排除；如图(2)，∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1，此时OB ∥O 1B 1，故③排除．4．下列三种说法：①若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交；②若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；③若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________．答案1解析若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行、异面均有可能，故①不对；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 平行、相交、异面均有可能，故③不对；②正确．5．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则MN 的取值范围为________．考点平行公理题点判断、证明线线平行答案(1,5)解析取AD 的中点H ，连结MH ，NH ，则MH ∥BD ，且MH ＝12BD ，NH ∥AC ，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5.6.如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(写出所有正确结论的序号)答案③④解析∵A ，M ，C ，C 1四点不共面，∴直线AM 与CC 1是异面直线，故①错；同理，直线AM ，BN 也是异面直线，故②错；同理，直线BN 与MB 1是异面直线，直线AM 与DD 1是异面直线，∴③④正确．7.如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CG CD＝μ，则下列结论中不正确的是________．(填序号)①当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形；②当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形；③当λ≠μ时，四边形EFGH 一定不是平行四边形；④当λ＝μ时，四边形EFGH 是梯形．答案④解析由AE AB ＝AH AD ＝λ，得EH ∥BD ，且EH BD＝λ.同理得FG ∥BD ，且FG BD ＝μ.当λ＝μ时，EH ∥FG 且EH ＝FG .当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH ≠FG .所以只有④错误．8．如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．答案24解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②EF 与MN 是异面直线；③MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．答案①②解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，所以只有①②正确．10．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是________．答案4解析正方体共有8个顶点，若选出的k 条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，∴k 的最大值为4.二、解答题11.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，BE ∥FA ，且BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知得FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD ，且GH ＝12AD .又BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC ，且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE ∥AF ，且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点知，BE ∥FG ，且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，且BG ＝CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．12.如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；(2)求S△ABCS△A′B′C′的值．(1)证明∵AA′∩BB′＝O，且AOA′O＝BOB′O＝2 3，∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.(2)解∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝AOOA′＝23，∴S△ABCS△A′B′C′＝23＝49.三、探究与拓展13．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线有________条．答案无数解析如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．14．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．考点平行公理题点判断、证明线线平行证明设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.4 第2课时
第2课时两平面垂直的判定学习目标 1.了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理．知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．梳理(1)二面角的概念①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形．②相关概念：(ⅰ)这条直线叫做二面角的棱；(ⅱ)每个半平面叫做二面角的面．③画法：④记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(2)二面角的平面角①定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．②表示方法：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA⊂α，OB⊂β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一面面垂直的判定例1如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明如图，连结AC，与BD交于点F，连结EF.因为F为平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，所以F 为AC 的中点．又E 为SA 的中点，所以EF 为△SAC 的中位线，所以EF ∥SC .又SC ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD .又EF ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟(1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角．跟踪训练1如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .证明由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，所以平面BDC 1⊥平面BDC .类型二与面面垂直有关的探索性问题例2如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.在CD 上确定一点E ，使得平面PBE ⊥平面PAB .解取CD的中点E，连结PE，BE，BD.由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面PAB.反思与感悟存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题．需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系．跟踪训练2如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．(1)证明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE ∩EC ＝E ，DE ，EC ⊂平面DCE ，∴AE ⊥平面CDE .(2)证明取AB 的中点H ，连结GH ，FH ，由已知得ABCE 为矩形，且G ，F 分别为AD ，EC 的中点，∴GH ∥BD ，FH ∥BC .∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴GH ∥平面BCD .同理，FH ∥平面BCD ，又GH ∩FH ＝H ，∴平面FHG ∥平面BCD ，∵GF ⊂平面FHG ，∴GF ∥平面BCD .(3)解取线段AE 的中点R ，DC 的中点M ，DB 的中点S ，连结MS ，RS ，BR ，DR ，EM .则MS ∥12BC ，MS ＝12BC ，又RE ∥12BC ，RE ＝12BC ，∴MS ∥RE ，MS ＝RE ，∴四边形MERS 是平行四边形，∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点，∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC ∩CD ＝C ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ∥RS ，∴RS ⊥平面BCD .∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.答案③解析①中，α与β还可能平行或相交且不垂直，所以①不正确；因为由平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，得α⊥β，所以②④不正确，③正确．2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有________对．答案5解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．3.如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .答案③解析由AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 为AC 的中点知，AC ⊥DE ，AC ⊥BE .又DE ∩BE ＝E ，从而AC ⊥平面BDE ，故③正确．4.点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A —D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．答案①②④解析连结BD 交AC 于点O ，连结DC 1交D 1C 于点O 1，连结OO 1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P —AD 1C 的体积不变．又因为1P AD C V -三棱锥＝1A D PC V -三棱锥，所以①正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确．5．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E ，F 是PB 的中点．求证：(1)EF ∥平面PCD ；(2)平面PBD ⊥平面PAC .考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．一、填空题1．在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列判断正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ADC;②平面ABC⊥平面ADB；③平面ABC⊥平面DBC;④平面ADC⊥平面DBC.答案④解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．(填序号)答案②④解析①不符合二面角定义；③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．3.如图所示，已知PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中互相垂直的平面共有______对．答案3解析∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，PA⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.又BC⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面PAC.∴共3对．4.如图，已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中正确的是________．(填序号)①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.答案①②④解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴①正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴②④正确．5．以下所给角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有________个．答案1解析异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理知，平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n分别是平面α与平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n⊂α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β.∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④⇒①.8．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED＝________.考点二面角题点求二面角的大小答案90°解析如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 中点F ，连结AF ，CF .由题意可得AF ＝CF ＝22a ，∠AFC ＝90°.在Rt △AFC 中，可得AC ＝a ，∴△ACD 为正三角形．∵E 是CD 的中点，∴AE ⊥CD ，∴∠AED ＝90°.9．如图，在三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC 1与B 1E 是异面直线；②直线AC ⊥平面ABB 1A 1；③直线A 1C 1与平面AB 1E 不相交；④∠B 1EB 是二面角B 1—AE —B 的平面角．答案④解析CC 1与B 1E 都在平面BB 1C 1C 内，即①不正确；若AC ⊥平面ABB 1A 1，则AC ⊥AB ，与△ABC 是正三角形矛盾，即②不正确；若直线A 1C 1与平面AB 1E 不相交，则A 1C 1∥平面AB 1E ，取B 1C 1的中点E 1，则A 1E 1∥平面AB 1E ，又A 1C 1∩A 1E 1＝A 1，于是平面A 1B 1C 1∥平面AB 1E ，这与平面A 1B 1C 1和平面AB 1E 都过点B 1矛盾，所以③不正确；由已知可得AE ⊥平面BCC 1B 1，所以∠B 1EB 是二面角B 1—AE —B 的平面角，即④正确．10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析连结AC.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.二、解答题11.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA ＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .12.如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，BC ⊥BD ，∠BAD ＝60°，SD ＝AD ＝AB ，E 是SB 的中点．求证：(1)BC ⊥DE ；(2)平面SBC ⊥平面ADE .证明(1)∵SD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥SD .又∵BC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴BC ⊥平面SBD ，∵DE ⊂平面SBD ，∴BC ⊥DE .(2)∵SD ＝AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴SD ＝BD ，∵E 为SB 的中点，∴DE ⊥SB ，又∵BC ⊥DE ，SB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面SBC ⊥平面ADE .13.如图所示，在三棱台DEF —ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .证明因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC .又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .三、探究与拓展14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为________．考点二面角题点求二面角的大小答案2解析如图所示，连结AC 交BD 于点O ，连结A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD .又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22.∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2.15.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ；(2)平面EFG ⊥平面EMN .证明(1)如图，取PA 的中点H ，连结EH ，DH .因为E 为PB 的中点，H 为PA 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC .又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG .又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.1.4
1.1.4直观图画法学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则2．立体图形直观图的画法规则画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．1．用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×)2．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(×)3．在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变．(×)类型一平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝1OD，过点D′作x′轴的平行2线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连结B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？解画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，画出对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝1OE，以E′为中点画出2C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.连结B′C′，D′A′，如图②所示．(3)所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③所示．反思与感悟在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可．跟踪训练1如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．答案22解析正方形的直观图如图所示．由直观图的画法知，O ′A ′＝1，又∠A ′O ′C ′＝45°，过点A ′作A ′D ′⊥O ′C ′，垂足为D ′，∴点A ′到x ′轴的距离为A ′D ′＝O ′A ′·sin 45°＝22.又A ′B ′∥x ′轴，∴点B ′到x ′轴的距离也是22.类型二直观图的还原与计算命题角度1由直观图还原平面图形例2如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．解①画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；②过B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′；③连结AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．反思与感悟由直观图还原平面图形的关键(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x ′、y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，C ′D ′＝2cm ，则原图形是________．答案菱形解析如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2(cm)，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．命题角度2原图形与直观图的面积的计算例3如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．解如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连结BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S .跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是________．答案2解析直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2.类型三简单几何体的直观图例4用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm 、3cm 、2cm 的长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的直观图．解(1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．反思与感悟直观图中应遵循的基本原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”．跟踪训练4用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)解(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x 轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝12MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连结A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.使P′O′＝PO.(3)成图．连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴(被遮挡的部分为虚线)，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．1．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的________．(填序号)答案③解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.2．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为__________．答案16或64解析等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64. 3．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案52解析该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.4．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________．(填序号)答案③解析在x 轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y 轴上或与y 轴平行的线段在新坐标系中的长度变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为③.5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1cm,2cm ，高为2cm)解(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC ，其中O 为△ABC 的重心，BC ＝2cm ，线段AO 与x 轴的夹角为45°，AO ＝2OD .(2)过O 作z 轴，使∠xOz ＝90°，在z 轴上截取OO ′＝2cm ，作上底面等边三角形的直观图△A ′B ′C ′，其中B ′C ′＝1cm ，连结AA ′，BB ′，CC ′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得正三棱台的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox 、Oy 轴，在直观图中画成O ′x ′、O ′y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．一、填空题1．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．答案(4,2)解析由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2)．2.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，则△ABC的形状是______三角形．答案直角解析∵A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，∴在原图形中，AB∥y轴，BC∥x轴，故△ABC为直角三角形．3．一个长方体的长、宽、高分别是4,8,4，则画其直观图时对应的长度依次为____________．答案4,4,4解析根据斜二测画法规则可知，水平线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，竖直线段长度不变，所以其长度分别为4,4,4.4．下面各组图形中2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．(填序号)答案③解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．5．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________．(填序号)答案①解析直观图中正方形的对角线长为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有①满足条件，故①正确．6．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在坐标系xOy 中，原四边形OABC为______(填形状)，面积为________cm2.答案矩形8解析由题意并结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2)．7．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是________．(填序号)①原来相交的仍相交；②原来垂直的仍垂直；③原来平行的仍平行；④原来共点的仍共点．答案①③④解析根据斜二测画法，原来互相垂直的线段未必垂直．8．如图所示，△A′B′O′为水平放置的△ABO的直观图，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是____________．答案OD，BD，AB，BO解析由题图可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝17，BO＝25，故OD<BD<AB<BO.9．给出以下说法，其中不正确的是________．(填序号)①水平放置的矩形的直观图可能是梯形；②水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形；③水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形；④水平放置的菱形的直观图可能是平行四边形．答案①②解析由斜二测画法规则可知①②不正确．10．如图所示，四边形OABC 是上底为2cm ，下底为6cm ，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中，梯形的高为________cm.答案22解析作CD ，BE ⊥OA 于点D ，E ，则OD ＝EA ＝OA －BC 2＝2(cm)，∴OD ＝CD ＝2cm ，∴在直观图中梯形的高为12×2×22＝22(cm)．二、解答题11．如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算解由已知，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，可得该四边形的原图形，如图所示，这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图形的面积为2 2.12.如图，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC .解(1)过C ′，B ′分别作y ′轴的平行线交x ′轴于点D ′，E ′.(2)在直角坐标系xOy 中，在x 轴上取两点E ，D ，使OE ＝O ′E ′，OD ＝O ′D ′，再分别过E ，D 作y 轴的平行线，取EB ＝2E ′B ′，DC ＝2D ′C ′，连结OB ，OC ，BC ，并擦掉辅助线及x 轴，y 轴，即画出原△ABC .13.如图所示，在△ABC 中，AC ＝12cm ，AC 边上的高BD ＝12cm ，求其水平放置的直观图的面积．解方法一画x ′轴，y ′轴，两轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，作△ABC 的直观图如图所示，则A ′C ′＝AC ＝12cm ，B ′D ′＝12BD ＝6(cm)，故△A ′B ′C ′的高为22B ′D ′＝32(cm)，所以S △A ′B ′C ′＝12×12×32＝182(cm 2)．即水平放置的直观图的面积为182cm 2.方法二△ABC 的面积为12AC ·BD ＝12×12×12＝72(cm 2)．由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得△ABC 水平放置的直观图的面积是24×72＝182(cm 2)．三、探究与拓展14．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，B ′C ′∥y ′轴，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为________．考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案732解析由斜二测画法规则知AC ⊥BC ，即△ABC 为直角三角形，其中AC ＝3，BC ＝8，所以AB ＝73，AB 边上的中线长度为732.15．用斜二测画法画出正三棱柱ABC —A ′B ′C ′的直观图．解(1)画轴．如图，画出x 轴，y 轴，z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．作水平放置的正三角形的直观图△ABC .(3)画侧棱．过A ，B ，C 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA ′，BB ′，CC ′，使得AA ′＝BB ′＝CC ′.(4)成图．顺次连结A ′，B ′，C ′，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得到的图形就是几何体的直观图．。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.1.1
1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台学习目标1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简单的棱柱、棱锥、棱台．知识点一棱柱的结构特征思考观察下列多面体，有什么共同特点？答案(1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形．梳理棱柱的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱柱由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F底面：平移起止位置的两个面，侧面：多边形的边平移所形成的面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：侧面与底面的公共顶点底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……知识点二棱锥的结构特征思考观察下列多面体，有什么共同特点？答案(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．梳理棱锥的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥如图可记作：棱锥S —ABCD底面(底)：多边形面，侧面：有公共顶点的各个三角形面，侧棱：相邻侧面的公共边，顶点：由棱柱的一个底面收缩而成按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、……知识点三棱台的结构特征思考观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？答案(1)区别：有两个面相互平行．(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．梳理棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台如图可记作：棱台ABCD —上底面：原棱锥的截面，下底面：原棱锥的底面，侧面：其余各面，侧棱：相邻侧面的公由三棱锥、四棱锥、五棱锥、……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱A′B′C′D′共边，顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点台、五棱台、……知识点四多面体思考一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共点分别叫什么名称？答案多面体是由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点．梳理类别多面体定义由一些平面多边形围成的几何体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形，棱：相邻两个面的公共边，顶点：棱与棱的公共点1．棱柱的侧面都是平行四边形．(√)2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(×)3．若一个平行六面体的两个对角面都是矩形，则这个平行六面体一定是直平行六面体．(√)4．棱柱的两个底面是全等的多边形．(√)类型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征命题角度1棱柱的结构特征例1下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．答案③④解析①错误，底面可以不是平行四边形；②错误，底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义可知；④正确，被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱．反思与感悟关于棱柱的辨析(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析．①两个底面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．特别提醒：求解与棱柱相关的问题时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．跟踪训练1关于棱柱，下列说法正确的是__________．(填序号)①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体．答案②解析①不正确，反例如图所示．②正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．③不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．命题角度2棱锥、棱台的结构特征例2(1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？解该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公共顶点，但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥．(2)如图所示的多面体是不是棱台？解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行．即各侧棱的延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图①中多面体各侧棱的延长线不相交于同一点，故不是棱台；图②中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图③中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台．反思与感悟棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被阴影部分所在的平面截成的两部分是两个三棱锥．类型二棱柱、棱锥、棱台的画法例3画出一个三棱柱和一个四棱台．解(1)画三棱柱可分以下三步完成：第一步，画上底面——画一个三角形；第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示，被遮挡的线要画成虚线)．(2)画四棱台可分以下三步完成：第一步，画一个四棱锥；第二步，在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步，将多余的线段擦去(如图所示，被遮挡的线要画成虚线)．反思与感悟在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线．在空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线．作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确．跟踪训练3画一个六面体．(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是由两个三棱锥组成；(3)使它是五棱锥．解如图所示：图1是一个四棱柱，图2是一个由两个三棱锥组成的几何体，图3是一个五棱锥．类型三空间问题与平面问题的转化例4如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示．线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可知AD＝3，则AA1＝6.即截面△AEF周长的最小值为6.反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图．(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题．(3)结合已知条件求得结果．跟踪训练4如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．答案10解析将三棱柱侧面沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD21＝10.1．有下列三个命题：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．其中正确的有________个．答案0解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，各侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．2．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm ，则每条侧棱长为________cm.考点棱柱的结构特征题点与棱柱有关的运算答案12解析因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为605＝12(cm)．3．下列说法错误的是________．(填序号)①多面体至少有四个面；②九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形；③长方体、正方体都是棱柱；④三棱柱的侧面为三角形．答案④解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故④错．4．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．(仅填相应序号)答案①③④⑥⑤解析结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．5．下图中不可能围成正方体的是________．(填序号)答案④1．棱柱、棱锥及棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行．②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形．②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．3．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.一、填空题1．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．答案3解析如图，分割为A1-ABC，B-A1CC1，C1-A1B1B,3个棱锥．2．一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有______个顶点，顶点最少的一个棱台有______条侧棱．答案5433．下列描述中，是棱柱的结构特征的有________．(填序号)①有两个面互相平行；②侧面都是四边形；③每相邻两个侧面的公共边都互相平行；④所有侧棱都交于一点．答案①②③解析由棱柱的定义知，①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均互相平行．4．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是________．(填序号)①A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4；②A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3；③A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4；④A 1B 1＝AB ，B 1C 1＝BC ，C 1A 1＝CA .考点棱台的结构特征题点棱台的概念的应用答案③解析因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△A 1B 1C 1∽△ABC ，所以A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC.故填③.5．下图中不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是________．(填序号)答案③④解析③④中的四个三角形有公共顶点，无法折成三棱锥，故不是正四面体的展开图．6．在五棱柱中，不在同一侧面且不在同一底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________．答案10解析如图，在五棱柱ABCDE -A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，所以共2×5＝10(条)．7．如图，将三棱台ABC—A′B′C′沿A′BC截去三棱锥A′—ABC，则剩余部分是______________．答案四棱锥A′—BCC′B′解析在图中截去三棱锥A′—ABC后，剩余的是以BCC′B′为底面，A′为顶点的四棱锥．8．用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1∶4，且截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是________cm.答案3解析由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似．又因为上、下底面的面积比为1∶4，所以上、下底面的边长比为1∶2，所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1∶2，则棱台的高是3cm.9．如图，M是棱长为2cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是________cm.答案13解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1cm,4cm，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13cm.10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是________．(写出所有正确结论的序号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．答案①③④⑤解析①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD.故填①③④⑤.二、解答题11．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．12.如图，在边长为2a 的正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面有何特点？(3)每个面的面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF 为等腰三角形，△PEF 为等腰直角三角形，△DPE 和△DPF 均为直角三角形．(3)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝S 正方形ABCD -S △PEF -S △DPF -S △DPE＝(2a )2-12a 2-a 2-a 2＝32a 2.13．给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明．考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用解如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．三、探究与拓展14．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC ＝________.答案60°解析将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ABC ＝60°.15．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB 1F -CC 1E 和棱柱ABFA 1-DCED 1.。