积分上限函数的极限问题 PPT
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
《定积分定义》课件
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)
y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （ ） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 ， 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
第十讲 定积分的概念与性质 积分上限函数及其导数
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
机动
目录
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返回
结束
2) 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: a) 大化小. n 个小段 过的路程为 b) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
下页 返回
1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
1 2 x 0
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和（几何意义）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、可积的充分条件:
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
积分上限函数
积分上限函数
积分上限函数（integrallimitfunction）是一类函数，用来描述某种函数序列的极限情况，它由一个无穷级数的累积和构成，加快无穷级数的收敛速度，可以让无穷级数在有限情况下更好地近似极限函数。
一般来说，积分上限函数可以用数学积分和渐进表示形式定义。
简单地说，积分上限函数就是通过把一系列函数由小到大求和后逐步收敛到极限函数。
其计算结果可以用下列形式表示：如果有序列（fn），则当n→∞时，`lim``(Σ_(n=1)^Nf_n(x)) = F(x)，或lim_(h→0)Σ_(n=1)^Nf_n(x)h = F(x)`。
积分上限函数的实际应用非常广泛，可以用来描述各种现象的变化规律。
例如，它可以用来表示分子的结构变化，描述力学系统的运动规律，以及描述两种不同质量的粒子的交互作用。
此外，它还可以被应用于复杂系统的数值分析中，可以用来计算系统中的关键参数，为系统的优化提供有效支持。
另外，积分上限函数也可以用来描述统计分布的随机性。
它可以用来模拟随机漫步行为，或者描述某些实际问题中随机变量的分布情况，例如随机变量的期望值、方差等。
有时候也可以用来描述不确定性和分布偏差，以及模拟数据分析等场景。
此外，积分上限函数还可以用来对函数的精确结果进行投影，以此来拟合实际问题。
它可以用来拟合函数中的等式到一个给定的上限或下限，并分析函数的变化情况。
总之，积分上限函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述许多实际问题、实际现象的变化以及解决实际问题的有效支持。
它的计算结果具有一定的可靠性，可以作为支持决策的有力依据。
积分上限函数
积分上限函数积分上限函数是数学中的一种强大的工具，它能够有效的解决许多复杂的问题。
它最初是由德国数学家Karl Weierstrass在1883年提出的，之后被许多数学家用于解决多变量函数的最优化问题和其他数学上的技巧应用。
积分上限函数是一种可以在有限时间和步骤内寻找数学函数的最优解的方法。
一般来说，它是在一系列有约束条件（如连续性、可导性、可积分性等）的情况下，有极限的定义，并且能够使用一系列有限的步骤，以最大或最小的值来最优化函数的运算。
积分上限函数的优势主要表现在两个方面：一是它不仅可以解决复杂的问题，而且在计算时间上也比其他方法更加有效；二是它可以处理多维的问题，而其他的方法往往只能处理二维问题。
实际应用中，积分上限函数被广泛应用于数学中的最优化问题，如非线性系统、机器学习、图像处理和信号处理等，以及最小二乘法等数学知识框架。
比如，最小二乘法是一种经典的最优化方法，它是在有效果的最小方差函数中求取最优解，而积分上限函数可以实现这一目的，而且计算量也更小。
另外，积分上限函数还可以应用于优化计算中的逼近问题，如数值积分和拟合优化等，这些问题可以使用它进行解决。
例如，在有限元问题中，诸如弹性问题或热传导问题等，可以使用积分上限函数进行数值求解，从而可以获得更快更准确的结果。
积分上限函数还可以用于控制系统、机器学习和机器人的控制，在这些领域的应用可以实现自动的、快速、准确的控制。
举个例子，如果要控制一个机器人，可以使用积分上限函数来实现机器人的无人驾驶，以及机器人的实时动作反应等，这些技术大大提高了机器人控制的效率和准确性。
综上所述，积分上限函数是一种强大的工具，它可以有效地解决许多复杂的最优化问题和控制问题，在数学中被广泛应用。
它具有有效简单、快速准确的优势，可以有效的解决许多复杂的问题，并能够大大提高相关工作的效率和效果。
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0
2 lim
x et2 dt ex2
0
x0 x t e2t2 d t 0
x0
x e2x2
2
lim
x et2dt
0
2 ex2 lim
2．
x0
x
x0 1
相关例题2
x et2dt
lim 1
．
x1 ln x
解答：
lim
x 1
et2 d t
lim
e x2
e．
x1 ln x
x1 1
x
大家学习辛苦了，还是要坚持
2．当积分上限变量同时出现于被积函数 中时，求导常常发生错误．
方法总结
先确定所给表达式是否为未定式，若是，则 按洛必达法则运用积分上限函数的求导公式分别 求出分子、分母的导数，进而求得极限．
相关例题1
x
et2
dt
2
lim 0
．
x0 x t e2t2 d t 0
解答：
lim
x et2 d t 2
相关例题4
已知极限 lim 1
x sin t d t 1，试确
x0 e x bx a 0 t c
定非零常数 a 、 b 、 c 的值．
解答：
由于 x 0
sin t d t 0 x 0，故由条件知
tc
lim ex bx a 0 ，
x0
得1 a 0 ， a 1．
x0 2x x sin t d t x2 sin x 0
解题步骤2
2 x2 ex2
lim
x0 2
x
sin t d t x sin x
0
lim
4x
x0 3sin x x cosx
lim
4
1．
x0 3 sin x cos x
x
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识 别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限；
积分上限函数的极限问题
解题方法1
利用洛必达法则和积分上限函数的求导公 式，分别求出分子、分母的导数，然后可确定 未定式的极限．
解题步骤1
x2 t etdt
lim 0
x0 x x 2 sin t d t 0
lim
d d x
x 0
2
t
e
t
d
t
x0
d dx
x
2
x 0
s
in
tdt源自x2 ex2 2x lim
继续保持安静
相关例题3
求极限 lim x0
x2 t3/2 d t
0
．
x tt sin td t
0
解答：
lim
x0
x2 t3/2 d t
0
lim (x2 )3/ 2 2x
x
t(t sin t) d t
x0 x(x sin x)
0
lim 6x 2 lim 12x 12 ． x0 1 cos x x0 sin x