方差

方差：各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。

用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

标准差：方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

例：x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，表示个体，而就表示方差。

期望：
起源：早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)=1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

1、离散型
离散型随机变量的数学期望
离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi(=xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。

它反映随机变量平均取值的大小。

又称期望或均值。

如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。

它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

例：某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

2、连续型
若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。

连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分
绝对收敛，则称此积分值为随机变量X的数学期望，记为：
例：经预测，国际市场每年对我国某种出口产品的需求量（以吨计）在上服从均匀分布，每出口一吨可获利3万元，若积压一吨，则亏损2万元，现由某公司独家经
营此出口业务，问该公司应储备多少吨该种产品，才能使所获利润的数学期望最大？
解设该公司储备
吨该种产品，显然有
则该公司所获利润为
的概率密度为
于是
，
，令
，得。

故当y=3200（吨）时，该公司所获利润的期望最大。

协方差：
对二维随机向量（X,Y)来说，期望E(X),E(Y)只反映了X,Y各自的平均值，方差D(X),D(Y)只反映了它们各自与自己均值的偏离程度，它们对X,Y之间的相互关系不提供任何信息。

我们知道当X,Y相互独立时，有
E((X-E(X))(Y-E(Y))＝0 由此可知，如不等于0，则它们肯定不独立
于是期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实数随机变量X与Y之间的协方差定义为：Cov(X,Y) = E[X-E(X)][Y-E(Y)]
协方差用于衡量两个变量的总体误差。

而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。

协方差的计算
1、离散型随机向量
其中P{X=xi ,Y=yj}=pij i, j=1, 2, 3, ….
2、连续型随机向量
协方差的应用意义：如果说方差是用来衡量一个样本中，样本值的偏离程度的话，协方差就是用来衡量两个样本之间的相关性有多少，也就是一个样本的值的偏离程度，会对另外一个样本的值偏离产生多大的影响。

方差是用来度量单个变量“自身变异”大小的总体参数，方差越大，该变量的变异越大；
协方差是用来度量两个变量之间“协同变异”大小的总体参数，即二个变量相互影响大小的参数，协方差的绝对值越大，二个变量相互影响越大。

对于仅涉及单个变量的试验资料，由于其总变异仅为“自身变异”（如单因素完全随机设计试验资料，“自身变异”是指由处理和随机误差所引起的变异），因而可以用方差分析法进行分析；
cov(,)[()][()]
i j ij
i j
X Y x E X y E Y p
=--
∑∑
cov(,)[()][()](,)
X Y x E X y E Y f x y dxdy
+∞+∞
-∞-∞
=--
⎰⎰
对于涉及两个变量的试验资料，由于每个变量的总变异既包含了“自身变异”又包含了“协同变异”（是指由另一个变量所引起的变异），须采用协方差分析法来进行分析，才能得到正确结论。

相关系数：协方差是可以用来计算相关系数的，由于协方差取值的大小要受到量纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y 标准化后再求协方差。

对于随机变量X 和Y , 若D (X )≠０, D (Y )≠０, 则称
为随机变量X 和Y 的相关系数（标准协方差） 。

相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的指标。

应用：例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:
表1 广告费与月平均销售额相关表 单位：万元 年广告费投入 月均销售额
12.5 15.3 23.2 26.4 33.5
34.4 39.4 45.2 55.4 60.9
21.2 23.9 32.9 34.1 42.5 43.2 49.0 52.8 59.4 63.5
参照表1，可计算相关系数如表2：
*X E X X -=*Y E Y
Y -=**(,)Cov X Y ****{[()][()]}E X E X Y E Y =--
**()E X Y =X E X Y E Y E --={[][]}E X E X Y E Y --=
=)
()()
,(Y D X D Y X Cov XY =ρ
序号
广告投入(万元) x 月均销售额(万元) y
x^2 y2 xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12.5 15.3 23.2 26.4 33.5 34.4 39.4 45.2 55.4 60.9
21.2 23.9 32.9 34.1 42.5 43.2 49.0 52.8 59.4 63.5 156.25 234.09 538.24 696.96 1122.25 1183.36 1552.36 2043.04 3069.16 3708.81 449.44 571.21 1082.41 1162.81 1806.25 1866.24 2401.00 2787.84 3528.36 4032.25
265.00 365.67 763.28 900.24 1423.75 1486.08 1930.60 2386.56 3290.76 3867.15
合计 346.2 422.5
14304.52
19687.81 16679.09
=0.9942
相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。

【例】一种新产品上市。

在上市之前，公司的物流部需把新产品合理分配到全国的10个仓库，新品上市一个月后，要评估实际分配方案与之前考虑的其他分配方案中，是实际分配方案好还是其中尚未使用的分配方案更好，通过这样的评估，可以在下一次的新产品上市使用更准确的产品分配方案，以避免由于分配而产生的积压和断货。

表1是根据实际数据所列的数表。

通过计算，很容易得出这3个分配方案中，B 的相关系数是最大的，这样就评估到B
的分配方案比实际分配方案A更好，在下一次的新产品上市分配计划中，就可以考虑用B 这种分配方法来计算实际分配方案。

【例】如果有若干个样品，每个样品有n个特征，则相关系数可以表示两个样品问的相似程度。

借此，可以对样品的亲疏远近进行距离聚类。

例如9个小麦品种(分别用A1,A2,...,A9表示)的6个性状资料见表2，作相关系数计算并检验。

由相关系数计算公式可计算出6个性状间的相关系数，分析及检验结果见表3。

由表3可以看出，冬季分蘖与每穗粒数之间呈现负相关(ρ = − 0.8982)，即麦冬季分蘖越多，那么每穗的小麦粒数越少，其他性状之间的关系不显著。