时间序列分析-第四章 均值与自协方差函数的估计
均值、方差、自相关函数的估计
2
{x(t)
E[x(t)]}2
f
( )d
0
2
0 [sin(0t
)
0]2
1
2
d
1 2
(3)自相关函数
R(t1,t2 ) E[x(t1)x(t2 )]
2
0 [x(t1)x(t2 )] f
( )d
2
0 sin(0t1
) sin(0t1
)
1
n0
此估计均值为：
^
E[ x2 ]
E
1 N
N 1
[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
E[x(n) mx ]2
n0
1 N
N 1
x2
n0
x2
（2.3.6）
因为估计的均值等于真值，故为无偏估计
估计的方差为：
^
^
^
var(
2 x
)
E{[
2 x
E[x(n)x(m)] E[x(n)]E[x(m)] mx2
2 E[m x ]
1 N
mx2
N 1 N 1
[
m2x ]
n0 m0,mn
1 N
mx2
N N
1
m2
x
上式代入式（2.3.3），有
^
var(mx )
1 N
mx2
N N
1
m2
x
m2x
1 N
E(
2 x
)]2}
将式（2..6）代入上式，得
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式
平稳过程公式自协方差函数自相关函数的计算公式为了计算平稳过程的自协方差函数和自相关函数，我们首先需要了解平稳过程、协方差函数和自相关函数的定义和计算方法。
一、平稳过程的定义在时间序列分析中，平稳过程指的是具有稳定统计特性的随机过程。
简单来说，平稳过程是指整个时间序列的统计分布在不同时刻不发生明显变化的过程。
二、协方差函数的定义和计算公式协方差函数用来衡量两个随机变量之间的线性关系程度。
对于平稳过程，协方差函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
对于平稳过程{X(t)}，其协方差函数γ(k)定义为：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))其中，Cov表示协方差的计算，k表示时间间隔。
根据简单的平均值计算公式，协方差函数的计算公式为：γ(k) = E[(X(t)-μ)(X(t+k)-μ)]其中，E表示期望操作，μ表示随机变量X(t)的均值。
三、自相关函数的定义和计算公式自相关函数用来衡量一个随机过程在不同时刻的相关性。
对于平稳过程，自相关函数只与时间间隔有关，而与具体的时间点无关。
自相关函数ρ(k)定义为：ρ(k) = Co v(X(t), X(t+k)) / Var(X(t))其中，Cov和Var分别表示协方差和方差。
根据协方差函数和方差的定义，自相关函数的计算公式为：ρ(k) = γ(k) / γ(0)其中，γ(k)表示协方差函数。
四、总结通过以上的论述，我们可以得出平稳过程的自协方差函数和自相关函数的计算公式：自协方差函数：γ(k) = Cov(X(t), X(t+k))自相关函数：ρ(k) = γ(k) / γ(0)需要注意的是，在实际计算中，协方差函数和自相关函数通常只计算一部分的值，比如只计算前几个滞后阶数的值，以节省计算时间和资源。
总而言之，平稳过程的自协方差函数和自相关函数提供了衡量序列内在关系的重要指标，对于分析时间序列的特征和预测未来数值具有重要作用。
正确理解和计算这些函数的公式是进行时间序列分析的基础。
时间序列分析第四章ARMA模型的特性王振龙第二版
一、自协方差函数
• 理论自协方差函数和自相关函数 对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数
k E Xt Xtk
自相关函数
k
k 0
• 样本自相关函数的计算
在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限
样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自
= 1.1
-4.0E+10 X
-6.0E+10
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
X
= -1.1
24
20
20
16 15
12
10
8
5
4
0
0
-5
-10 -4
25 50 75 100 125 150-15175 200 225 250
=1
X -20
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
第四章 ARMA模型的特性
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t) a0 y(t) u(t)
可转化为 y(t 1) a0 y(t) u(t) 其中 a0 1 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k，
MA(m)模型的可逆性条件为其特征方程
V m 1V m1 2V m2 ... m 0 的特征根Vk
满足 Vk 1
• ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系
在格林函数的表达式中，用 I j 代替 G，j 代替 ，
代替 ，即可得到相对应的逆函数。
第三节 自协方差函数
时间序列 秩序列的均值和方差
时间序列是指按照一定的时间顺序排列的一组数据或观测值，通常是在连续的时间点上进行收集的。
时间序列分析是研究这些时间序列数据的性质、规律和预测方法的统计学方法。
在时间序列分析中，序列的均值和方差是两个非常重要的统计量，它们可以帮助我们了解时间序列数据的集中趋势和离散程度。
1. 序列的均值序列的均值是一组数据的平均值，它是描述这组数据集中趋势的统计量。
在时间序列分析中，我们通常关心的是序列的期望值，也就是均值。
计算时间序列的均值可以帮助我们了解数据的总体水平，从而更好地理解数据的发展趋势。
对于给定的时间序列数据，计算其均值可以采用简单平均法，即将所有数据相加然后除以数据的个数。
另一种方法是加权平均法，通过为每个数据点分配一个权重来计算加权平均值，使得某些数据点对均值的贡献更大。
在时间序列分析中，均值可以帮助我们判断数据的总体水平是否发生了变化，从而帮助我们进行预测和决策。
如果时间序列数据的均值在一段时间内呈现上升趋势，我们可以认为数据整体的水平在上升。
反之，如果均值呈现下降趋势，我们可以认为数据整体的水平在下降。
2. 序列的方差序列的方差是一组数据的离散程度的度量，它可以告诉我们数据集中的数据点离均值的距离。
在时间序列分析中，方差通常用来衡量数据的波动性或不确定性。
方差越大，数据的波动性就越大，反之则波动性较小。
计算时间序列数据的方差需要先计算数据点与均值的偏差，然后将所有偏差的平方求和并除以数据的个数。
方差的计算过程中，偏差的平方使得距离均值较远的数据点对方差的贡献更大，从而更好地反映了数据的波动性。
在时间序列分析中，方差可以帮助我们了解数据的波动性以及不确定性。
如果时间序列数据的方差较大，我们可以认为数据的波动性较大，风险也较高。
相反，如果方差较小，数据的波动性和风险则相对较低。
3. 时间序列的均值和方差的应用时间序列的均值和方差在金融、经济、气象等领域有着广泛的应用。
在金融领域，股票价格的时间序列数据的均值和方差可以帮助投资者了解股票价格的总体水平和波动性，从而更好地决策。
时间序列分析-第四章 均值和自协方差函数的估计
^
一般情况下，无偏估计比有偏估计来得好，对 _ 于由(1.1)定义的 X N 。有
E XN
1 N
1 EX k N k 1
N
.
k 1
N
所以 X N 是均值 的无偏估计。
均值估计的相合性
好的估计量起码应是相合的。否则，估计量不 收敛到要估计的参数，它无助于实际问题的解 决。 对于平稳序列{X t } ，如果它的自协方差函数{ k }
样本自相关系数(ACF)估计为
k
(2.2)
k ,| k | N 1 0
(2.3)
自协方差函数估计公式
估计 k 一般不使用除了 N k 的估计形式： N k 1 (2.4) ( x j x N )( x j k x N )
N k
j 1
, a.s., , a.s.. lim k k lim k k
N N
定理2.1的证明
下面只对由(2.2)定义的样本自协方差函数证明 的证明是一样的。 定理2.1。对由(2.4)定义的 k 设 EX1. 则{Yt } {X t } 是零均值的平稳序列。 利用
因为： 我们不对大的k值计算 k 更重要的是只有除以N的估计式才是正定的。
样本自协方差的正定性
N 只要观测 x1 , x2 ,, xN 不全相同则 正定。 令 y j x j xN . 记
) ( k j k , j 1,2,, N
0 0 A y1
均值估计公式
设 x1 , x2 ,, xN 是平稳列 { X t }的观测。 EX t 的点估计为
时间序列分析
2.常数方差 2.常数方差
Var ( xt ) = Var ( µ + ε t − θ1ε t −1 − θ 2ε t −2 − L − θ qε t −q ) = (1 + θ12 + L + θ q2 )σ ε2
时间序列
时间序列的基础知识 时间序列模型构建步骤 时间序列的几个基本模型
2011.6
时间序列的基础知识
背景介绍
1927年，英国统计学家G.U.Yule提出了子回归模型 （AR），不久之后，英国数学家、天文学家G.T.Walker提 出了移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA） 模型。 1970年，美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家 G.M.Jenkins提出了求和自回归移动（ARIMA）模型。
MA模型的可逆性条件：MA（ MA模型的可逆性条件：MA（q）模型可以表示为 模型的可逆性条件
εt =
xt Θ( B )
Θ( B ) = 1 − θ1B − L − θ q B q为移动平均系数多项式. 为移动平均系数多项式.
移动平均系数多项式的根均在单位圆外时，可逆。 移动平均系数多项式的根均在单位圆外时，可逆。
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平稳时间序列的性质
一 常数均值
EX t = µ
二 自相关函数和自协方差函数只依赖与时间的平移长 度而与时间的起始位置无关的
γ (t , s ) = γ ( k , k + s − t )
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平稳性的检验 两种检验方法： 两种检验方法：
时间序列分析
时间序列分析》课程教学大纲课程编号:02200041课程名称：时间序列分析英文名称：Time Series Analysis课程类型:专业选修课总学时：72讲课学时：68习题课学时：4学分：4信息与计算科学专业（金融方向）本科四年级适用对象:先修课程：数学分析、线性代数、复变函数、概率论和数理统计、随机过程一、课程简介时间序列分析是随机数学的一个分支，主要运用随机数学的方法来研究随机序列的性质、理论和预测问题，并与经济、管理及工程技术领域联系密切，有着广泛的应用背景，在培养具有良好素养的数学应用人才方面起着重要的作用。
二、课程性质、目的和任务时间序列分析是信息与计算科学（金融方向）专业本科四年级学生的专业选修课，本课程以数学分析、线性代数、复变函数概率论和数理统计、随机过程等前期课程作为基础。
通过本课程的学习，使学生理解时间序列的时域分析和频域分析的基本理论和方法, 掌握时间序列的建模、预报的基本思路和方法, 用科学的思想与方法来分析、解决实际问题。
三、教学基本要求要求学生掌握各类平稳ARMA过程的基本概念及基本特征，理解时间序列的时域分析和频域分析的基本理论和基本方法，运用时域分析和频域分析的基本理论和方法，对获得的一组动态数据能进行分析研究，选择合适的模型，并对该模型进行参数估计，最终建立模型，达到预报目的。
四、教学内容及要求第一章时间序列§1.1时间序列的分解；§ 1.2平稳序列；§ 1.3线性平稳序列和线性滤波；§ 1.4正态时间序列和随机变量的收敛性；§ 1.5严平稳序列及其遍历性；§ 1.6 Hilbert空间中的平稳序列；§1.7平稳序列的谱函数教学要求：掌握时间序列分析分解的基本方法，平稳序列的定义及自协方差函数、自相关系数的基本性质，线性平稳序列和线性滤波的性质，正态时间序列的定义性质和随机变量的收敛性的定义，严平稳序列及其遍历性，平稳序列的谱函数。
自协方差函数范文
自协方差函数范文自协方差函数（autocovariance function）是时间序列分析中一个重要的概念。
它用于衡量同一时间序列中不同时间点的观测值之间的相关性。
在本文中，我们将详细介绍自协方差函数的定义、性质以及它在时间序列分析中的应用。
首先，让我们来定义自协方差函数。
假设有一个时间序列{X_t}，定义其自协方差函数为：\gamma(h) = Cov(X_t, X_{t+h})\]其中，h代表时间间隔。
自协方差函数衡量了时间序列在不同时刻观测值之间的相关性。
当h=0时，自协方差函数表示时间序列的方差，即：\gamma(0) = Cov(X_t, X_t) = Var(X_t)\]接下来，我们将介绍自协方差函数的一些重要性质。
1. 对于任意的时间间隔h，自协方差函数是一个实数。
由于自协方差函数是协方差的衡量，因此它满足协方差的所有性质，比如对称性：\(\gamma(h) = \gamma(-h)\)。
2.自协方差函数的取值范围为实数。
由于协方差的取值范围是[-1,1]，因此自协方差函数的取值范围也是实数。
3. 自协方差函数是非负的。
由于协方差的非负性，自协方差函数也是非负的：\(\gamma(h) \geq 0\)。
4. 自协方差函数的性质与时间平移无关。
假设{X_t}是一个平稳时间序列，那么它的自协方差函数与时间平移无关，即对于任意的h和t，有\(\gamma(h) = \gamma(h + t)\)。
这是平稳时间序列的一个重要特性。
1.平稳性检验：自协方差函数可以用于检验一个时间序列是否为平稳时间序列。
根据平稳时间序列的特性，它的自协方差函数在任意时间间隔h下应该是常数。
如果自协方差函数随着时间间隔的增长而变化较大，则说明该时间序列缺乏平稳性。
2.估计自回归模型：自协方差函数可以用于估计自回归（AR）模型的参数。
自协方差函数与自回归系数之间存在一对一的关系，通过对自协方差函数进行拟合，可以估计自回归模型的参数。
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除了个别情况，这个阶数一般不能再被改进。
收敛速度(2)
定理1.4 设 { t }是独立同分布的 WN (0, )。线 性平稳序列 { X t }由(1.5)定义。谱密度 f (0) 0 。 当以下的条件之一成立时： 1 当 k , |k| 以负指数阶收敛于0. 2 谱密度 f ( ) 在 0 连续。并且 E | t |r 对某个 r 2 成立。
可以据此计算 的 95% 置信区间。
[ X N 1.96 / N , X N 1.96 / N ].
(1.3)
其中的1.96也经常用2近似代替。
平稳列的均值估计的中心极限定 理
定理1.2 设 { t }是独立同分布的 WN (0, 2 )，线 性平稳序列 {X t } 由 X t k t k , t Z , (1.5) k 定义。其中{ k } 平方可和。如果 { X t } 的谱密度
k
k 0 成立，则
d N ( X N ) N (0, 2 f (0))
并且 2 f (0) 0 2 j .
j 1
(1.7)
收敛速度
相合的估计量渐进性质除了是否服从中心极限 定理外，还包括这个估计量的收敛速度。 收敛速度的描述方法之一是所谓的重对数律。 重对数律成立时，得到的收敛速度的阶数一般 是
2
XN
1 N
X
t 1
N
t
, N
1 N
t 1
N
t
AR(2)的均值计算(2)
估计收敛性的模拟
为了观察 N 时 X N 的收敛可以模拟L个值然 后观察 X N , N n0,n0 1, , L的变化。 为了研究固定N情况下 X N 的精度以至于抽样分 布。可以进行M次独立的随机模拟，得到M个X N 的观察值。这种方法对于难以得到估计量的理 论分布的情况是很有用的。
^
一般情况下，无偏估计比有偏估计来得好，对 _ 于由(1.1)定义的 X N 。有
E XN
1 N
1 EX k N k 1
N
.
k 1
N
所以 X N 是均值 的无偏估计。
均值估计的相合性
好的估计量起码应是相合的。否则，估计量不 收敛到要估计的参数，它无助于实际问题的解 决。 对于平稳序列{X t } ，如果它的自协方差函数{ k }
2
则有重对数律
limsup
N
N ( X N ) 2 ln ln N
2 f (0), a.s.
(1.8) (1.9)
liminf
N
N ( X N ) 2 f (0), a.s. 2 ln ln N
易见重对数律满足时
( X N ) o(1) 0( ln ln N N ), ( X n ) / o(1) 不收敛。 N 2ln ln N
均值估计公式
设 x1 , x2 , , xN 是平稳列 { X t }的观测。 EX t 的点估计为
xN
1 N
x
k 1
N
k
把观测样本看成随机样本时记作大写的
X1 , X 2 , , XN
相合性
设统计量 N 是 的估计，在统计学中有如下的 定义 ^ ^ 1 如果 E N ，则称 E N 是 的无偏估计。 ^ 2 如果当 N , E N . 则称 N 是 的渐 进无偏估计。 ^ ^ 3 如果 N 依概率收敛到 ，则称 N 是 的相 合估计。 ^ ^ 4如果 N a.s. 收敛到 ，则称 N 是 的强相合 估计。
2 f ( ) | k t k |, t Z , (1.6) 2 k 在 0 连续，并且 f (0) 0. 则当 N 时，
d N ( X N ) N (0, 2 f (0))
推论
f ( ) 连续。 当{ k } 绝对可和时， 推论1.3 如果 k | k | 和 当N 时
收敛到零，则：
利用切比雪夫不等式
Pr(| X N | )
E ( X N )2
Байду номын сангаас
得到 X N 依概率收敛到 。于是 X N 是 的相 合估计。
2
0.( 0)
均值估计的性质
定理1.1 设平稳序列 { X t } 有均值 和自协方差 函数{ k }。则 1 X N 是 的无偏估计。 2 如果 k 0, 则 X N 是 的相合估计。 3 如果{ X t }还是严平稳遍历序列，则 X N 是 的强相合估计。
AR(2)的均值计算
i i A ( z ) (1 e z )(1 e z) 令 考虑AR(2)模型 A(B ) X t t
X t 2 cos X t 1 X t 2 t 2 为模拟方便设 {t }iid N (0, ) 。
第三条结论利用1.5的遍历定理5.1可得。 一般地，任何强相合估计一定是相合估计。 线性平稳列的均值估计是相合估计。 ARMA模型的均值估计是相合估计。
独立同分布样本的中心极限定 理
若 X1, X 2 , , X N idd (, 2 ) 。则
N ( X N )dN (0, 2 )
第四章
均值和自协方差函数的估计
本章结构
均值的估计 自协方差函数的估计 白噪声检验
§4.1 均值的估计
相合性 中心极限定理 收敛速度 X 的模拟计算
均值、自协方差函数的作用
AR,MA,ARMA模型的参数可以由自协方差函数 唯一确定。 有了样本之后，可以先估计均值和自协方差函 数。 然后由均值和自协方差函数解出模型参数。 均值和自协方差可以用矩估计法求。 还要考虑相合性，渐进分布，收敛速度等问题。