时间序列分析 第四章 (1)讲解
spss教程第四章---时间序列分析
第四章时间序列分析由于反映社会经济现象的大多数数据是按照时间顺序记录的，所以时间序列分析是研究社会经济现象的指标随时间变化的统计规律性的统计方法。
.为了研究事物在不同时间的发展状况，就要分析其随时间的推移的发展趋势，预测事物在未来时间的数量变化。
因此学习时间序列分析方法是非常必要的。
本章主要内容：1. 时间序列的线图，自相关图和偏自关系图；2. SPSS 软件的时间序列的分析方法−季节变动分析。
§4.1 实验准备工作§4.1.1 根据时间数据定义时间序列对于一组示定义时间的时间序列数据，可以通过数据窗口的Date菜单操作，得到相应时间的时间序列。
定义时间序列的具体操作方法是：将数据按时间顺序排列，然后单击Date →Define Dates打开Define Dates对话框，如图4.1所示。
从左框中选择合适的时间表示方法，并且在右边时间框内定义起始点后点击OK，可以在数据库中增加时间数列。
图4.1 产生时间序列对话框§4.1.2 绘制时间序列线图和自相关图一、线图线图用来反映时间序列随时间的推移的变化趋势和变化规律。
下面通过例题说明线图的制作。
例题4.1：表4.1中显示的是某地1979至1982年度的汗衫背心的零售量数据。
试根据这些的数据对汗衫背心零售量进行季节分析。
（参考文献[2]）表4.1 某地背心汗衫零售量一览表单位：万件解：根据表4.1的数据，建立数据文件SY-11（零售量），并对数据定义相应的时间值，使数据成为时间序列。
为了分析时间序列，需要先绘制线图直观地反映时间序列的变化趋势和变化规律。
具体操作如下：1. 在数据编辑窗口单击Graphs→Line,打开Line Charts对话框如图4.2.。
从中选择Simple单线图，从Date in Chart Are 栏中选择Values of individual cases，即输出的线图中横坐标显示变量中按照时间顺序排列的个体序列号，纵坐标显示时间序列的变量数据。
第四章 离散时间序列分析(1)
Discrete-time signal may also be written as a sequence of numbers inside braces: {x[n]}={…, -0.2 , 2.2 , 1.1 , 0.2 , -3.7 , 2.9 ,…} ↑ The arrow is placed under the sample at time index n = 0 In the above, x[-1]= -0.2, x[0]=2.2, x[1]=1.1, etc.
Addition operation:
x[n]
+
w[n]
y[n]
y[n]=x[n]+w[n]
Multiplication operation
A x[n] y[n] y[n]=A.x[n]
Time-reversal (folding) operation
y[n] = x[-n]
Time-shifting operation, where n is an integer If n > 0, it is delaying operation
k = A sin[ 2π ( f 0 ± ) nTs + α ) nTs m = A sin[2π ( f 0 ± )nTs + α ) Ts
= A sin(2πf 0 nTs + α ± 2kπ )
式中 m·n=k, n, k, m 均为整数，所以求得混叠频率
m f A = f0 ± = f0 ± mfs Ts
×
w[n]
y[n]
An application is in forming a finite-length sequence from an infinite-length sequence by multiplying the latter with a finite-length sequence called an window sequence The process is called windowing
时间序列分析——基于R(王燕)第四章
第四章：非平稳序列的确定性分析题目一：()()()()()()()12312123121231ˆ14111ˆˆ2144451.1616T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T xx x x x xx x x x x x x x x x x x x x x -------------=+++⎡⎤=+++=++++++⎢⎥⎣⎦=+++ 题目二：因为采用指数平滑法，所以1,t t x x +满足式子()11t t t x x x αα-=+-，下面式子()()11111t t t t t tx x x x x x αααα-++=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 成立，由上式可以推导出()()11111t t t t x x x x αααα++-=+-+-⎡⎤⎣⎦，代入数据得：2=5α. 题目三：()()()21221922212020192001ˆ1210101113=11.251ˆ 1010111311.2=11.04.5ˆˆˆ10.40.6.i i i xxxx x x x x αα-==++++=++++===+-=⋅∑（1）（2）根据程序计算可得：22ˆ11.79277.x= ()222019181716161ˆ2525xx x x x x =++++（3）可以推导出16,0.425a b ==，则425b a -=-. 题目四：因为,1,2,3,t x t t ==，根据指数平滑的关系式，我们可以得到以下公式：()()()()()()()()()()()()()()()221221 11121111 1111311. 2t t t t t tt x t t t x t t αααααααααααααααααααα----=+-------=-+---+--+++2+， ++2+用（1）式减去（2）式得：()()()()()221=11111.t t tt x t αααααααααααα-------------所以我们可以得到下面的等式：()()()()()()122111=11111=.t t t tt x t t αααααααα+-----------------()111lim lim 1.ttt ttxt tααα+→∞→∞----==题目五：1. 运行程序：最下方。
时间序列分析
第四章时间序列分析【案例导入】1在同行业中，路口煤矿自2000年以来的生产经营状况一直不错，尤其自2005年以来正经历着快速的发展。
然而，2007年5月，煤矿出现了渗水和倒塌事故，尽管没有造成人员伤亡，却导致生产停顿，一直到同年8月份才恢复正常生产。
幸运的是该煤矿办理了相关保险，然而与固定资产索赔不同的是，停业期间的收入损失很难确定，致使保险索赔工作陷入僵持状态。
此时，煤矿收入的历史资料为解决这一问题提供了依据，即根据表4-1的时序资料，煤矿确定了收入增长的长期趋势，并测算出5~7月可能实现的收入，最终为保险索赔奠定了基础，也为保险公司所接受。
单位：万元些历史资料，可以发现收入的变动趋势，即收入随时间增长或下降的趋势。
对这些资料的进一步观察，可以显示出收入的长期趋势，进而做出较好的推断。
从某种角度上看，这种方法就是观察现象发展的历史“足迹”，即过去是这样“走”的，则今后也许仍然会这样“走”。
通过上述方法有利于我们判断现象的未来发展，显然是一种预测思路。
通过本章学习，要明确时间序列的概念、作用、种类和编制原理，掌握各种动态分析指标的涵义、计算方法和应用条件；掌握动态趋势分析中长期趋势的测定与季节变动规律的计算和分析方法，以便在今后的实际工作中，运用这些方法进行统计分析。
本章的重点是时间序列的水平指标和速度指标，以及这些指标的计算和运用；难点是时间序列的各种趋势分析方法和预测模型。
第一节时间序列的概念和种类一、时间序列的概念社会经济现象总是随着时间的推移而变动的。
任何一个企业管理部门或研究机构或国家机关，要掌握社会活动或经济活动的变化过程及其发展趋势，就必须及时掌握和分析有关的时间序列资料。
所谓时间序列，亦称时间数列或动态数列，是社会经济指标的数值按时间顺序排列而形成的一种数列。
它反映社会经济现象发展变化的过程和特点，是研究现象发展变化的趋势和规律以及对未来状态进行科学预测的重要依据。
表4-2是某市社会劳动者、国内生产总值、第三产业比重和社会劳动生产率依时间顺序排列形成的数列，即为时间序列。
计量地理学 第四章 时间序列分析
第四章时间序列分析每一个时间序列都是事物变化过程中的一个样本，通过对样本的研究、分析，找出过程的特性、最佳的数学模型、估计模型中的参数，检验利用数学模型进行统计预测的精度。
如同描述随机变量一样，利用随机过程的一些数字特征来描述随机时间序列的基本统计特性。
地理要素的空间分布规律是地理系统研究的中心内容。
但是空间与时间是客观事物存在的形式，两者之间是互相联系而不能分割的。
因此，我们常常要分析要素在时间上的变化，在地理系统研究中，就称为地理过程。
据此来阐明地理现象发展的过程和规律。
1.通过对时间序列的研究，阐明对象发展的过程和规律。
现在的现象，往往必须从历史发展中寻找原因和依据。
这和其它学科是共同的。
2.时间上的变化是地理系统的本质特征。
很难找到在时间上不发生变化的地理系统，不同地区的不同变化速率，构成空间变化的主要特征。
３.空间差异有时还可以理解为特定区域地理系统或其要素的时间上变化在区域上的“投影”。
对同一种要素在一定时期的连续观察就确定出现象的时间序列。
许多时间序列的分析都是利用图解法来解决的。
在这种图象中，横轴是时间测度，纵轴是所研究的要素的数值。
第一节时间序列分析基本方法时间序列分析是地理预测的过程，主要研究地理要素及地理活动的时间变化趋势、季节变化、周期变化和不规则变化等规律。
一、图象法时间序列图象有两种表示方法：严格地说，线状图只能用于图象上与变量数值有关的每一点都与时间相对应的情况，例如逐日平均气温图象、人口增长图象等等。
如果变量数值是与各个时段有关，例如：月雨量、年出生率、24小时客流量，这种情况则用柱状图象表示更为合适。
但是，线状图也常用于表示与时段有关的变量。
这是因为线状图容易画、省时间，并且几条线可以叠加在一起，易于比较其趋势。
不过应该注意，不能用与时段有关的线状图进行内插求值。
这是因为一个时段内的每一点，并没有相对应的值。
比如，从年出生率线状图中，不能求出瞬时的或日、月的出生率。
向量自回归过程时间序列分析
第四章向量自回归过程的时间序列分析§1向量自回归模型有时我们需要考虑多个时间序列过程的组合。
例如，宏观经济系统中，（x ，〃s ，p ，D 它 们之间是一个相互联系的整体（IS —LM ）。
多变量的时间序列将会产生一些单变量不存在的 问题。
本章主要讨论平稳的自回归形式的多变虽:随机过程VAR 。
给一般的向量平稳过程,X=（人必门…比/ / = 0,±1,±2,……。
这里X 的协差矩阵定义为：厂伙）= covVr ）= E ［a —〃）（Xr 仅依赖于&。
设,:.r （k ）=r （-k ）a 设n= f ；r 伙），那么，。
=厂（0）+£山伙）+厂伙）'］。
称为x 的长X 2期协差阵。
且乙的谱泄义为:人9）= ^-E=丄｛几+却伙严+r （肪严］｝。
2/T A .YO2兀^-1A 1 丄 一 一用厂伙）=—工（乙一丫）（匚一丫）； &=0丄2,…作为r 伙）的估计，又M 是一个截断，满T 心+］M 八 . 时 k足M T s,且一to 。
再用c = r （o ）+y （i ------------------- ）［T 伙）+r‘伙）］作为。
的一致估计。
T 台 A/+1相应于单变量平稳过程，我们同样定义向量的白噪声过程WN 和向量的鞅差分过程MDS O 并进一步给岀由它们的线性过程组成的其他的向量过程：匕4尺（1）过程，Y t =（l ）Y t _｝+s ｛。
这里0是一个mxm 的矩阵，£是向量WN 。
平稳性要 求0的特征值的绝对值小于1。
UMA （l ）过程，Y’这里&是一个mxm 的矩阵，£是向量WN 。
可逆性要求&的特征值的绝对值小于1。
又，UMA （l ）过程总是平稳的。
VARMA(p^)^程，乙=空}^+・・・+ 0上-“+£+&适1+・・・+ &庐1，这里0和0都 是mxmZu厂伙）=/21Z12…YxmY11 • (i)于是得到矩阵序列⑴伙）｝ o 又I %•伙）=，的矩阵。
时间序列分析第四章ARMA模型的特性王振龙第二版
一、自协方差函数
• 理论自协方差函数和自相关函数 对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数
k E Xt Xtk
自相关函数
k
k 0
• 样本自相关函数的计算
在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限
样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自
= 1.1
-4.0E+10 X
-6.0E+10
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
X
= -1.1
24
20
20
16 15
12
10
8
5
4
0
0
-5
-10 -4
25 50 75 100 125 150-15175 200 225 250
=1
X -20
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
第四章 ARMA模型的特性
4.1 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式 先回忆线性常系数微分方程及其解的结构：
y(t) a0 y(t) u(t)
可转化为 y(t 1) a0 y(t) u(t) 其中 a0 1 a0
将上述方程中的近似号改为等号，实数t改为自然数k，
MA(m)模型的可逆性条件为其特征方程
V m 1V m1 2V m2 ... m 0 的特征根Vk
满足 Vk 1
• ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系
在格林函数的表达式中，用 I j 代替 G，j 代替 ，
代替 ，即可得到相对应的逆函数。
第三节 自协方差函数
第四章时间数列
三、编制时间数列的原则
目的：分析社会经济现象的变化过程及 其规律性。
基本原则：各项指标是否可以相互比较， 即是否具有可比性
1.注意时间单位（年、季、月等）的选 择，时间长短应一致
2.指标的经济内容应统一 3.注意空间范围的变化 4.计量单位要统一 5.计算方法相同 6.缺失资料要尽可能弥补
a1 a2 a2 a3 ... an1an
a 2
2
2
n 1
a
a1 2
a2
a3... an1
an 2
n 1
表4-6
月份 职工人数
（人）
某企业职工人数
6月30 日
7月31日8月31日
9月30 日
435 452 462 576
第三季度平均职工人数：
435 452 452 462 462 576
算期水平） ai
（二） 平均发展水平
平均发展水平是对不同时期的发展水平 求平均数，故又称序时平均数或动态平 均数
作用： 概括反映现象的一般发展水平 消除现象在短时间内波动的影响 解决同一现象在不同发展时期的比较问
题
序时平均数与一般平均数
区别：
序时平均数平均的是现象总体在不同时 期上的数量表现，是从动态上说明其在 某一时期发展的一般水平
来的，因此其计算平均发展水平的方法也是
由总量指标计算平均发展水平的方法派生来
的。
c a
b
c 代表相对指标或平均指标时间数列的平均 发展水平；a 代表分子数列的平均发展水平 ；b 代表分母数列的平均发展水平。
表4-9 某企业01年产品销售成本和存货 求一季度平均每月存活周转次数
1月 2月 3月 4月
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以周期长度作为移动平均的间隔长度 ，以消除周 期效应的影响
对趋势平滑的要求
移动平均的期数越多，拟合趋势越平滑
对趋势反映近期变化敏感程度的要求
移动平均的期数越少，拟合趋势越敏感
移动平均预测
xˆT l
1 n
(xT l1
xT l2
xT ln )
xT li
xˆT li xT li
,l i ,l i
例4.3
某一观察值序列最后4期的观察值为： 5，5.5，5.8，6.2
（1）使用4期移动平均法预测 xˆT 2 。
（2）求在二期预测值 多少？
xˆT 2 中
xT
前面的系数等于
例4.3解
（1） （2）
xˆT 1
常用平滑方法
移动平均法 指数平滑法
移动平均法
基本思想
假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之间的 差异主要是由随机波动造成的。根据这种假定， 我们可以用一定时间间隔内的平均值作为某一期 的估计值
分类
n期中心移动平均 n期移动平均
n期中心移动平均
5
~xt
1
n
随机性影响
对两个分解定理的理解
Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序 列和随机序列之和。它是现代时间序列分析理论的灵魂， 是构造ARMA模型拟合平稳序列的理论基础。
Cramer 分解定理是Wold分解定理的理论推广，它说明任 何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随 机性影响的综合作用。平稳序列要求这两方面的影响都是 稳定的，而非平稳序列产生的机理就在于它所受到的这两 方面的影响至少有一方面是不稳定的。
1 4
1 4
xT xT 1 xT 2 xT 3
xT
xT 1
xT
2
5
16
xT xT 1 xT 2
1 16
xT
3
5
在二期预测值中 xT 前面的系数等于 16
指数平滑法
指数平滑方法的基本思想
在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言，一般都 是近期的结果对现在的影响会大些，远期的结果对现在的影 响会小些。为了更好地反映这种影响作用，我们将考虑到时 间间隔对事件发展的影响，各期权重随时间间隔的增大而呈 指数衰减。这就是指数平滑法的基本思想
其中：{Vt }为确定性序列，t 为随机序列， t jt j
它们需要满足如下条件
j0
（1） 0 1,
2 j
j0
（2）
t ~
WN
(0,
2
)
（3） E(Vt , s ) 0, t s
ARMA模型分解
xt
(B) (B)
例4.4解
（1） xˆT1 ~xT 0.25xT 0.75~xT1 10.3 xˆT 2 xˆT 1 10.3
（2） xˆT 2 xˆT 1 xT (1 )xT 1
所以使用简单指数平滑法二期预测值中 xT 前面的系数就等
于平滑系数 0.25
1
n
(
x
t
n1
2
(1 2
xn t 2
xt n11 xt xt n11
2
2
x n xt x n
t 1
t 1
2
2
1 2
x
t
n
1
)，n为奇数
2
x n )，n为偶数 t 2
期 中
xt 2
xt 1
Holt两参数指数平滑
使用场合
适用于对含有线性趋势的序列进行修匀
构造思想
假定序列有一个比较固定的线性趋势，每期都递增 r或递减r xˆt xt1 r
但由于随机因素影响，每期的递增或递减不会恒为 r，而是随时间变化上下波动 xˆt xt1 rt1
Holt两参数指数平滑
克服其它因素的影响，单纯测度出某一个确定性 因素对序列的影响
推断出各种确定性因素彼此之间的相互作用关系 及它们对序列的综合影响
本章结构
1. 时间序列的分解 2. 确定性因素分解 3. 趋势分析 4. 季节效应分析 5. 综合分析 6. X-11过程
4.3趋势分析
目的
有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分析的目 的就是要找到序列中的这种趋势，并利用这种趋势 对序列的发展作出合理的预测
xˆT l ~xT l rT
例4.5
对北京市1978——2000年报纸发行量序列进行 Holt两参数指数平滑。指定
~x0 x1 51259
r0
x23 x1 23
4325
0.15
0.1
例4.5平滑效果图
残差序列的曲线图
非线性拟合
使用场合
长期趋势呈现出非线形特征
参数估计指导思想
能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最 小二乘法进行参数估计
实在不能转换成线性的，就用迭代法进行参数估计
常用非线性模型
模型
变换
Tt a bt ct 2
Tt abt
t2 t2
常用方法
趋势拟合法 平滑法
趋势拟合法
趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列 观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回 归模型的方法
分类
线性拟合 非线性拟合
线性拟合
使用场合
长期趋势呈现出线形特征
模型结构
xt a bt It
E
(
It
)
aˆ 8498 .69 , bˆ 89.12
拟合效果图
eviews拟合过程导入数据
序列支出（zc）对时间（t）进行线性回归分析
回归参数估计和回归效果评价 可以看出回归参数显著，模型显著，回归效果良好，序列具有明显线性趋势。
运用模型进行预测
绘制原序列和预测序列的线图
原序列和预测序列的线图
eviews 操作
图1：导入数据
图2：绘制曲线图 可以看出序列不是线性上升，而是曲线上升，尝试用二次模型拟合序列的发展
模型
非线性拟合
变换 参数估计方法
Tt a bt ct 2
线性最小二乘估计：命令ls ZS c T T*T
t2 t2
图3：模型参数估计和回归效果评价 因为该模型中T的系数不显著，我们去掉该项再进行回归分析。
分类
简单指数平滑 Holt两参数指数平滑
基本公式
简单指数平滑
~xt xt (1 )xt1 (1 )2 xt2
等价公式
~xt xt (1 )~xt1
经验确定
初始值的确定
~x0 x1
平滑系数的确定
一般对于变化缓慢的序列， 常取较小的值 对于变化迅速的序列， 常取较大的值 经验表明 的值介于0.05至0.3之间，修匀效果比
最终得到比较光滑的俢匀序列，就是holt两参数平滑公式
~xt xt (1 )(~xt1 rt1) rt (~xt ~xt1) (1 )rt1
初始值的确定
平滑序列的初始值
~x0 x1
趋势序列的初始值
r0
xn1 x1 n
Holt两参数指数平滑预测 l期预测值
Tt ln Tt
a ln a b ln b
变换后模型
Tt a bt ct2
Tt a bt
Tt a bct
－
－
Tt eabct
－
－
Tt
1 a bct
－
－
参数估计方法
线性最小二乘估计
线性最小二乘估计
迭代法 迭代法 迭代法
例4.2： 对上海证券交易所每月末上证指数序列进行模型拟 合
Cramer分解定理
Harald Cremer (1893-1985)，瑞典人，斯德哥尔摩大学教授，Wold的指
导教师。
Wold分解定理（1938）
对于任何一个离散平稳过程{xt }它都可以分解为两个不相 关的平稳序列之和，其中一个为确定性的，另一个为随机
性的，不妨记作
xt Vt t
lim
q
2 q
Var( yt )
Cramer分解定理（1961）
任何一个时间序列{xt }都可以分解为两部分的叠加：其
中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分 是平稳的零均值误差成分，即
xt t t
d
jt j
j0
确定性影响
(B)a（t at为零均值白噪声序列）
1 4
xT
xT 1
xT 2
xT 3
5 5.4 5.8 6.2 4
5.6
xˆT 2
1 4
xˆT 1
xT
xT 1
xT 2
5.6 5 5.4 4
5.8
5.45
xˆT 2
1 4
xˆT 1 xT xT 1 xT 2
本章结构
1. 时间序列的分解 2. 确定性因素分解 3. 趋势分析 4. 季节效应分析 5. 综合分析 6. X-11过程