重庆市永川中学高中数学第18周练习一(立体几何1)
重庆市永川中学校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题
重庆市永川中学校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．复数()i 3i z =+在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，()2,c λ=r ．若()2c a b +∥r r r ，则λ=（ ） A ．12- B ．0 C ．12 D ．83．设a 、b 是不同的两条直线，α、β是不同的两个平面，下列说法正确的有（ ） A ．a α⊥，b β⊂，,⊥a b 则αβ⊥B ．α//β，a α⊥，b //β，则a b ⊥r rC ．,,a b αβ⊂⊂且//,//,a b βα则//αβD ．//,//,a b a β则b β//4．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．已知四边形ABCD 是矩形，||4AB =u u u r ，||3BC =u u u r ，则CA DB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．25B ．-7C ．7D ．-25 6．某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ）A ．400，32B ．400，36C ．480，32D ．480，367．已知圆台上、下底面半径分别为1，2，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）A B ． C D 8．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3B π=，8a =，cos cos 6b A a B +=，点O 是ABC V 的外心，若BO xBA yBC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +=（ ）A ．712B ．2336C ．2536D ．2936二、多选题9．已知平面向量()0,1a =r ，()b =r ，则下列说法正确的有（ ） A ．7a b +=r rB ．()()30a b a b +⋅-=-r r r rC ．向量a b +r r 在a r 上的投影向量为D ．向量a b +r r 与a r 的夹角为3π10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =，ABC S =V cos cos 2cos 0c B b C a A +-=，则有（ ）A ．a =B ．2C π= C ．3A π= D ．2c =11．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，4BC CD ==，12DD AB ==，P 是棱1CC 的中点．Q 是棱11C D 上一动点（不包含端点），则（ ）A ． AC 与平面BPQ 有可能平行B ．11B D 与平面BPQ 有可能平行C ．三角形BPQD ．三棱锥A BPQ -的体积为定值三、填空题12．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为． 13．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，角π=3A ．若AM 是CAB ∠的平分线，交BC 于M ，且3AM =，则+2AB AC 的最小值为. 14．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为.四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin A C A C B +=+．(1)求角B 的大小；(2)若b =ABC V ABC V 的周长． 16．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图．(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮面试，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．17．已知四棱锥P ABCD -满足：四边形ABCD 为正方形，△P AD 为等边三角形，且平面P AD ⊥平面ABCD ，2AD =，E 为P A 的中点．(1)证明：PC ∥平面BDE ；(2)求直线PC 和平面ABCD 所成角的正切值．18．如图，在四棱锥-P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ADC ∠=︒，4PA AD ==，E 为AD 的中点．(1)求证：平面PCE ⊥平面PAD ；(2)求二面角A PD C --的平面角的正弦值．19．由于某地连晴高温，森林防灭火形势严峻，某部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该区域开展巡查．现甲、乙两名森林防火护林员同时从A 地出发，乙沿着正西方向巡视走了3km 后到达D 点，甲向正南方向巡视若干公里后到达B 点，又沿着南偏西60°的方向巡视走到了C 点，经过测量发现60ACD ∠=︒．设ACB θ∠=，如图所示．(1)设甲护林员巡视走过的路程为S AB BC=+，请用θ表示S，并求S的最大值；△区域范围内储备应急物资，求(2)为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在BCD△区域面积的最大值．BCD。
重庆一中高2018级高一(下)第一次周考数学试卷(精品)
高2018级高一（下）第一次周考数学试卷班级： 姓名： 2016.2.28一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}{}224,log 0x A x B x x =≤=>，则A B ⋂=（ ）A 、[]1,2B 、(]1,2C 、()0,1D 、(]0,1 2、已知扇形的中心角为3π，半径为2，则其面积为（ ） A ．6π B ．34π C ．3π D ．32π 3、 585sin 的值为（ ）A ．22-B ．22C ．23-D ．234、下列说法正确的是（ ）A.若向量a b 与同向，且a b > ，则a b >B.若,//,a b b c //则a c //C.单位向量都是共线向量D.单位向量的模都相等5、三个数2)3.0(=a ，3.0log 2=b ，3.02=c 之间的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<6、已知函数()1254x f x x =+-，则()f x 的零点所在的区间为（ ） A 、()0,1 B 、()1,2C 、()2,3D 、()3,4 7、要得到函数x y cos =的图象，只需要将函数)32sin(π+=x y 图像上的所有点（ ） A.先向左平移6π个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， B.先向左平移12π个单位长度，再把横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变）， C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度 8、已知函数)sin(2ϕω+=x y （2,0πϕω<>）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.)62sin(2π-x B ．)44sin(2π+x C ．)62sin(2π+x D ．)64sin(2π+x9、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=恒成立，且()11f =，()()()201620172018f f f ++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、310、)120tan 3(10cos 70tan - 等于（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2 11、已知关于x 的方程01242=-+⋅+m m x x 有实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-332,332 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,332 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,332 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡332,1 12、已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围为（ ） A 、()1,-+∞ B 、(]1,1- C 、(),1-∞ D 、[)1,1-二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13、函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 14、化简：=++++AF BC FD CA DB15、当[)π2,0∈t 时，函数)cos 1)(sin 1()(t t t f ++=的最大值为16、已知函数)(x f y =对任意的R x ∈，都有0)1()5(=-++x f x f ，若方程0)(=x f 有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为三、解答题：（本大题6个小题，共70分）（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17、（1）求值：06.0lg 61lg )01.0()412(25325.02120++-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-- （2）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=+=ππβπαβαα,2,2,0,31)sin(,322cos ，求βcos 的值．18、设集合{}{}222|40,|2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=.（1）求集合A ；（2）若= A B A ，求a 的取值范围。
重庆市第一中学新高中数学立体几何多选题专题复习含解析
重庆市第一中学新高中数学立体几何多选题专题复习含解析一、立体几何多选题1．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）A ．AEF 是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83 【答案】AC【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误.【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH ===， O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，OH ∴⊥平面ABCD ， 在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=， 所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===， 所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，()0,,AF a a =，由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-， 设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-， 由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--， ()22111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，6cos ,23CG mCG m a CG m ⋅<>===⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 6θ=，23cos 1sin θθ=-=， 所以，sin tan 2cos θθθ==，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△， 因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.2．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（ ）A ．点A '到平面BCED 的距离为3B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58 C ．A 'D ⊥BDD ．四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD【分析】作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN ,又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC ,在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED ,∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确； 连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4,∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，DN =DA'=4,A'N =A'M ,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,==,∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心，设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=-+=,解得23x =-,舍去； 故O 在平面BCED 下方，如图②所示： 设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=++=, 解得23x =,∴244371699R ⨯=+=,R ∴=故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ）A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥， 1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN 上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=，即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACD S AD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确； 对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ，1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径()()222226252r R d '=-≥-=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（ ）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM 平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时221335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM 平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF D F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；故选：BCD【点睛】 本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD 选项，通过//BM 平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.5．在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13 B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE所成的角的正切为155 【答案】ABD 【分析】 对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，15tan DF DBF BF ∠==，可判断D 正确；【详解】对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知得1DE =，则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC ED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2π，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.6．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5tan 5θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确； 若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上， 连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin5SO OB α==， 在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确； 过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5tan θ=，验证满足，故D 正确； 故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =，此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点 B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.【详解】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==，NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒， ,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴===N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点， 点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点， 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P '， 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直线C1P与平面A1C1D6【答案】ABD【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D 6．【详解】解：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1）， 设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+，∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为6，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62【答案】BCD 【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.平面1BFD E平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为162322=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。
2023-2024学年重庆市十八中高一数学上学期第一次月考卷附答案解析
2023-2024学年重庆市十八中高一数学上学期第一次月考卷全卷满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}N 13A x x =∈-<<，{}22B x x =-≤<，则A B = （）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．命题“20000,560x x x ∃>-+>”的否定是（）A ．20,560x x x ∀≤-+≤B ．20,560x x x ∀>-+≤C ．2000R,560x x x ∃≤-+≤D ．20000,560x x x ∃>-+≤3．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程27120x x -+=的一根，则此三角形的周长是（）A ．12B ．13C ．14D ．12或144．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数且0a ≠）的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数cy x =的图象可能是（）A．B ．C ．D．5．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m ，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m ，n 满足1m n -≤，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（）A ．14B ．38C ．12D ．586．若{|1,Z}6k A x x k ==+∈，1{|,Z}32k B x x k ==+∈，21{|,Z}32k C x x k ==+∈，则这三个集合间的关系是（）A ．ABC ⊆⊆B ．A C B ⊆⊆C ．C B A ⊆⊆D ．C A B⊆⊆7．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''' ，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM .若2BC =，30BAC ∠=︒，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．3C ．2D ．18．记{}max ,a b 为a ，b 两数的最大值，当正数x ，()y x y >变化时，24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．如图中阴影部分所表示的集合是（）A ．()U N M ⋂ðB ．()U M N ⋂ðC ．()()UM N N⋃⋂ðD ．()()UM N N⋂⋂ð10．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-.与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2(0)ky x x =>交于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，垂足为D ，且OA AD =，则以下结论中正确结论的有（）A ．ADB ADCS S =△△B ．当03x <<时，12y y <C ．如图，当3x =时，83EF =D ．当0x >时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小11．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则（）A ．40x y xy +-≥B ．221x y +≥C ．111112x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．14912x y +≥+12．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z.给出如下结论，其中正确的结论是（）A ．如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈B ．如果1a M ∈，2a M∈，那么12a a M+∈C ．如果{}21,B b b n n ==+∈N .那么B M⊆D ．若{}2,C c c n n ==∈N .对于c C ∀∈，则有c M∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设a ，b ∈R ，若集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则2a b -=.14．如图，直径8AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是.15．已知两个命题p ：0xy ≥，q ：x y x y+=+，则p 是q 的条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）.16．对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m ，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称m 为“一致数”.设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =.将m 的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数m '.并记()101m m F m '+=；一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ；当()()243F mG N a k --=+（k 为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m 中，满足()G N 为偶数时，k 的值为，m 的值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合{}123,0A x a x a a =-<+，{}24B x x =-<<.(1)当2a =时，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.18．2023年以来，某区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯.区政府为了了解4月份甲、乙两个社区居民垃圾换积分的情况，分别从甲、乙两个社区各抽取10人，记录下他们的积分（单位：分），并进行整理和分析（积分用x 表示，共分为4组：:70A x <；:7080B x ≤<，:8090C x ≤<，:90100D x ≤≤），下面给出了部分信息：甲社区10人的积分：47，56，68，71，83，83，85，90，91，94；乙社区10人的积分在C 组中的积分分数为：81，83，84，84；两组数据的平均数，中位数，众数如下表所示：社区平均数中位数众数甲76.883b 乙76.8a84乙社区积分等级扇形图根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据，你认为哪个社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，请说明理由（一条即可）；(3)若4月份甲社区有700人参与活动，乙社区有800人参与活动，请估计4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有多少人？19．已知集合{}22A x x =-≤≤，集合50x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭.(1)设a 为实数，若集合{}321C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求a 的取值范围；(2)设m 为实数，集合12D x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭，若“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.20．如图，一沙尘暴中心在A 地南偏西60︒的方向的B 处，正迅速向正东方向移动，经过一段时间，沙尘暴中心位于A 地西南方向的C 处，且120BC =千米.(1)求A ，C 之间的距离（保留准确值）；(2)距沙尘暴中心200千米的范围为受沙尘暴影响的区域，沙尘暴中心由点C 处开始将沿南偏东75︒的CP方向移动，请说明A 地是否会受到这次沙尘暴的影响？ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）.21．（1）已知11a b -≤+≤，11a b -≤-≤，求23a b +的取值范围；（2）若实数a ，b ，c 满足2226a b c ++=.试判断221112a b +++与21123c -+的大小并说明理由.22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()250y ax bx a =++≠与x 轴交于点()1,0A -，()5,0B ，与y轴交于点C.点D 是抛物线对称轴上的一点，纵坐标为-5，P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，连接BP ，DP .(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP △的面积取最大值时，求点P 的坐标和BDP △的面积的最大值；(3)将抛物线()250y ax bx a =++≠沿着射线BD 平移，使得新抛物线经过点D.新抛物线与x 轴交于E ，F 两点（点E 在点F 左侧），与y 轴交于点G ，点M 是新抛物线上的一动点，点N 是坐标平面上一点，当以点E ，G ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出求解点M 的坐标的其中一种情况的过程.1．B【分析】先求集合A ，再根据交集运算求解.【详解】由题意可得：{}0,1,2A =，所以{}0,1A B = .故选：B.2．B【分析】特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可写出原命题的否定.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为20,560x x x ∀>-+≤.故选：B 3．C【分析】解方程并结合三角形的性质可得腰长为4，进而可得结果.【详解】因为27120x x -+=，解得3x =或4x =，且336+=，不合题意；4486+=>，符合题意，可知：腰长为4，所以此三角形的周长是44614++=.故选：C.4．A【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断,,a b c 的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可.【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此0a >；对称轴为002bx b a =->⇒<，当0x =时，0y c =<；因为0c <，所以反比例函数cy x =的图象在二、四象限，排除BC ；因为0a >，0b <，所以一次函数y ax b =+的图象经过第一、三、四象限，故排除D ，故选：A 5．D【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.【详解】根据题意，m ，n 的情况如下：()()()()()()()()6,6,6,7,6,8,6,9,7,6,7,7,7,8,7,9,()()()()()()()()8,6,8,7,8,8,8,9,9,6,9,7,9,8,9,9,共16种情况，其中m ，n 满足1m n -≤的情况如下：()()()()()()()()()()6,6,6,7,7,6,7,7,7,8,8,7,8,8,8,9,9,8,9,9,共10种情况，所以两人“心领神会”的概率是105168=，故选：D 6．C【分析】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.【详解】依题意，6(3)3{|,Z}{|,Z}66k k A x x k x x k +++==∈==∈，23{|,Z}6k B x x k +==∈，43223{|,Z}{|,Z}66k k C x x k x x k +⨯+==∈==∈，而{|3,Z}Z x x k k =+∈=，{偶数}{|2,Z}x x k k ==∈，因此集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素，即有C B ⊆，集合B 中的每一个元素都是集合A 中的元素，即B A ⊆，所以C B A ⊆⊆.故选：C 7．B【分析】根据旋转变换的性质，结合三角形三边关系进行求解即可.【详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2BC =，30BAC ∠=︒，所以4AB =，因为M 是BC 的中点，所以112CM BC ==，因为ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ''' ，所以4A B ''=，90A CB ''∠=︒，因为P 是A B ''的中点，所以122PC A B ''==，由三角形三边关系，得CP CM PM +>，当旋转到,,P C M 在一条直线上，且C 位于,P M 之间时，PM 有最大值，最大值为213+=，故选：B8．A【分析】根据题中定义，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭可得：2t x ≥，4()t y x y ≥-，所以有242()t x y x y ≥+-，因为x ，y 是正数，且x y >，所以224416()2y x y x y x y ≥=-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当y x y =-时取等号，即当2x y =时取等号，于是有222416284()t x x t y x y x ≥+≥+≥=⇒≥-，当且仅当2216x x =时取等号，即当2,1x y ==时取等号，所以t 的最小值为4，故选：A【点睛】关键点睛：本题的关键是理解{}max ,a b 的含义，由24max ,()t x y x y ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭得到2t x ≥，4()t y x y ≥-.9．AD【分析】根据Venn 图，结合集合运算的概念即可得出答案.【详解】A 选项：U M =+①②ð，则U N M = ②ð，故A 正确；B 选项：U N =+④①ð，则U M N = ④ð，故B 错误；C 选项：()①= U M N ð，则()()UM N N ⋃⋂=∅ð，故C 错误；D 选项：()②+④①=+ U M N ð，()UM N N ⎡⎤⋂⋂=⎣⎦②ð，故D 正确.故选：AD.10．AC【分析】A 项，通过证明OBA CDA ≅ 即可得出结论；B 项，利用函数图象的交点即可得出结论；C 项，计算出3x =时12,y y的值，即可求出EF 的长；D 项，根据函数图象即可得出两函数增减性.【详解】由题意，A 选项，对于直线122y x =-,令0x =,得到2y =；令0y =,得到1x =，∴(1,0),(0,2)A B -,即1,2OA OB ==,在OBA △和CDA 中,90,,AOB ADC OAB DAC OA AD︒∠=∠=∠=∠=∴()OBA CDA AAS ≅ ∴()2,1,2,2CD OB OA AD C ====，∴ADB ADCS S =△△(同底等高三角形面积相等），A 正确；B 项，把点C 坐标代入反比例解析式得：4k =,即24y x =,由函数图象得:当02x <<时,12y y <，B 错误；C 项，当3x =时,1244,3y y ==,∴43348EF ==-，C 正确；D 项，当0x >时,1y随x 的增大而增大,2y 随x 的增大，D 错误；故选：AC.11．AD2x y +≤，即14≤xy ，所以选项A 正确；而222()122x y x y ++≥=可判断B 错误；将1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开并结合14≤xy 可知C 错误；观察D 项分母可知12x y ++=，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D 正确.【详解】对于A2x y+≤，即14≤xy ，所以41xy x y ≤=+，即40x y xy +-≥；当且仅当12x y ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，根据不等式222()122x y x y ++≥=，当且仅当12x y ==时，等号成立；所以B 错误；对于C ，1111112111119x y x y x y xy xy xy xy ⎛⎫+⎛⎫++=+++=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立；故C 错误；对于D ，根据1x y +=，观察分母可知12x y ++=为定值，则1411411419(1)145121212y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当21,33x y ==时，等号成立；故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】对于A ：设2222111222,a x y a x y =-=-，则()()221212121221x x y y x y x a a y =+-+，进而分析判断；对于B ：先说明2M ∉，再取特值121a a ==，分析判断；对于C ：令1x n =+，,y n n =∈Z ，可知对任意b B ∈，均有b M ∈，所以B M ⊆，故C 正确；对于D ：取特值121a a ==，分析判断.【详解】对于选项A ：因为1a M ∈，2a M∈，设22221112221212,,,,,a x y a x y x x y y =-=-∈Z ，则()()()()()()222222221222222112212121221121212221x y x y x x y y x y x y x x y x y y a y x a =--=+-+=+-+，因为1212,,,x x y y ∈Z ，则12121221,x x y y x y x y +∈+∈Z Z，所以12a a M ∈，故A 正确；对于选项B ：因为2222a x y x y=-=-，不妨设,,x y x y ≥∈Z，若x y=，则22a x y =-=；若1x y =+，则()2222121a x y y y y =-=+-=+为奇数；若2x y ≥+，则()()22222414a x y y y y =-≥+-=+≥；综上可知：2M ∉.显然22101M -=∈，令121a a ==，则122a a M +=∉，故B 错误；对于选项C ：令1x n =+，,y n n =∈Z ，则()2222121b x y n n n M =-=+-=+∈，即对任意b B ∈，均有b M ∈，所以B M ⊆，故C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：2,2C M ∈∉，故D 错误.故选：AC.13．0【分析】利用集合相等以及0a ≠，可得0a b +=，即1ba =-，代入原式可得,ab 的值，进而求出答案．【详解】由题意可知：0a ≠，因为{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则0a b +=，可得1b a =-，则{}{1,0,}0,1,a b =-，可得11a b =-⎧⎨=⎩，且满足0a b +=，所以()22110a b -=--=.故答案为：0.14．16π3【分析】由题意可知：阴影部分为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形和以A B '为直径的半圆，减去以AB 为直径的半圆，进而结合扇形面积公式运算求解.【详解】由题意可知：阴影部分为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形和以A B '为直径的半圆，减去以AB 为直径的半圆，且AB A B '=，即两个半圆的面积相等，则阴影部分的面积即为以B 点为圆心，AB 为半径的扇形得面积，为23016ππ83603︒⨯⨯=︒.故答案为：16π3.15．充要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当0xy ≥时，若,x y 中至少有一个为零，则x y x y+=+成立，若0,0x y >>，则x y x y x y +=+=+，若0,0x y <<，则x y x y x y +=--=+，综上，当0xy ≥时，x y x y+=+成立，故充分性成立；当x y x y+=+时，()()22x y x y +=+，即222222x xy y x xy y ++=++，整理得xy xy=，所以0xy ≥成立，故必要性成立；所以p 是q 的充要条件.故答案为：充要16．6±2231【分析】设一个“一致数”m abcd =满足8a ≤且1d =，得出()()243F m G N a k --=+，然后分类讨论即可求解.【详解】解：设一个“一致数”m abcd =满足18a ≤≤且1,110d a b c a b =+=+⇒+≤，则1000100101m a b c =+++，100010010m c a b '=+++，所以10101011010101()10101101101m m a b c F m a b c '++++===+++，一个两位数102N a b =+，将N 的各个数位数字之和记为()G N ，则()()42529b G N a b b G N a b ≤=+≥=+-时，，时，，因为()()243F mG N a k --=+，即2210101224431591b a b c a b a k k a b +++---=≤=++-，时，，22101012+94315935a b c a b a k k a b b +++---=+=+-≥时，，，因为满足()G N 为偶数时，则5b ≥时a 奇为数，4b ≤时a 为偶数，逐项代入检验可得：当2,2a b ==时，则2366,3k k c ==±=，，当8,4;5,8a b a b ====时，则214410k a b =+>，，故舍去；所以2231m =.故答案为：6±；2231.【点睛】关键点睛：本题的关键是将m 表示成1000100101a b c +++，然后再分类讨论.17．(1){}27x x -<<(2)[5,)+∞【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集运算的性质进行求解即可.【详解】（1）因为2a =，所以{}17A x x =<<，而{}24B x x =-<<，所以{}27A B x x ⋃=-<<；（2）因为A B ⋂=∅，所以14a -≥，或232a +≤-，由145a a -≥⇒≥，显然满足0a >；由52322a a +≤-⇒≤-，而0a >，所以不存在这种情况，综上所述：实数a 的取值范围[5,)+∞18．(1)83.5,83,30a b m ===(2)乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由见解析(3)980【分析】（1）找出甲社区中出现次数最多的数据，即可求得b 的值，根据乙社区的扇形统计图，计算出,A B 两组的人数，再结合C 组的人数可求出a 的值，利用D 组的数除以10可求出m 的值，（2）从中位数和众数的解度进行分析即可，（3）分别利用总数乘以甲乙两个社区积分在80分以上所占的百分比，将积相加即可.【详解】（1）因为甲社区中出现次数最多的数据为83，所以83b =，由乙社区的扇形统计图可得乙社区A 组人数为1010%1⨯=，B 组人数为1020%2⨯=人，因为乙社区10人的积分在C 组中的积分分数为：81，83，84，84，所以乙社区的积分从小到大排列，第5个和第6个数据分别为83，84，所以1(8384)83.52a =⨯+=，因为乙社区D 组人数为101243---=人，所以D 组人数所占的百分比为3100%30%10⨯=，所以30m =，（2）乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，理由如下：因为甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高，所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好，（3）因为甲社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为60.610=，乙社区积分在80分以上（包括80分）的人数所占的比例为70.710=，所以4月份甲、乙两个社区积分在80分以上（包括80分）的一共有0.67000.7800980⨯+⨯=人.19．(1)10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦(2)92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）化简集合，通过()C A B ⊆ 即可分类讨论求出a 的取值范围；（2）求出A B ⋃，利用“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件即可求出m 的取值范围.【详解】（1）由题意，化简集合，{}22A x x =-≤≤，{}05B x x =<≤，∴(0,2]A B ⋂=，在{}321C x a x a =≤≤+中，()C A B ⊆ ，当C =∅时,2131a a a +<⇒>,满足题意；当C ≠∅时,1a ≤，此时21210302a a a +≤⎧⇒<≤⎨>⎩综上，a 的取值范围为10,(1,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦.（2）由题意及（1）得，{}22A x x =-≤≤，{}05B x x =<≤，∴[2,5]A B =-U ,在12D x m x m ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭中，“()x A B ∈U ”是“x D ∈”的必要不充分条件，∴2152m m ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩(等号不同时成立)922m ⇒-≤≤∴满足条件的m 存在,取值范围是92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．(1)A ，C之间的距离60千米(2)A 地不会受到这次沙尘暴的影响【分析】（1）过A 作AD BD ⊥，垂足为D ，设AC m =千米，可得CD千米，BD 千米，再结合题意列式求解即可；（2）过A 作AE CP ⊥，垂足为E ，可得200.4AE ≈千米，对比分析即可.【详解】（1）过A 作AD BD ⊥，垂足为D ，设AC m =千米，在Rt ACD △中，可知：45CAD ∠=︒，可得2sin 2CD AD AC CAD m==∠=千米，在Rt △ABD 中，可知：60BAD ∠=︒，可得tan BD AD BAD =∠=千米，由题意可得：BD CD BC -=，即6212022m m -=，解得60m =，所以A ，C之间的距离60千米.（2）过A 作AE CP ⊥，垂足为E ，在Rt ACE 中，可知：60ACE ∠=︒，可得(sin 60303200.4AE AC ACE =∠=⨯≈千米，因为200.4200>，所以A 地不会受到这次沙尘暴的影响.21．（1）[]3,3-；（2）22211111223a b c +>-+++，理由见详解【分析】（1）根据题意可得()()512322a b a b a b +=+--，结合不等式性质运算求解；（2）令2221,2,3m a n b t c =+=+=+，可得112m n t++=，根据“1”的应用结合基本不等式运分析判断.【详解】（1）设()()()()23a b x a b y a b a x y b x y +=++-=++-，其中,x y ∈R ，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即()()512322a b a b a b ⎛⎫+=++-- ⎪⎝⎭，因为11a b -≤+≤，11a b -≤-≤，则()555222a b -≤+≤，()111222a b -≤--≤，可得3233a b -≤+≤，所以23a b +的取值范围为[]3,3-；（2）令2221,2,3m a n b t c =+=+=+，则2221,2,3m a n b t c -=-=-=，可得()()()22212366a b c m n t m n t ++=-+-+-=++-=，即112m n t++=，则111111131212m n t n m t m n t m n t m n t m n m t t n ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133124⎛⎫≥+++= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当n mm n t m m t t n n t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，即2224,3,2,1m n t a b c ======时，等号成立，可得2221111113112342m n t a b c ++=++≥>+++，即22211111223a b c +>-+++.22．(1)245y x x =-++(2)7299,636P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，52924(3)()1,4-，()2,5-，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）将()1,0A -，()5,0B 代入抛物线即可得出解析式；（2）过点P 作//PQ BD ，得出PQ ，PB 的解析式，即可求出点P 的坐标和BDP △的面积的最大值；（3）求出平移二次函数的解析式，设出点M 坐标，构造矩形，即可求出点M 的坐标.【详解】（1）由题意，在()250y ax bx a =++≠中，()1,0A -，()5,0B 501,,255504a b a a b b ⎧-+==-⎧⎨⎨++==⎩⎩∴抛物线的函数表达式是：245y x x =-++.（2）由题意及（1）得，如下图1，抛物线的对称轴是直线1522x -+==，(2,5)D ∴-，(5,0)B ，∴直线BD 的解析式是:52533y x =-，过点P 作//PQ BD ，∴可设PQ 的解析式是:53y x b=+，由25453x x x b -++=+得27(5)03x x b -+-=，BPD 面积最大，∴方程由两个相等实数根，2706x ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，7,6x ∴=当76x =时，277299456636y ⎛⎫=-+⨯+= ⎪⎝⎭，7299,636P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，如图2，(5,0), B ∴直线PB 的解析式是:136566y x =-+，∴当2x =时，132y =，1323(5)22DE ∴=--=，1237529522624BDP S ⎛⎫∴=⨯⨯-=⎪⎝⎭ ，即BDP △的最大面积是52924.（3）由题意，（1）及（2）得，在245y x x =-++中，(5,0),(2,5)B D -平移后的关系式是2(1)4y x =-++，2(1)40,x ∴-++=解得：1x =或3-，∴(3,0),(0,3)E G -，如图3，当点M 落在抛物线2(1)4y x =-++的顶点(1,4)-时，90EGM ︒∠=，∵//,MN EG MN EG =，∴1(1,4)M -，NE ∴的解析式是3y x =--，∴2(1)43x x -++=--，解得：3x =-（舍）或2∴2(2,5)(5,2)M N '--,，当EG 是对角线时，设点()21,23M m m m --+，由22211M E M G EG +=得()()22222222(3)23233x x x x x x++--+++--=+，∴1234113,0,,22x x x x -+--=-===，∴点M 坐标为()1,4-，()2,5-，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭.。
(完整)高一立体几何经典例题
立体几何周练命题人---王利军一、选择题（每小题5分，共60分）1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是A 、AB α⊂ B 、AB α⊄C 、由线段AB 的长短而定D 、以上都不对2、下列说法正确的是A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1B C 成60角5、若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l ∥aB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行； （3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么 A 、点必P 在直线AC 上 B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外 8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 9、一个棱柱是正四棱柱的条件是A 、底面是正方形，有两个侧面是矩形B 、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C 、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D 、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个B 1C 1A 1D 1BACD三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 A 、23 B 、76 C 、45 D 、5611、已知二面角AB αβ--的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB的距离为4，那么tan θ的值等于A 、34B 、35C D12、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2VB 、3VC 、4VD 、5V13．设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β ②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β ③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β ④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．414.△ABC 是边长为1的正三角形，那么△ABC 的斜二测平面直观图C B A '''∆的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．86 D ．166 15．设正方体的表面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是 （ ） A ．π343cm B ．π63cm C ．π383cm D ．π3323cm16．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 17．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．1条或2条18．在长方体1111ABCD A B C D -，底面是边长为2的正方形，高为4，QPC'B'A'C BA则点1A 到截面11AB D 的距离为( )A ．83 B ． 38 C ．43 D ． 3419．直三棱柱111ABC A B C -中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是1CC 上任意一点，连接11,,,A B BD A D AD ，则三棱锥1A A BD -的体积为（ ）A ．361a B ．3123a C ．363a D ．3121a 20．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二．解答题1．(本题满分12分) 在三棱锥V —ABC 中，VA=VB=AC=BC=2，AB=32，VC=1，求二面角V —AB —C 的大小．3主视图左视图俯视图ACDQ DBPCANM2．已知某几何体的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形,设D为AA1的中点。
重庆市永川中学校2018学年高一下学期期末考试数学试题
高一年下学期期末考数学科试卷（2018.18）考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次被抽到的可能性为a ，第二次被抽到的可能性为b ，则（ ） A.103=a ，92=b B. 101=a ，91=b C. 103=a ，103=b D. 101=a ，101=b 2.下列事件为随机事件的是（ ）A.平时的百分制考试中，小强的考试成绩为118分B.边长为a ，b 的长方形面积为abC.100个零件中2个次品，98个正品，从中取出2个，2个都是次品D.抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上3.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ）A.抽样方法是一种分层抽样B.该班级男生成绩的平均数必小于该班级女生成绩的平均数C.抽样方法是一种系统抽样D.这五名女生成绩的标准差必小于这五名男生成绩的标准差 4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米5319石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 （ ） A.490石B. 540石C.590石D. 640石5.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝118°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )． A. 50 3 mB. 50 2 mC. 25 2 mD. 2522m6.在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的41，且样本容量为200，则第8组的频数为（ ） A. 40B. 50C. 0.2D. 0.257.对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85， 正确的是（ ） A. ③④B.②④C.①③D. ①②8.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为 0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m （如下表所示），则利用回归方程可求得实数m 的值为（ ）A 、8B 、8.1C 、8.2D 、8.39.在Excel 中产生区间上均匀随机数的函数为“rand( )”，在用计算机模拟估计函数x y cos =的图象和x 轴在区间[]ππ,-上部分围成的图形面积时，随机点),(11b a 与该区域内的点),(b a 的坐标变换公式为( ) A.112),1(b b a a =-=πB. )1(2),1(211-=-=b b a a πC. 12,211+=-=b b a a ππD. 12,211-=+-=b b a a ππ10.阅读如图所示的语句：当输入的m=168，n=72时，输出的结果用5进制表示是（ ） A.)5(143 B.)5(44 C.)5(22D.)5(6第10题11.在以原点O 为圆心，1为半径的单位圆上有两点B A 、，︒=∠120AOB ，点C 是劣弧 AB（较短的弧）上一点，射线OC 与线段AB 交于点M ，则OM B ∆为钝角三角形的概率（ ）A.21B.32 C.43 D.65 12.设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间(]1,3-上的所有零点的和为（ ）.A ． 11B ．12C ． 7D ．8第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．．．．．．．．．．．。
重庆市永川中学高中数学第18周练习一(立体几何1).
立体几何（1）1.设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（B ）A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则2.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（D ）A ．110B ．25C D 3.在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为（D ）A ．23B ．21C ．33D ．634．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 5．在正四面体A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：①BC ⊥平面AMD ； ②Q 点一定在直线DM 上； ③V C －AMD ＝4 2.其中正确的是_①② ______6.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为__.8π __7,已知两异面直线a ，b 所成的角为π3，直线l 分别与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取值范围是________．[答案] [π6，π2]1． 若正四面体S —ABC 的面ABC 内有一动点P 分别到平面SAB 、平面SBC 、平面SAC 的距离成等差数列，则点P 的轨迹是（A ）A ．一条线段B ．一个点C ．一段圆弧D ．抛物线的一段8,如图，在平行四边形ABCD 中，CD ＝1，∠BCD ＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF 和平面ABCD 成直二面角，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：BD⊥平面CDE ；(2)求证：GH∥平面CDE ； (3)求三棱锥D －CEF 的体积．答案：(1)证明：平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∵ED ⊥AD ，∴ED ⊥平面ABCD.∴ED⊥BD. 又∵BD⊥CD，CD ∩ED ＝D ，∴BD ⊥平面CDE. (2)证明：连接EA ，则G 是AE 的中点， 在△EAB 中，GH ∥AB ，又∵AB∥CD，∴GH ∥CD.又∵GH 平面CDE ，∴GH ∥平面CDE. (3)解析：设Rt △BCD 中BC 边上的高为h ，依题意：12×2×h ＝12×1×3，∴h ＝32，即点C 到平面DEF 的距离为32. ∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33.9,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．9,解法1：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，于是CA 1→＝(0，－4,4)，EF →＝(－3，1,1)，则CA 1→·EF →＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)，AE →＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)．又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4， 所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2. 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63， 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63. 10,如图，在ABC ∆中，090C ∠=，AC BC a ==，点P 在边AB 上，设(0)AP PB λλ=>，过点P 作//PE BC 交AC 于E ，作//PF AC 交BC 于F 。
重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题考试说明：1．考试时间120分钟 2．试题总分150分 3．试卷页数2页一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 的三个内角所对边的长分别为，若，，，则（ ）A. B.C. 4D.2. 复数的共轭复数等于（ ）A. B. C. D. 3. 若，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（ ）A 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则4. 如图所示是水平放置的的直观图，其中，则原是一个（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形5. 已知分别是三内角的对边，且满足，则的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形6. 在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.7. 已知是平面内的一点，若，，且向量在向量上的投影向量.ABC V ,,A B C ,,a b c 3cos 5B =5c =3a =b =()32z i i =-z 23i--23i-+23i-23i+m n αβ//m α//n α//m n//αβm α⊂//m β//m α//αβ//m β//m αn ⊂α//m nABC V 1A O B O C O ''''''===ABC V ,,a b c ABC V ,,A B C sin cos a C a C b c +=+ABC V ABCD M BC E AB EM EC ⋅[]2,6[]28,[]0,2[]0,4M ABC AB AC ⊥ 2AM AB AC =+ BA BC为，则（ ）A. B. C. D. 8. 在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ）A.B. C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知平面向量，，且，则（ ）A. B. C. D. 10. 如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列四个结论正确的是（ ）A. 直线与是相交直线B. 直线与是平行直线C. 直线与是异面直线D. 直线与是异面直线11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中为三角形的三边和面积）表示．在中，分别为角所对的边，若，则下列命题正确的是（）A B. C. 面积的最大值是 D..34BC u uu r MAC ∠=15306075ABC V ABC ∠BD AC D 2BD =π3ABC ∠=ABC V ()2,a m = ()1,1b =-22a b a b +=- 2m =π,3a b =a b⊥ a =1111ABCD A B C D -M N 11C D 1C C AM 1CC AM BN BN 1MB AM 1DD S =a b c S 、、、ABC V a b c 、、、、A B C 2a =()1tan A A C ==c a =ABC V ABC V三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知复数，（为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，则的面积为______．13. 已知在中，内角所对边分别为，点是的重心，且，则角的大小为______．14. 已知圆锥底面圆的直径为12，高为8，若球在圆锥内，则球的表面积的最大值为______，若在圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体能任意转动，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，向量与的夹角．（1）若，求值；（2）求．16. 已知在中，内角所对的边分别为，分别以为直角边的等腰直角三角形的面积依次是，且（1）求；（2）若，求面积．17. 如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．18. 如图，直四棱柱的底面为菱形，，，，分别为上一点且，．的的的12i z =+212i z =-+i 12,Z Z 12V OZ Z ABC V ,,A B C ,,a b c G ABC V 0357a b c GA GB GC ++=C SO 1O SO 1O SO a a 2= a 3b = a b 2π3θ=()a kb a +⊥k 32a b +ABC V ,,A B C ,,a b c ,,a b c 123,,S S S 123S S S +=C 3cos ,25A a ==ABC V AB AP 4AB AP ==C 2AC =D PB E AP CE DE +1111ABCD A B C D -120ADC ∠=︒16BB =3AB =,M N 1,BC AA 4AN =2BM =（1）证明：平面；（2）平面将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为；较小的体积为，求的值．19. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值；（3）如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．//BN 1AMD 1AMD 1V 2V 12V V ABC V D BC 2CD DB =G AB 32AG GB =CG AD O AD xAB y AC =+,x y AO t AD =t O ,AB AC ,E F EB AE λ= ()0,0FC AF μλμ=>>λμAEF △1S BEFC 2S 21S S重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①.②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1）； （2）.【17题答案】【答案】（1），； （2）【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）， （2）（3）（ⅰ）；（ⅱ）52 2.52π336π436π3C =ABC S =V 16π16π411313x =23y =2393223,4934⎛⎤ ⎥⎝⎦。
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立体几何（1）
1.设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（B ）
A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则
B ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则
C ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则
D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则
2.直三棱柱111ABC A B C -中，0
90=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，
1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（D ）
A ．110
B ．25
C D 3.在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为（D ）
A ．23
B ．2
1 C ．33 D ．
63 4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则
1AM MD + 5．在正四面体A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线
段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：
①BC ⊥平面AMD ； ②Q 点一定在直线DM 上； ③V C －AMD ＝4 2.
其中正确的是_①② ______
6.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为__.8π __
7,已知两异面直线a ，b 所成的角为π
3，直线l 分别与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取
值范围是________．
[答案] [π6，π
2
]
1． 若正四面体S —ABC 的面ABC 内有一动点P 分别到平面SAB 、平面SBC 、平面SAC 的距
离成等差数列，则点P 的轨迹是（A ）
A ．一条线段
B ．一个点
C ．一段圆弧
D ．抛物线的一段
8,如图，在平行四边形ABCD 中，CD ＝1，∠BCD ＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF 和平面ABCD 成直二面角，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．
(1)求证：BD⊥平面CDE ；
(2)求证：GH∥平面CDE ； (3)求三棱锥D －CEF 的体积．
答案：(1)证明：平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∵ED ⊥AD ，∴ED ⊥平面ABCD.∴ED⊥BD. 又∵BD⊥CD，CD ∩ED ＝D ，∴BD ⊥平面CDE. (2)证明：连接EA ，则G 是AE 的中点， 在△EAB 中，GH ∥AB ，
又∵AB∥CD，∴GH ∥CD.又∵GH 平面CDE ，∴GH ∥平面CDE. (3)解析：设Rt △BCD 中BC 边上的高为h ，
依题意：12×2×h ＝1
2×1×3，
∴h ＝
32，即点C 到平面DEF 的距离为32
. ∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33
.
9,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．
(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；
(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．
9,解法1：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得
A (0,0,0)，
B (23，2,0)，
C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，
于是CA 1→＝(0，－4,4)，EF →
＝(－3，1,1)，
则CA 1→·EF →
＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .
(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得
F (0,4，λ)，
AE →
＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →
可得
⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，
即⎩⎨
⎧
3x ＋3y ＝0，
4y ＋λz ＝0.
取m ＝(3λ，－λ，4)．
又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2
＋16
2λ2
＋4， 所以tan θ＝
λ2
＋163λ
＝
13＋163λ
2. 由0<λ≤4，得1λ≥1
4
，即tan θ≥
13＋13＝63
， 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值
63
. 10,如图，在ABC ∆中，0
90C ∠=，AC BC a ==，点P 在边AB 上，
设(0)AP PB λλ=>，过点P 作//PE BC 交AC 于E ，作//PF AC 交BC 于F 。
沿PE 将APE ∆翻折成,A PE '∆使平面A PE '⊥平面ABC ；沿PF 将BPF ∆翻折成,B PF '∆使平面B PF '⊥平面ABC 。
（1）求证：//B C '平面A PE '；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C A B P ''--的大小为0
90？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
10解析：(1)以G 点为原点，GP GC GB 、、为x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，
P (0，0，4)，故E (1，1，0)，GE ＝(1，1，0)， PC ＝(0，2，4)。
1010
20
22cos =⋅>=
<PC GE ，， ∴GE 与PC 所成的余弦值为
10
10
． (2)平面PBG 的单位法向量n ＝(0，±1，0) ∵)02
323(4343，，-===
BC AD GD ， ∴点D 到平面PBG 的距离为⋅GD |n |＝
2
3
. (3)设F (0，y ，z )，则)2
3
23()02323()0(z y z y ，，，，，，-=--=。
∵GC DF ⊥，∴0=⋅GC DF ， 即032)020()2
323
(=-=⋅-
y z y ，，，，， ∴23=
y , 又PC PF λ=，即(0，2
3
，z －4)＝λ(0，2，－4)， ∴z =1， 故F (0，23，1) ，)1210()3230(-=-=，，，，，FC PF ，∴
FC
PF 3PF
PC =。